అధ్యాయం 1. సంఖ్యా పద్ధతి (Number System)
ఎలా సాధన చేయాలి ముందుగా మీరే సమాధానం రాయడానికి ప్రయత్నించండి. తర్వాత మాత్రమే క్రింద ఇచ్చిన పరిష్కారం చూడండి. తప్పైతే, ఎక్కడ తప్పు జరిగిందో గుర్తించి నోట్ చేసుకోండి. |
ప్రశ్న 1
ఒక క్యాషియర్ పొరపాటున ఒక కస్టమర్‌కు రెండంకెల మొత్తాన్ని (రూపాయల్లో) దాని అంకెలు తారుమారు చేసి బిల్లు వేశాడు. దీనివల్ల కస్టమర్ నుండి రూ. 45 ఎక్కువగా వసూలు చేయబడింది. సరైన మొత్తం రూ. 20 కన్నా తక్కువ అని తెలిస్తే, క్యాషియర్ నిజంగా వసూలు చేయవలసిన సరైన మొత్తం ఎంత?
A. ₹25
B. ₹34
C. ₹61
D. ₹16
సరైన సమాధానం: D
పరిష్కారం సరైన మొత్తం పదుల స్థానం x, ఒకట్ల స్థానం y అనుకుందాం, x < y (తారుమారు చేయడం వల్ల మొత్తం పెరిగింది కాబట్టి). తారుమారు − అసలు = 9(y−x) = 45, కాబట్టి y−x=5. 20 కన్నా తక్కువ ఉండాలంటే పదుల స్థానం 1 కావాలి: x=1, y=6 ⇒ సంఖ్య 16. తనిఖీ: 16ని తారుమారు చేస్తే 61, 61−16=45. కాబట్టి సరైన మొత్తం ₹16. |
ప్రశ్న 2
ఒక జిమ్‌లోని లాకర్‌కు '263' అనే కోడ్ ఏదో ఒక సంఖ్యా వ్యవస్థ (బేస్)లో ఇవ్వబడింది, కానీ ఆ బేస్ ఎంతో రాయలేదు. ఈ లాకర్ సంఖ్య దశాంశ (decimal) పద్ధతిలో 363 అని మేనేజర్‌కు తెలుసు. ఉపయోగించిన బేస్ ఏమిటి?
A. 13
B. 12
C. 10
D. 11
సరైన సమాధానం: B
పరిష్కారం బేస్ b అనుకుంటే: 2b² + 6b + 3 = 363. b=12 అని పెట్టి చూద్దాం: 2(144) + 72 + 3 = 288+72+3 = 363. సరిపోతుంది. కాబట్టి బేస్ = 12. |
ప్రశ్న 3
ఒక రెండంకెల లాకర్ కోడ్ మూడు క్లూలను సంతృప్తి పరుస్తుంది: (i) దాని అంకెల లబ్ధం 30, (ii) అంకెల మధ్య తేడా 1, (iii) కోడ్ 3చే భాగించబడదు. పదుల స్థానం పెద్దదైతే, కోడ్ ఏమిటి?
A. 75
B. 56
C. 65
D. 53
సరైన సమాధానం: C
పరిష్కారం ఒకట్ల స్థానం y, పదుల స్థానం y+1 అనుకుందాం. లబ్ధం: y(y+1)=30 ⇒ y²+y−30=0 ⇒ (y+6)(y−5)=0 ⇒ y=5, పదుల స్థానం=6. సంఖ్య=65. క్లూ (iii) తనిఖీ: 65, 3చే భాగించబడదు (6+5=11), కాబట్టి కోడ్ నిర్ధారితమైంది. |
ప్రశ్న 4
14 మరియు 21ల గ.సా.భా. (HCF) కనుగొనండి.
A. 7
B. 10
C. 14
D. 6
సరైన సమాధానం: A
పరిష్కారం 14 = 2 × 7. 21 = 3 × 7. ఉమ్మడి ప్రధాన కారకం 7 మాత్రమే. కాబట్టి HCF(14,21) = 7. |
ప్రశ్న 5
ఒక పార్కింగ్ గ్యారేజీ, పార్కింగ్ స్థాయి సంఖ్యను ఘాతంగా తీసుకుని టికెట్ నంబర్‌ను 76^(స్థాయి సంఖ్య)గా ఇస్తుంది. 25వ స్థాయికి, టికెట్ నంబర్ ఒకట్ల స్థానం అంకె ఏమిటి?
A. 6
B. 2
C. 4
D. 8
సరైన సమాధానం: A
పరిష్కారం 6తో అంతమయ్యే సంఖ్య ఏ ఘాతానికైనా ఎప్పుడూ 6తోనే అంతమవుతుంది. కాబట్టి ఒకట్ల స్థానం అంకె = 6. |
ప్రశ్న 6
ఒక సంఖ్యలో 4/9 వంతు, అదే సంఖ్యలో 1/10 వంతు కన్నా 31 ఎక్కువ. ఆ సంఖ్యలో 4/9 వంతు ఎంత?
A. 90
B. 40
C. 71
D. 9
సరైన సమాధానం: B
పరిష్కారం సంఖ్య x అనుకుందాం. (4/9)x − (1/10)x = 31 ⇒ (31/90)x = 31 ⇒ x = 90. తనిఖీ: 4/9×90=40, 1/10×90=9, తేడా=31. కాబట్టి 4/9 వంతు = 40. (x=90ను నేరుగా సమాధానంగా ఇవ్వడం తప్పు — ప్రశ్న అడిగింది 4/9 వంతు గురించి.) |
ప్రశ్న 7
ఒక బాటిలింగ్ ప్లాంట్‌లో కొన్ని సాఫ్ట్ డ్రింక్ క్రేట్లు లోడ్ చేశారు. ఈ సంఖ్యను 17తో భాగిస్తే, భాగఫలం Q, శేషం 9 వస్తాయి. Qని 12తో భాగిస్తే, భాగఫలం 23, శేషం 7 వస్తాయి. అసలు సంఖ్య ఎంత?
A. 4820
B. 4811
C. 4819
D. 4701
సరైన సమాధానం: A
పరిష్కారం Q = (12×23)+7 = 276+7 = 283. అసలు సంఖ్య = (17×283)+9 = 4811+9 = 4820. |
ప్రశ్న 8
ఒక సంఖ్య N = 2^a × 3^b × 5కు సరిగ్గా 24 కారణాంకాలు ఉన్నాయి, దాని అన్ని కారణాంకాల మొత్తం 1170. N కనుగొనండి.
A. 300
B. 390
C. 360
D. 330
సరైన సమాధానం: C
పరిష్కారం కారణాంకాల సంఖ్య: (a+1)(b+1)(2)=24 ⇒ (a+1)(b+1)=12. a+1=4,b+1=3 ⇒ a=3,b=2: N=2³×3²×5=360. కారణాంకాల మొత్తం తనిఖీ: sigma(8)×sigma(9)×sigma(5)=15×13×6=1170, సరిపోతుంది. కాబట్టి N=360. |
ప్రశ్న 9
ఒక సంఖ్యను దాని 7/9 వంతుతో పెంచారు. వచ్చిన ఫలితాన్ని దాని 3/8 వంతుతో తగ్గించారు. చివరి ఫలితం అసలు సంఖ్య కన్నా 34 ఎక్కువ. అసలు సంఖ్య ఎంత?
A. 544
B. 340
C. 306
D. 34
సరైన సమాధానం: C
పరిష్కారం అసలు సంఖ్య x అనుకుందాం. 7/9 వంతుతో పెంచితే: x(1+7/9)=16/9x. దీన్ని 3/8 వంతుతో తగ్గిస్తే: 16/9x×(1−3/8)=10/9x. షరతు: 10/9x−x=34 ⇒ x/9=34 ⇒ x=306. |
ప్రశ్న 10
ఒక సంఖ్యను 150% పెంచితే 14250 వస్తుంది. ఆ సంఖ్య ఎంత?
A. 5700
B. 5720
C. 14100
D. 5680
సరైన సమాధానం: A
పరిష్కారం సంఖ్య x అనుకుందాం. 150% పెంచితే: x×(250/100)=(5/2)x=14250 ⇒ x=14250×100/250=5700. |
ప్రశ్న 11
ఒక ప్రింటింగ్ ప్రెస్ ప్రతి బ్రోచర్‌పై బ్యాచ్ నంబర్‌కు సమానమైన ఘాతంతో 47ను వెరిఫికేషన్ కోడ్‌గా ముద్రిస్తుంది. బ్యాచ్ నంబర్ 83కు, వెరిఫికేషన్ కోడ్ ఒకట్ల స్థానం అంకె ఏమిటి?
A. 9
B. 7
C. 3
D. 1
సరైన సమాధానం: C
పరిష్కారం 47 ఘాతాల ఒకట్ల స్థానం, దాని మూల అంకె 7 పైనే ఆధారపడుతుంది. 7 చక్రం: 7,9,3,1 (కాలం 4). 83=4×20+3 ⇒ చక్రంలో 3వ స్థానం = 3. కాబట్టి ఒకట్ల స్థానం = 3. |
ప్రశ్న 12
ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార మైదానం 480 మీ × 360 మీ ఉంది. దాని చుట్టూ సమాన దూరాల్లో చెట్లు నాటాలి, ప్రతి మూలలో ఒక చెట్టు ఉండాలి, చెట్ల మధ్య దూరం వీలైనంత ఎక్కువ ఉండాలి. మొత్తం ఎన్ని చెట్లు కావాలి?
A. 13
B. 12
C. 14
D. 16
సరైన సమాధానం: C
పరిష్కారం గరిష్ఠ దూరం = HCF(480,360). 480=2⁵×3×5, 360=2³×3²×5. ఉమ్మడి కారకాలు: 2³×3×5=120 మీ. మైదానం చుట్టుకొలత = 2×(480+360)=1680 మీ. చెట్ల సంఖ్య = 1680÷120 = 14. |
ప్రశ్న 13
ఒక మూడంకెల సంఖ్య అంకెల మొత్తం 16. వందల స్థానం, ఒకట్ల స్థానం కన్నా 4 ఎక్కువ. అంకెలను తారుమారు చేస్తే సంఖ్య 396తో తగ్గుతుంది. పదుల స్థానం 4 అయితే, అసలు సంఖ్య ఏమిటి?
A. 862
B. 844
C. 826
D. 835
సరైన సమాధానం: B
పరిష్కారం వందల స్థానం h, పదుల స్థానం t=4, ఒకట్ల స్థానం u అనుకుందాం. N−తారుమారు(N)=99(h−u)=396 ⇒ h−u=4. అలాగే h+t+u=16 ⇒ h+u=12. h−u=4, h+u=12ని కలిపి పరిష్కరిస్తే: 2h=16, h=8, u=4. సంఖ్య=844. తనిఖీ: 8+4+4=16, 8−4=4, తారుమారు=448, 844−448=396. |
ప్రశ్న 14
ఒక వర్తకుడి వద్ద 495 సెం.మీ మరియు 693 సెం.మీ పొడవున్న రెండు తాళ్ళు ఉన్నాయి. రెండింటినీ సమాన పొడవు గల ముక్కలుగా, ఏమీ మిగలకుండా, వీలైనంత పొడవైన ముక్కలుగా కత్తిరించాలి. యూక్లిడ్ భాగహార పద్ధతిని ఉపయోగించి, ప్రతి ముక్క పొడవు ఎంత?
A. 33
B. 99
C. 63
D. 77
సరైన సమాధానం: B
పరిష్కారం కావలసిన పొడవు 495, 693ల గ.సా.భా. యూక్లిడ్ పద్ధతి: 693=1×495+198; 495=2×198+99; 198=2×99+0. కాబట్టి HCF=99 సెం.మీ. |