వాస్తవ సంఖ్యలు, ఘాతాంకాలు మరియు సంవర్గమానాలు
గుర్తుంచుకోవాల్సినవి
- ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య అకరణీయం లేదా కరణీయం అయి ఉంటుంది. అకరణీయ సంఖ్యను p/q (q ≠ 0) గా రాయవచ్చు; దాని దశాంశ రూపం అంతమవుతుంది లేదా ఆవర్తనమవుతుంది. కరణీయ సంఖ్య దశాంశ రూపం అంతం కాదు, ఆవర్తనం కాదు.
- అత్యల్ప రూపంలో ఉన్న భిన్నం p/q కు, q కి 2, 5 తప్ప వేరే అభాజ్య కారణాంకం లేకపోతేనే అంతమయ్యే దశాంశం వస్తుంది. q లో మరేదైనా అభాజ్య కారణాంకం ఉంటే అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశం వస్తుంది.
- ఘాతాంక నియమాలు, సంవర్గమాన నియమాలు ఒకే భావనకు రెండు రూపాలు. a^x = N అంటే log_a N = x. లబ్ధం మొత్తంగా, భాగఫలం భేదంగా, ఘాతం గుణకంగా మారుతుంది.
సంఖ్యా కుటుంబం
సహజ సంఖ్యలు N = 1, 2, 3, …. పూర్ణ సంఖ్యలు W = 0, 1, 2, …. పూర్ణాంకాలు Z = …, −2, −1, 0, 1, 2, …. అకరణీయ సంఖ్యలు Q అంటే p, q పూర్ణాంకాలు, q ≠ 0 అయిన p/q రూపంలోని అన్ని సంఖ్యలు. కరణీయ సంఖ్యలు అంటే అకరణీయం కాని వాస్తవ సంఖ్యలు. వాస్తవ సంఖ్యలు R = అకరణీయ సంఖ్యలు, కరణీయ సంఖ్యలు కలిసి. ప్రతి సమితి తర్వాతి సమితిలో ఇమిడి ఉంటుంది: N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
| రకం | అర్థం | ఉదాహరణలు |
|---|---|---|
| సహజ | లెక్కించే సంఖ్యలు | 1, 2, 3 |
| పూర్ణ | సహజ సంఖ్యలు మరియు సున్నా | 0, 1, 2 |
| పూర్ణాంకం | పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు వాటి రుణ సంఖ్యలు | −3, 0, 5 |
| అకరణీయ | p/q, q ≠ 0 | 3/4, −7, 0.25, 0.333… |
| కరణీయ | p/q గా రాయలేనివి | √2, √3, π |
| వాస్తవ | అకరణీయ, కరణీయ సంఖ్యలు కలిసి | సంఖ్యా రేఖపై ప్రతి బిందువు |
ఏ రెండు వాస్తవ సంఖ్యల మధ్యనైనా అనంతమైన అకరణీయ సంఖ్యలు, అనంతమైన కరణీయ సంఖ్యలు ఉంటాయి. ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య సంఖ్యా రేఖపై సరిగ్గా ఒక బిందువుకు సరిపోతుంది, ప్రతి బిందువు ఒక వాస్తవ సంఖ్యకు సరిపోతుంది.
యూక్లిడ్ భాగహార శేష సిద్ధాంతం మరియు మౌలిక సిద్ధాంతం
ధన పూర్ణాంకాలు a, b లకు a = bq + r అయ్యేలా, 0 ≤ r < b తో, ఏకైక పూర్ణాంకాలు q, r ఉంటాయి. ఈ దశను పునరావృతం చేస్తూ, భాజకాన్ని కొత్త భాజ్యంగా తీసుకుంటే గ.సా.భ. (HCF) వస్తుంది. సున్నా కాని చివరి భాజకమే గ.సా.భ. (యూక్లిడ్ భాగహార అల్గారిథం).
సాధించిన ఉదాహరణ: 96, 404 ల గ.సా.భ. 404 = 96 × 4 + 20. 96 = 20 × 4 + 16. 20 = 16 × 1 + 4. 16 = 4 × 4 + 0. గ.సా.భ. 4.
అంకగణిత మౌలిక సిద్ధాంతం ప్రకారం ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను అభాజ్య సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయవచ్చు, కారణాంకాల క్రమాన్ని పక్కనపెడితే ఈ లబ్ధం ఏకైకం. దీన్ని గ.సా.భ., క.సా.గు. (LCM) లకు వాడండి: గ.సా.భ. లో ప్రతి ఉమ్మడి అభాజ్య సంఖ్య యొక్క చిన్న ఘాతం తీసుకుంటారు; క.సా.గు. లో కనిపించే ప్రతి అభాజ్య సంఖ్య యొక్క పెద్ద ఘాతం తీసుకుంటారు. రెండు ధన పూర్ణాంకాలు a, b లకు: గ.సా.భ.(a, b) × క.సా.గు.(a, b) = a × b. ఈ నియమం రెండు సంఖ్యలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది, మూడింటికి కాదు.
కరణీయ సంఖ్యలు
p/q గా రాయలేని సంఖ్య కరణీయం. ఏ అభాజ్య సంఖ్య వర్గమూలమైనా కరణీయం, కాబట్టి √2, √3, √5, √7 కరణీయాలు. √16 = 4 వంటి పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్య వర్గమూలం అకరణీయం. √2 కరణీయమని నిరూపణ విరోధాభాసం (contradiction) ద్వారా జరుగుతుంది: √2 = p/q అత్యల్ప రూపంలో ఉంటే p² = 2q², అప్పుడు 2 చే p భాగించబడుతుంది, తర్వాత 2 చే q కూడా భాగించబడుతుంది, ఇది "అత్యల్ప రూపం" అనే దానికి విరుద్ధం.
గుర్తుంచుకోవాల్సిన నియమాలు:
- అకరణీయం + కరణీయం = కరణీయం. సున్నా కాని అకరణీయం × కరణీయం = కరణీయం. కాబట్టి 3 + √2, 5√3 కరణీయాలు.
- రెండు కరణీయాల మొత్తం, భేదం, లబ్ధం లేదా భాగఫలం అకరణీయం కావచ్చు: √2 × √2 = 2 మరియు (3 + √2)(3 − √2) = 7.
- కాబట్టి "రెండు కరణీయాల మొత్తం కరణీయం" అనేది సాధారణంగా తప్పు.
- π కరణీయం. భిన్నం 22/7 కేవలం దానికి దగ్గరి అకరణీయ ఉజ్జాయింపు.
హేతుబద్ధీకరణ: 1/(√a + √b) = (√a − √b)/(a − b). √a + √b కు సంయుగ్మం √a − √b.
తరగతి గది కోణం: రెండు లంబ భుజాలు 1 యూనిట్ ఉన్న లంబకోణ త్రిభుజం గీసి √2 ను సంఖ్యా రేఖపై చూపండి; కర్ణం √2. తర్వాత కంపాస్‌తో దాన్ని రేఖపై గుర్తించండి. 22/7 అంటే π అని విద్యార్థులు తరచూ నమ్ముతారు, దీన్ని నేరుగా చర్చించండి.
దశాంశ వ్యాకోచాలు
అత్యల్ప రూపంలో ఉన్న అకరణీయ సంఖ్య p/q దశాంశ వ్యాకోచం అంతమయ్యేది, q = 2^m × 5^n (m, n పూర్ణ సంఖ్యలు) అయినప్పుడు మాత్రమే. లేకపోతే వ్యాకోచం అంతం కాని ఆవర్తన (recurring) దశాంశం. అంతం కాని, ఆవర్తనం కాని వ్యాకోచం ఉంటే ఆ సంఖ్య కరణీయం.
| సంఖ్య | దశాంశ రూపం | రకం |
|---|---|---|
| 7/8 | 0.875 | అంతమయ్యేది (q = 2³) |
| 3/20 | 0.15 | అంతమయ్యేది (q = 2² × 5) |
| 1/3 | 0.333… | ఆవర్తనం |
| 1/7 | 0.142857142857… | ఆవర్తనం, 6 అంకెల బ్లాక్ |
| √2 | 1.41421356… | అంతం కాదు, ఆవర్తనం కాదు |
| 0.1010010001… | పెరుగుతున్న ఖాళీలతో నమూనా | కరణీయం |
ఆవర్తన దశాంశాన్ని p/q గా మార్చడం: x = 0.777… అనుకుంటే 10x = 7.777…; తీసివేస్తే 9x = 7, కాబట్టి x = 7/9. రెండు అంకెలు ఆవర్తనమైతే 100 తో గుణించండి. 0.999… = 1 ఖచ్చితంగా అని గమనించండి, ఎందుకంటే 9x = 9 అయితే x = 1.
ఘాతాంక నియమాలు
a > 0 మరియు వాస్తవ లేదా అకరణీయ m, n లకు:
| నియమం | ప్రవచనం |
|---|---|
| లబ్ధం | a^m × a^n = a^(m+n) |
| భాగఫలం | a^m ÷ a^n = a^(m−n) |
| ఘాతం యొక్క ఘాతం | (a^m)^n = a^(mn) |
| లబ్ధం యొక్క ఘాతం | (ab)^n = a^n × b^n |
| భాగఫలం యొక్క ఘాతం | (a/b)^n = a^n / b^n |
| సున్నా ఘాతాంకం | a^0 = 1 (a ≠ 0) |
| రుణ ఘాతాంకం | a^(−n) = 1/a^n |
| భిన్న ఘాతాంకం | a^(m/n) = (a యొక్క n వ మూలం)^m |
ఉదాహరణలు: 27^(2/3) = (3)² = 9. 16^(3/4) = 2³ = 8. 8^(−1/3) = 1/2. 2^5 × 2^3 = 2^8 = 256. పోల్చే ముందు ఎల్లప్పుడూ ఒకే ఆధారానికి మార్చండి: 4^x = 32 అంటే 2^(2x) = 2^5, కాబట్టి x = 5/2. a^m + a^n ను ఏ నియమమూ సరళం చేయలేదని, (a + b)^n అంటే a^n + b^n కాదని గమనించండి.
సంవర్గమానాలు
నిర్వచనం: a^x = N (a > 0, a ≠ 1, N > 0) అయితే log_a N = x. ఆధారం 1 కాకూడదు, సంఖ్య ధనాత్మకంగా ఉండాలి. ఆధారం 10 అయితే సాధారణ సంవర్గమానం; ఆధారం e అయితే సహజ సంవర్గమానం.
| నియమం | ప్రవచనం |
|---|---|
| లబ్ధం | log_a(mn) = log_a m + log_a n |
| భాగఫలం | log_a(m/n) = log_a m − log_a n |
| ఘాతం | log_a(m^n) = n log_a m |
| ఆధార మార్పు | log_a b = log_c b / log_c a |
| విలోమం | log_a b × log_b a = 1 |
| ప్రత్యేక విలువలు | log_a 1 = 0 మరియు log_a a = 1 |
ఉదాహరణలు: log_2 32 = 5, ఎందుకంటే 2^5 = 32. log_3 81 = 4. log_10 0.001 = −3. log_5 (1/25) = −2. log 2 + log 5 = log 10 = 1 (ఆధారం 10). log_x 64 = 3 అయితే x³ = 64, x = 4. అలాగే a^(log_a N) = N.
మరిన్ని సాధించిన ఉదాహరణలు: లబ్ధ నియమంతో log 8 + log 125 (ఆధారం 10) ను సరళీకరించండి: log (8 × 125) = log 1000 = 3. 2^(x+1) = 32 సాధించండి: 32 = 2^5 అని రాయండి, కాబట్టి x + 1 = 5, x = 4. (3 + √2)(3 − √2) = 9 − 2 = 7 విలువ కనుగొనండి. 12, 18 ల గ.సా.భ., క.సా.గు. కనుగొనండి: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², కాబట్టి గ.సా.భ. = 2 × 3 = 6, క.సా.గు. = 2² × 3² = 36; సరిచూడండి 6 × 36 = 216 = 12 × 18.
తరగతి గది కోణం: తీసివేత కూడికను రద్దు చేసినట్లే, సంవర్గమానాలను ఘాతాంకాల "విలోమం"గా పరిచయం చేయండి. 2 యొక్క ఘాతాలను వాటి ఘాతాంకాలతో జతచేసే పట్టిక నియమాలను అర్థం చేసుకోవడానికి విద్యార్థులకు సహాయపడుతుంది.
పరీక్షలో పొరపాట్లు
- 22/7 మరియు π: 22/7 అకరణీయం; π కరణీయం.
- √16 మరియు √2: √16 = 4 అకరణీయం, √2 కరణీయం. పరిపూర్ణ వర్గాలు కాని వాటి మూలాలు మాత్రమే కరణీయాలు.
- కరణీయాల మొత్తం: అకరణీయం కావచ్చు (√2 + (−√2) = 0), కాబట్టి సాధారణ నియమం లేదు.
- 0.333… మరియు 0.101001…: మొదటిది ఆవర్తనం, అకరణీయం; రెండోది పెరిగే నమూనా కలిగి కరణీయం.
- 1/12 మరియు 1/20: 12 లో కారణాంకం 3 ఉంది, కాబట్టి 1/12 అంతం కాదు; 20 = 2² × 5, కాబట్టి 1/20 = 0.05 అంతమవుతుంది. ముందు అత్యల్ప రూపాన్ని చూడండి.
- గ.సా.భ. × క.సా.గు. నియమం: రెండు సంఖ్యలకు మాత్రమే చెల్లుతుంది.
- (a + b)^n: a^n + b^n కాదు. అలాగే log(m + n) అంటే log m + log n కాదు.
- log(m^n): n log m కు సమానం, (log m)^n కాదు, log m + n కాదు.
ఒక్క వాక్యంలో
- 1. ప్రతి పూర్ణాంకం అకరణీయ సంఖ్య, ఎందుకంటే n = n/1.
- 2. సున్నా పూర్ణ సంఖ్య మరియు పూర్ణాంకం, కానీ సహజ సంఖ్య కాదు.
- 3. యూక్లిడ్ శేష సిద్ధాంతం: a = bq + r, 0 ≤ r < b.
- 4. యూక్లిడ్ అల్గారిథంలో సున్నా కాని చివరి శేష-భాజకమే గ.సా.భ.
- 5. గ.సా.భ. × క.సా.గు. = రెండు సంఖ్యల లబ్ధం.
- 6. అభాజ్య సంఖ్య వర్గమూలం కరణీయం.
- 7. అంతమయ్యే దశాంశానికి అత్యల్ప రూపంలో హారం 2^m 5^n.
- 8. 0.999… = 1.
- 9. a ≠ 0 కు a^0 = 1, మరియు a^(−n) = 1/a^n.
- 10. log_a 1 = 0 మరియు log_a a = 1.
- 11. log_a(mn) = log_a m + log_a n; log_a(m/n) = log_a m − log_a n.
- 12. log_a b × log_b a = 1.
సాధన ప్రశ్నలు
ఒక అకరణీయ సంఖ్య దశాంశ రూపం
- ఎల్లప్పుడూ అంతమయ్యేది
- ఎల్లప్పుడూ అంతం కాని, పునరావృతం కాని దశాంశం
- అంతమయ్యేది లేదా అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశం
- ఒకేసారి అంతమయ్యేది మరియు ఆవర్తనమైనది
సమాధానం
C. అంతమయ్యేది లేదా అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశం
The decimal expansion of a rational number is
- always terminating
- always non-terminating and non-repeating
- either terminating or non-terminating repeating
- terminating and repeating at once
క్రింది వాటిలో కరణీయ (అకరణీయం కాని) సంఖ్య ఏది?
- 0.333…
- 7/8
- √25
- √2
సమాధానం
D. √2
Which of the following numbers is irrational?
- 0.333…
- 7/8
- √25
- √2
యూక్లిడ్ భాగహార శేష నియమం a = bq + r లో శేషం r తృప్తిపరచే నియమం
- 0 < r ≤ b
- 0 ≤ r < b
- b < r < 2b
- 0 ≤ r ≤ b
సమాధానం
B. 0 ≤ r < b
In Euclid's division lemma a = bq + r, the remainder r satisfies
- 0 < r ≤ b
- 0 ≤ r < b
- b < r < 2b
- 0 ≤ r ≤ b
log_a(mn) విలువ
- log_a m + log_a n
- log_a m × log_a n
- log_a m ÷ log_a n
- log_a m − log_a n
సమాధానం
A. log_a m + log_a n
log_a(mn) is equal to
- log_a m + log_a n
- log_a m × log_a n
- log_a m ÷ log_a n
- log_a m − log_a n
7^0 విలువ
- 0
- 1
- 7
- నిర్వచించబడదు
సమాధానం
B. 1
The value of 7^0 is
- 0
- 1
- 7
- Not defined
రెండు సంఖ్ల గ.సా.భా. 6, క.సా.గు. 84. వాటిలో ఒక సంఖ్య 12 అయితే రెండవ సంఖ్య
- 72
- 84
- 42
- 36
సమాధానం
C. 42
The HCF of two numbers is 6 and their LCM is 84. If one number is 12, the other is
- 72
- 84
- 42
- 36
log_2 32 విలువ
- 4
- 6
- 16
- 5
సమాధానం
D. 5
The value of log_2 32 is
- 4
- 6
- 16
- 5
log_10 0.001 విలువ
- 3
- −2
- −4
- −3
సమాధానం
D. −3
The value of log_10 0.001 is
- 3
- −2
- −4
- −3
2 మరియు √3 ల లబ్ధం
- ఒక కరణీయ సంఖ్య
- ఒక పూర్ణ సంఖ్య
- ఒక పూర్ణాంకం
- ఒక అకరణీయ సంఖ్య
సమాధానం
A. ఒక కరణీయ సంఖ్య
The product of 2 and √3 is
- an irrational number
- a whole number
- an integer
- a rational number
7/8 దశాంశ రూపం
- 0.785
- 0.78
- 0.875
- 0.875875…
సమాధానం
C. 0.875
The decimal expansion of 7/8 is
- 0.785
- 0.78
- 0.875
- 0.875875…
1/7 దశాంశ రూపం
- అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశం
- అంతం కాని, ఆవర్తనం కాని దశాంశం
- అంతమయ్యే దశాంశం
- 6 అంకెల తర్వాత అంతమయ్యే దశాంశం
సమాధానం
A. అంతం కాని ఆవర్తన దశాంశం
The decimal expansion of 1/7 is
- non-terminating and repeating
- non-terminating and non-repeating
- terminating
- terminating after 6 digits
ఏ భిన్నానికి అంతమయ్యే దశాంశ రూపం ఉంటుంది?
- 17/6
- 13/3125
- 29/343
- 11/30
సమాధానం
B. 13/3125
Which fraction has a terminating decimal expansion?
- 17/6
- 13/3125
- 29/343
- 11/30
0.999… విలువ
- 1
- 0.9
- 1 కంటే కొంచెం తక్కువ
- 10
సమాధానం
A. 1
The value of 0.999… is
- 1
- 0.9
- just less than 1
- 10
2^5 × 2^3 విలువ
- 512
- 256
- 128
- 64
సమాధానం
B. 256
The value of 2^5 × 2^3 is
- 512
- 256
- 128
- 64
(2^3)^2 విలువ
- 12
- 128
- 32
- 64
సమాధానం
D. 64
The value of (2^3)^2 is
- 12
- 128
- 32
- 64
27^(2/3) విలువ
- 18
- 3
- 81
- 9
సమాధానం
D. 9
The value of 27^(2/3) is
- 18
- 3
- 81
- 9
16^(3/4) విలువ
- 8
- 12
- 4
- 64
సమాధానం
A. 8
The value of 16^(3/4) is
- 8
- 12
- 4
- 64
8^(−1/3) విలువ
- −2
- 1/2
- 2
- −1/2
సమాధానం
B. 1/2
The value of 8^(−1/3) is
- −2
- 1/2
- 2
- −1/2
log_3 81 విలువ
- 3
- 9
- 4
- 27
సమాధానం
C. 4
The value of log_3 81 is
- 3
- 9
- 4
- 27
log 2 + log 5 (ఆధారం 10) విలువ
- 7
- 10
- 0
- 1
సమాధానం
D. 1
The value of log 2 + log 5 (base 10) is
- 7
- 10
- 0
- 1
log_x 64 = 3 అయితే x విలువ
- 4
- 8
- 16
- 2
సమాధానం
A. 4
If log_x 64 = 3, then x is
- 4
- 8
- 16
- 2
యూక్లిడ్ అల్గారిథం ఉపయోగించి 96, 404 ల గ.సా.భా.
- 2
- 4
- 8
- 12
సమాధానం
B. 4
Using Euclid's algorithm, the HCF of 96 and 404 is
- 2
- 4
- 8
- 12
అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం ప్రకారం ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధంగా రాసే విధానం
- క్రమంతో సహా ఏకైకం
- ఒకటి కంటే ఎక్కువ విధాలుగా సాధ్యం
- కారణాంకాల క్రమం తప్ప ఏకైకం
- సరిసంఖ్యలకు మాత్రమే సాధ్యం
సమాధానం
C. కారణాంకాల క్రమం తప్ప ఏకైకం
The fundamental theorem of arithmetic states that every composite number can be written as a product of primes in a way that is
- unique including the order
- possible in more than one way
- unique apart from the order of factors
- possible only for even numbers
(3 + √2)(3 − √2) విలువ
- 11
- 9 − √2
- 3
- 7
సమాధానం
D. 7
The value of (3 + √2)(3 − √2) is
- 11
- 9 − √2
- 3
- 7
1/(√3 + √2) ను అకరణీయ హారంగా మారిస్తే వచ్చే ఫలితం
- √3 − √2
- √3 + √2
- 1
- √6
సమాధానం
A. √3 − √2
On rationalising 1/(√3 + √2) the result is
- √3 − √2
- √3 + √2
- 1
- √6
2^(x+1) = 32 అయితే x విలువ
- 5
- 4
- 3
- 6
సమాధానం
B. 4
If 2^(x+1) = 32, then x is
- 5
- 4
- 3
- 6
log_5 (1/25) విలువ
- 2
- −5
- −2
- 1/2
సమాధానం
C. −2
The value of log_5 (1/25) is
- 2
- −5
- −2
- 1/2
సంఖ్యారేఖపై √2 ను చూపడానికి ఉపాధ్యాయుడు ప్రతి భుజం 1 యూనిట్ గల లంబకోణ త్రిభుజాన్ని గీస్తాడు. కర్ణం √2 అవడానికి కారణం
- శేష సిద్ధాంతం
- కారణాంక సిద్ధాంతం
- పైథాగరస్ సిద్ధాంతం
- యూక్లిడ్ భాగహార శేష నియమం
సమాధానం
C. పైథాగరస్ సిద్ధాంతం
To show √2 on the number line, a teacher draws a right triangle whose legs are each 1 unit. The hypotenuse is √2 because of
- the remainder theorem
- the factor theorem
- the Pythagoras theorem
- Euclid's division lemma
12, 18 ల క.సా.గు.
- 216
- 6
- 36
- 72
సమాధానం
C. 36
The LCM of 12 and 18 is
- 216
- 6
- 36
- 72
log_2 8 × log_8 2 విలువ
- 3
- 1
- 1/3
- 8
సమాధానం
B. 1
The value of log_2 8 × log_8 2 is
- 3
- 1
- 1/3
- 8
1 మరియు 2 ల మధ్య ఉన్న అకరణీయ సంఖ్యల సంఖ్య
- అనంతం
- పది
- ఒకటి
- సున్నా
సమాధానం
A. అనంతం
The number of rational numbers between 1 and 2 is
- infinite
- ten
- one
- zero
అత్యల్ప రూపంలో ఉన్న భిన్నం p/q కి అంతమయ్యే దశాంశ రూపం ఉంది. q ఏది కావచ్చు?
- 21
- 30
- 66
- 160
సమాధానం
D. 160
A fraction p/q in lowest terms has a terminating decimal form. Which could q be?
- 21
- 30
- 66
- 160
log 8 + log 125 (ఆధారం 10) యొక్క సరళ రూపం
- 3
- 2
- 1000
- 13
సమాధానం
A. 3
The simplest form of log 8 + log 125 (base 10) is
- 3
- 2
- 1000
- 13
log_9 3 విలువ
- 2
- 1/2
- 3
- 1/3
సమాధానం
B. 1/2
The value of log_9 3 is
- 2
- 1/2
- 3
- 1/3
0.1010010001… (1ల మధ్య ఖాళీలు పెరుగుతూ పోతాయి) సంఖ్య
- పూర్ణాంకం
- ఆవర్తన దశాంశం
- అకరణీయ సంఖ్య
- కరణీయ సంఖ్య
సమాధానం
D. కరణీయ సంఖ్య
The number 0.1010010001… (gaps between the 1s keep growing) is
- an integer
- a recurring decimal
- rational
- irrational
x = 0.777… అయితే x ను భిన్నంగా రాస్తే
- 77/100
- 7/99
- 7/9
- 7/10
సమాధానం
C. 7/9
If x = 0.777…, then x as a fraction is
- 77/100
- 7/99
- 7/9
- 7/10
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. ప్రతి పూర్ణాంకం ఒక అకరణీయ సంఖ్య. 2. ప్రతి అకరణీయ సంఖ్య ఒక పూర్ణాంకం.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. Every integer is a rational number. 2. Every rational number is an integer.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. π ఒక కరణీయ సంఖ్య. 2. 22/7 అనేది π కి ఖచ్చితంగా సమానం.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. π is an irrational number. 2. 22/7 is exactly equal to π.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. రెండు కరణీయ సంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ కరణీయమే. 2. సున్నా కాని అకరణీయ సంఖ్య, కరణీయ సంఖ్యల లబ్ధం కరణీయమే.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Consider the statements: 1. The sum of two irrational numbers is always irrational. 2. The product of a non-zero rational number and an irrational number is irrational.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. log_a(m/n) = log_a m − log_a n. 2. log_a(m^n) = log_a m + n.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. log_a(m/n) = log_a m − log_a n. 2. log_a(m^n) = log_a m + n.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. సరైన ఆధారం a కు log_a 1 = 0. 2. సరైన ఆధారం a కు log_a a = 1.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Consider the statements: 1. log_a 1 = 0 for a valid base a. 2. log_a a = 1 for a valid base a.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. √9 ఒక కరణీయ సంఖ్య. 2. 0.1212… దశాంశం ఒక అకరణీయ సంఖ్య.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Consider the statements: 1. √9 is an irrational number. 2. The decimal 0.1212… is a rational number.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. సంవర్గమానం (లాగరిథమ్) ఆధారం 1 కావచ్చు. 2. log_a m ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య m కు నిర్వచించబడుతుంది.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
D. 1 లేదా 2 కాదు
Consider the statements: 1. The base of a logarithm can be 1. 2. log_a m is defined for every real number m.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. 2√3 కరణీయం. 2. √2 × √8 అకరణీయం.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Consider the statements: 1. 2√3 is irrational. 2. √2 × √8 is rational.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. 1/20 కి అంతమయ్యే దశాంశ రూపం ఉంది. 2. 1/12 కి అంతమయ్యే దశాంశ రూపం ఉంది.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. 1/20 has a terminating decimal expansion. 2. 1/12 has a terminating decimal expansion.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2