←
స్కూల్ అసిస్టెంట్లు మరియు TET పేపర్ 2A కోసం గణితం (VI-X తరగతులు) · Chapter 2

సమితులు మరియు వెన్ చిత్రాలు

గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

  • సమితి అంటే చక్కగా నిర్వచించబడిన, భిన్నమైన వస్తువుల సముదాయం. "చక్కగా నిర్వచించబడిన" అంటే ఏ వస్తువైనా దానికి చెందుతుందో లేదో స్పష్టంగా చెప్పగలగడం. "తరగతిలోని పొడవైన విద్యార్థులు" సమితి కాదు; "150 cm కంటే పొడవైన విద్యార్థులు" సమితి.
  • ప్రతి సమితి సమస్యకూ నాలుగు ప్రక్రియలు ఆధారం: సమ్మేళనం (A ∪ B), ఛేదనం (A ∩ B), భేదం (A − B), పూరకం (A′). వెన్ చిత్రాలు వీటిని రంగు వేసిన ప్రాంతాలుగా చూపుతాయి.
  • n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) అనే లెక్కింపు సూత్రం చాలా పద వ్యాసాలను సాధిస్తుంది. n మూలకాలున్న సమితికి ఉపసమితుల సంఖ్య 2^n.

ప్రాథమిక భావనలు మరియు సంజ్ఞామానం

సమితిని పెద్ద అక్షరాలతో, దాని సభ్యులను (మూలకాలను) కర్లీ బ్రాకెట్లలో రాస్తారు. "x, A కి చెందుతుంది" అని x ∈ A గా, "x, A కి చెందదు" అని x ∉ A గా రాస్తాం. సమితిని వివరించడానికి మూడు పద్ధతులున్నాయి.

పద్ధతిఅచ్చుల సమితికి ఉదాహరణ
రోస్టర్ (పట్టిక) రూపంA = {a, e, i, o, u}
సమితి నిర్మాణ రూపంA = {x : x ఆంగ్లంలో అచ్చు}
వెన్ చిత్రంమూసిన వక్రం లోపల మూలకాలు

రోస్టర్ రూపంలో ప్రతి మూలకాన్ని ఒకసారే రాస్తారు, క్రమం ముఖ్యం కాదు. కాబట్టి {1, 2, 3}, {3, 1, 2} ఒకే సమితి, {1, 1, 2} అంటే {1, 2} మాత్రమే.

ప్రామాణిక సంఖ్యా సమితులు: N (సహజ), W (పూర్ణ), Z (పూర్ణాంకాలు), Q (అకరణీయ), R (వాస్తవ). చిహ్నం ϕ లేదా { } ఖాళీ సమితిని సూచిస్తుంది.

సమితుల రకాలు

  • ఖాళీ (శూన్య) సమితి: మూలకం లేనిది, ϕ. ఉదాహరణ: 23, 29 మధ్య అభాజ్య సంఖ్యల సమితి. {0} ఖాళీ కాదని గమనించండి; దానికి ఒక మూలకం ఉంది.
  • ఏకాంశ సమితి: సరిగ్గా ఒకే మూలకం ఉన్నది, ఉదా. {5}.
  • పరిమిత సమితి: మూలకాలను లెక్కించవచ్చు, లెక్కింపు ఆగిపోతుంది. అనంత సమితి: లెక్కింపు ఎప్పటికీ ఆగదు, ఉదా. సహజ సంఖ్యల సమితి.
  • సమాన సమితులు: A, B రెండింటికీ సరిగ్గా ఒకే మూలకాలు ఉంటే A = B.
  • తుల్య సమితులు: మూలకాల సంఖ్య సమానం, n(A) = n(B), మూలకాలు వేరుగా ఉండవచ్చు.
  • వియుక్త సమితులు: ఉమ్మడి మూలకం లేనివి, కాబట్టి A ∩ B = ϕ.
  • సార్వత్రిక సమితి (U): చర్చలో ఉన్న అన్ని వస్తువులను కలిగిన సమితి. ఆ సమస్యలోని ప్రతి సమితి U కి ఉపసమితి.
  • ఉపసమితి: A లోని ప్రతి మూలకం B లో కూడా ఉంటే A ⊆ B. ఉచిత ఉపసమితి: A ⊆ B మరియు A ≠ B అయితే A ⊂ B.

ఉపసమితుల గురించి వాస్తవాలు: ఖాళీ సమితి ప్రతి సమితికి ఉపసమితి; ప్రతి సమితి తనకు తానే ఉపసమితి. ఘాత సమితి P(A) అంటే A యొక్క అన్ని ఉపసమితుల సమితి. n(A) = m అయితే n(P(A)) = 2^m, మరియు ఉచిత ఉపసమితుల సంఖ్య 2^m − 1. ఉదాహరణ: A = {1, 2, 3} కు 2³ = 8 ఉపసమితులు, 7 ఉచిత ఉపసమితులు.

బంధ సంఖ్య (cardinal number) n(A) అంటే పరిమిత సమితి A లోని మూలకాల సంఖ్య. ϕ యొక్క బంధ సంఖ్య 0.

సమితులపై ప్రక్రియలు

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} లో A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} కు:

ప్రక్రియఅర్థంఫలితం
సమ్మేళనం A ∪ BA లేదా B లేదా రెండింటిలో ఉన్న మూలకాలు{1, 2, 3, 4, 5, 6}
ఛేదనం A ∩ BA, B రెండింటిలో ఉన్న మూలకాలు{3, 4}
భేదం A − BA లో ఉండి B లో లేనివి{1, 2}
భేదం B − AB లో ఉండి A లో లేనివి{5, 6}
పూరకం A′U లో ఉండి A లో లేనివి{5, 6, 7, 8}
సౌష్ఠవ భేదంA, B లలో సరిగ్గా ఒక దానిలో ఉన్నవి{1, 2, 5, 6}

A − B, B − A సాధారణంగా వేరు వేరు అని గమనించండి. అలాగే A − B = A ∩ B′. సార్వత్రిక సమితి పూరకం ϕ, ϕ పూరకం U. ఏ సమితికైనా (A′)′ = A.

సమితుల నియమాలు

నియమంప్రవచనం
స్థిత్యంతర (Commutative)A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A
సహచర (Associative)(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); ∩ కు కూడా అంతే
విభాగ (Distributive)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
ఐడెంపోటెంట్A ∪ A = A; A ∩ A = A
తత్సమాంశ (Identity)A ∪ ϕ = A; A ∩ U = A
పూరకA ∪ A′ = U; A ∩ A′ = ϕ
డి మోర్గాన్(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′; (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

డి మోర్గాన్ నియమాలు మాటల్లో: సమ్మేళనం యొక్క పూరకం పూరకాల ఛేదనం; ఛేదనం యొక్క పూరకం పూరకాల సమ్మేళనం.

A ⊆ B అయితే A ∪ B = B మరియు A ∩ B = A.

వెన్ చిత్రాలు

ఈ చిత్రాలను జాన్ వెన్ ప్రవేశపెట్టాడు. సార్వత్రిక సమితి U ని దీర్ఘచతురస్రంగా, ప్రతి సమితిని దాని లోపల వృత్తం లేదా మూసిన వక్రంగా గీస్తారు. రెండు వృత్తాలు అతివ్యాపనం చెందితే ఆ సమితులకు కొన్ని ఉమ్మడి మూలకాలు ఉన్నాయని అర్థం. వృత్తాలు దూరంగా గీస్తే సమితులు వియుక్తాలు. ఒక వృత్తం మరొక దాని లోపల ఉంటే అది ఉపసమితి.

రెండు సమితులు A, B లకు ప్రాంతాలు (మొత్తం నాలుగు): A మాత్రమే (A − B), B మాత్రమే (B − A), రెండూ (A ∩ B), ఏదీ కాదు (రెండు వృత్తాల వెలుపల, అంటే (A ∪ B)′). ఎల్లప్పుడూ లోపలి ప్రాంతమైన ఛేదనంతో మొదలుపెట్టి, తర్వాత బయటకు నింపండి.

లెక్కింపు సూత్రాలు

పరిమిత సమితులకు:

  • n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
  • A, B వియుక్తాలైతే n(A ∪ B) = n(A) + n(B).
  • n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B).
  • n(A′) = n(U) − n(A).
  • మూడు సమితులకు: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C).

సాధించిన ఉదాహరణ 1: 40 మంది విద్యార్థుల తరగతిలో 25 మంది క్రికెట్, 20 మంది కబడ్డీ ఆడతారు, 8 మంది రెండూ ఆడతారు. కనీసం ఒక ఆట ఆడే విద్యార్థులు = 25 + 20 − 8 = 37. ఏదీ ఆడని వారు = 40 − 37 = 3. క్రికెట్ మాత్రమే = 25 − 8 = 17.

సాధించిన ఉదాహరణ 2: n(A) = 12, n(B) = 9, n(A ∪ B) = 17 అయితే n(A ∩ B) = 12 + 9 − 17 = 4.

సాధించిన ఉదాహరణ 3: 60 మంది గుంపులో 35 మందికి టీ, 30 మందికి కాఫీ ఇష్టం, 10 మందికి ఏదీ ఇష్టం లేదు. కనీసం ఒకటి ఇష్టపడేవారు = 50. కాబట్టి రెండూ ఇష్టపడేవారు = 35 + 30 − 50 = 15.

తరగతి గది కోణం

విద్యార్థులు చూడగలిగే నిజమైన సముదాయాలతో మొదలుపెట్టండి: కళ్లద్దాలు ఉన్న విద్యార్థుల సమితి, పెన్సిల్ ఉన్న విద్యార్థుల సమితి. నేలపై గీసిన రెండు వలయాల్లో నిలబడనిచ్చి, అతివ్యాపనాన్ని ఛేదనంగా చూడనివ్వండి. "మంచి ఆటగాళ్ల సమితి" అనేది సమితి అనుకోవడం సాధారణ తప్పు; చక్కగా నిర్వచించబడిన సముదాయం అనే భావనపై ఒత్తిడి పెట్టండి. మరో తప్పు ϕ, {ϕ} లను ఒకటే అనుకోవడం; {ϕ} కు ఒక మూలకం ఉంది, కాబట్టి n({ϕ}) = 1.

పరీక్షలో పొరపాట్లు

  • ϕ మరియు {0}: ϕ కు మూలకం లేదు; {0} కు ఒక మూలకం ఉంది.
  • ϕ మరియు {ϕ}: n(ϕ) = 0 కానీ n({ϕ}) = 1, దాని ఘాత సమితికి 2 ఉపసమితులు ఉంటాయి.
  • ⊂ మరియు ∈: ∈ మూలకాన్ని సమితితో కలుపుతుంది; ⊂ సమితిని సమితితో కలుపుతుంది. కాబట్టి 2 ∈ {1, 2} కానీ {2} ⊂ {1, 2}.
  • సమాన మరియు తుల్య సమితులు: సమాన అంటే ఒకే మూలకాలు; తుల్య అంటే సంఖ్య మాత్రమే సమానం.
  • A − B మరియు B − A: ఇవి సాధారణంగా సమానం కావు.
  • ఉపసమితులు మరియు ఉచిత ఉపసమితులు: 2^n అన్ని ఉపసమితులను లెక్కిస్తుంది, 2^n − 1 ఉచిత ఉపసమితులను లెక్కిస్తుంది.
  • డి మోర్గాన్: పూరకం ∪ ను ∩ గా, ∩ ను ∪ గా మారుస్తుంది; అది కేవలం పంపిణీ కాదు.
  • పునరావృత మూలకాలు: {a, a, b} లో రెండు మూలకాలే ఉంటాయి.

ఒక్క వాక్యంలో

  • 1. సమితి అంటే చక్కగా నిర్వచించబడిన, భిన్నమైన వస్తువుల సముదాయం.
  • 2. సమితిలో క్రమం, పునరావృతం ముఖ్యం కాదు.
  • 3. ϕ ప్రతి సమితికి ఉపసమితి.
  • 4. n మూలకాలున్న సమితికి 2^n ఉపసమితులు.
  • 5. n మూలకాలున్న సమితికి 2^n − 1 ఉచిత ఉపసమితులు.
  • 6. A ∩ B = ϕ అంటే A, B వియుక్తాలు.
  • 7. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
  • 8. A − B = A ∩ B′.
  • 9. (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ మరియు (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′.
  • 10. A ∪ A′ = U మరియు A ∩ A′ = ϕ.
  • 11. A ⊆ B అయితే A ∪ B = B.
  • 12. వెన్ చిత్రాలు సమితులను U కోసం దీర్ఘచతురస్రం లోపల మూసిన వక్రాలుగా చూపుతాయి.

సాధన ప్రశ్నలు

  1. క్రింది వాటిలో చక్కగా నిర్వచించబడిన సమితి ఏది?

    1. ఒక దశాబ్దంలోని ఉత్తమ పాటలు
    2. అత్యంత అందమైన పువ్వులు
    3. ఒక పాఠశాలలోని ధైర్యవంతులైన విద్యార్థులు
    4. ఆంగ్ల వర్ణమాలలోని అచ్చులు
    సమాధానం

    D. ఆంగ్ల వర్ణమాలలోని అచ్చులు

    Which of the following is a well-defined set?

    1. The best songs of a decade
    2. The most beautiful flowers
    3. The brave students of a school
    4. The vowels of the English alphabet

  2. 4 మూలకాలు గల సమితికి ఎన్ని ఉపసమితులు ఉంటాయి?

    1. 8
    2. 4
    3. 15
    4. 16
    సమాధానం

    D. 16

    How many subsets does a set with 4 elements have?

    1. 8
    2. 4
    3. 15
    4. 16

  3. 3 మూలకాలు గల సమితికి ఎన్ని యథార్థ ఉపసమితులు ఉంటాయి?

    1. 8
    2. 6
    3. 3
    4. 7
    సమాధానం

    D. 7

    How many proper subsets does a set with 3 elements have?

    1. 8
    2. 6
    3. 3
    4. 7

  4. 23 మరియు 29 ల మధ్య ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యల సమితి

    1. అనంత సమితి
    2. శూన్య సమితి
    3. ఏకాంశ సమితి
    4. రెండు మూలకాలు గల సమితి
    సమాధానం

    B. శూన్య సమితి

    The set of prime numbers between 23 and 29 is

    1. an infinite set
    2. an empty set
    3. a singleton set
    4. a set with two elements

  5. {ϕ} సమితిలోని మూలకాల సంఖ్య

    1. 0
    2. 2
    3. 1
    4. నిర్వచించబడదు
    సమాధానం

    C. 1

    The number of elements in the set {ϕ} is

    1. 0
    2. 2
    3. 1
    4. Not defined

  6. A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} అయితే A ∩ B

    1. {1, 2}
    2. {3, 4}
    3. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    4. {5, 6}
    సమాధానం

    B. {3, 4}

    If A = {1, 2, 3, 4} and B = {3, 4, 5, 6}, then A ∩ B is

    1. {1, 2}
    2. {3, 4}
    3. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    4. {5, 6}

  7. A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} అయితే A ∪ B లో ఎన్ని మూలకాలు ఉంటాయి?

    1. 6
    2. 8
    3. 4
    4. 2
    సమాధానం

    A. 6

    If A = {1, 2, 3, 4} and B = {3, 4, 5, 6}, then A ∪ B has how many elements?

    1. 6
    2. 8
    3. 4
    4. 2

  8. U = {1, 2, …, 8}, A = {1, 2, 3, 4} అయితే A′

    1. {1, 2, 3, 4}
    2. {5, 6}
    3. {5, 6, 7, 8}
    4. {4, 5, 6, 7}
    సమాధానం

    C. {5, 6, 7, 8}

    If U = {1, 2, …, 8} and A = {1, 2, 3, 4}, then A′ is

    1. {1, 2, 3, 4}
    2. {5, 6}
    3. {5, 6, 7, 8}
    4. {4, 5, 6, 7}

  9. n(A) = 12, n(B) = 9, n(A ∪ B) = 17 అయితే n(A ∩ B)

    1. 3
    2. 5
    3. 4
    4. 21
    సమాధానం

    C. 4

    If n(A) = 12, n(B) = 9 and n(A ∪ B) = 17, then n(A ∩ B) is

    1. 3
    2. 5
    3. 4
    4. 21

  10. 40 మంది ఉన్న తరగతిలో 25 మంది క్రికెట్, 20 మంది కబడ్డీ ఆడతారు, 8 మంది రెండూ ఆడతారు. ఎంతమంది ఏ ఆటా ఆడరు?

    1. 5
    2. 8
    3. 12
    4. 3
    సమాధానం

    D. 3

    In a class of 40, 25 play cricket, 20 play kabaddi and 8 play both. How many play neither game?

    1. 5
    2. 8
    3. 12
    4. 3

  11. అదే తరగతిలో (40 మంది విద్యార్థులు; 25 క్రికెట్, 20 కబడ్డీ, 8 రెండూ) ఎంతమంది క్రికెట్ మాత్రమే ఆడతారు?

    1. 25
    2. 17
    3. 12
    4. 15
    సమాధానం

    B. 17

    In the same class (40 students; 25 cricket, 20 kabaddi, 8 both), how many play only cricket?

    1. 25
    2. 17
    3. 12
    4. 15

  12. 60 మంది గల సమూహంలో 35 మందికి టీ, 30 మందికి కాఫీ ఇష్టం, 10 మందికి ఏదీ ఇష్టం లేదు. ఎంతమందికి రెండూ ఇష్టం?

    1. 25
    2. 20
    3. 5
    4. 15
    సమాధానం

    D. 15

    In a group of 60 people, 35 like tea, 30 like coffee and 10 like neither. How many like both?

    1. 25
    2. 20
    3. 5
    4. 15

  13. A, B అసంయుక్త సమితులు అయితే n(A ∪ B) విలువ

    1. n(A ∩ B)
    2. n(A) + n(B)
    3. n(A) − n(B)
    4. n(A) × n(B)
    సమాధానం

    B. n(A) + n(B)

    If A and B are disjoint, then n(A ∪ B) equals

    1. n(A ∩ B)
    2. n(A) + n(B)
    3. n(A) − n(B)
    4. n(A) × n(B)

  14. డి మోర్గాన్ నియమం ప్రకారం (A ∪ B)′ విలువ

    1. A′ ∪ B′
    2. A′ − B′
    3. A′ ∩ B′
    4. A ∩ B
    సమాధానం

    C. A′ ∩ B′

    De Morgan's law states that (A ∪ B)′ equals

    1. A′ ∪ B′
    2. A′ − B′
    3. A′ ∩ B′
    4. A ∩ B

  15. A − B సమితి దీనికి సమానం

    1. A ∩ B′
    2. A′ ∩ B
    3. A ∪ B′
    4. A′ ∩ B′
    సమాధానం

    A. A ∩ B′

    The set A − B is the same as

    1. A ∩ B′
    2. A′ ∩ B
    3. A ∪ B′
    4. A′ ∩ B′

  16. 2 __ {1, 2, 3} ను సరిగ్గా పూరించే గుర్తు ఏది?

    1. =
    2. ∈
    3. ⊂
    4. ⊄
    సమాధానం

    B. ∈

    Which symbol correctly completes: 2 __ {1, 2, 3}?

    1. =
    2. ∈
    3. ⊂
    4. ⊄

  17. A = {1, 2, 3} కు ఏ ప్రకటన సరైనది?

    1. {2} ∈ A
    2. 2 ⊂ A
    3. {2} ⊂ A
    4. ϕ ∈ A
    సమాధానం

    C. {2} ⊂ A

    Which statement is correct for A = {1, 2, 3}?

    1. {2} ∈ A
    2. 2 ⊂ A
    3. {2} ⊂ A
    4. ϕ ∈ A

  18. A = {a, b} యొక్క ఘాత సమితి (పవర్ సెట్) లో ఉండేవి

    1. 2 మూలకాలు
    2. 3 మూలకాలు
    3. 8 మూలకాలు
    4. 4 మూలకాలు
    సమాధానం

    D. 4 మూలకాలు

    The power set of A = {a, b} has

    1. 2 elements
    2. 3 elements
    3. 8 elements
    4. 4 elements

  19. A ⊆ B అయితే A ∪ B విలువ

    1. B
    2. U
    3. A
    4. ϕ
    సమాధానం

    A. B

    If A ⊆ B, then A ∪ B equals

    1. B
    2. U
    3. A
    4. ϕ

  20. మూలకాల సంఖ్య సమానంగా ఉండి, మూలకాలు సమానం కానవసరం లేని రెండు సమితులను ఏమంటారు?

    1. అసంయుక్త సమితులు
    2. సార్వత్రిక సమితులు
    3. సమాన సమితులు
    4. సమాన సంఖ్యాక (తుల్య) సమితులు
    సమాధానం

    D. సమాన సంఖ్యాక (తుల్య) సమితులు

    Two sets with the same number of elements, but not necessarily the same elements, are called

    1. disjoint sets
    2. universal sets
    3. equal sets
    4. equivalent sets

  21. A = {2, 4, 6, 8} యొక్క సమితి నిర్మాణ రూపం

    1. {x : x అనేది 10 కంటే తక్కువ సహజ సంఖ్య}
    2. {x : x అనేది 10 కంటే తక్కువ సరి సహజ సంఖ్య}
    3. {x : x ఒక సరిసంఖ్య}
    4. {x : x అనేది 4 యొక్క గుణిజం}
    సమాధానం

    B. {x : x అనేది 10 కంటే తక్కువ సరి సహజ సంఖ్య}

    The set builder form of A = {2, 4, 6, 8} is

    1. {x : x is a natural number less than 10}
    2. {x : x is an even natural number less than 10}
    3. {x : x is an even number}
    4. {x : x is a multiple of 4}

  22. n(U) = 50, n(A) = 18 అయితే n(A′)

    1. 32
    2. 18
    3. 68
    4. 30
    సమాధానం

    A. 32

    If n(U) = 50 and n(A) = 18, then n(A′) is

    1. 32
    2. 18
    3. 68
    4. 30

  23. n(A) = 20, n(B) = 15, n(A ∩ B) = 6 అయితే n(A − B)

    1. 26
    2. 9
    3. 14
    4. 21
    సమాధానం

    C. 14

    If n(A) = 20, n(B) = 15 and n(A ∩ B) = 6, then n(A − B) is

    1. 26
    2. 9
    3. 14
    4. 21

  24. ఒక సమితిలో 5 మూలకాలు ఉన్నాయి. ఒక నిర్దిష్ట మూలకాన్ని కలిగి ఉన్న ఉపసమితులు ఎన్ని?

    1. 16
    2. 31
    3. 32
    4. 10
    సమాధానం

    A. 16

    A set has 5 elements. How many of its subsets contain a particular fixed element?

    1. 16
    2. 31
    3. 32
    4. 10

  25. సమితి A లో 3 మూలకాలు, సమితి B లో 4 మూలకాలు ఉన్నాయి. n(A ∪ B) కు కనిష్ఠ సాధ్య విలువ

    1. 3
    2. 7
    3. 4
    4. 0
    సమాధానం

    C. 4

    Set A has 3 elements and set B has 4 elements. The least possible value of n(A ∪ B) is

    1. 3
    2. 7
    3. 4
    4. 0

  26. అదే సమితులకు (n(A) = 3, n(B) = 4) n(A ∪ B) గరిష్ఠ సాధ్య విలువ

    1. 4
    2. 12
    3. 1
    4. 7
    సమాధానం

    D. 7

    Using the same sets (n(A) = 3, n(B) = 4), the greatest possible value of n(A ∪ B) is

    1. 4
    2. 12
    3. 1
    4. 7

  27. వెన్ చిత్రంలో సార్వత్రిక సమితిని సాధారణంగా ఏ ఆకారంలో గీస్తారు?

    1. సరళరేఖ
    2. దీర్ఘచతురస్రం
    3. ఒకే బిందువు
    4. త్రిభుజం
    సమాధానం

    B. దీర్ఘచతురస్రం

    In a Venn diagram the universal set is usually drawn as a

    1. straight line
    2. rectangle
    3. single point
    4. triangle

  28. n(A) = 10, n(B) = 12, n(A ∩ B) = 5 అయితే ఆ రెండు సమితులలో సరిగ్గా ఒకదానిలో మాత్రమే ఉన్న మూలకాల సంఖ్య

    1. 17
    2. 12
    3. 7
    4. 22
    సమాధానం

    B. 12

    If n(A) = 10, n(B) = 12 and n(A ∩ B) = 5, the number of elements in exactly one of the two sets is

    1. 17
    2. 12
    3. 7
    4. 22

  29. ఏ జత సమితులు సమానం?

    1. {1, 2, 3} మరియు {3, 1, 2, 2}
    2. {1, 2} మరియు {1, 2, 3}
    3. {a} మరియు {{a}}
    4. ϕ మరియు {0}
    సమాధానం

    A. {1, 2, 3} మరియు {3, 1, 2, 2}

    Which pair of sets is equal?

    1. {1, 2, 3} and {3, 1, 2, 2}
    2. {1, 2} and {1, 2, 3}
    3. {a} and {{a}}
    4. ϕ and {0}

  30. 100 మంది విద్యార్థులలో 60 మంది గణితం, 50 మంది సైన్స్ చదువుతారు, ప్రతి విద్యార్థి కనీసం ఒకటి చదువుతాడు. ఎంతమంది రెండూ చదువుతారు?

    1. 50
    2. 110
    3. 40
    4. 10
    సమాధానం

    D. 10

    Of 100 students, 60 study Maths and 50 study Science, and every student studies at least one. How many study both?

    1. 50
    2. 110
    3. 40
    4. 10

  31. ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. శూన్య సమితి ప్రతి సమితికీ ఉపసమితి. 2. శూన్య సమితిలో సరిగ్గా ఒక మూలకం ఉంటుంది.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    A. 1 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. The empty set is a subset of every set. 2. The empty set has exactly one element.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  32. ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. A − B, B − A ఎల్లప్పుడూ సమానం. 2. A − B = A ∩ B′.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    B. 2 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. A − B and B − A are always equal. 2. A − B = A ∩ B′.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  33. ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′. 2. (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    A. 1 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′. 2. (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  34. ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. n మూలకాలు గల సమితికి 2^n ఉపసమితులు ఉంటాయి. 2. n మూలకాలు గల సమితికి 2^n − 1 యథార్థ ఉపసమితులు ఉంటాయి.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    C. 1 మరియు 2 రెండూ

    Consider the statements: 1. A set with n elements has 2^n subsets. 2. A set with n elements has 2^n − 1 proper subsets.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  35. ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. {1, 2, 2, 3} లో నాలుగు మూలకాలు ఉన్నాయి. 2. {1, 2, 3}, {3, 2, 1} ఒకే సమితి.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    B. 2 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. {1, 2, 2, 3} has four elements. 2. {1, 2, 3} and {3, 2, 1} are the same set.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  36. ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) ఎల్లప్పుడూ. 2. A, B అసంయుక్తాలు అయినప్పుడు n(A ∪ B) = n(A) + n(B).

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    B. 2 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) always. 2. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) when A and B are disjoint.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  37. ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. {0} శూన్య సమితి. 2. n({ϕ}) = 1.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    B. 2 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. {0} is the empty set. 2. n({ϕ}) = 1.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  38. ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. A ∪ A′ = U. 2. A ∩ A′ = ϕ.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    C. 1 మరియు 2 రెండూ

    Consider the statements: 1. A ∪ A′ = U. 2. A ∩ A′ = ϕ.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  39. ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. సమాన సమితులు ఎల్లప్పుడూ సమాన సంఖ్యాక (తుల్య) సమితులు. 2. సమాన సంఖ్యాక (తుల్య) సమితులు ఎల్లప్పుడూ సమానం.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    A. 1 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. Equal sets are always equivalent. 2. Equivalent sets are always equal.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  40. ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. ఒక తరగతిలోని పొడవైన విద్యార్థుల సమితి చక్కగా నిర్వచించబడిన సమితి. 2. ఒక తరగతిలో 150 సెం.మీ. కంటే పొడవైన విద్యార్థుల సమితి చక్కగా నిర్వచించబడిన సమితి.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    B. 2 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. The set of tall students of a class is a well-defined set. 2. The set of students taller than 150 cm in a class is a well-defined set.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  41. ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. A ⊂ B మరియు B ⊂ A అయితే A = B. 2. ప్రతి సమితి తనకు తానే యథార్థ ఉపసమితి.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    A. 1 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. If A ⊂ B and B ⊂ A, then A = B. 2. Every set is a proper subset of itself.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  42. ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. వెన్ చిత్రాలు సమితులను సూచించడానికి సంవృత వక్రాలను ఉపయోగిస్తాయి. 2. వెన్ చిత్రంలో అతివ్యాప్తి చెందే వృత్తాలు ఆ సమితులకు ఉమ్మడి మూలకాలు ఉన్నాయని చూపుతాయి.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    C. 1 మరియు 2 రెండూ

    Consider the statements: 1. Venn diagrams use closed curves to represent sets. 2. Overlapping circles in a Venn diagram show that the sets have common elements.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  43. ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. 2 ⊂ {1, 2, 3}. 2. {2} ⊂ {1, 2, 3}.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    B. 2 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. 2 ⊂ {1, 2, 3}. 2. {2} ⊂ {1, 2, 3}.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2
Page 1 of 1
‹
›