బహుపదులు, శూన్యాలు మరియు రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు
గుర్తుంచుకోవాల్సినవి
- బహుపది p(x) యొక్క శూన్యం అంటే p(k) = 0 అయ్యే విలువ k. రేఖాగణితంగా, y = p(x) గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని కలిసే చోటు అది. n డిగ్రీ బహుపదికి గరిష్ఠంగా n శూన్యాలు ఉంటాయి.
- ద్విఘాత బహుపది ax² + bx + c కు శూన్యాలు α, β అయితే: α + β = −b/a మరియు αβ = c/a. కారణాంక సిద్ధాంతం, శేష సిద్ధాంతం శూన్యాలను భాగహారంతో కలుపుతాయి.
- రెండు రేఖీయ సమీకరణాల జత a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0 కు ఒక సాధన, సాధన లేకపోవడం, లేదా అనంత సాధనలు ఉంటాయి. ఏ సందర్భమో నిర్ణయించడానికి a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ నిష్పత్తులను పోల్చండి.
బహుపదులు: ప్రాథమిక పదాలు
x లో బహుపది అంటే a₀ + a₁x + a₂x² + … + aₙxⁿ వంటి సమాసం, ఇక్కడ x ఘాతాలు పూర్ణ సంఖ్యలు, గుణకాలు వాస్తవ సంఖ్యలు. సున్నా కాని గుణకం ఉన్న x యొక్క అత్యధిక ఘాతమే డిగ్రీ. x^(−1) + 2 లేదా √x + 3 వంటి సమాసాలు బహుపదులు కావు, ఎందుకంటే ఘాతాలు పూర్ణ సంఖ్యలు కావు.
| డిగ్రీ | పేరు | ప్రామాణిక రూపం | ఉదాహరణ |
|---|---|---|---|
| 0 | స్థిరాంకం | k (k ≠ 0) | 7 |
| 1 | రేఖీయ | ax + b | 3x − 5 |
| 2 | ద్విఘాత | ax² + bx + c | x² − 5x + 6 |
| 3 | త్రిఘాత | ax³ + bx² + cx + d | x³ − 2x² − x + 2 |
శూన్య బహుపదికి డిగ్రీ నిర్వచించబడలేదు. ఒక పదం ఉన్న బహుపది ఏకపది, రెండు పదాలుంటే ద్విపది, మూడు పదాలుంటే త్రిపది. x = k వద్ద p(x) విలువను, x స్థానంలో k ను ప్రతిక్షేపించి కనుగొంటారు. ఉదాహరణ: p(x) = x² − 3x − 4 కు p(4) = 16 − 12 − 4 = 0, కాబట్టి 4 ఒక శూన్యం.
శూన్యాలు మరియు వాటి గ్రాఫ్‌లు
y = p(x) గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులు శూన్యాలను చూపుతాయి.
| బహుపది | గ్రాఫ్ | శూన్యాల సంఖ్య |
|---|---|---|
| రేఖీయ ax + b (a ≠ 0) | సరళరేఖ | సరిగ్గా 1, x = −b/a వద్ద |
| ద్విఘాత ax² + bx + c | పరావలయం (parabola), a > 0 అయితే పైకి, a < 0 అయితే కిందికి తెరచుకుని ఉంటుంది | 0, 1 లేదా 2 |
| త్రిఘాత | ఒకటి రెండు వంపులున్న వక్రం | 1, 2 లేదా 3 |
x-అక్షాన్ని కలవని పరావలయానికి వాస్తవ శూన్యం ఉండదు. x-అక్షాన్ని ఒక బిందువు వద్ద తాకే పరావలయానికి ఒక పునరావృత శూన్యం ఉంటుంది. బహుపది శూన్యం, శూన్య బహుపది ఒకటి కావు; ఉదాహరణకు x² − 3x కు 0 శూన్యం కావచ్చు, అది శూన్య బహుపది కాకుండానే.
శూన్యాలకు, గుణకాలకు మధ్య సంబంధం
శూన్యాలు α, β ఉన్న ద్విఘాత బహుపది p(x) = ax² + bx + c కు:
- శూన్యాల మొత్తం: α + β = −b/a.
- శూన్యాల లబ్ధం: αβ = c/a.
- ఇచ్చిన మొత్తం S, లబ్ధం P ఉన్న ద్విఘాత బహుపది x² − Sx + P (లేదా దాని సున్నా కాని ఏదైనా గుణిజం).
శూన్యాలు α, β, γ ఉన్న త్రిఘాత బహుపది ax³ + bx² + cx + d కు:
- α + β + γ = −b/a.
- αβ + βγ + γα = c/a.
- αβγ = −d/a.
సాధించిన ఉదాహరణ 1: x² − 5x + 6 యొక్క శూన్యాలు 2 మరియు 3 ((x − 2)(x − 3) కాబట్టి). మొత్తం = 5 = −(−5)/1, లబ్ధం = 6 = 6/1, కాబట్టి సంబంధం నిజమే.
సాధించిన ఉదాహరణ 2: శూన్యాల మొత్తం 4, లబ్ధం 3 ఉన్న ద్విఘాత బహుపదిని కనుగొనండి. అది x² − 4x + 3.
సాధించిన ఉదాహరణ 3: 2x² − 7x + k యొక్క ఒక శూన్యం 3 అయితే 18 − 21 + k = 0, కాబట్టి k = 3. రెండో శూన్యం లబ్ధం నుంచి వస్తుంది: 3 × β = 3/2, కాబట్టి β = 1/2.
భాగహార నియమం, శేష సిద్ధాంతం మరియు కారణాంక సిద్ధాంతం
భాగహార నియమం: g(x) ≠ 0 అయిన బహుపదులు p(x), g(x) లకు p(x) = g(x) × q(x) + r(x) అయ్యేలా బహుపదులు q(x), r(x) ఉంటాయి, ఇక్కడ r(x) = 0 లేదా r(x) డిగ్రీ < g(x) డిగ్రీ.
శేష సిద్ధాంతం: p(x) ను (x − a) చే భాగించినప్పుడు శేషం p(a).
కారణాంక సిద్ధాంతం: p(a) = 0 అయితే, మరియు అయితేనే, (x − a) అనేది p(x) కు కారణాంకం.
ఉదాహరణలు: x³ + 2x² − 5x + 1 ను (x − 1) చే భాగించినప్పుడు శేషం 1 + 2 − 5 + 1 = −1. p(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 కు p(1) = 0, కాబట్టి (x − 1) ఒక కారణాంకం. కారణాంకం (x + a) కోసం x = −a వద్ద విలువ కనుగొనండి.
ఉపయోగకర సర్వసమానతలు: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; a² − b² = (a + b)(a − b); (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³; a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణాలు
ax + by + c = 0 (a, b రెండూ సున్నా కావు) గా రాయగలిగే సమీకరణం రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణం. దానికి అనంత సాధనలు ఉంటాయి, ప్రతి సాధన ఒక క్రమయుగ్మం (x, y). దాని గ్రాఫ్ ఒక సరళరేఖ, రేఖపై ఉన్న ప్రతి బిందువు ఒక సాధన. రేఖ x = k, y-అక్షానికి సమాంతరం; y = k, x-అక్షానికి సమాంతరం. ఇలాంటి సమీకరణాల జత ఏకకాల సమీకరణ వ్యవస్థ.
జత యొక్క సంగత్వం
| నియమం | రేఖలు | సాధనలు | పేరు |
|---|---|---|---|
| a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ | ఖండించుకునేవి | సరిగ్గా ఒకటి | సంగతం, స్వతంత్రం |
| a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ | ఏకీభవించేవి | అనంతం | సంగతం, ఆధారితం |
| a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ | సమాంతరాలు | లేవు | అసంగతం |
ఉదాహరణ: 2x + 3y = 7 మరియు 4x + 6y = 14 కు నిష్పత్తులు 1/2, 1/2, 1/2, కాబట్టి రేఖలు ఏకీభవిస్తాయి. x + 2y = 3 మరియు 2x + 4y = 8 కు నిష్పత్తులు 1/2, 1/2, 3/8, కాబట్టి రేఖలు సమాంతరాలు, సాధన లేదు.
సాధన పద్ధతులు
- గ్రాఫ్ పద్ధతి: రెండు రేఖలను గీయండి; ఖండన బిందువే సాధన.
- ప్రతిక్షేప పద్ధతి: ఒక సమీకరణం నుంచి ఒక చరరాశిని రెండోదానిలో వ్యక్తపరచి, రెండో సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించండి.
- విలోపన పద్ధతి: ఒక చరరాశి గుణకాలు సమానమయ్యేలా సమీకరణాలను గుణించి, కూడండి లేదా తీసివేయండి.
- అడ్డ గుణకార పద్ధతి: a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0 కు, a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0 అయితే x = (b₁c₂ − b₂c₁)/(a₁b₂ − a₂b₁) మరియు y = (c₁a₂ − c₂a₁)/(a₁b₂ − a₂b₁).
సాధించిన ఉదాహరణ 4: x + y = 14 మరియు x − y = 4 సాధించండి. కూడితే 2x = 18, కాబట్టి x = 9, y = 5.
సాధించిన ఉదాహరణ 5: 2x + 3y = 12 మరియు x − y = 1 సాధించండి. రెండో దాని నుంచి x = y + 1. మొదటి దానిలో ప్రతిక్షేపిస్తే 2y + 2 + 3y = 12, కాబట్టి y = 2, x = 3.
సాధించిన ఉదాహరణ 6 (పద సమస్య): రెండు సంఖ్యల మొత్తం 25, భేదం 7. అవి x, y అనుకుంటే: x + y = 25 మరియు x − y = 7, కాబట్టి x = 16, y = 9.
సాధించిన ఉదాహరణ 7: k యొక్క ఏ విలువకు kx + 3y = 3 మరియు 12x + ky = 6 లకు సాధన ఉండదు? సమాంతర రేఖలకు k/12 = 3/k ≠ 3/6 కావాలి, కాబట్టి k² = 36, k = ±6. k = 6 అయితే 6/12 = 3/6 అవుతుంది, అది ఏకీభవించే సందర్భం, కాబట్టి k = −6.
రేఖీయం కాని సమీకరణాలను కొన్నిసార్లు రేఖీయ రూపానికి తగ్గించవచ్చు. 2/x + 3/y = 7 మరియు 1/x − 1/y = 1 కు, u = 1/x, v = 1/y అనుకొని u, v లను సాధించి, తర్వాత విలోమం తీసుకోండి.
తరగతి గది కోణం
ముందుగా విద్యార్థులు గ్రిడ్‌పై x + y = 5 బిందువులను గుర్తించి, ఆ బిందువులు ఒక రేఖపై ఉంటాయని చూడనివ్వండి. తర్వాత ఒకే గ్రిడ్‌పై రెండు రేఖలు మూడు సందర్భాలను దృశ్యమానంగా చూపుతాయి. సాధారణ పొరపాట్లు: పదాలను తరలించేటప్పుడు గుర్తుల తప్పులు, అడ్డ గుణకార సూత్రంలో స్థిరాంకాన్ని వదిలేయడం. సమాధానాన్ని ఎల్లప్పుడూ రెండు అసలు సమీకరణాలలో సరిచూడమని విద్యార్థులను అడగండి.
పరీక్షలో పొరపాట్లు
- శూన్యం, శూన్య బహుపది: శూన్యం అంటే x విలువ; శూన్య బహుపది అంటే స్థిరాంకం 0.
- శూన్యాల మొత్తం: అది −b/a, b/a కాదు.
- శూన్యాల లబ్ధం: ద్విఘాతానికి c/a, కానీ త్రిఘాతానికి −d/a.
- (x + a) కు శేషం: అది p(−a), p(a) కాదు.
- డిగ్రీ: (x² + 1)² వంటి బహుపది డిగ్రీ 4, 2 కాదు.
- సమాంతర, ఏకీభవించే రేఖలు: రెండింటిలోనూ a/b నిష్పత్తులు సమానం; c నిష్పత్తి మాత్రమే వేరుగా ఉంటుంది.
- శూన్యాల సంఖ్య: ద్విఘాతానికి 2 కంటే తక్కువ వాస్తవ శూన్యాలు ఉండవచ్చు; ద్విఘాత గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని ఖండించాలని లేదు.
- బహుపదులు కానివి: 1/x, √x బహుపదులు కావు.
ఒక్క వాక్యంలో
- 1. బహుపది డిగ్రీ అంటే x యొక్క అత్యధిక ఘాతం.
- 2. రేఖీయ బహుపదికి సరిగ్గా ఒక శూన్యం ఉంటుంది.
- 3. n డిగ్రీ బహుపదికి గరిష్ఠంగా n శూన్యాలు ఉంటాయి.
- 4. ద్విఘాత బహుపది గ్రాఫ్ పరావలయం.
- 5. ax² + bx + c కు: α + β = −b/a మరియు αβ = c/a.
- 6. మొత్తం S, లబ్ధం P ఉన్న ద్విఘాత బహుపది x² − Sx + P.
- 7. శేష సిద్ధాంతం: (x − a) చే భాగిస్తే శేషం p(a).
- 8. కారణాంక సిద్ధాంతం: p(a) = 0 అయితే (x − a) ఒక కారణాంకం.
- 9. p(x) = g(x) q(x) + r(x) అనేది భాగహార నియమం.
- 10. ఖండించుకునే రేఖలు ఏకైక సాధనను ఇస్తాయి.
- 11. ఏకీభవించే రేఖలు అనంత సాధనలను ఇస్తాయి.
- 12. సమాంతర రేఖలకు సాధన ఉండదు.
సాధన ప్రశ్నలు
3x⁴ + 2x² − 7 బహుపది పరిమాణం (డిగ్రీ)
- 2
- 3
- 7
- 4
సమాధానం
D. 4
The degree of the polynomial 3x⁴ + 2x² − 7 is
- 2
- 3
- 7
- 4
3x − 6 బహుపది శూన్య విలువ
- −2
- 2
- 6
- 3
సమాధానం
B. 2
The zero of the polynomial 3x − 6 is
- −2
- 2
- 6
- 3
x² − 5x + 6 శూన్య విలువలు
- −2 మరియు −3
- 1 మరియు 6
- 2 మరియు 3
- 2 మరియు −3
సమాధానం
C. 2 మరియు 3
The zeroes of x² − 5x + 6 are
- −2 and −3
- 1 and 6
- 2 and 3
- 2 and −3
2x² − 8x + 6 శూన్య విలువల మొత్తం
- −4
- 3
- 8
- 4
సమాధానం
D. 4
The sum of the zeroes of 2x² − 8x + 6 is
- −4
- 3
- 8
- 4
3x² + 5x − 2 శూన్య విలువల లబ్ధం
- −5/3
- 2/3
- 5/3
- −2/3
సమాధానం
D. −2/3
The product of the zeroes of 3x² + 5x − 2 is
- −5/3
- 2/3
- 5/3
- −2/3
శూన్య విలువల మొత్తం −3, లబ్ధం 2 గా గల వర్గ బహుపది
- x² + 3x − 2
- x² − 2x − 3
- x² + 3x + 2
- x² − 3x + 2
సమాధానం
C. x² + 3x + 2
A quadratic polynomial whose zeroes have sum −3 and product 2 is
- x² + 3x − 2
- x² − 2x − 3
- x² + 3x + 2
- x² − 3x + 2
x³ − 3x² + 2x − 5 ను (x − 2) చే భాగించినప్పుడు శేషం
- 5
- −1
- 3
- −5
సమాధానం
D. −5
The remainder when x³ − 3x² + 2x − 5 is divided by (x − 2) is
- 5
- −1
- 3
- −5
(x − 1) అనేది x² + kx − 3 యొక్క కారణాంకం అయితే k విలువ
- −2
- 3
- 1
- 2
సమాధానం
D. 2
If (x − 1) is a factor of x² + kx − 3, then k is
- −2
- 3
- 1
- 2
ఒక వర్గ బహుపదికి ఉండే గరిష్ఠ శూన్య విలువల సంఖ్య
- 2
- 1
- 3
- 4
సమాధానం
A. 2
The maximum number of zeroes of a quadratic polynomial is
- 2
- 1
- 3
- 4
x³ − 6x² + 11x − 6 శూన్య విలువల మొత్తం
- −6
- 11
- 6
- −11
సమాధానం
C. 6
The sum of the zeroes of x³ − 6x² + 11x − 6 is
- −6
- 11
- 6
- −11
క్రింది వాటిలో బహుపది ఏది?
- x² + 3x + 1
- x + 1/x
- x^(−2) + 5
- √x + 2
సమాధానం
A. x² + 3x + 1
Which of the following is a polynomial?
- x² + 3x + 1
- x + 1/x
- x^(−2) + 5
- √x + 2
(x² + 1)² పరిమాణం
- 2
- 3
- 5
- 4
సమాధానం
D. 4
The degree of (x² + 1)² is
- 2
- 3
- 5
- 4
p(x) ను (x + 3) చే భాగించినప్పుడు శేషం
- p(3)
- p(0)
- p(−3)
- −p(3)
సమాధానం
C. p(−3)
The remainder when p(x) is divided by (x + 3) is
- p(3)
- p(0)
- p(−3)
- −p(3)
రేఖీయ బహుపది ax + b (a ≠ 0) గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువులు
- మూడు బిందువులు
- రెండు బిందువులు
- ఏ బిందువూ కాదు
- సరిగ్గా ఒక బిందువు
సమాధానం
D. సరిగ్గా ఒక బిందువు
The graph of a linear polynomial ax + b (a ≠ 0) cuts the x-axis at
- three points
- two points
- no point
- exactly one point
a > 0 అయినప్పుడు y = ax² + bx + c గ్రాఫ్ అయిన పరావలయం తెరుచుకునే దిశ
- పైకి
- క్రిందికి
- కుడివైపుకు
- ఎడమవైపుకు
సమాధానం
A. పైకి
The graph of y = ax² + bx + c with a > 0 is a parabola that opens
- upward
- downward
- to the right
- to the left
2 అనేది x² − 5x + k యొక్క శూన్య విలువ అయితే k విలువ
- −6
- 10
- 3
- 6
సమాధానం
D. 6
If 2 is a zero of x² − 5x + k, then k is
- −6
- 10
- 3
- 6
α, β లు x² − 7x + 12 శూన్య విలువలు అయితే α² + β² విలువ
- 37
- 49
- 25
- 19
సమాధానం
C. 25
If α and β are the zeroes of x² − 7x + 12, then α² + β² is
- 37
- 49
- 25
- 19
α, β లు x² − 5x + 6 శూన్య విలువలు అయితే 1/α + 1/β విలువ
- 6/5
- 5/6
- 1/5
- 11/6
సమాధానం
B. 5/6
If α and β are the zeroes of x² − 5x + 6, then 1/α + 1/β is
- 6/5
- 5/6
- 1/5
- 11/6
x + y = 14, x − y = 4 ల సాధన
- x = 5, y = 9
- x = 10, y = 4
- x = 9, y = 5
- x = 8, y = 6
సమాధానం
C. x = 9, y = 5
The solution of x + y = 14 and x − y = 4 is
- x = 5, y = 9
- x = 10, y = 4
- x = 9, y = 5
- x = 8, y = 6
2x + 3y = 12, x − y = 1 జతలో y విలువ
- 3
- 1
- −1
- 2
సమాధానం
D. 2
In the pair 2x + 3y = 12 and x − y = 1, the value of y is
- 3
- 1
- −1
- 2
2x + 3y = 7, 4x + 6y = 14 జతకు ఉండేది
- అనంతమైన సాధనలు
- సాధన లేదు
- ఏకైక సాధన
- సరిగ్గా రెండు సాధనలు
సమాధానం
A. అనంతమైన సాధనలు
The pair 2x + 3y = 7 and 4x + 6y = 14 has
- infinitely many solutions
- no solution
- a unique solution
- exactly two solutions
x + 2y = 3, 2x + 4y = 8 జతకు ఉండేది
- సరిగ్గా రెండు సాధనలు
- సాధన లేదు
- ఏకైక సాధన
- అనంతమైన సాధనలు
సమాధానం
B. సాధన లేదు
The pair x + 2y = 3 and 2x + 4y = 8 has
- exactly two solutions
- no solution
- a unique solution
- infinitely many solutions
3x + 2y = 5, x − y = 0 ల సాధన
- x = 1, y = 1
- x = 2, y = 2
- x = 5, y = 0
- x = 0, y = 5/2
సమాధానం
A. x = 1, y = 1
The solution of 3x + 2y = 5 and x − y = 0 is
- x = 1, y = 1
- x = 2, y = 2
- x = 5, y = 0
- x = 0, y = 5/2
kx + 3y = 3, 12x + ky = 6 లకు సాధన లేకుండా ఉండే k విలువ
- 12
- −12
- −6
- 6
సమాధానం
C. −6
The value of k for which kx + 3y = 3 and 12x + ky = 6 have no solution is
- 12
- −12
- −6
- 6
రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణ గ్రాఫ్
- సరళరేఖ
- వృత్తం
- ఒకే బిందువు
- పరావలయం
సమాధానం
A. సరళరేఖ
The graph of a linear equation in two variables is
- a straight line
- a circle
- a single point
- a parabola
రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణానికి ఉండేవి
- సరిగ్గా రెండు సాధనలు
- అనంతమైన సాధనలు
- సాధన లేదు
- సరిగ్గా ఒక సాధన
సమాధానం
B. అనంతమైన సాధనలు
A linear equation in two variables has
- exactly two solutions
- infinitely many solutions
- no solution
- exactly one solution
రెండు సంఖ్యల మొత్తం 25, వాటి భేదం 7. పెద్ద సంఖ్య
- 15
- 9
- 16
- 18
సమాధానం
C. 16
The sum of two numbers is 25 and their difference is 7. The larger number is
- 15
- 9
- 16
- 18
తండ్రి, కుమారుల వయస్సుల మొత్తం 40 సంవత్సరాలు, తండ్రి వయస్సు కుమారుని వయస్సుకు 3 రెట్లు. కుమారుని వయస్సు
- 8 సంవత్సరాలు
- 12 సంవత్సరాలు
- 13 సంవత్సరాలు
- 10 సంవత్సరాలు
సమాధానం
D. 10 సంవత్సరాలు
The sum of the ages of a father and son is 40 years, and the father is 3 times as old as the son. The son's age is
- 8 years
- 12 years
- 13 years
- 10 years
x = 3 సమీకరణ గ్రాఫ్ ఈ రేఖ
- y-అక్షానికి సమాంతరం
- x-అక్షానికి సమాంతరం
- మూలబిందువు గుండా పోతుంది
- రెండు అక్షాలతో 45° కోణం చేస్తుంది
సమాధానం
A. y-అక్షానికి సమాంతరం
The graph of the equation x = 3 is a line
- parallel to the y-axis
- parallel to the x-axis
- through the origin
- at 45° to both axes
u = 1/x, v = 1/y అని ప్రతిక్షేపిస్తే 2/x + 3/y = 7, 1/x − 1/y = 1 జత నుండి x విలువ
- 2
- 1/2
- 1
- 3
సమాధానం
B. 1/2
On putting u = 1/x and v = 1/y, the pair 2/x + 3/y = 7 and 1/x − 1/y = 1 gives x equal to
- 2
- 1/2
- 1
- 3
x³ − 6x² + 11x − 6 యొక్క కారణాంకం ఏది?
- x + 1
- x + 6
- x − 4
- x − 1
సమాధానం
D. x − 1
Which is a factor of x³ − 6x² + 11x − 6?
- x + 1
- x + 6
- x − 4
- x − 1
2x² − 7x + k యొక్క ఒక శూన్య విలువ 3 అయితే రెండవ శూన్య విలువ
- 3/2
- 2
- −1/2
- 1/2
సమాధానం
D. 1/2
If 3 is a zero of 2x² − 7x + k, then the other zero is
- 3/2
- 2
- −1/2
- 1/2
రేఖీయ సమీకరణాల జతకు ఏకైక సాధన ఉండే సందర్భం
- a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
- a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
- a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
- a₁/a₂ = b₁/b₂
సమాధానం
C. a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
A pair of linear equations has a unique solution when
- a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
- a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
- a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
- a₁/a₂ = b₁/b₂
a + b = 5, ab = 6 అయితే a² + b² విలువ
- 13
- 30
- 25
- 11
సమాధానం
A. 13
If a + b = 5 and ab = 6, then a² + b² is
- 13
- 30
- 25
- 11
2x − y = 4, x + y = 5 ల సాధన
- (2, 3)
- (3, 2)
- (4, 1)
- (1, 4)
సమాధానం
B. (3, 2)
The solution of 2x − y = 4 and x + y = 5 is
- (2, 3)
- (3, 2)
- (4, 1)
- (1, 4)
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. బహుపది పరిమాణం అంటే దాని చరరాశి యొక్క అత్యధిక ఘాతం. 2. ప్రతి వర్గ బహుపదికి సరిగ్గా రెండు వాస్తవ శూన్య విలువలు ఉంటాయి.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. The degree of a polynomial is the highest power of its variable. 2. Every quadratic polynomial has exactly two real zeroes.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. ax² + bx + c కు శూన్య విలువల మొత్తం −b/a. 2. ax² + bx + c కు శూన్య విలువల లబ్ధం c/a.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Consider the statements: 1. For ax² + bx + c, the sum of zeroes is −b/a. 2. For ax² + bx + c, the product of zeroes is c/a.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. p(x) ను (x + a) చే భాగించినప్పుడు శేషం p(a). 2. p(a) = 0 అయితే (x − a) అనేది p(x) కారణాంకం.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Consider the statements: 1. When p(x) is divided by (x + a), the remainder is p(a). 2. (x − a) is a factor of p(x) if p(a) = 0.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. ఖండించుకునే రేఖలు ఏకైక సాధనను ఇస్తాయి. 2. సమాంతర రేఖలు అనంతమైన సాధనలను ఇస్తాయి.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. Intersecting lines give a unique solution. 2. Parallel lines give infinitely many solutions.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. ఏకీభవించే (సంపాతి) రేఖలు అనంతమైన సాధనలను ఇస్తాయి. 2. సమాంతర రేఖలు సాధన లేకుండా ఉంటాయి.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Consider the statements: 1. Coincident lines give infinitely many solutions. 2. Parallel lines give no solution.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. 1/x + 2 ఒక బహుపది. 2. రేఖీయ బహుపదికి సరిగ్గా ఒక శూన్య విలువ ఉంటుంది.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Consider the statements: 1. 1/x + 2 is a polynomial. 2. A linear polynomial has exactly one zero.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. ఘన బహుపదికి గరిష్ఠంగా 3 శూన్య విలువలు ఉంటాయి. 2. ఘన బహుపది గ్రాఫ్ ఒక పరావలయం.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. A cubic polynomial has at most 3 zeroes. 2. The graph of a cubic polynomial is a parabola.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. ఘన బహుపదికి ఎల్లప్పుడూ సరిగ్గా 3 వాస్తవ శూన్య విలువలు ఉంటాయి. 2. y = 4 సమీకరణ గ్రాఫ్ y-అక్షానికి సమాంతరం.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
D. 1 లేదా 2 కాదు
Consider the statements: 1. A cubic polynomial always has exactly 3 real zeroes. 2. The graph of the equation y = 4 is parallel to the y-axis.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. ax³ + bx² + cx + d శూన్య విలువల లబ్ధం −d/a. 2. ax³ + bx² + cx + d శూన్య విలువల మొత్తం c/a.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. The product of the zeroes of ax³ + bx² + cx + d is −d/a. 2. The sum of the zeroes of ax³ + bx² + cx + d is c/a.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
a² − b² ను కారణాంకాలుగా విడదీస్తే
- (a + b)²
- a(a − b)
- (a − b)²
- (a + b)(a − b)
సమాధానం
D. (a + b)(a − b)
The expression a² − b² factorises as
- (a + b)²
- a(a − b)
- (a − b)²
- (a + b)(a − b)