స్కూల్ అసిస్టెంట్లు మరియు TET పేపర్ 2A కోసం గణితం (VI-X తరగతులు) · Chapter 4

ద్విఘాత సమీకరణాలు

గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

ద్విఘాత సమీకరణం అంటే ax² + bx + c = 0, ఇక్కడ a ≠ 0. దానికి గరిష్ఠంగా రెండు మూలాలు ఉంటాయి. మూలం అంటే సమీకరణాన్ని సత్యం చేసే x విలువ; అది బహుపది ax² + bx + c యొక్క శూన్యంతో సమానం.
ద్విఘాత సూత్రం x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. D = b² − 4ac ను విచక్షణి (discriminant) అంటారు. సమీకరణాన్ని సాధించకుండానే మూలాల స్వభావాన్ని అది తెలియజేస్తుంది.
మూలాల మొత్తం = −b/a, మూలాల లబ్ధం = c/a. సమీకరణాలను ఏర్పరచడం, తెలియని స్థిరాంకాలను కనుగొనడం వంటి అనేక సమస్యలను ఈ రెండు ఫలితాలు సాధిస్తాయి.

ప్రామాణిక రూపం మరియు మూలాలు

చరరాశి x లో ద్విఘాత సమీకరణం ప్రామాణిక రూపం ax² + bx + c = 0, ఇక్కడ a, b, c వాస్తవ సంఖ్యలు, a ≠ 0. a = 0 అయితే సమీకరణం రేఖీయమవుతుంది. సమీకరణాన్ని తృప్తిపరచే x విలువలు దాని మూలాలు (సాధనలు).

సమీకరణం ద్విఘాతమా కాదా? ముందు దాన్ని ప్రామాణిక రూపంలో రాయండి. ఉదాహరణకు, (x + 1)² = 2(x − 3) అంటే x² + 2x + 1 = 2x − 6, కాబట్టి x² + 7 = 0, ఇది ద్విఘాతం. కానీ x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x − 2) అంటే x² + x + 8 = x² − 4, కాబట్టి x + 12 = 0, ఇది రేఖీయం, ద్విఘాతం కాదు. నిర్ణయించే ముందు ఎల్లప్పుడూ విస్తరించి సరళీకరించండి.

x = k ప్రతిక్షేపిస్తే సమీకరణం తృప్తి చెందితే k ఒక మూలం. ఉదాహరణ: x² − 5x + 6 = 0 కు 3 ఒక మూలమా? 9 − 15 + 6 = 0, కాబట్టి అవును.

కారణాంకీకరణ ద్వారా సాధన

మధ్య పదం bx ను, లబ్ధం ac, మొత్తం b అయ్యే రెండు పదాలుగా విభజించండి. తర్వాత ఉమ్మడి కారణాంకాలను తీయండి, ఈ నియమం వాడండి: p × q = 0 అయితే p = 0 లేదా q = 0.

ఉదాహరణ 1: x² − 5x + 6 = 0. లబ్ధం 6, మొత్తం −5 అయ్యే రెండు సంఖ్యలు −2, −3. కాబట్టి (x − 2)(x − 3) = 0, x = 2 లేదా x = 3.

ఉదాహరణ 2: 2x² − 7x + 3 = 0. ac = 6; లబ్ధం 6, మొత్తం −7 అయ్యే సంఖ్యలు −1, −6. కాబట్టి 2x² − x − 6x + 3 = 0, అంటే x(2x − 1) − 3(2x − 1) = 0, కాబట్టి (2x − 1)(x − 3) = 0, x = 1/2 లేదా x = 3.

వర్గాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా సాధన

సమీకరణాన్ని a చే భాగించండి, స్థిరాంకాన్ని కుడి వైపుకు తరలించండి, రెండు వైపులా (x గుణకంలో సగం)² కలపండి.

ఉదాహరణ 3: x² + 4x − 5 = 0. అప్పుడు x² + 4x = 5; రెండు వైపులా 4 కలపండి: (x + 2)² = 9. కాబట్టి x + 2 = ±3, x = 1 లేదా x = −5.

ఈ పద్ధతి ద్విఘాత సూత్రానికి ఆధారం. ax² + bx + c = 0 నుంచి మొదలుపెట్టి వర్గాన్ని పూర్తి చేస్తే x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a వస్తుంది. ఈ సూత్రాన్ని సంప్రదాయకంగా భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్త శ్రీధరాచార్యునికి ఆపాదిస్తారు.

ద్విఘాత సూత్రం మరియు విచక్షణి

ax² + bx + c = 0 కు మూలాలు α = (−b + √D)/2a, β = (−b − √D)/2a, ఇక్కడ D = b² − 4ac.

D విలువ	మూలాల స్వభావం	y = ax² + bx + c గ్రాఫ్
D > 0	రెండు భిన్నమైన వాస్తవ మూలాలు	x-అక్షాన్ని రెండు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది
D = 0	రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు, ఒక్కొక్కటి −b/2a	x-అక్షాన్ని ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది
D < 0	వాస్తవ మూలాలు లేవు	x-అక్షాన్ని కలవదు

a, b, c అకరణీయాలై D పరిపూర్ణ వర్గమైతే మూలాలు అకరణీయాలు. a, b, c అకరణీయాలై D ధనాత్మకం కానీ పరిపూర్ణ వర్గం కాకపోతే మూలాలు కరణీయాలు, సంయుగ్మ జంటగా వస్తాయి.

ఉదాహరణ 4: x² − 4x − 1 = 0. D = 16 + 4 = 20, కాబట్టి x = (4 ± √20)/2 = 2 ± √5.

ఉదాహరణ 5: 2x² − 4x + 3 = 0 కు D = 16 − 24 = −8 < 0, కాబట్టి వాస్తవ మూలాలు లేవు.

ఉదాహరణ 6: kx(x − 2) + 6 = 0 కు సమాన మూలాలు వచ్చేలా k కనుగొనండి. ప్రామాణిక రూపంలో kx² − 2kx + 6 = 0. D = 4k² − 24k = 0 అంటే 4k(k − 6) = 0. ద్విఘాతానికి k ≠ 0 కాబట్టి k = 6.

మూలాలకు, గుణకాలకు మధ్య సంబంధాలు

ax² + bx + c = 0 యొక్క మూలాలు α, β అయితే:

రాశి	విలువ
α + β	−b/a
αβ	c/a
α − β	±√D / a
α² + β²	(α + β)² − 2αβ
1/α + 1/β	(α + β)/αβ = −b/c

ఇచ్చిన మూలాలతో సమీకరణం ఏర్పరచడానికి: x² − (మొత్తం)x + (లబ్ధం) = 0. మూలాలు 3, −2 కు: x² − x − 6 = 0. ఒక మూలం రెండో దాని వ్యుత్క్రమం అయితే c = a. మూలాలు పరిమాణంలో సమానం, గుర్తులో వ్యతిరేకం అయితే b = 0. ఒక మూలం సున్నా అయితే c = 0.

కనిష్ఠ మరియు గరిష్ఠ విలువ

y = ax² + bx + c గ్రాఫ్ యొక్క మలుపు బిందువు (శీర్షం) x = −b/2a వద్ద ఉంటుంది. a > 0 అయితే అక్కడ సమాసానికి కనిష్ఠ విలువ ఉంటుంది, అది (4ac − b²)/4a. a < 0 అయితే అదే రూపంలో గరిష్ఠ విలువ ఉంటుంది. ఉదాహరణ: x² − 6x + 11 కు కనిష్ఠ విలువ x = 3 వద్ద, ఆ విలువ 9 − 18 + 11 = 2.

ద్విఘాతాలకు తగ్గే సమీకరణాలు

కొన్ని సమీకరణాలు ప్రతిక్షేపణ తర్వాత ద్విఘాతాలవుతాయి. x⁴ − 5x² + 4 = 0 కు y = x² అనుకుంటే y² − 5y + 4 = 0, కాబట్టి y = 1 లేదా 4, x = ±1 లేదా ±2. x + 1/x = 5/2 కు x చే గుణిస్తే 2x² − 5x + 2 = 0, కాబట్టి x = 2 లేదా 1/2. సమాధానాలు హారాన్ని సున్నా చేయకుండా ఉన్నాయో లేదో ఎల్లప్పుడూ సరిచూడండి.

పద సమస్యలు

దశలు: చరరాశిని ఎంచుకోండి, వాక్యాన్ని సమీకరణంగా మార్చండి, సాధించండి, సందర్భానికి సరిపోని సమాధానాలను (ఉదాహరణకు రుణ పొడవులు లేదా వయసులు) తిరస్కరించండి, సరిచూడండి.

ఉదాహరణ 7: వరుసగా వచ్చే రెండు ధన పూర్ణాంకాల లబ్ధం 306. చిన్నది n అయితే n(n + 1) = 306, కాబట్టి n² + n − 306 = 0, దీన్ని (n − 17)(n + 18) = 0 గా కారణాంకీకరించవచ్చు. కాబట్టి n = 17, పూర్ణాంకాలు 17, 18. (మూలం −18 ను వదిలేస్తాం.)

ఉదాహరణ 8: ఒక దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత 26 m, వైశాల్యం 40 m². ఒక భుజం x అయితే రెండోది 13 − x, కాబట్టి x(13 − x) = 40, అంటే x² − 13x + 40 = 0, కాబట్టి (x − 5)(x − 8) = 0. భుజాలు 5 m, 8 m.

ఉదాహరణ 9: ఒక రైలు 360 km ను ఏకరీతి వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది. వేగం 5 km/h ఎక్కువ ఉంటే ప్రయాణానికి 1 గంట తక్కువ పడుతుంది. వేగం x km/h అనుకుంటే: 360/x − 360/(x + 5) = 1. దీని నుంచి x² + 5x − 1800 = 0. D = 25 + 7200 = 7225 = 85², కాబట్టి x = (−5 + 85)/2 = 40 km/h.

తరగతి గది కోణం

మూలం అంటే ఏమిటో విద్యార్థులు చూడటానికి ముందుగా ప్రతిక్షేపణ ద్వారా అనేక మూలాలను సరిచూడనివ్వండి. మూడు పద్ధతులనూ బోధించి, ఒక సమీకరణానికి అవి ఒకే ఫలితం ఇస్తాయని చూపండి. తరచూ జరిగే పొరపాటు: రెండు వైపులా ఉన్న ఉమ్మడి కారణాంకం x ను కొట్టివేసి x = 0 మూలాన్ని పోగొట్టుకోవడం. ఉదాహరణకు x² = 3x లో సరైన దశ x(x − 3) = 0, దాని నుంచి x = 0 లేదా 3. మరో పొరపాటు: సూత్రంలో ± గుర్తును మరచిపోవడం, లేదా b రుణాత్మకమైనప్పుడు b² − 4ac లో గుర్తులను తప్పుగా నిర్వహించడం.

పరీక్షలో పొరపాట్లు

a = 0: అప్పుడు సమీకరణం రేఖీయం, ద్విఘాతం కాదు.
x ను కొట్టివేయడం: x చే భాగిస్తే మూలం x = 0 పోతుంది.
b గుర్తు: −b ± √D లో b తన గుర్తును కలిగి ఉంటుంది; b = −5 అయితే −b = 5.
D = 0: రెండు సమాన మూలాలు (ఒక పునరావృత మూలం); ఇది "మూలం లేదు" అనేదానితో సమానం కాదు.
D < 0: వాస్తవ మూలాలు లేవు, కానీ సంక్లిష్ట సంఖ్యలలో సమీకరణానికి సాధన లేదని దీని అర్థం కాదు.
మొత్తం, లబ్ధం గుర్తులు: మొత్తం = −b/a, లబ్ధం = +c/a.
పద సమస్యలు: పొడవు, వయసు, వస్తువుల సంఖ్యకు రుణ విలువలను తిరస్కరించండి.
సమీకరణ రూపాలు: (x + 1)² = 2(x − 3) ద్విఘాతం; x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x − 2) ద్విఘాతం కాదు.

ఒక్క వాక్యంలో

1. ప్రామాణిక రూపం ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.
2. ద్విఘాత సమీకరణానికి గరిష్ఠంగా రెండు మూలాలు ఉంటాయి.
3. ద్విఘాత సూత్రం x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.
4. విచక్షణి D = b² − 4ac.
5. D > 0: రెండు భిన్నమైన వాస్తవ మూలాలు.
6. D = 0: రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు.
7. D < 0: వాస్తవ మూలాలు లేవు.
8. మూలాల మొత్తం = −b/a; మూలాల లబ్ధం = c/a.
9. ఇచ్చిన మూలాలతో సమీకరణం x² − (మొత్తం)x + లబ్ధం = 0.
10. సమాన మూలాల విలువ −b/2a.
11. వర్గాన్ని పూర్తి చేయడంలో రెండు వైపులా (x గుణకంలో సగం)² కలుపుతారు.
12. ద్విఘాత గ్రాఫ్ పరావలయం.

సాధన ప్రశ్నలు

వర్గ సమీకరణ ప్రామాణిక రూపం ax² + bx + c = 0 లో ఏ నియమం తప్పక ఉండాలి?
1. a = b
2. b ≠ 0
3. a ≠ 0
4. c ≠ 0
సమాధానం
C. a ≠ 0
In the standard form ax² + bx + c = 0 of a quadratic equation, which condition must hold?
1. a = b
2. b ≠ 0
3. a ≠ 0
4. c ≠ 0
క్రింది వాటిలో వర్గ సమీకరణం ఏది?
1. x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x − 2)
2. x³ − 4x = 0
3. (x + 1)² = 2(x − 3)
4. 3x + 7 = 0
సమాధానం
C. (x + 1)² = 2(x − 3)
Which of the following is a quadratic equation?
1. x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x − 2)
2. x³ − 4x = 0
3. (x + 1)² = 2(x − 3)
4. 3x + 7 = 0
x² − 7x + 12 = 0 మూలాలు
1. −3 మరియు −4
2. 2 మరియు 6
3. 3 మరియు 4
4. 1 మరియు 12
సమాధానం
C. 3 మరియు 4
The roots of x² − 7x + 12 = 0 are
1. −3 and −4
2. 2 and 6
3. 3 and 4
4. 1 and 12
ax² + bx + c = 0 యొక్క విచక్షణి (డిస్క్రిమినెంట్)
1. −b ± √(b² − 4ac)
2. b² + 4ac
3. 4ac − b
4. b² − 4ac
సమాధానం
D. b² − 4ac
The discriminant of ax² + bx + c = 0 is
1. −b ± √(b² − 4ac)
2. b² + 4ac
3. 4ac − b
4. b² − 4ac
2x² − 4x + 3 = 0 విచక్షణి
1. 8
2. −8
3. 40
4. −4
సమాధానం
B. −8
The discriminant of 2x² − 4x + 3 = 0 is
1. 8
2. −8
3. 40
4. −4
ఒక వర్గ సమీకరణ విచక్షణి సున్నా అయితే మూలాలు
1. కరణీయాలు, భిన్నమైనవి
2. వాస్తవాలు, భిన్నమైనవి
3. వాస్తవం కానివి
4. వాస్తవాలు, సమానమైనవి
సమాధానం
D. వాస్తవాలు, సమానమైనవి
If the discriminant of a quadratic equation is zero, the roots are
1. irrational and distinct
2. real and distinct
3. not real
4. real and equal
2x² − 7x + 3 = 0 మూలాలు
1. −1/2 మరియు −3
2. 2 మరియు 3/2
3. 1/2 మరియు 3
4. 1 మరియు 3
సమాధానం
C. 1/2 మరియు 3
The roots of 2x² − 7x + 3 = 0 are
1. −1/2 and −3
2. 2 and 3/2
3. 1/2 and 3
4. 1 and 3
x² + 4x − 5 = 0 మూలాలు
1. −1 మరియు −5
2. 1 మరియు −5
3. −1 మరియు 5
4. 1 మరియు 5
సమాధానం
B. 1 మరియు −5
The roots of x² + 4x − 5 = 0 are
1. −1 and −5
2. 1 and −5
3. −1 and 5
4. 1 and 5
x² − 4x − 1 = 0 మూలాలు
1. 2 ± √5
2. −2 ± √5
3. 4 ± √5
4. 2 ± √3
సమాధానం
A. 2 ± √5
The roots of x² − 4x − 1 = 0 are
1. 2 ± √5
2. −2 ± √5
3. 4 ± √5
4. 2 ± √3
3x² − 9x + 2 = 0 మూలాల మొత్తం
1. −3
2. 3
3. 2/3
4. 9
సమాధానం
B. 3
The sum of the roots of 3x² − 9x + 2 = 0 is
1. −3
2. 3
3. 2/3
4. 9
x² − x − 6 = 0 మూలాల లబ్ధం
1. 6
2. −1
3. −6
4. 1
సమాధానం
C. −6
The product of the roots of x² − x − 6 = 0 is
1. 6
2. −1
3. −6
4. 1
3 మరియు −2 లను మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణం
1. x² − 5x − 6 = 0
2. x² − x + 6 = 0
3. x² + x − 6 = 0
4. x² − x − 6 = 0
సమాధానం
D. x² − x − 6 = 0
A quadratic equation with roots 3 and −2 is
1. x² − 5x − 6 = 0
2. x² − x + 6 = 0
3. x² + x − 6 = 0
4. x² − x − 6 = 0
kx(x − 2) + 6 = 0 కు రెండు సమాన మూలాలు ఉండేలా k విలువ
1. 6
2. −6
3. 4
4. 2
సమాధానం
A. 6
The value of k for which kx(x − 2) + 6 = 0 has two equal roots is
1. 6
2. −6
3. 4
4. 2
2x² + kx + 3 = 0 కు సమాన మూలాలు ఉండేలా k విలువలు
1. ±12
2. ±√6
3. ±6
4. ±2√6
సమాధానం
D. ±2√6
The values of k for which 2x² + kx + 3 = 0 has equal roots are
1. ±12
2. ±√6
3. ±6
4. ±2√6
x² = 3x యొక్క సాధనలు
1. 3 మాత్రమే
2. 0 మాత్రమే
3. 0 మరియు 3
4. −3 మరియు 3
సమాధానం
C. 0 మరియు 3
The solutions of x² = 3x are
1. 3 only
2. 0 only
3. 0 and 3
4. −3 and 3
వరుసగా ఉన్న రెండు ధన పూర్ణాంకాల లబ్ధం 306. చిన్న పూర్ణాంకం
1. 16
2. 17
3. 18
4. 19
సమాధానం
B. 17
The product of two consecutive positive integers is 306. The smaller integer is
1. 16
2. 17
3. 18
4. 19
ఒక దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత 26 మీ., వైశాల్యం 40 మీ.². దాని పొడవైన భుజం
1. 8 మీ.
2. 13 మీ.
3. 6 మీ.
4. 10 మీ.
సమాధానం
A. 8 మీ.
A rectangle has perimeter 26 m and area 40 m². Its longer side is
1. 8 m
2. 13 m
3. 6 m
4. 10 m
ఒక రైలు ఏకరీతి వేగంతో 360 కి.మీ. ప్రయాణిస్తుంది. వేగం గంటకు 5 కి.మీ. ఎక్కువ ఉంటే 1 గంట తక్కువ సమయం పడుతుంది. రైలు వేగం
1. గంటకు 45 కి.మీ.
2. గంటకు 30 కి.మీ.
3. గంటకు 35 కి.మీ.
4. గంటకు 40 కి.మీ.
సమాధానం
D. గంటకు 40 కి.మీ.
A train covers 360 km at a uniform speed. If the speed were 5 km/h more, it would take 1 hour less. The speed is
1. 45 km/h
2. 30 km/h
3. 35 km/h
4. 40 km/h
−2 అనేది x² + kx − 10 = 0 యొక్క మూలం అయితే k విలువ
1. 3
2. −7
3. −3
4. 7
సమాధానం
C. −3
If −2 is a root of x² + kx − 10 = 0, then k is
1. 3
2. −7
3. −3
4. 7
x² + 1 = 0 సమీకరణానికి ఉండేవి
1. సరిగ్గా ఒక వాస్తవ మూలం
2. వాస్తవ మూలాలు లేవు
3. రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు
4. రెండు భిన్న వాస్తవ మూలాలు
సమాధానం
B. వాస్తవ మూలాలు లేవు
The equation x² + 1 = 0 has
1. exactly one real root
2. no real roots
3. two equal real roots
4. two distinct real roots
x² − 6x + 11 కనిష్ఠ విలువ
1. 2
2. 11
3. 3
4. −2
సమాధానం
A. 2
The least value of x² − 6x + 11 is
1. 2
2. 11
3. 3
4. −2
x⁴ − 5x² + 4 = 0 కు ఉండే వాస్తవ మూలాల సంఖ్య
1. 2
2. 4
3. 3
4. 0
సమాధానం
B. 4
The number of real roots of x⁴ − 5x² + 4 = 0 is
1. 2
2. 4
3. 3
4. 0
x + 1/x = 5/2 మూలాలు
1. 5 మరియు 1/2
2. 1 మరియు 3/2
3. 2 మరియు −1/2
4. 2 మరియు 1/2
సమాధానం
D. 2 మరియు 1/2
The roots of x + 1/x = 5/2 are
1. 5 and 1/2
2. 1 and 3/2
3. 2 and −1/2
4. 2 and 1/2
x² − 6x + k = 0 కు సమాన మూలాలు ఉండేలా k విలువ
1. 6
2. 3
3. 36
4. 9
సమాధానం
D. 9
The value of k for which x² − 6x + k = 0 has equal roots is
1. 6
2. 3
3. 36
4. 9
α, β లు x² − 3x + 2 = 0 మూలాలు అయితే α² + β² విలువ
1. 9
2. 7
3. 5
4. 13
సమాధానం
C. 5
If α and β are the roots of x² − 3x + 2 = 0, then α² + β² is
1. 9
2. 7
3. 5
4. 13
α, β లు x² − 7x + 10 = 0 మూలాలు అయితే 1/α + 1/β విలువ
1. 10/7
2. 7/10
3. 3
4. 17/10
సమాధానం
B. 7/10
If α and β are the roots of x² − 7x + 10 = 0, then 1/α + 1/β is
1. 10/7
2. 7/10
3. 3
4. 17/10
x² − 6x + 9 = 0 విచక్షణి
1. 0
2. −36
3. 36
4. 18
సమాధానం
A. 0
The discriminant of x² − 6x + 9 = 0 is
1. 0
2. −36
3. 36
4. 18
ax² + bx + c = 0 మూలాలు ఒకదానికొకటి విలోమాలు అయితే
1. a = −c
2. b = 0
3. c = a
4. c = 0
సమాధానం
C. c = a
If the roots of ax² + bx + c = 0 are reciprocals of each other, then
1. a = −c
2. b = 0
3. c = a
4. c = 0
ax² + bx + c = 0 మూలాలు పరిమాణంలో సమానంగా, గుర్తులో వ్యతిరేకంగా ఉంటే
1. b = 0
2. c = 0
3. a = c
4. a = 0
సమాధానం
A. b = 0
If the roots of ax² + bx + c = 0 are equal in size and opposite in sign, then
1. b = 0
2. c = 0
3. a = c
4. a = 0
వర్గ సూత్రాన్ని సంప్రదాయంగా ఎవరికి ఆపాదిస్తారు?
1. పింగళుడు
2. శ్రీధరాచార్యుడు
3. రెండవ ఆర్యభటుడు
4. యూక్లిడ్
సమాధానం
B. శ్రీధరాచార్యుడు
The quadratic formula is traditionally credited to
1. Pingala
2. Sridharacharya
3. Aryabhata II
4. Euclid
x² + 8x = 20 లో వర్గం పూర్తి చేయడానికి రెండు వైపులా ఏ సంఖ్యను కలపాలి?
1. 8
2. 64
3. 16
4. 4
సమాధానం
C. 16
To complete the square in x² + 8x = 20, we add which number to both sides?
1. 8
2. 64
3. 16
4. 4
3x² − 5x + 2 = 0 మూలాలు
1. −1 మరియు −2/3
2. 2 మరియు 1/3
3. 1 మరియు 3/2
4. 1 మరియు 2/3
సమాధానం
D. 1 మరియు 2/3
The roots of 3x² − 5x + 2 = 0 are
1. −1 and −2/3
2. 2 and 1/3
3. 1 and 3/2
4. 1 and 2/3
x² − 7x + 12 = 0 మూలాలు α > β అయితే α − β విలువ
1. 1
2. 7
3. 12
4. 5
సమాధానం
A. 1
If x² − 7x + 12 = 0 has roots α > β, then α − β is
1. 1
2. 7
3. 12
4. 5
x² − 6x + k = 0 యొక్క ఒక మూలం రెండవ మూలానికి రెట్టింపు అయితే k విలువ
1. 12
2. 9
3. 6
4. 8
సమాధానం
D. 8
If one root of x² − 6x + k = 0 is twice the other, then k is
1. 12
2. 9
3. 6
4. 8
వరుసగా ఉన్న రెండు ధన పూర్ణాంకాల వర్గాల మొత్తం 61. ఆ పూర్ణాంకాలు
1. 4 మరియు 5
2. 6 మరియు 7
3. 5 మరియు 6
4. 3 మరియు 4
సమాధానం
C. 5 మరియు 6
The sum of the squares of two consecutive positive integers is 61. The integers are
1. 4 and 5
2. 6 and 7
3. 5 and 6
4. 3 and 4
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. D > 0 అయితే సమీకరణానికి రెండు భిన్న వాస్తవ మూలాలు ఉంటాయి. 2. D < 0 అయితే సమీకరణానికి రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు ఉంటాయి.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. If D > 0, the equation has two distinct real roots. 2. If D < 0, the equation has two equal real roots.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. a = 0 అయినా ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణమే. 2. మూలాల లబ్ధం −c/a.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
D. 1 లేదా 2 కాదు
Consider the statements: 1. If a = 0, ax² + bx + c = 0 is still quadratic. 2. The product of the roots is −c/a.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. వర్గ సమీకరణానికి గరిష్ఠంగా రెండు వాస్తవ మూలాలు ఉంటాయి. 2. వర్గ బహుపది గ్రాఫ్ ఒక పరావలయం.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Consider the statements: 1. A quadratic equation has at most two real roots. 2. The graph of a quadratic polynomial is a parabola.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. x² = 3x ను x చే భాగిస్తే దాని మూలాలన్నీ వస్తాయి. 2. x² = 3x సమీకరణ మూలాలు 0 మరియు 3.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Consider the statements: 1. Dividing x² = 3x by x gives all its roots. 2. The equation x² = 3x has roots 0 and 3.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. D = 0 అయినప్పుడు మూలం −b/2a. 2. D = 0 అయినప్పుడు పరావలయం x-అక్షాన్ని ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Consider the statements: 1. When D = 0 the root is −b/2a. 2. When D = 0 the parabola touches the x-axis at one point.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. D < 0 అయితే వర్గ బహుపది గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని కలవదు. 2. D > 0 అయితే మూలాలు ఎల్లప్పుడూ అకరణీయాలు.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. If D < 0 the graph of the quadratic does not meet the x-axis. 2. If D > 0 the roots are always rational.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. x² + 1 = 0 మూలాలు వాస్తవాలు. 2. x² − 4 = 0 కు రెండు వాస్తవ మూలాలు ఉన్నాయి.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Consider the statements: 1. The roots of x² + 1 = 0 are real. 2. x² − 4 = 0 has two real roots.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ప్రకటనలను పరిశీలించండి: 1. పొడవుపై పద సమస్యలో రుణ మూలాన్ని తిరస్కరిస్తారు. 2. ప్రతి పద సమస్యలోనూ రుణ మూలం చెల్లదు.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. In a word problem on length, a negative root is rejected. 2. A negative root is invalid in every word problem.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
x² − 25 = 0 మూలాలు
1. 5 మాత్రమే
2. 25 మరియు −25
3. 0 మరియు 5
4. 5 మరియు −5
సమాధానం
D. 5 మరియు −5
The roots of x² − 25 = 0 are
1. 5 only
2. 25 and −25
3. 0 and 5
4. 5 and −5
x² − 2x + 1 = 0 మూలాలు
1. 1 మరియు 1
2. 1 మరియు −1
3. 2 మరియు 1
4. 0 మరియు 2
సమాధానం
A. 1 మరియు 1
The roots of x² − 2x + 1 = 0 are
1. 1 and 1
2. 1 and −1
3. 2 and 1
4. 0 and 2

Page 1 of 1

Finished reading?

Test yourself in 10 minutes

A free 10-question mini-mock on your exam's real pattern, with negative marking and an instant score. अपनी तैयारी 10 मिनट में जाँचें।

Take a free mini-mock →Topic-wise practice