←
స్కూల్ అసిస్టెంట్లు మరియు TET పేపర్ 2A కోసం గణితం (VI-X తరగతులు) · Chapter 5

అంకశ్రేణులు మరియు గుణశ్రేణులు

గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

  • అంక శ్రేణి (AP)లో ప్రతి పదాన్ని ఒక స్థిర సంఖ్య d (సామాన్య భేదం) కలపడం ద్వారా పొందుతారు. n వ పదం a + (n − 1)d మరియు n పదాల మొత్తం (n/2)[2a + (n − 1)d].
  • గుణ శ్రేణి (GP)లో ప్రతి పదాన్ని ఒక స్థిర సంఖ్య r (సామాన్య నిష్పత్తి)తో గుణించడం ద్వారా పొందుతారు. n వ పదం ar^(n−1) మరియు r ≠ 1 అయినప్పుడు n పదాల మొత్తం a(rⁿ − 1)/(r − 1).
  • మూడు పదాలు a, b, c లు 2b = a + c అయితే APలో ఉంటాయి; b² = ac అయితే GPలో ఉంటాయి. ఈ రెండు పరీక్షలు అనేక లెక్కలను త్వరగా పరిష్కరిస్తాయి.

అనుక్రమాలు మరియు శ్రేణులు

అనుక్రమం అంటే నిర్దిష్ట క్రమంలో ఉన్న సంఖ్యల జాబితా, ఉదా: 2, 4, 6, 8, …. ప్రతి సంఖ్య ఒక పదం. శ్రేణి అంటే పదాల మొత్తం. మొదటి పదం a₁ లేదా a, n వ పదం aₙ. చాలా అనుక్రమాలు ఒక నియమాన్ని అనుసరిస్తాయి; AP మరియు GP అనేవి అత్యంత ముఖ్యమైన రెండు నియమాలు.

అంక శ్రేణి

ప్రతి పదానికి, దాని ముందు పదానికి మధ్య భేదం ఎల్లప్పుడూ ఒకేలా ఉండే సంఖ్యల జాబితా. ఆ భేదమే సామాన్య భేదం d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ ఇలా కొనసాగుతుంది. d > 0 అయితే AP పెరుగుతుంది, d < 0 అయితే తగ్గుతుంది, d = 0 అయితే అన్ని పదాలు సమానం.

ఉదాహరణలు: 3, 7, 11, 15, … (a = 3, d = 4); 20, 17, 14, … (a = 20, d = −3); 5, 5, 5, … (d = 0).

మొదటి పదం a, సామాన్య భేదం d ఉన్న APకి ముఖ్య సూత్రాలు:

రాశిసూత్రం
n వ పదంaₙ = a + (n − 1)d
చివర నుండి n వ పదంl − (n − 1)d, ఇక్కడ l చివరి పదం
పదాల సంఖ్యn = (l − a)/d + 1
మొదటి n పదాల మొత్తంSₙ = (n/2)[2a + (n − 1)d]
చివరి పదం ఉపయోగించి మొత్తంSₙ = (n/2)(a + l)
మొత్తం నుండి పదంaₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
మూడు పదాలకు పరీక్ష2b = a + c అయితే a, b, c లు APలో ఉంటాయి

సాధించిన ఉదాహరణ 1: 7, 13, 19, …, 205 లో ఎన్ని పదాలు ఉన్నాయి? d = 6 మరియు n = (205 − 7)/6 + 1 = 34.

సాధించిన ఉదాహరణ 2: 3, 7, 11, … యొక్క మొదటి 20 పదాల మొత్తం S₂₀ = 10[6 + 19 × 4] = 10 × 82 = 820.

సాధించిన ఉదాహరణ 3: ఒక AP యొక్క 10 వ పదం 52 మరియు 17 వ పదం 94. అప్పుడు a + 9d = 52 మరియు a + 16d = 94; తీసివేస్తే 7d = 42, కాబట్టి d = 6 మరియు a = −2.

సాధించిన ఉదాహరణ 4: మొదటి n సహజ సంఖ్యల మొత్తం n(n + 1)/2. n = 100 అయితే ఇది 5050. 1 + 100, 2 + 99, … అని జతలు చేసే సుప్రసిద్ధ తరగతి గది కథ దీనిని చూపిస్తుంది: 50 జతలు ఉన్నాయి, ప్రతి జత మొత్తం 101.

పదాల ఎంపిక: APలో ఉన్న మూడు సంఖ్యలకు a − d, a, a + d వాడండి (వాటి మొత్తం 3a). నాలుగు సంఖ్యలకు a − 3d, a − d, a + d, a + 3d వాడండి.

అంక మధ్యమం మరియు ప్రత్యేక మొత్తాలు

a, b ల అంక మధ్యమం (a + b)/2. ఇది AP a, (a + b)/2, b యొక్క మధ్య పదం. a, b ల మధ్య n అంక మధ్యమాలను చేర్చడానికి సామాన్య భేదం d = (b − a)/(n + 1). ఉదాహరణ: 2 మరియు 18 మధ్య మూడు మధ్యమాలకు d = 16/4 = 4, కాబట్టి పదాలు 2, 6, 10, 14, 18.

మొత్తంసూత్రం
1 + 2 + … + nn(n + 1)/2
1 + 3 + 5 + … (n బేసి సంఖ్యలు)n²
2 + 4 + 6 + … (n సరి సంఖ్యలు)n(n + 1)
1² + 2² + … + n²n(n + 1)(2n + 1)/6
1³ + 2³ + … + n³[n(n + 1)/2]²

గుణ శ్రేణి

మొదటి పదం తప్ప ప్రతి పదం, ముందు పదాన్ని ఒక స్థిర సంఖ్య r (సామాన్య నిష్పత్తి)తో గుణించగా వచ్చే, శూన్యం కాని సంఖ్యల జాబితా. కాబట్టి r = a₂/a₁ = a₃/a₂ ఇలా కొనసాగుతుంది.

ఉదాహరణలు: 2, 6, 18, 54, … (a = 2, r = 3); 80, 40, 20, 10, … (a = 80, r = 1/2); 3, −6, 12, −24, … (r = −2, గుర్తులు మారుతూ ఉంటాయి).

రాశిసూత్రం
n వ పదంaₙ = a rⁿ⁻¹
n పదాల మొత్తం (r > 1)Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1)
n పదాల మొత్తం (r < 1)Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r)
r = 1 అయినప్పుడు మొత్తంSₙ = na
అనంత పదాల మొత్తం (r< 1)S∞ = a/(1 − r)
మూడు పదాలకు పరీక్షb² = ac అయితే a, b, c లు GPలో ఉంటాయి
a, b ల గుణ మధ్యమం√(ab)

సాధించిన ఉదాహరణ 5: GP 2, 6, 18, … లో 5 వ పదం 2 × 3⁴ = 162, మొదటి 5 పదాల మొత్తం 2(3⁵ − 1)/(3 − 1) = 242.

సాధించిన ఉదాహరణ 6: 1 + 1/2 + 1/4 + … మొత్తం కనుగొనండి. ఇక్కడ a = 1 మరియు r = 1/2, కాబట్టి S∞ = 1/(1 − 1/2) = 2.

సాధించిన ఉదాహరణ 7: ఒక GP యొక్క 3 వ పదం 12 మరియు 6 వ పదం 96. అప్పుడు ar² = 12 మరియు ar⁵ = 96; భాగిస్తే r³ = 8, కాబట్టి r = 2 మరియు a = 3.

సాధించిన ఉదాహరణ 8: ఒక బంతి ప్రతి గెంతు తర్వాత తన ఎత్తులో సగం కోల్పోతుంది. r = 1/2 ఉన్న GPని పరిచయం చేయడానికి మరియు అనంత మొత్తాలు పరిమితంగా ఉండవచ్చని చూపడానికి ఉపాధ్యాయుడు దీనిని ఉపయోగించవచ్చు.

పదాల ఎంపిక: GPలో ఉన్న మూడు సంఖ్యలకు a/r, a, ar వాడండి (వాటి లబ్ధం a³). a, b ల మధ్య n గుణ మధ్యమాలను చేర్చడానికి సామాన్య నిష్పత్తి (b/a)^(1/(n + 1)).

AP మరియు GP పోలిక

లక్షణంAPGP
నియమంప్రతిసారీ d కలపాలిప్రతిసారీ r తో గుణించాలి
సాధారణ పదంa + (n − 1)dar^(n−1)
రెండు పదాల మధ్యమంAM = (a + b)/2GM = √(ab)
b మధ్య పదం అవడానికి పరీక్ష2b = a + cb² = ac
n కు వ్యతిరేకంగా పదాల గ్రాఫ్సరళరేఖపై బిందువులుఘాతాంక వక్రంపై బిందువులు
అనంత పదాల మొత్తంఉండదు (అన్ని పదాలు 0 అయితే తప్ప)r< 1 అయినప్పుడు a/(1 − r)

రెండు ధన సంఖ్యలకు AM ≥ GM: (a + b)/2 ≥ √(ab); a = b అయినప్పుడు మాత్రమే సమానత్వం.

తరగతి గది దృష్టికోణం

విద్యార్థులు వస్తువులతో నమూనాలు నిర్మించనివ్వండి: AP కోసం అగ్గిపుల్లలు, GP కోసం కాగితం మడతలు (ప్రతి మడతకు పొరల సంఖ్య రెట్టింపు అవుతుంది). ముందుగా తదుపరి పదాన్ని ఊహించమని, తర్వాత నియమాన్ని చెప్పమని అడగండి. సాధారణ తప్పులు: n వ పద సూత్రంలో n − 1 బదులు n వాడటం, మరియు "నిష్పత్తి"ని తీసివేత ద్వారా కనుగొనడం. అనేక వరుస జతల మధ్య భేదం కనుగొని d ని సరిచూడాలి.

పరీక్షలో పొరపాట్లు

  • n లేదా n − 1: aₙ = a + (n − 1)d, a + nd కాదు.
  • సామాన్య నిష్పత్తి: r ను భాగహారం ద్వారా, d ను తీసివేత ద్వారా కనుగొంటారు.
  • మొత్తం సూత్రం ఎంపిక: చివరి పదం తెలిస్తే (n/2)(a + l), d తెలిస్తే (n/2)[2a + (n − 1)d] వాడండి.
  • అనంత మొత్తం: |r| < 1 అయినప్పుడు మాత్రమే ఉంటుంది; r = 2 అయితే ఉండదు.
  • సామాన్య భేదం శూన్యం: స్థిరమైన జాబితా d = 0 ఉన్న AP.
  • r యొక్క గుర్తు: ఋణ r వల్ల GPలో గుర్తులు మారుతూ వస్తాయి.
  • n బేసి సంఖ్యల మొత్తం: అది n², n(n + 1) కాదు.
  • GP పరీక్ష: b² = ac; దీనిని 2b = a + c తో కలపవద్దు.

ఒక్క వాక్య సారాంశాలు

  • 1. APలో వరుస పదాల మధ్య భేదం స్థిరం.
  • 2. APలో n వ పదం a + (n − 1)d.
  • 3. APలో మొదటి n పదాల మొత్తం (n/2)[2a + (n − 1)d].
  • 4. మొదటి n సహజ సంఖ్యల మొత్తం = n(n + 1)/2.
  • 5. మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం = n².
  • 6. 2b = a + c అయినప్పుడు a, b, c లు APలో ఉంటాయి.
  • 7. GPలో వరుస పదాల నిష్పత్తి స్థిరం.
  • 8. GPలో n వ పదం ar^(n−1).
  • 9. GPలో n పదాల మొత్తం (r ≠ 1) a(rⁿ − 1)/(r − 1).
  • 10. |r| < 1 అయినప్పుడు S∞ = a/(1 − r).
  • 11. b² = ac అయినప్పుడు a, b, c లు GPలో ఉంటాయి.
  • 12. ధన సంఖ్యలకు AM ≥ GM.

సాధన ప్రశ్నలు

  1. మొదటి పదం a, సామాన్య భేదం d గా గల అంకశ్రేణి (AP) యొక్క n వ పదం

    1. a × dⁿ⁻¹
    2. a + (n − 1)d
    3. a + nd
    4. a + (n + 1)d
    సమాధానం

    B. a + (n − 1)d

    The nth term of an AP with first term a and common difference d is

    1. a × dⁿ⁻¹
    2. a + (n − 1)d
    3. a + nd
    4. a + (n + 1)d

  2. అంకశ్రేణి 3, 7, 11, 15, … యొక్క సామాన్య భేదం

    1. 3
    2. 4
    3. −4
    4. 7
    సమాధానం

    B. 4

    The common difference of the AP 3, 7, 11, 15, … is

    1. 3
    2. 4
    3. −4
    4. 7

  3. అంకశ్రేణి 2, 5, 8, … యొక్క 10వ పదం

    1. 26
    2. 32
    3. 27
    4. 29
    సమాధానం

    D. 29

    The 10th term of the AP 2, 5, 8, … is

    1. 26
    2. 32
    3. 27
    4. 29

  4. అంకశ్రేణి 7, 13, 19, …, 205 లో పదాల సంఖ్య

    1. 33
    2. 35
    3. 34
    4. 30
    సమాధానం

    C. 34

    The number of terms in the AP 7, 13, 19, …, 205 is

    1. 33
    2. 35
    3. 34
    4. 30

  5. అంకశ్రేణి 3, 7, 11, … యొక్క మొదటి 20 పదాల మొత్తం

    1. 860
    2. 820
    3. 410
    4. 800
    సమాధానం

    B. 820

    The sum of the first 20 terms of the AP 3, 7, 11, … is

    1. 860
    2. 820
    3. 410
    4. 800

  6. మొదటి 100 సహజ సంఖ్యల మొత్తం

    1. 4950
    2. 10100
    3. 5000
    4. 5050
    సమాధానం

    D. 5050

    The sum of the first 100 natural numbers is

    1. 4950
    2. 10100
    3. 5000
    4. 5050

  7. మొదటి 10 బేసి సహజ సంఖ్యల మొత్తం

    1. 55
    2. 100
    3. 90
    4. 110
    సమాధానం

    B. 100

    The sum of the first 10 odd natural numbers is

    1. 55
    2. 100
    3. 90
    4. 110

  8. మొదటి 10 సరి సహజ సంఖ్యల మొత్తం

    1. 110
    2. 55
    3. 90
    4. 100
    సమాధానం

    A. 110

    The sum of the first 10 even natural numbers is

    1. 110
    2. 55
    3. 90
    4. 100

  9. గుణశ్రేణి (GP) 2, 6, 18, 54, … యొక్క సామాన్య నిష్పత్తి

    1. 3
    2. 4
    3. 2
    4. 9
    సమాధానం

    A. 3

    The common ratio of the GP 2, 6, 18, 54, … is

    1. 3
    2. 4
    3. 2
    4. 9

  10. గుణశ్రేణి 2, 6, 18, … యొక్క 5వ పదం

    1. 486
    2. 81
    3. 54
    4. 162
    సమాధానం

    D. 162

    The 5th term of the GP 2, 6, 18, … is

    1. 486
    2. 81
    3. 54
    4. 162

  11. గుణశ్రేణి 2, 6, 18, … యొక్క మొదటి 5 పదాల మొత్తం

    1. 484
    2. 121
    3. 242
    4. 162
    సమాధానం

    C. 242

    The sum of the first 5 terms of the GP 2, 6, 18, … is

    1. 484
    2. 121
    3. 242
    4. 162

  12. అనంత శ్రేణి 1 + 1/2 + 1/4 + … యొక్క మొత్తం

    1. 1
    2. 3/2
    3. అనంతం
    4. 2
    సమాధానం

    D. 2

    The sum of the infinite series 1 + 1/2 + 1/4 + … is

    1. 1
    2. 3/2
    3. Infinite
    4. 2

  13. ఒక గుణశ్రేణిలో 3వ పదం 12, 6వ పదం 96. అయితే మొదటి పదం

    1. 3
    2. 6
    3. 2
    4. 4
    సమాధానం

    A. 3

    The 3rd term of a GP is 12 and its 6th term is 96. The first term is

    1. 3
    2. 6
    3. 2
    4. 4

  14. 2x, x + 10, 3x + 2 లు అంకశ్రేణిలో ఉండేటట్లు x విలువ

    1. 4
    2. 6
    3. 8
    4. 10
    సమాధానం

    B. 6

    The value of x for which 2x, x + 10 and 3x + 2 are in AP is

    1. 4
    2. 6
    3. 8
    4. 10

  15. 4, x, 36 లు గుణశ్రేణిలో ఉండి x ధనాత్మకమైతే, x విలువ

    1. 20
    2. 18
    3. 12
    4. 16
    సమాధానం

    C. 12

    If 4, x, 36 are in GP with x positive, then x is

    1. 20
    2. 18
    3. 12
    4. 16

  16. 6 మరియు 14 ల అంకమధ్యమం (AM)

    1. 8.4
    2. 10
    3. 20
    4. 9
    సమాధానం

    B. 10

    The arithmetic mean of 6 and 14 is

    1. 8.4
    2. 10
    3. 20
    4. 9

  17. 4 మరియు 9 ల గుణమధ్యమం (GM)

    1. 36
    2. 6.5
    3. 13
    4. 6
    సమాధానం

    D. 6

    The geometric mean of 4 and 9 is

    1. 36
    2. 6.5
    3. 13
    4. 6

  18. 2 మరియు 18 ల మధ్య మూడు అంకమధ్యమాలను చేర్చినప్పుడు సామాన్య భేదం

    1. 5
    2. 4
    3. 16/3
    4. 3
    సమాధానం

    B. 4

    When three arithmetic means are inserted between 2 and 18, the common difference is

    1. 5
    2. 4
    3. 16/3
    4. 3

  19. ఒక అంకశ్రేణిలో 10వ పదం 52, 17వ పదం 94. అయితే సామాన్య భేదం

    1. 5
    2. 8
    3. 6
    4. 7
    సమాధానం

    C. 6

    The 10th term of an AP is 52 and the 17th term is 94. The common difference is

    1. 5
    2. 8
    3. 6
    4. 7

  20. అంకశ్రేణి 10, 7, 4, … యొక్క 30వ పదం

    1. 77
    2. −80
    3. −87
    4. −77
    సమాధానం

    D. −77

    The 30th term of the AP 10, 7, 4, … is

    1. 77
    2. −80
    3. −87
    4. −77

  21. కింది వాటిలో ఏ జాబితా అంకశ్రేణి?

    1. 2, 4, 8, 16, …
    2. 1, 1/2, 1/3, …
    3. 1, 4, 7, 10, …
    4. 1, 4, 9, 16, …
    సమాధానం

    C. 1, 4, 7, 10, …

    Which of the following lists is an AP?

    1. 2, 4, 8, 16, …
    2. 1, 1/2, 1/3, …
    3. 1, 4, 7, 10, …
    4. 1, 4, 9, 16, …

  22. కింది వాటిలో ఏ జాబితా గుణశ్రేణి?

    1. 3, 6, 12, 24, …
    2. 1, 4, 9, 16, …
    3. 3, 6, 9, 12, …
    4. 2, 3, 5, 8, …
    సమాధానం

    A. 3, 6, 12, 24, …

    Which of the following lists is a GP?

    1. 3, 6, 12, 24, …
    2. 1, 4, 9, 16, …
    3. 3, 6, 9, 12, …
    4. 2, 3, 5, 8, …

  23. 1² + 2² + … + 10² విలువ

    1. 55
    2. 440
    3. 385
    4. 3025
    సమాధానం

    C. 385

    The value of 1² + 2² + … + 10² is

    1. 55
    2. 440
    3. 385
    4. 3025

  24. 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ విలువ

    1. 225
    2. 125
    3. 55
    4. 15
    సమాధానం

    A. 225

    The value of 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ is

    1. 225
    2. 125
    3. 55
    4. 15

  25. అంకశ్రేణిలో ఉన్న మూడు సంఖ్యల మొత్తం 15, లబ్ధం 105. వాటిలో చిన్న సంఖ్య

    1. 3
    2. 1
    3. 5
    4. 7
    సమాధానం

    A. 3

    Three numbers in AP have sum 15 and product 105. The smallest of them is

    1. 3
    2. 1
    3. 5
    4. 7

  26. ఒక అంకశ్రేణిలో n పదాల మొత్తం n² + 2n అయితే, 10వ పదం

    1. 23
    2. 21
    3. 120
    4. 20
    సమాధానం

    B. 21

    If the sum of n terms of an AP is n² + 2n, the 10th term is

    1. 23
    2. 21
    3. 120
    4. 20

  27. గుణశ్రేణి 4, −2, 1, … యొక్క అనంత పదాల మొత్తం

    1. 8
    2. 4/3
    3. 8/3
    4. 2
    సమాధానం

    C. 8/3

    The sum to infinity of the GP 4, −2, 1, … is

    1. 8
    2. 4/3
    3. 8/3
    4. 2

  28. గుణశ్రేణి 1, 2, 4, … యొక్క మొదటి 8 పదాల మొత్తం

    1. 511
    2. 256
    3. 127
    4. 255
    సమాధానం

    D. 255

    The sum of the first 8 terms of the GP 1, 2, 4, … is

    1. 511
    2. 256
    3. 127
    4. 255

  29. గుణశ్రేణి 80, 40, 20, … యొక్క 6వ పదం

    1. 5/2
    2. 5
    3. 10
    4. 2
    సమాధానం

    A. 5/2

    The 6th term of the GP 80, 40, 20, … is

    1. 5/2
    2. 5
    3. 10
    4. 2

  30. 4 చే భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యల సంఖ్య

    1. 23
    2. 22
    3. 21
    4. 20
    సమాధానం

    B. 22

    The number of two-digit numbers divisible by 4 is

    1. 23
    2. 22
    3. 21
    4. 20

  31. 3 యొక్క మొదటి 15 గుణిజాల మొత్తం

    1. 345
    2. 720
    3. 180
    4. 360
    సమాధానం

    D. 360

    The sum of the first 15 multiples of 3 is

    1. 345
    2. 720
    3. 180
    4. 360

  32. మూడవ పదం 8 గా గల అంకశ్రేణి యొక్క 5 పదాల మొత్తం

    1. 24
    2. 40
    3. 32
    4. 8
    సమాధానం

    B. 40

    The sum of 5 terms of an AP whose third term is 8 is

    1. 24
    2. 40
    3. 32
    4. 8

  33. మొత్తం 5 + 9 + 13 + … + 41

    1. 236
    2. 205
    3. 46
    4. 230
    సమాధానం

    D. 230

    The sum 5 + 9 + 13 + … + 41 is

    1. 236
    2. 205
    3. 46
    4. 230

  34. 4 మరియు 16 ల AM, వాటి GM కంటే ఎంత ఎక్కువ?

    1. 1
    2. 2
    3. 4
    4. 6
    సమాధానం

    B. 2

    The AM of 4 and 16 exceeds their GM by

    1. 1
    2. 2
    3. 4
    4. 6

  35. శ్రేణి 1 − 1/3 + 1/9 − … అనంతం వరకు మొత్తం

    1. 3/2
    2. 2/3
    3. 3/4
    4. 1
    సమాధానం

    C. 3/4

    The sum of the series 1 − 1/3 + 1/9 − … to infinity is

    1. 3/2
    2. 2/3
    3. 3/4
    4. 1

  36. అంకశ్రేణి 5, 8, 11, …, 95 లో చివరి నుండి మూడవ పదం

    1. 89
    2. 92
    3. 83
    4. 86
    సమాధానం

    A. 89

    The third term from the end of the AP 5, 8, 11, …, 95 is

    1. 89
    2. 92
    3. 83
    4. 86

  37. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. అంకశ్రేణిలో వరుస పదాల భేదం స్థిరంగా ఉంటుంది. 2. గుణశ్రేణిలో వరుస పదాలను తీసివేసి సామాన్య నిష్పత్తిని కనుగొంటారు.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    A. 1 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. In an AP the difference of consecutive terms is constant. 2. In a GP the common ratio is found by subtracting consecutive terms.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  38. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. 2b = a + c అయితే a, b, c లు అంకశ్రేణిలో ఉంటాయి. 2. b² = ac అయితే a, b, c లు గుణశ్రేణిలో ఉంటాయి.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    C. 1 మరియు 2 రెండూ

    Consider the statements: 1. a, b, c are in AP if 2b = a + c. 2. a, b, c are in GP if b² = ac.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  39. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. గుణశ్రేణి 1, 2, 4, … యొక్క అనంత పదాల మొత్తం ఉంటుంది. 2. |r| < 1 అయినప్పుడు గుణశ్రేణి యొక్క అనంత పదాల మొత్తం ఉంటుంది.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    B. 2 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. The sum to infinity of the GP 1, 2, 4, … exists. 2. The sum to infinity of a GP exists when |r| < 1.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  40. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం n(n + 1). 2. మొదటి n సరి సంఖ్యల మొత్తం n(n + 1).

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    B. 2 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. The sum of the first n odd numbers is n(n + 1). 2. The sum of the first n even numbers is n(n + 1).

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  41. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. 5, 5, 5, … వంటి సమాన సంఖ్యల జాబితా d = 0 గా గల అంకశ్రేణి. 2. గుణశ్రేణికి ఋణాత్మక సామాన్య నిష్పత్తి ఉండవచ్చు.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    C. 1 మరియు 2 రెండూ

    Consider the statements: 1. A list of equal numbers such as 5, 5, 5, … is an AP with d = 0. 2. A GP can have a negative common ratio.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  42. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. అంకశ్రేణికి aₙ = a + (n − 1)d. 2. గుణశ్రేణికి aₙ = a rⁿ.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    A. 1 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. aₙ = a + (n − 1)d for an AP. 2. aₙ = a rⁿ for a GP.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  43. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. అంకశ్రేణి సామాన్య భేదాన్ని వరుస పదాలను భాగించి కనుగొంటారు. 2. r = 1 అయినప్పుడు కూడా S∞ = a/(1 − r) వర్తిస్తుంది.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    D. 1 లేదా 2 కాదు

    Consider the statements: 1. The common difference of an AP is found by dividing consecutive terms. 2. S∞ = a/(1 − r) holds even when r = 1.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  44. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. ధనాత్మక సంఖ్యలు a, b లకు AM ≥ GM. 2. a = b అయినప్పుడు మాత్రమే AM = GM.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    C. 1 మరియు 2 రెండూ

    Consider the statements: 1. For positive numbers a and b, AM ≥ GM. 2. AM = GM only when a = b.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  45. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. 2, −4, 8, … యొక్క సామాన్య నిష్పత్తి −2. 2. ఈ గుణశ్రేణిలోని అన్ని పదాలకు ఒకే గుర్తు ఉంటుంది.

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    A. 1 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. The common ratio of 2, −4, 8, … is −2. 2. The terms of this GP all have the same sign.

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2
Page 1 of 1
‹
›