←
స్కూల్ అసిస్టెంట్లు మరియు TET పేపర్ 2A కోసం గణితం (VI-X తరగతులు) · Chapter 6

యూక్లిడ్, సర్వసమానత్వం, సదృశత్వం, పైథాగరస్ మరియు మధ్య బిందు సిద్ధాంతం

గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

  • సర్వసమాన పటాలు ఆకారం, పరిమాణం రెండింటిలో ఒకేలా ఉంటాయి; సదృశ పటాలు ఒకే ఆకారం, అనుపాత భుజాలు కలిగి ఉంటాయి. సర్వసమానత్వ నియమాలు SSS, SAS, ASA, AAS మరియు RHS; సదృశత్వ నియమాలు AA, SSS మరియు SAS.
  • ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం (థేల్స్ సిద్ధాంతం) ప్రకారం, త్రిభుజ ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
  • లంబకోణ త్రిభుజంలో (కర్ణం)² = (భూమి)² + (ఎత్తు)²; మధ్య బిందు సిద్ధాంతం ప్రకారం, రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉండి దానిలో సగం ఉంటుంది.

యూక్లిడ్ మరియు స్వయం సిద్ధ పద్ధతి

అలెగ్జాండ్రియాకు చెందిన యూక్లిడ్ (Euclid) 13 పుస్తకాల గ్రంథం *ఎలిమెంట్స్* రాశారు. ఆయన నిర్వచనాలతో (బిందువు అంటే భాగాలు లేనిది) ప్రారంభించి, సామాన్య భావనలను (వీటిని స్వయం సిద్ధాలు అని కూడా అంటారు) మరియు స్వీకృతాలను జాబితా చేసి, సిద్ధాంతాలను దశలవారీగా నిరూపించారు. పాఠశాల జ్యామితిలో ఇప్పటికీ వాడే తార్కిక నిరూపణకు ఇదే నమూనా.

కొన్ని సామాన్య భావనలు: ఒకే వస్తువుకు సమానమైన వస్తువులు ఒకదానికొకటి సమానం; సమానాలకు సమానాలను కలిపితే మొత్తాలు సమానం; ఒకదానిపై ఒకటి ఏకీభవించే వస్తువులు సమానం; మొత్తం భాగం కంటే పెద్దది.

యూక్లిడ్ ఐదు స్వీకృతాలు ఇచ్చారు. స్వీకృతం 1: ఏ బిందువు నుండి ఏ బిందువుకైనా సరళరేఖ గీయవచ్చు. స్వీకృతం 2: రేఖాఖండాన్ని అంతులేకుండా పొడిగించవచ్చు. స్వీకృతం 3: ఏ కేంద్రం, ఏ వ్యాసార్థంతోనైనా వృత్తం గీయవచ్చు. స్వీకృతం 4: అన్ని లంబకోణాలు సమానం. స్వీకృతం 5 (సమాంతర స్వీకృతం): ఒక రేఖ రెండు రేఖలను ఖండించినప్పుడు ఒక వైపు అంతర కోణాలు రెండు లంబకోణాల కంటే తక్కువైతే, ఆ రెండు రేఖలను పొడిగిస్తే ఆ వైపే కలుస్తాయి. ఐదవ స్వీకృతాన్ని నిరూపించే ప్రయత్నాలు తర్వాత యూక్లిడేతర జ్యామితులకు దారితీశాయి.

సిద్ధాంతం అంటే నిర్వచనాలు, స్వయం సిద్ధాలు మరియు ముందు సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించి నిరూపించిన ప్రవచనం. అనుబంధ సిద్ధాంతం ఒక సిద్ధాంతం నుండి నేరుగా వస్తుంది. ఒక ప్రవచనం యొక్క విపర్యయం దాని "అయితే", "అప్పుడు" భాగాలను మార్చుతుంది; విపర్యయం తప్పనిసరిగా సత్యం కావాలని లేదు.

త్రిభుజాల సర్వసమానత్వం

ఒక త్రిభుజాన్ని మరొకదానిపై సరిగ్గా ఉంచగలిగితే రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానం (గుర్తు ≅). వాటి సదృశ భుజాలు, కోణాలు సమానం. అక్షరాల క్రమం ముఖ్యం: ΔABC ≅ ΔPQR అంటే A↔P, B↔Q, C↔R.

నియమంఅర్థం
SSSఒక త్రిభుజంలోని మూడు భుజాలు మరొకదానిలోని మూడు భుజాలకు సమానం
SASరెండు భుజాలు మరియు వాటి మధ్య కోణం సమానం
ASAరెండు కోణాలు మరియు వాటి మధ్య భుజం సమానం
AASరెండు కోణాలు మరియు ఏదైనా ఒక అంతర్గతం కాని భుజం సమానం
RHSలంబకోణం, కర్ణం మరియు ఒక భుజం సమానం

SSA (రెండు భుజాలు మరియు ఒక అంతర్గతం కాని కోణం) మరియు AAA సాధారణంగా సర్వసమానత్వాన్ని నిరూపించవు. CPCT (సర్వసమాన త్రిభుజాల సదృశ భాగాలు సమానం) త్రిభుజాలు సర్వసమానమని నిరూపించిన తర్వాత వాడతారు.

ప్రామాణిక ఫలితాలు: త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉన్న కోణాలు సమానం, మరియు దాని విపర్యయం సత్యం. సమద్విబాహు త్రిభుజంలో శీర్షం నుండి గీసిన మధ్యగతరేఖ, ఎత్తు, కోణ సమద్విఖండన ఏకీభవిస్తాయి. త్రిభుజ కోణాల మొత్తం 180°. బాహ్య కోణం రెండు అంతర ఎదుటి కోణాల మొత్తానికి సమానం. ఏ త్రిభుజంలోనైనా పెద్ద కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న భుజం పొడవైనది.

త్రిభుజాల సదృశత్వం

సదృశ కోణాలు సమానంగా, సదృశ భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటే త్రిభుజాలు సదృశం (గుర్తు ∼).

నియమంషరతు
AA (AAA)రెండు కోణాలు సమానం (అప్పుడు మూడవది కూడా సమానం)
SSSమూడు జతల భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో
SASఒక కోణం సమానం మరియు దాన్ని కలిగిన భుజాలు అనుపాతంలో

ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం: ΔABC లో D, AB పై, E, AC పై ఉండి DE ∥ BC అయితే AD/DB = AE/EC. దీని విపర్యయం కూడా సత్యం: ఒక రేఖ రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తే అది మూడవ భుజానికి సమాంతరం.

వైశాల్య సిద్ధాంతం: సదృశ త్రిభుజాలకు వైశాల్యాల నిష్పత్తి = (సదృశ భుజాల నిష్పత్తి)². పరిధులు, మధ్యగతరేఖలు, ఎత్తులు, కోణ సమద్విఖండనల నిష్పత్తి భుజాల నిష్పత్తికి సమానమే.

సాధించిన ఉదాహరణ: ΔABC లో DE ∥ BC, AD = 3, DB = 6 మరియు AE = 2. అప్పుడు 3/6 = 2/EC, కాబట్టి EC = 4.

సాధించిన ఉదాహరణ: రెండు సదృశ త్రిభుజాల వైశాల్యాలు 16 మరియు 36. భుజాల నిష్పత్తి = √(16/36) = 2/3.

నీడ లెక్కలు సదృశ త్రిభుజాలను వాడతాయి: ఎత్తు h ఉన్న స్తంభం, నీడ s అయితే, ఒకే సమయంలో ప్రతి వస్తువుకు h/s ఒకటే.

B వద్ద లంబకోణం ఉన్న లంబకోణ త్రిభుజం ABC లో BD ⊥ AC అయితే ABD, BCD మరియు ABC త్రిభుజాలు సదృశం, దీనివల్ల BD² = AD × DC, AB² = AD × AC మరియు BC² = DC × AC.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం

లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణంపై చతురస్రం మిగిలిన రెండు భుజాలపై చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం: c² = a² + b². విపర్యయం ప్రకారం, త్రిభుజంలో c² = a² + b² అయితే c భుజానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణం 90°. c², a² + b² కంటే ఎక్కువైతే పెద్ద కోణం అధికకోణం; తక్కువైతే త్రిభుజం అల్పకోణ త్రిభుజం.

సాధారణ త్రిక సంఖ్యలు
3, 4, 5
5, 12, 13
8, 15, 17
7, 24, 25
20, 21, 29

ఏ త్రికం యొక్క గుణిజమైనా త్రికమే, ఉదా: 6, 8, 10. m > n అయినప్పుడు (m² − n², 2mn, m² + n²) గా త్రికాన్ని నిర్మించవచ్చు.

ఉపయోగకర ఫలితాలు: భుజం a ఉన్న చతురస్ర కర్ణం a√2. దీర్ఘచతురస్ర కర్ణం √(l² + b²). భుజం a ఉన్న సమబాహు త్రిభుజ ఎత్తు (√3/2)a, వైశాల్యం (√3/4)a². సమ చతుర్భుజంలో కర్ణాలు ఒకదానికొకటి లంబంగా సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి, కాబట్టి భుజం² = (d₁/2)² + (d₂/2)². సమతల నేలపై రెండు స్తంభాల పైభాగాల మధ్య దూరం √(దూరం² + (ఎత్తుల భేదం)²).

మధ్య బిందు సిద్ధాంతం

త్రిభుజంలో రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉండి దానిలో సగం ఉంటుంది. విపర్యయం: ఒక భుజం మధ్య బిందువు గుండా రెండవ భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మూడవ భుజాన్ని సమద్విఖండన చేస్తుంది. మూడు మధ్య బిందువులను కలిపితే త్రిభుజం నాలుగు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజించబడుతుంది, కొత్త త్రిభుజ పరిధి అసలు పరిధిలో సగం, వైశాల్యం నాలుగో వంతు. ఏ చతుర్భుజంలోనైనా వరుస భుజాల మధ్య బిందువులను కలపగా ఏర్పడే చతుర్భుజం సమాంతర చతుర్భుజం.

మరిన్ని సాధించిన ఉదాహరణలు

  • 1. 13 మీ పొడవైన నిచ్చెన 12 మీ ఎత్తున్న కిటికీని చేరుతుంది. పాదం 13² − 12² = 25, కాబట్టి గోడ నుండి 5 మీ దూరంలో ఉంది.
  • 2. భుజాలు 9, 12, 15: 9² + 12² = 225 = 15², కాబట్టి త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజం, లంబకోణం 15 కి ఎదురుగా ఉంటుంది.
  • 3. 6 మీ మరియు 11 మీ ఎత్తు గల రెండు స్తంభాలు 12 మీ దూరంలో ఉన్నాయి. పైభాగాల మధ్య దూరం √(12² + 5²) = 13 మీ.
  • 4. ΔABC లో AB, AC ల మధ్య బిందువులు D, E మరియు BC = 14 సెం.మీ. అప్పుడు DE = 7 సెం.మీ మరియు DE ∥ BC.
  • 5. త్రిభుజం ABC ∼ త్రిభుజం PQR, AB = 6, PQ = 9, BC = 8. స్కేల్ కారకం 3/2, కాబట్టి QR = 12.
  • 6. కర్ణం 20 సెం.మీ, భుజాల నిష్పత్తి 3 : 4 : 5 ఉన్న లంబకోణ త్రిభుజం భుజాలు 12 మరియు 16, కాబట్టి దాని వైశాల్యం 96 చ.సెం.మీ.

తరగతి గది దృష్టికోణం

జ్యామితిని మూర్త భావన నుండి అమూర్త భావనకు బోధించడం ఉత్తమం. సర్వసమానత్వం కోసం విద్యార్థులు కాగితం త్రిభుజాలు కత్తిరించి ఒకదానిపై ఒకటి ఉంచనివ్వండి. మధ్య బిందు సిద్ధాంతం కోసం అనేక త్రిభుజాలు గీసి, కొలిచి, నిరూపణకు ముందు ఒక ఊహను ఏర్పరచనివ్వండి. కొన్ని నియమాలు ఎందుకు విఫలమవుతాయో చూపడానికి SSA, AAA లకు ప్రతి ఉదాహరణలు చూపండి. సదృశత్వం కోసం నీడలు, అద్దాలు వాడండి. సాధారణ అపోహలు: శీర్షాలను తప్పు క్రమంలో రాయడం, "సదృశం"ను "సమానం"గా భావించడం, లంబకోణం కాని త్రిభుజాలకు పైథాగరస్ వాడటం, స్కేల్ ప్రకారం గీసిన బొమ్మ ఫలితాన్ని నిరూపిస్తుందని అనుకోవడం.

పరీక్షలో పొరపాట్లు

  • SSA సర్వసమానత్వ పరీక్ష కాదు; RHS అనేది లంబకోణ త్రిభుజాలకు మాత్రమే పనిచేసే ప్రత్యేక సందర్భం.
  • AAA సదృశత్వాన్ని ఇస్తుంది, సర్వసమానత్వాన్ని కాదు.
  • వైశాల్య నిష్పత్తి భుజాల నిష్పత్తి వర్గం, కానీ పరిధి నిష్పత్తి భుజాల నిష్పత్తికి సమానమే.
  • పైథాగరస్ విపర్యయం ప్రత్యేక సిద్ధాంతం; దీనిని సిద్ధాంతంతో కలపకూడదు.
  • BPTలో నిష్పత్తులు భాగం-భాగం (AD/DB), భాగం-మొత్తం కాదు, అయినా AD/AB = AE/AC కూడా సత్యమే.
  • మధ్య బిందు రేఖాఖండం మూడవ భుజంలో సగం, దానికి సమానం కాదు.
  • సర్వసమాన త్రిభుజాలు సదృశం, కానీ సదృశ త్రిభుజాలు సర్వసమానం కావాలని లేదు.
  • సామాన్య భావన (స్వయం సిద్ధం) సాధారణ సత్యం; స్వీకృతం జ్యామితికి ప్రత్యేకమైనది.

ఒక్క వాక్య సారాంశాలు

  • 1. యూక్లిడ్ *ఎలిమెంట్స్* లో 13 పుస్తకాలు ఉన్నాయి.
  • 2. యూక్లిడ్ ఐదు స్వీకృతాలు ఇచ్చారు.
  • 3. ఐదవ స్వీకృతం సమాంతర స్వీకృతం.
  • 4. సర్వసమానత్వ గుర్తు ≅, సదృశత్వ గుర్తు ∼.
  • 5. CPCT సర్వసమానత్వం నిరూపించిన తర్వాత మాత్రమే చెల్లుతుంది.
  • 6. త్రిభుజ కోణాల మొత్తం 180°.
  • 7. BPTని థేల్స్ సిద్ధాంతం అని కూడా అంటారు.
  • 8. సదృశ త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి భుజాల నిష్పత్తి వర్గానికి సమానం.
  • 9. 5, 12, 13 ఒక పైథాగరస్ త్రికం.
  • 10. భుజం a ఉన్న చతురస్ర కర్ణం a√2.
  • 11. భుజం a ఉన్న సమబాహు త్రిభుజ ఎత్తు (√3/2)a.
  • 12. మధ్య బిందు రేఖాఖండం మూడవ భుజానికి సమాంతరం, దానిలో సగం.

సాధన ప్రశ్నలు

  1. యూక్లిడ్ రచించిన జ్యామితి ప్రసిద్ధ గ్రంథం పేరు

    1. అరిథ్‌మెటికా (Arithmetica)
    2. లీలావతి
    3. అల్మాజెస్ట్ (Almagest)
    4. ఎలిమెంట్స్ (Elements)
    సమాధానం

    D. ఎలిమెంట్స్ (Elements)

    Euclid's famous work on geometry is called

    1. Arithmetica
    2. Lilavati
    3. Almagest
    4. Elements

  2. యూక్లిడ్ తన ఎలిమెంట్స్‌లో ఎన్ని పోస్టులేట్లను పేర్కొన్నాడు?

    1. 5
    2. 3
    3. 7
    4. 10
    సమాధానం

    A. 5

    How many postulates did Euclid list in the Elements?

    1. 5
    2. 3
    3. 7
    4. 10

  3. 'సమానాలకు సమానాలను కలిపితే మొత్తాలు సమానం' అనేది దీనికి ఉదాహరణ

    1. నిర్మాణం
    2. సిద్ధాంతం
    3. నిర్వచనం
    4. సామాన్య భావన (స్వయంసిద్ధం)
    సమాధానం

    D. సామాన్య భావన (స్వయంసిద్ధం)

    'If equals are added to equals, the wholes are equal' is an example of

    1. a construction
    2. a theorem
    3. a definition
    4. a common notion (axiom)

  4. కింది వాటిలో త్రిభుజాల సర్వసమానత్వానికి చెల్లుబాటు కాని నియమం ఏది?

    1. ASA
    2. SAS
    3. RHS
    4. SSA (రెండు భుజాలు మరియు అంతర్గతం కాని కోణం)
    సమాధానం

    D. SSA (రెండు భుజాలు మరియు అంతర్గతం కాని కోణం)

    Which of the following is NOT a valid criterion for congruence of triangles?

    1. ASA
    2. SAS
    3. RHS
    4. SSA (two sides and a non-included angle)

  5. RHS సర్వసమానత్వ నియమాన్ని వీటికి మాత్రమే ఉపయోగిస్తారు

    1. అధిక కోణ త్రిభుజాలు
    2. లంబకోణ త్రిభుజాలు
    3. సమద్విబాహు త్రిభుజాలు
    4. సమబాహు త్రిభుజాలు
    సమాధానం

    B. లంబకోణ త్రిభుజాలు

    The RHS criterion for congruence is used only for

    1. obtuse-angled triangles
    2. right-angled triangles
    3. isosceles triangles
    4. equilateral triangles

  6. CPCT సంక్షిప్తరూపంలో చివరి అక్షరం 'T' దేనిని సూచిస్తుంది?

    1. ఛేదనరేఖలు (transversals)
    2. సిద్ధాంతాలు
    3. త్రిభుజాలు
    4. స్పర్శరేఖలు
    సమాధానం

    C. త్రిభుజాలు

    In the abbreviation CPCT, the letter 'T' at the end stands for

    1. transversals
    2. theorems
    3. triangles
    4. tangents

  7. త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉన్న కోణాలు

    1. పూరక కోణాలు
    2. సంపూరక కోణాలు
    3. సమానం
    4. ఎల్లప్పుడూ లంబకోణాలు
    సమాధానం

    C. సమానం

    In a triangle, the angles opposite to equal sides are

    1. complementary
    2. supplementary
    3. equal
    4. always right angles

  8. ఒక త్రిభుజంలోని రెండు కోణాలు మరొక త్రిభుజంలోని రెండు కోణాలకు సమానమైతే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సరూపాలు. ఇది

    1. SAS సర్వసమానత్వం
    2. AA నియమం
    3. RHS నియమం
    4. ASA సర్వసమానత్వం
    సమాధానం

    B. AA నియమం

    Two triangles are similar if two angles of one are equal to two angles of the other. This is the

    1. SAS congruence
    2. AA criterion
    3. RHS criterion
    4. ASA congruence

  9. ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతానికి మరొక పేరు

    1. టాలెమీ సిద్ధాంతం
    2. అపోలోనియస్ సిద్ధాంతం
    3. బ్రహ్మగుప్త సిద్ధాంతం
    4. థేల్స్ సిద్ధాంతం
    సమాధానం

    D. థేల్స్ సిద్ధాంతం

    The Basic Proportionality Theorem is also known as

    1. Ptolemy theorem
    2. Apollonius theorem
    3. Brahmagupta theorem
    4. Thales theorem

  10. కింది వాటిలో పైథాగరస్ త్రిక ఏది?

    1. 5, 10, 13
    2. 9, 12, 16
    3. 6, 8, 11
    4. 8, 15, 17
    సమాధానం

    D. 8, 15, 17

    Which of the following is a Pythagorean triple?

    1. 5, 10, 13
    2. 9, 12, 16
    3. 6, 8, 11
    4. 8, 15, 17

  11. త్రిభుజంలో రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం

    1. మూడవ భుజానికి లంబంగా ఉండి దానిలో సగం ఉంటుంది
    2. మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉండి దానిలో సగం ఉంటుంది
    3. మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉండి దానికి సమానంగా ఉంటుంది
    4. మూడవ భుజానికి లంబంగా ఉండి దానికి సమానంగా ఉంటుంది
    సమాధానం

    B. మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉండి దానిలో సగం ఉంటుంది

    The line segment joining the mid-points of two sides of a triangle is

    1. perpendicular to the third side and half of it
    2. parallel to the third side and half of it
    3. parallel to the third side and equal to it
    4. perpendicular to the third side and equal to it

  12. రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి దీనికి సమానం

    1. వాటి చుట్టుకొలతల నిష్పత్తి
    2. సంబంధిత భుజాల ఘనాల నిష్పత్తి
    3. వాటి సంబంధిత భుజాల వర్గాల నిష్పత్తి
    4. వాటి సంబంధిత భుజాల నిష్పత్తి
    సమాధానం

    C. వాటి సంబంధిత భుజాల వర్గాల నిష్పత్తి

    The ratio of the areas of two similar triangles is equal to

    1. the ratio of their perimeters
    2. the ratio of the cubes of corresponding sides
    3. the ratio of the squares of their corresponding sides
    4. the ratio of their corresponding sides

  13. భుజాలు 6 cm, 8 cm గా గల లంబకోణ త్రిభుజం కర్ణం

    1. 10 cm
    2. 9 cm
    3. 12 cm
    4. 14 cm
    సమాధానం

    A. 10 cm

    The hypotenuse of a right triangle with legs 6 cm and 8 cm is

    1. 10 cm
    2. 9 cm
    3. 12 cm
    4. 14 cm

  14. భుజం 5 cm గా గల చతురస్ర కర్ణం

    1. 10 cm
    2. 5 cm
    3. 5√3 cm
    4. 5√2 cm
    సమాధానం

    D. 5√2 cm

    The diagonal of a square of side 5 cm is

    1. 10 cm
    2. 5 cm
    3. 5√3 cm
    4. 5√2 cm

  15. భుజం 10 cm గా గల సమబాహు త్రిభుజ ఎత్తు (లంబం)

    1. 5√3 cm
    2. 5 cm
    3. 10√3 cm
    4. 5√2 cm
    సమాధానం

    A. 5√3 cm

    The altitude of an equilateral triangle of side 10 cm is

    1. 5√3 cm
    2. 5 cm
    3. 10√3 cm
    4. 5√2 cm

  16. సర్వసమాన మరియు సరూప పటాల గురించి సరైన వాక్యం ఏది?

    1. సర్వసమాన త్రిభుజాలకు వేర్వేరు కోణాలు ఉండవచ్చు
    2. సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాలు ఎల్లప్పుడూ సమానం
    3. సర్వసమాన త్రిభుజాలు ఎల్లప్పుడూ సరూపాలు
    4. సరూప త్రిభుజాలు ఎల్లప్పుడూ సర్వసమానాలు
    సమాధానం

    C. సర్వసమాన త్రిభుజాలు ఎల్లప్పుడూ సరూపాలు

    Which statement about congruent and similar figures is correct?

    1. Congruent triangles can have different angles
    2. Similar triangles always have equal areas
    3. Congruent triangles are always similar
    4. Similar triangles are always congruent

  17. రెండు త్రిభుజాల మధ్య ఉన్న '∼' గుర్తు అవి ఎలా ఉన్నాయని సూచిస్తుంది?

    1. సర్వసమానం
    2. వైశాల్యంలో మాత్రమే సమానం
    3. సరూపం
    4. సమాంతరం
    సమాధానం

    C. సరూపం

    The symbol '∼' between two triangles means they are

    1. congruent
    2. equal in area only
    3. similar
    4. parallel

  18. లంబకోణ త్రిభుజంలో అతి పొడవైన భుజం ఎల్లప్పుడూ

    1. మధ్యగత రేఖ
    2. కర్ణం
    3. అతి చిన్న కోణానికి ఆనుకుని ఉన్న భుజం
    4. లంబం (ఎత్తు)
    సమాధానం

    B. కర్ణం

    In a right triangle, the longest side is always

    1. the median
    2. the hypotenuse
    3. the side adjacent to the smallest angle
    4. the altitude

  19. త్రిభుజం ABC లో DE ∥ BC; D బిందువు AB పైన, E బిందువు AC పైన ఉన్నాయి. AD = 3 cm, DB = 6 cm, AE = 2 cm అయితే EC

    1. 1 cm
    2. 3 cm
    3. 6 cm
    4. 4 cm
    సమాధానం

    D. 4 cm

    In triangle ABC, DE ∥ BC with D on AB and E on AC. If AD = 3 cm, DB = 6 cm and AE = 2 cm, then EC is

    1. 1 cm
    2. 3 cm
    3. 6 cm
    4. 4 cm

  20. రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి 4 : 9. చిన్న త్రిభుజ వైశాల్యం 16 cm² అయితే పెద్ద త్రిభుజ వైశాల్యం

    1. 36 cm²
    2. 72 cm²
    3. 24 cm²
    4. 64 cm²
    సమాధానం

    A. 36 cm²

    Two similar triangles have areas in the ratio 4 : 9. If the smaller has area 16 cm², the larger has area

    1. 36 cm²
    2. 72 cm²
    3. 24 cm²
    4. 64 cm²

  21. 13 m పొడవైన నిచ్చెన గోడకు ఆనించబడి ఉంది; దాని అడుగు గోడ నుండి 5 m దూరంలో ఉంది. గోడపై అది చేరే ఎత్తు

    1. 8 m
    2. 12 m
    3. 11 m
    4. 10 m
    సమాధానం

    B. 12 m

    A 13 m ladder leans against a wall with its foot 5 m from the wall. The height reached on the wall is

    1. 8 m
    2. 12 m
    3. 11 m
    4. 10 m

  22. ఒక త్రిభుజం భుజాలు 9 cm, 12 cm, 15 cm. ఆ త్రిభుజం

    1. సమబాహు త్రిభుజం
    2. లంబకోణ త్రిభుజం
    3. అల్పకోణ త్రిభుజం
    4. అధిక కోణ త్రిభుజం
    సమాధానం

    B. లంబకోణ త్రిభుజం

    A triangle has sides 9 cm, 12 cm and 15 cm. It is

    1. equilateral
    2. right-angled
    3. acute-angled
    4. obtuse-angled

  23. త్రిభుజం ABC లో AB, AC ల మధ్య బిందువులు D, E. BC = 14 cm అయితే DE

    1. 7 cm
    2. 14 cm
    3. 28 cm
    4. 3.5 cm
    సమాధానం

    A. 7 cm

    D and E are the mid-points of AB and AC of triangle ABC. If BC = 14 cm, then DE is

    1. 7 cm
    2. 14 cm
    3. 28 cm
    4. 3.5 cm

  24. ఒక త్రిభుజం చుట్టుకొలత 30 cm. దాని భుజాల మధ్య బిందువులను కలపగా ఏర్పడే త్రిభుజం చుట్టుకొలత

    1. 10 cm
    2. 60 cm
    3. 15 cm
    4. 30 cm
    సమాధానం

    C. 15 cm

    The perimeter of a triangle is 30 cm. The triangle formed by joining the mid-points of its sides has perimeter

    1. 10 cm
    2. 60 cm
    3. 15 cm
    4. 30 cm

  25. ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాలు 10 cm, భూమి 12 cm. భూమికి గీసిన ఎత్తు

    1. 6 cm
    2. 7 cm
    3. 9 cm
    4. 8 cm
    సమాధానం

    D. 8 cm

    An isosceles triangle has equal sides 10 cm and base 12 cm. Its altitude to the base is

    1. 6 cm
    2. 7 cm
    3. 9 cm
    4. 8 cm

  26. ఒక రాంబస్ కర్ణాలు 10 cm, 24 cm. దాని భుజం

    1. 14 cm
    2. 13 cm
    3. 17 cm
    4. 12 cm
    సమాధానం

    B. 13 cm

    The diagonals of a rhombus are 10 cm and 24 cm. Its side is

    1. 14 cm
    2. 13 cm
    3. 17 cm
    4. 12 cm

  27. త్రిభుజం ABC ∼ త్రిభుజం PQR; AB = 6, PQ = 9, BC = 8. అయితే QR

    1. 12
    2. 10
    3. 16
    4. 13.5
    సమాధానం

    A. 12

    Triangle ABC ∼ triangle PQR with AB = 6, PQ = 9 and BC = 8. Then QR is

    1. 12
    2. 10
    3. 16
    4. 13.5

  28. 6 m, 11 m ఎత్తు గల రెండు స్తంభాలు సమతల నేలపై 12 m దూరంలో ఉన్నాయి. వాటి పైభాగాల మధ్య దూరం

    1. 15 m
    2. 17 m
    3. 13 m
    4. 12 m
    సమాధానం

    C. 13 m

    Two poles of heights 6 m and 11 m stand on level ground 12 m apart. The distance between their tops is

    1. 15 m
    2. 17 m
    3. 13 m
    4. 12 m

  29. 6 m స్తంభం నీడ పొడవు 4 m. అదే సమయంలో ఒక టవర్ నీడ పొడవు 20 m. టవర్ ఎత్తు

    1. 24 m
    2. 26 m
    3. 36 m
    4. 30 m
    సమాధానం

    D. 30 m

    A 6 m pole casts a shadow 4 m long. At the same time a tower casts a shadow 20 m long. The tower's height is

    1. 24 m
    2. 26 m
    3. 36 m
    4. 30 m

  30. లంబకోణ త్రిభుజం ABC లో (B వద్ద లంబకోణం) BD ⟂ AC. AD = 4 cm, DC = 9 cm అయితే BD

    1. 6.5 cm
    2. 6 cm
    3. 13 cm
    4. 5 cm
    సమాధానం

    B. 6 cm

    In right triangle ABC (right angle at B), BD is perpendicular to AC. If AD = 4 cm and DC = 9 cm, then BD is

    1. 6.5 cm
    2. 6 cm
    3. 13 cm
    4. 5 cm

  31. భుజాలు 9 cm, 12 cm గా గల లంబకోణ త్రిభుజం కర్ణంపై నిర్మించిన చతురస్ర వైశాల్యం

    1. 225 cm²
    2. 21 cm²
    3. 180 cm²
    4. 144 cm²
    సమాధానం

    A. 225 cm²

    A right triangle has legs 9 cm and 12 cm. The area of the square drawn on its hypotenuse is

    1. 225 cm²
    2. 21 cm²
    3. 180 cm²
    4. 144 cm²

  32. కర్ణం 20 cm గా గల లంబకోణ త్రిభుజం భుజాల నిష్పత్తి 3 : 4 : 5. దాని వైశాల్యం

    1. 120 cm²
    2. 150 cm²
    3. 96 cm²
    4. 60 cm²
    సమాధానం

    C. 96 cm²

    A right triangle has hypotenuse 20 cm and its sides are in the ratio 3 : 4 : 5. Its area is

    1. 120 cm²
    2. 150 cm²
    3. 96 cm²
    4. 60 cm²

  33. రెండు సరూప త్రిభుజాల సంబంధిత భుజాల నిష్పత్తి 2 : 3. వాటి సంబంధిత మధ్యగత రేఖల నిష్పత్తి

    1. 8 : 27
    2. 4 : 9
    3. 3 : 2
    4. 2 : 3
    సమాధానం

    D. 2 : 3

    Two similar triangles have corresponding sides in the ratio 2 : 3. The ratio of their corresponding medians is

    1. 8 : 27
    2. 4 : 9
    3. 3 : 2
    4. 2 : 3

  34. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. SAS సర్వసమానత్వానికి రెండు భుజాలు మరియు వాటి మధ్య కోణం అవసరం. 2. AAA అనేది త్రిభుజాల సర్వసమానత్వ నియమం. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    A. 1 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. SAS congruence needs two sides and the angle included between them. 2. AAA is a criterion for congruence of triangles. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  35. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. అన్ని వృత్తాలు సరూపాలు. 2. అన్ని సర్వసమాన పటాలు సరూపాలు. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    C. 1 మరియు 2 రెండూ

    Consider the statements: 1. All circles are similar. 2. All congruent figures are similar. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  36. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజం వర్గం మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానమైతే, ఆ భుజానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణం లంబకోణం. 2. పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రతి త్రిభుజానికి వర్తిస్తుంది. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    A. 1 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. If the square of one side of a triangle equals the sum of the squares of the other two, the angle opposite the first side is a right angle. 2. The Pythagoras theorem is true for every triangle. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  37. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది. 2. రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం మూడవ భుజానికి రెట్టింపు ఉంటుంది. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    A. 1 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. The segment joining mid-points of two sides is parallel to the third side. 2. The segment joining mid-points of two sides is double the third side. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  38. సరూప త్రిభుజాల గురించి కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. సంబంధిత కోణాలు సమానం. 2. సంబంధిత భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో ఉంటాయి. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    C. 1 మరియు 2 రెండూ

    Consider the statements about similar triangles: 1. Corresponding angles are equal. 2. Corresponding sides are in the same ratio. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  39. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. SSA అనేది ఏ రెండు త్రిభుజాల సర్వసమానత్వానికైనా చెల్లుబాటయ్యే పరీక్ష. 2. ASA అనేది సర్వసమానత్వానికి చెల్లుబాటయ్యే పరీక్ష. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    B. 2 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. SSA is a valid test for congruence of any two triangles. 2. ASA is a valid test for congruence. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  40. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. యూక్లిడ్ ఐదవ పోస్టులేట్ సమాంతర రేఖలకు సంబంధించినది. 2. యూక్లిడ్ ఎలిమెంట్స్ 13 గ్రంథాలుగా విభజించబడింది. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    C. 1 మరియు 2 రెండూ

    Consider the statements: 1. Euclid's fifth postulate is connected with parallel lines. 2. Euclid's Elements is divided into 13 books. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  41. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి సంబంధిత భుజాల నిష్పత్తికి సమానం. 2. సమాన కోణాలు గల రెండు త్రిభుజాలు ఎల్లప్పుడూ సర్వసమానాలు. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    D. 1 లేదా 2 కాదు

    Consider the statements: 1. The ratio of areas of similar triangles equals the ratio of their corresponding sides. 2. Two triangles with equal angles are always congruent. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  42. ఏ జత సరిగ్గా సరిపోలింది?

    1. SAS సరూపత: రెండు కోణాలు మరియు ఒక భుజం సమానం
    2. పైథాగరస్ సిద్ధాంతం: అన్ని త్రిభుజాలకు వర్తిస్తుంది
    3. మధ్య బిందు సిద్ధాంతం: రేఖాఖండం మూడవ భుజానికి సమానం
    4. BPT: ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది
    సమాధానం

    D. BPT: ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది

    Which pair is correctly matched?

    1. SAS similarity : two angles and a side equal
    2. Pythagoras theorem : holds for all triangles
    3. Mid-point theorem : segment is equal to the third side
    4. BPT : a line parallel to one side divides the other two sides in the same ratio

  43. IX తరగతి ఉపాధ్యాయుడు విద్యార్థులు మధ్య బిందు సిద్ధాంతాన్ని స్వయంగా కనుగొనేలా చేయాలనుకుంటున్నాడు. అత్యంత ప్రభావవంతమైన మొదటి కృత్యం

    1. ముందుగా పొడవైన బీజగణిత నిరూపణ ఇవ్వడం
    2. విద్యార్థులు త్రిభుజాలు గీసి, మధ్య బిందువులను గుర్తించి, కలిపే రేఖాఖండాన్ని మరియు భూమిని కొలిచేలా చేయడం
    3. సిద్ధాంతాన్ని చెప్పి కంఠస్థం చేయమనడం
    4. బోర్డుపై ఉన్న నిరూపణను కాపీ చేయమనడం
    సమాధానం

    B. విద్యార్థులు త్రిభుజాలు గీసి, మధ్య బిందువులను గుర్తించి, కలిపే రేఖాఖండాన్ని మరియు భూమిని కొలిచేలా చేయడం

    A Class IX teacher wants learners to discover the mid-point theorem. The most effective first activity is to

    1. give a long algebraic proof first
    2. let learners draw triangles, mark mid-points and measure the joining segment and the base
    3. state the theorem and ask them to memorise it
    4. ask them to copy the proof from the board

  44. రెండు భుజాలు మరియు అంతర్గతం కాని కోణం సరిపోలినందున రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానమని ఒక విద్యార్థి వాదిస్తున్నాడు. ఉపాధ్యాయుడి ఉత్తమ ప్రతిస్పందన

    1. చాలా కష్టమని ఆ అంశాన్ని వదిలేయడం
    2. అలాంటి దత్తాంశంతో రెండు వేర్వేరు త్రిభుజాలు గీసి ప్రతి ఉదాహరణ చూపడం
    3. వివరణ లేకుండా తప్పు అని చెప్పడం
    4. దాదాపు సరైనదని అంగీకరించడం
    సమాధానం

    B. అలాంటి దత్తాంశంతో రెండు వేర్వేరు త్రిభుజాలు గీసి ప్రతి ఉదాహరణ చూపడం

    A learner claims two triangles are congruent because two sides and a non-included angle match. The best teacher response is to

    1. skip the topic as too hard
    2. show a counter-example by drawing two different triangles with such data
    3. say it is wrong without explanation
    4. accept it because it is nearly right
Page 1 of 1
‹
›