←
స్కూల్ అసిస్టెంట్లు మరియు TET పేపర్ 2A కోసం గణితం (VI-X తరగతులు) · Chapter 7

వృత్తాలు, జ్యాలు, చక్రీయ చతుర్భుజాలు, స్పర్శరేఖలు మరియు నిర్మాణాలు

గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

  • కేంద్రం నుండి జ్యాకు గీసిన లంబం జ్యాను సమద్విఖండన చేస్తుంది; కేంద్రం వద్ద కోణం మిగిలిన వృత్తంపై కోణానికి రెట్టింపు; అర్ధవృత్తంలో కోణం 90°.
  • చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదుటి కోణాల మొత్తం 180°; స్పర్శరేఖ స్పర్శ బిందువు వద్ద వ్యాసార్థానికి లంబం; బాహ్య బిందువు నుండి గీసిన స్పర్శరేఖలు సమానం.
  • నిర్మాణాలకు స్కేలు, వృత్తలేఖినిని మాత్రమే వాడతారు: సమద్విఖండనలు, ప్రామాణిక కోణాలు, స్పర్శరేఖలు, రేఖాఖండాన్ని నిష్పత్తిలో విభజించడం, ఇచ్చిన దత్తాంశంతో త్రిభుజాలు.

ప్రాథమిక పదాలు

వృత్తం అంటే ఒక స్థిర బిందువు (కేంద్రం) నుండి స్థిర దూరంలో (వ్యాసార్థం) ఉన్న బిందువుల సమితి. జ్య వృత్తంపై రెండు బిందువులను కలుపుతుంది; వ్యాసం అతి పొడవైన జ్య, వ్యాసార్థానికి రెట్టింపు. ఛేదనరేఖ వృత్తాన్ని రెండు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది; స్పర్శరేఖ సరిగ్గా ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది. చాపం వృత్తంలో ఒక భాగం: చిన్నది లఘు చాపం, పెద్దది గురు చాపం. ఖండం అంటే జ్య మరియు చాపం మధ్య ప్రాంతం. సెక్టార్ అంటే రెండు వ్యాసార్థాలు మరియు చాపం మధ్య ప్రాంతం.

సమాన చాపాలు కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి, సమాన జ్యాలు సమాన చాపాలను ఖండిస్తాయి. సర్వసమాన వృత్తాల వ్యాసార్థాలు సమానం.

జ్యాలు

  • 1. కేంద్రం నుండి జ్యాకు గీసిన లంబం ఆ జ్యాను సమద్విఖండన చేస్తుంది.
  • 2. కేంద్రం నుండి జ్య మధ్య బిందువుకు గీసిన రేఖ జ్యాకు లంబం.
  • 3. సమాన జ్యాలు కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉంటాయి; కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న జ్యాలు సమానం.
  • 4. పొడవైన జ్య కేంద్రానికి దగ్గరగా ఉంటుంది.
  • 5. జ్య యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ కేంద్రం గుండా వెళ్తుంది.
  • 6. ఒకే సరళరేఖపై లేని మూడు బిందువుల గుండా సరిగ్గా ఒక వృత్తం వెళ్తుంది.

జ్య పొడవు సూత్రం: వ్యాసార్థం r ఉన్న వృత్త కేంద్రం నుండి d దూరంలో జ్య ఉంటే, దాని పొడవు 2√(r² − d²). ఉదాహరణ: r = 13, d = 5 అయితే 2 × 12 = 24.

వృత్తంలో కోణాలు

ఫలితంప్రవచనం
కేంద్ర కోణ సిద్ధాంతంకేంద్రం వద్ద కోణం = మిగిలిన వృత్తంపై కోణానికి 2 రెట్లు
ఒకే ఖండంఒకే ఖండంలోని కోణాలు సమానం
అర్ధవృత్తంఅర్ధవృత్తంలో కోణం = 90°
విపర్యయంఒక రేఖాఖండం ఒకే వైపున ఉన్న రెండు బిందువుల వద్ద సమాన కోణాలు ఏర్పరిస్తే, ఆ నాలుగు బిందువులు ఒకే వృత్తంపై ఉంటాయి

చక్రీయ చతుర్భుజాలు

నాలుగు శీర్షాలు ఒక వృత్తంపై ఉన్న చతుర్భుజం చక్రీయం. దాని ఎదుటి కోణాలు సంపూరకాలు (మొత్తం 180°), మరియు ప్రతి బాహ్య కోణం అంతర ఎదుటి కోణానికి సమానం. విపర్యయం సత్యం: చతుర్భుజంలో ఎదుటి కోణాలు సంపూరకాలైతే అది చక్రీయం. చక్రీయమైన సమాంతర చతుర్భుజం తప్పనిసరిగా దీర్ఘచతురస్రం; చక్రీయ సమ చతుర్భుజం చతురస్రం; చక్రీయ ట్రెపీజియం సమద్విబాహు.

ఉదాహరణ: ∠A = 100° అయితే ∠C = 80°. ∠B = 65° అయితే D వద్ద బాహ్య కోణం 65°.

స్పర్శరేఖలు

వాస్తవంవివరం
లంబత్వంస్పర్శరేఖ ⟂ స్పర్శ బిందువు వద్ద వ్యాసార్థం
సమాన స్పర్శరేఖలుబాహ్య బిందువు నుండి గీసిన రెండు స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానం
సంఖ్యబాహ్య బిందువు: 2; వృత్తంపై బిందువు: 1; అంతర బిందువు: 0
పొడవుస్పర్శరేఖ పొడవు = √(d² − r²), d = కేంద్రం నుండి దూరం
కోణాల మొత్తంస్పర్శరేఖల మధ్య కోణం + స్పర్శ వ్యాసార్థాల మధ్య కేంద్ర కోణం = 180°
సమాంతర స్పర్శరేఖలుఇచ్చిన ఏ రేఖకైనా సమాంతరంగా వృత్తానికి రెండు స్పర్శరేఖలు ఉంటాయి

ఏకాంతర ఖండ సిద్ధాంతం: స్పర్శ బిందువు గుండా వెళ్లే స్పర్శరేఖ మరియు జ్య మధ్య కోణం ఏకాంతర ఖండంలోని కోణానికి సమానం.

ఖండించుకునే జ్యాలు: AB, CD జ్యాలు లోపల P వద్ద కలిస్తే PA × PB = PC × PD. బాహ్య బిందువు నుండి స్పర్శరేఖ PT మరియు ఛేదనరేఖ PAB కు PT² = PA × PB.

ఉదాహరణ: PA = 4, AB = 5 అయితే PB = 9 మరియు PT = 6.

వృత్తానికి బాహ్యంగా గీసిన చతుర్భుజంలో AB + CD = BC + DA. లంబకోణ త్రిభుజ అంతర్వృత్త వ్యాసార్థం r = (a + b − c)/2, ఇక్కడ c కర్ణం. లంబకోణ త్రిభుజ పరివృత్త కేంద్రం కర్ణం మధ్య బిందువు వద్ద ఉంటుంది, కాబట్టి R = c/2. ఏ త్రిభుజానికైనా అంతర్వ్యాసార్థం = వైశాల్యం/అర్ధ పరిధి.

రెండు వృత్తాలకు 4 ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు (దూరంగా ఉంటే), 3 (బాహ్యంగా తాకితే), 2 (ఖండించుకుంటే), 1 (అంతరంగా తాకితే) లేదా 0 (ఒకటి మరొకదాని లోపల ఉంటే) ఉండవచ్చు. ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ పొడవు = √(d² − (r₁ − r₂)²). తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ పొడవు = √(d² − (r₁ + r₂)²).

సాధించిన ఉదాహరణలు

  • 1. కేంద్రం O ఉన్న వృత్తాన్ని P నుండి గీసిన రెండు స్పర్శరేఖలు A, B వద్ద తాకుతాయి, ∠APB = 60°. చతుర్భుజం OAPB లో రెండు కోణాలు 90°, కాబట్టి ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 60° = 120°.
  • 2. వృత్తం లోపల AB, CD జ్యాలు P వద్ద కలుస్తాయి, PA = 4, PB = 6, PC = 3. అప్పుడు 4 × 6 = 3 × PD, కాబట్టి PD = 8.
  • 3. ఒక వృత్తం చుట్టూ చతుర్భుజం ABCD గీశారు, AB = 7, CD = 5, BC = 6. అప్పుడు 7 + 5 = 6 + DA, కాబట్టి DA = 6.
  • 4. భుజాలు 6, 8, 10 ఉన్న లంబకోణ త్రిభుజ అంతర్వ్యాసార్థం (6 + 8 − 10)/2 = 2. వైశాల్యం/అర్ధ పరిధి = 24/12 = 2 తో సరిచూడండి.
  • 5. వ్యాసార్థాలు 8, 3 ఉన్న రెండు వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం 13. ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ √(169 − 25) = 12.
  • 6. వ్యాసార్థం 13 ఉన్న వృత్తంలో 24 పొడవున్న జ్య ఉంది. కేంద్రం నుండి దూరం √(169 − 144) = 5.

చాపం, కోణం మరియు స్పర్శరేఖ సంబంధాలు

కేంద్ర కోణం θ నుండి చాప పొడవు, సెక్టార్ వైశాల్యం వస్తాయి: చాపం = (θ/360) × 2πr మరియు సెక్టార్ వైశాల్యం = (θ/360) × πr². లఘు చాపం 180° కంటే తక్కువ కేంద్ర కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. గురు చాపం వైపున ఉన్న బిందువుల వద్ద ఒకే చాపం ఏర్పరిచే కోణాలు సమానం, లఘు చాపం వైపు కోణం దానికి సంపూరకం. రెండు వృత్తాలు తాకితే, స్పర్శ బిందువు మరియు రెండు కేంద్రాలు ఒకే సరళరేఖపై ఉంటాయి. రెండు వృత్తాలు ఖండించుకుంటే, కేంద్రాలను కలిపే రేఖ ఉమ్మడి జ్యా యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ.

నిర్మాణాలు

  • 1. రేఖాఖండం యొక్క లంబ సమద్విఖండనరేఖ: రెండు చివరల నుండి సమాన వ్యాసార్థంతో (పొడవులో సగం కంటే ఎక్కువ) చాపాలు గీయండి; ఖండన బిందువులను కలపండి.
  • 2. కోణ సమద్విఖండన: రెండు భుజాలను ఖండించే చాపం గీసి, ఆ బిందువుల నుండి సమాన చాపాలు గీయండి.
  • 3. ప్రామాణిక కోణాలు: ఒక చాపంతో 60°, లంబంతో 90°, రెండు చాపాలతో 120°, సమద్విఖండనతో 30° మరియు 45°; 60° మరియు 90° మధ్య కోణాన్ని సమద్విఖండన చేసి 75°; అలాగే 105° మరియు 135°.
  • 4. వృత్తంపై బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ: ఆ బిందువుకు వ్యాసార్థం గీసి, అక్కడ లంబం నిలపండి.
  • 5. బాహ్య బిందువు P నుండి స్పర్శరేఖలు: P ని కేంద్రం O కి కలపండి, OP మధ్య బిందువు M కనుగొనండి, M కేంద్రంగా MO వ్యాసార్థంతో వృత్తం గీయండి. అది ఇచ్చిన వృత్తాన్ని స్పర్శ బిందువులు T₁, T₂ వద్ద ఖండిస్తుంది; PT₁ మరియు PT₂ స్పర్శరేఖలు, ఎందుకంటే అర్ధవృత్తంలో కోణం 90°.
  • 6. రేఖాఖండాన్ని m : n నిష్పత్తిలో విభజించడం: A నుండి అల్పకోణంలో కిరణం గీయండి, m + n సమాన భాగాలు గుర్తించండి, చివరి గుర్తును B కి కలపండి, m వ గుర్తు నుండి దానికి సమాంతరంగా రేఖ గీయండి. ఇది BPT వల్ల పనిచేస్తుంది.
  • 7. ఇచ్చిన త్రిభుజానికి m/n స్కేల్ కారకంతో సదృశ త్రిభుజం: అదే ఆలోచన, సమాంతర రేఖలతో.
  • 8. ఇచ్చిన దత్తాంశంతో త్రిభుజాలు: SSS, SAS, ASA మరియు RHS దత్తాంశాలన్నీ నిర్మాణానికి అనుమతిస్తాయి. పరివృత్తం: లంబ సమద్విఖండనరేఖలు. అంతర్వృత్తం: కోణ సమద్విఖండనరేఖలు.

ప్రతి నిర్మాణానికి ఉపాధ్యాయుడు ఒక ముడి చిత్రం, స్పష్టమైన దశలు, సమర్థన తప్పనిసరిగా కోరాలి.

తరగతి గది దృష్టికోణం

స్పర్శరేఖను చూడటానికి వృత్తం వెంట నాణెం దొర్లించనివ్వండి, అనేక చక్రీయ చతుర్భుజాలు గీసి కొలవనివ్వండి, కేంద్రం మరియు వ్యాసం కనుగొనడానికి కాగితం వృత్తాలను మడవనివ్వండి. అపోహలు: స్పర్శరేఖ వృత్తాన్ని రెండుసార్లు తాకగలదని అనుకోవడం, పరివృత్త కేంద్రం మరియు అంతర్వృత్త కేంద్రం కలగలపడం, ఒకే చాపంపై లేని కోణాలకు కేంద్ర కోణ నియమాలు వాడటం.

పరీక్షలో పొరపాట్లు

  • చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదుటి కోణాలు సంపూరకాలు, సమానాలు కావు.
  • స్పర్శరేఖ ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది; ఛేదనరేఖ రెండు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది.
  • అర్ధవృత్తంలో కోణం 90°, 180° కాదు.
  • కేంద్ర కోణం అంతర్లిఖిత కోణానికి రెట్టింపు, సమానం కాదు.
  • పరివృత్త కేంద్రం (లంబ సమద్విఖండనరేఖలు) మరియు అంతర్వృత్త కేంద్రం (కోణ సమద్విఖండనరేఖలు) వేరువేరు.
  • గురుత్వ కేంద్రం మధ్యగతరేఖలు కలిసే బిందువు; లంబ కేంద్రం ఎత్తులు కలిసే బిందువు.
  • ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్పర్శరేఖకు వ్యాసార్థాల భేదం, తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖకు వ్యాసార్థాల మొత్తం వాడతారు.
  • ఒకే సరళరేఖపై ఉన్న మూడు బిందువులు ఏ వృత్తంపైనా ఉండవు.

ఒక్క వాక్య సారాంశాలు

  • 1. వ్యాసం అతి పొడవైన జ్య.
  • 2. స్పర్శరేఖ స్పర్శ బిందువు వద్ద వ్యాసార్థానికి లంబం.
  • 3. బాహ్య బిందువు నుండి సరిగ్గా రెండు సమాన స్పర్శరేఖలు గీయవచ్చు.
  • 4. కేంద్ర కోణం = ఒకే చాపంపై అంతర్లిఖిత కోణానికి 2 రెట్లు.
  • 5. అర్ధవృత్తంలో కోణం = 90°.
  • 6. చక్రీయ చతుర్భుజం: ఎదుటి కోణాల మొత్తం 180°.
  • 7. స్పర్శరేఖ పొడవు = √(d² − r²).
  • 8. స్పర్శరేఖ మరియు ఛేదనరేఖకు PT² = PA × PB.
  • 9. ఖండించుకునే జ్యాలు: PA × PB = PC × PD.
  • 10. లంబకోణ త్రిభుజ పరివృత్త వ్యాసార్థం = కర్ణంలో సగం.
  • 11. లంబ సమద్విఖండనరేఖలు పరివృత్త కేంద్రం వద్ద కలుస్తాయి.
  • 12. బాహ్యంగా తాకే వృత్తాలకు 3 ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు ఉంటాయి.

సాధన ప్రశ్నలు

  1. వృత్తాన్ని సరిగ్గా ఒకే బిందువు వద్ద తాకే రేఖను ఇలా అంటారు

    1. ఛేదన రేఖ
    2. జ్య
    3. వ్యాసం
    4. స్పర్శరేఖ
    సమాధానం

    D. స్పర్శరేఖ

    A line that touches a circle at exactly one point is called a

    1. secant
    2. chord
    3. diameter
    4. tangent

  2. వృత్తంలో అతి పొడవైన జ్య

    1. వ్యాసం
    2. స్పర్శరేఖ
    3. వ్యాసార్ధం
    4. చాపం
    సమాధానం

    A. వ్యాసం

    The longest chord of a circle is its

    1. diameter
    2. tangent
    3. radius
    4. arc

  3. వృత్తంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా గీసిన స్పర్శరేఖ దేనికి లంబంగా ఉంటుంది?

    1. వృత్తంలోని ప్రతి జ్యకు
    2. స్పర్శ బిందువు గుండా పోయే వ్యాసార్ధానికి
    3. దానికి సమాంతరంగా ఉన్న వ్యాసానికి
    4. మరొక వృత్త కేంద్రం గుండా పోయే ఛేదన రేఖకు
    సమాధానం

    B. స్పర్శ బిందువు గుండా పోయే వ్యాసార్ధానికి

    The tangent at any point of a circle is perpendicular to

    1. every chord of the circle
    2. the radius through the point of contact
    3. the diameter parallel to it
    4. the secant through the centre of another circle

  4. వృత్తం వెలుపలి బిందువు నుండి దానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య

    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. అనంతం
    సమాధానం

    B. 2

    The number of tangents that can be drawn to a circle from a point outside it is

    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. infinitely many

  5. వృత్తంపై ఉన్న బిందువు నుండి దానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య

    1. 0
    2. 1
    3. 2
    4. 4
    సమాధానం

    B. 1

    The number of tangents to a circle from a point lying on the circle is

    1. 0
    2. 1
    3. 2
    4. 4

  6. వృత్తం లోపల ఉన్న బిందువు నుండి దానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య

    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 0
    సమాధానం

    D. 0

    The number of tangents to a circle from a point inside it is

    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 0

  7. అర్ధవృత్తంలోని కోణం

    1. సరళకోణం
    2. అధిక కోణం
    3. లంబకోణం
    4. అల్ప కోణం
    సమాధానం

    C. లంబకోణం

    An angle in a semicircle is

    1. a straight angle
    2. an obtuse angle
    3. a right angle
    4. an acute angle

  8. వృత్త కేంద్రం నుండి జ్యకు గీసిన లంబం

    1. జ్యకు సమానం
    2. ఎల్లప్పుడూ జ్య సగానికి సమానమైన వ్యాసార్ధం
    3. జ్యకు సమాంతరం
    4. జ్యను సమద్విఖండన చేస్తుంది
    సమాధానం

    D. జ్యను సమద్విఖండన చేస్తుంది

    The perpendicular from the centre of a circle to a chord

    1. is equal to the chord
    2. is always a radius equal to half the chord
    3. is parallel to the chord
    4. bisects the chord

  9. ఒక చాపం కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం

    1. వృత్తంపై చేసే కోణానికి సంపూరకం
    2. వృత్తంపై చేసే కోణంలో సగం
    3. వృత్తంలోని మిగిలిన భాగంలో ఏ బిందువు వద్దనైనా అది చేసే కోణానికి రెట్టింపు
    4. వృత్తంపై చేసే కోణానికి సమానం
    సమాధానం

    C. వృత్తంలోని మిగిలిన భాగంలో ఏ బిందువు వద్దనైనా అది చేసే కోణానికి రెట్టింపు

    The angle subtended by an arc at the centre is

    1. supplementary to the angle at the circle
    2. half the angle at the circle
    3. twice the angle it subtends at any point on the remaining part of the circle
    4. equal to the angle at the circle

  10. చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు కోణాలు

    1. సంపూరకాలు
    2. సమానం
    3. పూరకాలు
    4. రెండూ లంబకోణాలు
    సమాధానం

    A. సంపూరకాలు

    In a cyclic quadrilateral the opposite angles are

    1. supplementary
    2. equal
    3. complementary
    4. both right angles

  11. రెండు వృత్తాలకు ఉండగల గరిష్ఠ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సంఖ్య

    1. 2
    2. 3
    3. 6
    4. 4
    సమాధానం

    D. 4

    The maximum number of common tangents to two circles is

    1. 2
    2. 3
    3. 6
    4. 4

  12. బాహ్యంగా స్పృశించుకునే రెండు వృత్తాలకు ఎన్ని ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు ఉంటాయి?

    1. 1
    2. 3
    3. 2
    4. 4
    సమాధానం

    B. 3

    Two circles touching externally have how many common tangents?

    1. 1
    2. 3
    3. 2
    4. 4

  13. అంతరంగా స్పృశించుకునే రెండు వృత్తాలకు ఎన్ని ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు ఉంటాయి?

    1. 2
    2. 1
    3. 3
    4. 0
    సమాధానం

    B. 1

    Two circles touching internally have how many common tangents?

    1. 2
    2. 1
    3. 3
    4. 0

  14. వృత్తంలోని సమాన జ్యలు

    1. ఎల్లప్పుడూ వ్యాసాలు
    2. కేంద్రం నుండి వేర్వేరు దూరాలలో ఉంటాయి
    3. కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉంటాయి
    4. ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉంటాయి
    సమాధానం

    C. కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉంటాయి

    Equal chords of a circle are

    1. always diameters
    2. at different distances from the centre
    3. equidistant from the centre
    4. parallel to each other

  15. స్పర్శరేఖకు మరియు స్పర్శ బిందువు గుండా పోయే జ్యకు మధ్య కోణం దీనికి సమానం

    1. ఏకాంతర ఖండంలోని కోణం
    2. ఒకే ఖండంలోని కోణానికి రెట్టింపు
    3. అదే చాపంపై కేంద్రం వద్ద కోణం
    4. ఎల్లప్పుడూ 90°
    సమాధానం

    A. ఏకాంతర ఖండంలోని కోణం

    The angle between a tangent and a chord through the point of contact equals

    1. the angle in the alternate segment
    2. twice the angle in the same segment
    3. the angle at the centre on the same arc
    4. 90° always

  16. వృత్త వ్యాసార్ధం 13 cm; ఒక జ్య కేంద్రం నుండి 5 cm దూరంలో ఉంది. ఆ జ్య పొడవు

    1. 12 cm
    2. 18 cm
    3. 26 cm
    4. 24 cm
    సమాధానం

    D. 24 cm

    The radius of a circle is 13 cm and a chord is 5 cm from the centre. The chord's length is

    1. 12 cm
    2. 18 cm
    3. 26 cm
    4. 24 cm

  17. వ్యాసార్ధం 5 cm గల వృత్త కేంద్రం నుండి 13 cm దూరంలో ఉన్న బిందువు నుండి గీసిన స్పర్శరేఖ పొడవు

    1. 12 cm
    2. 10 cm
    3. 18 cm
    4. 8 cm
    సమాధానం

    A. 12 cm

    The length of the tangent from a point 13 cm from the centre of a circle of radius 5 cm is

    1. 12 cm
    2. 10 cm
    3. 18 cm
    4. 8 cm

  18. ఒక చాపం కేంద్రం వద్ద 80° కోణం చేస్తుంది. వృత్తంలోని మిగిలిన భాగంలో ఒక బిందువు వద్ద అది చేసే కోణం

    1. 100°
    2. 80°
    3. 40°
    4. 160°
    సమాధానం

    C. 40°

    An arc subtends an angle of 80° at the centre. The angle it subtends at a point on the remaining circle is

    1. 100°
    2. 80°
    3. 40°
    4. 160°

  19. చక్రీయ చతుర్భుజం ABCD లో ∠A = 100°. అయితే ∠C

    1. 260°
    2. 90°
    3. 80°
    4. 100°
    సమాధానం

    C. 80°

    In a cyclic quadrilateral ABCD, ∠A = 100°. Then ∠C is

    1. 260°
    2. 90°
    3. 80°
    4. 100°

  20. చక్రీయ చతుర్భుజం ABCD లో ∠B = 65°. భుజం CD ని పొడిగించగా D వద్ద ఏర్పడే బాహ్య కోణం

    1. 65°
    2. 25°
    3. 115°
    4. 130°
    సమాధానం

    A. 65°

    In a cyclic quadrilateral ABCD, ∠B = 65°. The exterior angle at D, formed by extending side CD, equals

    1. 65°
    2. 25°
    3. 115°
    4. 130°

  21. బాహ్య బిందువు P నుండి గీసిన రెండు స్పర్శరేఖలు కేంద్రం O గల వృత్తాన్ని A, B ల వద్ద తాకుతాయి. ∠APB = 60° అయితే ∠AOB

    1. 90°
    2. 60°
    3. 30°
    4. 120°
    సమాధానం

    D. 120°

    Two tangents from an external point P touch a circle with centre O at A and B. If ∠APB = 60°, then ∠AOB is

    1. 90°
    2. 60°
    3. 30°
    4. 120°

  22. వృత్తంలోని రెండు జ్యలు AB, CD లు అంతర్గత బిందువు P వద్ద ఖండించుకుంటాయి. PA = 4, PB = 6, PC = 3 అయితే PD

    1. 2
    2. 4.5
    3. 12
    4. 8
    సమాధానం

    D. 8

    Two chords AB and CD of a circle meet at an interior point P. If PA = 4, PB = 6 and PC = 3, then PD is

    1. 2
    2. 4.5
    3. 12
    4. 8

  23. బాహ్య బిందువు P నుండి స్పర్శరేఖ PT మరియు ఛేదన రేఖ PAB గీయబడ్డాయి; PA = 4 cm, AB = 5 cm. అయితే PT

    1. 6 cm
    2. 4.5 cm
    3. 20 cm
    4. 9 cm
    సమాధానం

    A. 6 cm

    From an external point P a tangent PT and a secant PAB are drawn, with PA = 4 cm and AB = 5 cm. Then PT is

    1. 6 cm
    2. 4.5 cm
    3. 20 cm
    4. 9 cm

  24. కర్ణం 10 cm గా గల లంబకోణ త్రిభుజ శీర్షాల గుండా పోయే వృత్త వ్యాసార్ధం

    1. 2.5 cm
    2. 5 cm
    3. 10 cm
    4. 20 cm
    సమాధానం

    B. 5 cm

    The radius of the circle passing through the vertices of a right triangle with hypotenuse 10 cm is

    1. 2.5 cm
    2. 5 cm
    3. 10 cm
    4. 20 cm

  25. భుజాలు 6, 8, 10 cm గా గల లంబకోణ త్రిభుజం అంతర్వృత్త వ్యాసార్ధం

    1. 2.4 cm
    2. 3 cm
    3. 2 cm
    4. 4 cm
    సమాధానం

    C. 2 cm

    The inradius of a right triangle with sides 6, 8 and 10 cm is

    1. 2.4 cm
    2. 3 cm
    3. 2 cm
    4. 4 cm

  26. వ్యాసార్ధాలు 8 cm, 3 cm గల రెండు వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం 13 cm. వాటి ప్రత్యక్ష ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ పొడవు

    1. 10 cm
    2. 12 cm
    3. 11 cm
    4. √178 cm
    సమాధానం

    B. 12 cm

    Two circles with radii 8 cm and 3 cm have centres 13 cm apart. The length of a direct common tangent is

    1. 10 cm
    2. 12 cm
    3. 11 cm
    4. √178 cm

  27. వ్యాసార్ధాలు 3 cm, 2 cm గల రెండు వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం 13 cm. వాటి తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ పొడవు

    1. 13 cm
    2. 10 cm
    3. 12 cm
    4. √165 cm
    సమాధానం

    C. 12 cm

    Two circles with radii 3 cm and 2 cm have centres 13 cm apart. The length of a transverse common tangent is

    1. 13 cm
    2. 10 cm
    3. 12 cm
    4. √165 cm

  28. చతుర్భుజం ABCD ఒక వృత్తం చుట్టూ గీయబడింది. AB = 7, CD = 5, BC = 6 అయితే DA

    1. 7
    2. 5
    3. 8
    4. 6
    సమాధానం

    D. 6

    A quadrilateral ABCD is drawn around a circle. If AB = 7, CD = 5 and BC = 6, then DA is

    1. 7
    2. 5
    3. 8
    4. 6

  29. ఇచ్చిన రేఖకు సమాంతరంగా ఉండే వృత్త స్పర్శరేఖల సంఖ్య

    1. 1
    2. 2
    3. 4
    4. 0
    సమాధానం

    B. 2

    The number of tangents to a circle that are parallel to a given line is

    1. 1
    2. 2
    3. 4
    4. 0

  30. కేంద్రం O గల వృత్తానికి బాహ్య బిందువు P నుండి స్పర్శరేఖను నిర్మించడానికి, వృత్తాన్ని ఈ క్రింది వాటిపై గీస్తారు

    1. OP ని వ్యాసంగా
    2. స్పర్శరేఖను వ్యాసంగా
    3. ఇచ్చిన వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని వ్యాసంగా
    4. OP ని వ్యాసార్ధంగా
    సమాధానం

    A. OP ని వ్యాసంగా

    To construct a tangent from an external point P to a circle with centre O, a circle is drawn on

    1. OP as diameter
    2. the tangent as its diameter
    3. the radius of the given circle as diameter
    4. OP as radius

  31. రేఖాఖండం AB ని 3 : 2 నిష్పత్తిలో విభజించే నిర్మాణంలో, A నుండి అల్పకోణంతో కిరణాన్ని గీసి దానిపై గుర్తించవలసిన సమాన భాగాల సంఖ్య

    1. 5
    2. 3
    3. 2
    4. 6
    సమాధానం

    A. 5

    In the construction of dividing a line segment AB in the ratio 3 : 2, a ray is drawn from A making an acute angle and the number of equal parts marked on it is

    1. 5
    2. 3
    3. 2
    4. 6

  32. 75° కోణాన్ని వీటి మధ్య కోణాన్ని సమద్విఖండన చేయడం ద్వారా నిర్మించవచ్చు

    1. 90° మరియు 120°
    2. 45° మరియు 120°
    3. 60° మరియు 90°
    4. 30° మరియు 60°
    సమాధానం

    C. 60° మరియు 90°

    A 75° angle can be constructed by bisecting the angle between

    1. 90° and 120°
    2. 45° and 120°
    3. 60° and 90°
    4. 30° and 60°

  33. త్రిభుజ భుజాల లంబ సమద్విఖండన రేఖలు కలిసే బిందువు

    1. గురుత్వ కేంద్రం
    2. అంతఃకేంద్రం
    3. లంబ కేంద్రం
    4. పరివృత్త కేంద్రం
    సమాధానం

    D. పరివృత్త కేంద్రం

    The perpendicular bisectors of the sides of a triangle meet at the

    1. centroid
    2. incentre
    3. orthocentre
    4. circumcentre

  34. త్రిభుజ కోణ సమద్విఖండన రేఖలు కలిసే బిందువు

    1. పరివృత్త కేంద్రం
    2. బహిఃకేంద్రం
    3. లంబ కేంద్రం
    4. అంతఃకేంద్రం
    సమాధానం

    D. అంతఃకేంద్రం

    The angle bisectors of a triangle meet at the

    1. circumcentre
    2. excentre
    3. orthocentre
    4. incentre

  35. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. బాహ్య బిందువు నుండి వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానం. 2. వృత్తానికి స్పర్శరేఖ దానిని రెండు బిందువుల వద్ద కలుస్తుంది. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    A. 1 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. Tangents drawn from an external point to a circle are equal in length. 2. A tangent to a circle meets it in two points. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  36. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. వృత్తంలో ఒకే ఖండంలోని కోణాలు సమానం. 2. చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు కోణాలు సమానం. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    A. 1 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. Angles in the same segment of a circle are equal. 2. Opposite angles of a cyclic quadrilateral are equal. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  37. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. కేంద్రం నుండి జ్యకు గీసిన లంబం ఆ జ్యను సమద్విఖండన చేస్తుంది. 2. కేంద్రం నుండి జ్య మధ్య బిందువుకు గీసిన రేఖ ఆ జ్యకు లంబంగా ఉంటుంది. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    C. 1 మరియు 2 రెండూ

    Consider the statements: 1. The perpendicular from the centre to a chord bisects the chord. 2. The line from the centre to the mid-point of a chord is perpendicular to it. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  38. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. వృత్తంలో అంతర్లిఖించిన సమాంతర చతుర్భుజం తప్పనిసరిగా దీర్ఘచతురస్రం. 2. వృత్తంలో అంతర్లిఖించిన రాంబస్ తప్పనిసరిగా చతురస్రం. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    C. 1 మరియు 2 రెండూ

    Consider the statements: 1. A parallelogram inscribed in a circle must be a rectangle. 2. A rhombus inscribed in a circle must be a square. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  39. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. వృత్త కేంద్రం ప్రతి జ్య యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖపై ఉంటుంది. 2. తలంలోని ఏ మూడు బిందువుల గుండానైనా ఒక వృత్తం పోగలదు. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    A. 1 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. The centre of a circle lies on the perpendicular bisector of every chord. 2. A circle can pass through any three points in a plane. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  40. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ అనేది ఛేదన రేఖ యొక్క రెండు ఖండన బిందువులు ఏకమైనప్పుడు వచ్చే అంతిమ స్థానం. 2. వృత్తానికి ప్రతి దిశకు సమాంతరంగా ఒక స్పర్శరేఖ ఉంటుంది. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    C. 1 మరియు 2 రెండూ

    Consider the statements: 1. The tangent at a point is the limiting position of a secant as its two intersection points merge. 2. A circle has a tangent parallel to every direction. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  41. ఏ జత సరిగ్గా సరిపోలింది?

    1. చక్రీయ చతుర్భుజం: ఆసన్న కోణాలు సంపూరకాలు
    2. ఏకాంతర ఖండ సిద్ధాంతం: స్పర్శరేఖ–జ్య కోణం రెండవ ఖండంలోని కోణానికి సమానం
    3. బాహ్య బిందువు నుండి స్పర్శరేఖ పొడవు: రెండు వేర్వేరు విలువలు
    4. అర్ధవృత్తంలోని కోణం: 60°
    సమాధానం

    B. ఏకాంతర ఖండ సిద్ధాంతం: స్పర్శరేఖ–జ్య కోణం రెండవ ఖండంలోని కోణానికి సమానం

    Which pair is correctly matched?

    1. Cyclic quadrilateral : adjacent angles supplementary
    2. Alternate segment theorem : tangent–chord angle equals angle in the other segment
    3. Tangent length from an external point : two different values
    4. Angle in a semicircle : 60°

  42. స్పర్శరేఖ వ్యాసార్ధానికి ఎందుకు లంబంగా ఉంటుందో X తరగతి విద్యార్థులకు చూపించాలని ఉపాధ్యాయుడు కోరుకుంటున్నాడు. ఉత్తమ విధానం

    1. నిరూపణను మాటల్లో మాత్రమే ఇవ్వడం
    2. నాణెం లేదా స్కేలును వృత్తం వెంట దొర్లించి, కేంద్రం నుండి కనిష్ఠ దూరం వ్యాసార్ధం వెంటే ఉంటుందని చూపడం
    3. ఆ వాక్యాన్ని కంఠస్థం చేయమనడం
    4. ఒకే ఒక స్పర్శరేఖ పటాన్ని చూపడం
    సమాధానం

    B. నాణెం లేదా స్కేలును వృత్తం వెంట దొర్లించి, కేంద్రం నుండి కనిష్ఠ దూరం వ్యాసార్ధం వెంటే ఉంటుందని చూపడం

    A teacher wants Class X learners to see why the tangent is perpendicular to the radius. The best approach is to

    1. give the proof only in words
    2. roll a coin or a ruler along a circle and show the shortest distance from the centre is along the radius
    3. ask them to memorise the statement
    4. show a diagram of one tangent only

  43. చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు కోణాలు సంపూరకాలని వివరించడానికి అత్యంత ప్రభావవంతమైన మొదటి దశ

    1. పటాలను ఉపయోగించకపోవడం
    2. ఏ చిత్రం గీయకముందే నియమాన్ని చెప్పడం
    3. పరీక్షల కోసం నిరూపణను వదిలేయడం
    4. విద్యార్థులు అనేక చక్రీయ చతుర్భుజాలను గీసి వాటి కోణాలను కొలిచేలా చేయడం
    సమాధానం

    D. విద్యార్థులు అనేక చక్రీయ చతుర్భుజాలను గీసి వాటి కోణాలను కొలిచేలా చేయడం

    To explain that a cyclic quadrilateral has supplementary opposite angles, the most effective first step is to

    1. avoid using diagrams
    2. tell them the rule before any drawing
    3. skip the proof for exams
    4. have learners draw several cyclic quadrilaterals and measure their angles

  44. A, B, C, D బిందువులు ఒక వృత్తంపై ఉన్నాయి; C, D లు AB కి ఒకే వైపున ఉన్నాయి. ∠ACB = 35° అయితే ∠ADB

    1. 145°
    2. 55°
    3. 70°
    4. 35°
    సమాధానం

    D. 35°

    Points A, B, C, D lie on a circle with C and D on the same side of AB. If ∠ACB = 35°, then ∠ADB is

    1. 145°
    2. 55°
    3. 70°
    4. 35°
Page 1 of 1
‹
›