స్కూల్ అసిస్టెంట్లు మరియు TET పేపర్ 2A కోసం గణితం (VI-X తరగతులు) · Chapter 8

నిరూపక జ్యామితి

గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

బిందువును (x, y) గా రాస్తారు: x ఎటాస్సిసా (x-అక్షం వెంట దూరం), y ఆర్డినేట్; అక్షాలు తలాన్ని నాలుగు పాదాలుగా విభజిస్తాయి.
దూర సూత్రం: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]; విభజన సూత్రం మరియు మధ్య బిందు సూత్రం రేఖాఖండంపై బిందువులను ఇస్తాయి; త్రిభుజ వైశాల్యం సరేఖీయత పరీక్షను ఇస్తుంది.
వాలు m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁); సమాంతర రేఖలకు వాలులు సమానం, లంబ రేఖల వాలుల లబ్ధం −1.

కార్టీజియన్ తలం

రెనే డెకార్ట్ (René Descartes) రెండు లంబ సంఖ్యా రేఖల వ్యవస్థను ప్రవేశపెట్టారు. అడ్డు రేఖ x-అక్షం, నిలువు రేఖ y-అక్షం. అవి మూల బిందువు O (0, 0) వద్ద కలుస్తాయి. తలానికి నాలుగు పాదాలు ఉంటాయి.

పాదం	x గుర్తు	y గుర్తు
I	+	+
II	−	+
III	−	−
IV	+	−

x-అక్షంపై బిందువులు (a, 0) రూపంలో, y-అక్షంపై బిందువులు (0, b) రూపంలో ఉంటాయి. a = b అయితే తప్ప (a, b) మరియు (b, a) ఒకటి కావు. (a, b) బిందువు x-అక్షం నుండి |b| దూరంలో, y-అక్షం నుండి |a| దూరంలో ఉంటుంది.

ప్రతిబింబాలు: x-అక్షంలో (a, b) → (a, −b); y-అక్షంలో (−a, b); మూల బిందువులో (−a, −b); y = x రేఖలో (b, a).

దూర సూత్రం

P(x₁, y₁) మరియు Q(x₂, y₂) ల మధ్య దూరం, అడ్డు మరియు నిలువు అడుగులతో ఏర్పడే లంబకోణ త్రిభుజంపై పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి వస్తుంది:

PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].

(x, y) బిందువు మూల బిందువు నుండి దూరం √(x² + y²).

ఉదాహరణలు: (3, 4) మూల బిందువు నుండి 5 యూనిట్ల దూరంలో ఉంది. (−2, 3) మరియు (4, −5) ల మధ్య దూరం √(36 + 64) = 10.

దూర సూత్రం ఉపయోగాలు:

సమబాహు త్రిభుజం: మూడు భుజాలు సమానం. సమద్విబాహు: రెండు భుజాలు సమానం. లంబకోణ త్రిభుజం: భుజాలకు పైథాగరస్ సంబంధం సరిపోతుంది.
చతురస్రం: నాలుగు భుజాలు సమానం, కర్ణాలు సమానం. సమ చతుర్భుజం: నాలుగు భుజాలు సమానం కానీ కర్ణాలు అసమానం. దీర్ఘచతురస్రం: ఎదుటి భుజాలు సమానం, కర్ణాలు సమానం. సమాంతర చతుర్భుజం: ఎదుటి భుజాలు సమానం.
సరేఖీయ బిందువులు A, B, C: AB, BC, CA లలో అతి పొడవైనది మిగిలిన రెండింటి మొత్తానికి సమానం.
ఇచ్చిన రెండు బిందువుల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువును కనుగొనడం: రెండు దూరాలను సమానంగా రాసి సాధించండి.
త్రిభుజ పరివృత్త కేంద్రం: మూడు శీర్షాల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువు.

విభజన సూత్రం మరియు మధ్య బిందువు

P బిందువు A(x₁, y₁) మరియు B(x₂, y₂) లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని m : n నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తే,

P = ((m x₂ + n x₁)/(m + n), (m y₂ + n y₁)/(m + n)).

m = n = 1 అయితే ఇది మధ్య బిందువు ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). బాహ్య విభజనకు హారం m − n, గుర్తులు మారతాయి.

ఫలితం	సూత్రం
మధ్య బిందువు	((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రం	((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)
AB ని x-అక్షం విభజించే నిష్పత్తి	−y₁ : y₂
AB ని y-అక్షం విభజించే నిష్పత్తి	−x₁ : x₂
త్రిఖండన బిందువులు	1 : 2 మరియు 2 : 1 నిష్పత్తులలో విభజిస్తాయి

గురుత్వ కేంద్రం ప్రతి మధ్యగతరేఖను శీర్షం నుండి లెక్కిస్తే 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. సమాంతర చతుర్భుజ కర్ణాలు ఒకదానికొకటి సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి, కాబట్టి ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో B కి ఎదురుగా D ఉంటే నాల్గవ శీర్షం D = A + C − B.

ఉదాహరణలు: (1, 2) మరియు (7, 8) లను 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు (3, 4). (2, 3) మరియు (8, 7) ల మధ్య బిందువు (5, 5). వ్యాసం చివరలు (−2, −3) మరియు (6, 5) ఉన్న వృత్త కేంద్రం (2, 1).

త్రిభుజ వైశాల్యం మరియు సరేఖీయత

శీర్షాలు (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) అయితే:

వైశాల్యం = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|.

ఈ వైశాల్యం సున్నా అయినప్పుడు మాత్రమే మూడు బిందువులు సరేఖీయం.

ఉదాహరణ: (1, 2), (3, 4), (5, 0) లకు ½|1(4 − 0) + 3(0 − 2) + 5(2 − 4)| = ½ × 12 = 6 చదరపు యూనిట్లు.

ఒక కర్ణం వెంట రెండు త్రిభుజాలుగా విభజించి చతుర్భుజ వైశాల్యం కనుగొనవచ్చు. మూల బిందువు, (a, 0) మరియు (0, b) శీర్షాలుగా ఉన్న త్రిభుజ వైశాల్యం ½ab.

వాలు మరియు సరళరేఖ

(x₁, y₁) మరియు (x₂, y₂) ల గుండా వెళ్లే రేఖ వాలు (గ్రేడియంట్) m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = tan θ, ఇక్కడ θ రేఖ ధన x-అక్షంతో చేసే కోణం. అడ్డు రేఖ వాలు 0; నిలువు రేఖ వాలు నిర్వచించబడదు.

రూపం	సమీకరణం
వాలు–అంతరఖండ రూపం	y = mx + c
బిందు–వాలు రూపం	y − y₁ = m(x − x₁)
ద్వి బిందు రూపం	(y − y₁)/(y₂ − y₁) = (x − x₁)/(x₂ − x₁)
అంతరఖండ రూపం	x/a + y/b = 1
సాధారణ రూపం	Ax + By + C = 0, వాలు = −A/B

సమాంతర రేఖలు: m₁ = m₂. లంబ రేఖలు: m₁ m₂ = −1. రేఖ x = k నిలువుగా; y = k అడ్డంగా ఉంటుంది. జతల మధ్య వాలులు సమానమైతే మూడు బిందువులు సరేఖీయం.

ఉదాహరణ: రేఖ 2x + 3y = 6 వాలు −2/3. వాలు 2 ఉన్న రేఖకు లంబంగా ఉన్న రేఖ వాలు −1/2.

నిరూపకాలతో ఆకారాలను నిరూపించడం

ABCD సమాంతర చతుర్భుజమని చూపడానికి, AC మరియు BD ల మధ్య బిందువులు ఏకీభవిస్తాయని, లేదా రెండు జతల ఎదుటి భుజాలు సమానమని నిరూపించండి. దీర్ఘచతురస్రమని చూపడానికి కర్ణాలు సమానమని కూడా చూపండి. సమ చతుర్భుజమని చూపడానికి నాలుగు భుజాలు సమానమని చూపండి. చతురస్రమని చూపడానికి నాలుగు భుజాలు సమానమని, కర్ణాలు సమానమని చూపండి. త్రిభుజం లంబకోణమని చూపడానికి, పొడవైన భుజం వర్గం మిగిలిన రెండు వర్గాల మొత్తానికి సమానమో కాదో చూడండి. పరివృత్త కేంద్రం కనుగొనడానికి, ఆ బిందువును (x, y) అనుకొని, రెండు జతల శీర్షాల నుండి దాని దూరాలను సమానం చేయండి; ఇది రెండు రేఖీయ సమీకరణాలను ఇస్తుంది. వరుసగా తీసుకున్న శీర్షాలతో చతుర్భుజ వైశాల్యం, ఒక కర్ణం వల్ల ఏర్పడే రెండు త్రిభుజాల వైశాల్యాల మొత్తానికి సమానం.

సాధించిన ఉదాహరణలు

1. ఏ k కి (k, 2) బిందువు (3, −2) నుండి 5 యూనిట్ల దూరంలో ఉంటుంది? (k − 3)² + 16 = 25, కాబట్టి k = 6 లేదా 0.
2. (2, 3) మరియు (6, 5) ల నుండి సమాన దూరంలో x-అక్షంపై ఉన్న బిందువు: అది (x, 0) అనుకుందాం. అప్పుడు (x − 2)² + 9 = (x − 6)² + 25, కాబట్టి x = 6.
3. (2, −3) మరియు (5, 6) లను కలిపే రేఖను x-అక్షం ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది? నిష్పత్తి = 3 : 6 = 1 : 2.
4. ఒక సమాంతర చతుర్భుజంలో మూడు శీర్షాలు A(0, 0), B(4, 0), C(5, 3). అప్పుడు D = (0 + 5 − 4, 0 + 3 − 0) = (1, 3).
5. (1, 2), (2, 3), (3, 4) సరేఖీయమా? వైశాల్యం = ½|1(3 − 4) + 2(4 − 2) + 3(2 − 3)| = ½|−1 + 4 − 3| = 0, కాబట్టి అవును.

తరగతి గది దృష్టికోణం

తెలిసిన గ్రిడ్లతో ప్రారంభించండి: వరుసలు, నిలువు వరుసలలో సీట్లు, చదరంగం బల్ల, లేదా వీధుల పటం. (x, y) క్రమం గుర్తుండేందుకు "ముందు అడ్డంగా నడవండి, తర్వాత పైకి వెళ్లండి" అనే నియమం వాడండి. (2, 5) మరియు (5, 2) లను గుర్తించి క్రమం ముఖ్యమని చూడనివ్వండి. దూర సూత్రాన్ని బట్టీపట్టే నియమంగా కాక, గ్రిడ్‌పై పైథాగరస్ సిద్ధాంతంగా బోధించండి. సాధారణ తప్పులు: తీసివేతలో గుర్తులు తప్పడం, వర్గమూలం మరచిపోవడం, విభజన సూత్రంలో నిష్పత్తిని తారుమారు చేయడం, నిలువు రేఖ వాలును సున్నాగా భావించడం.

పరీక్షలో పొరపాట్లు

ఎటాస్సిసా x, ఆర్డినేట్ y; వాటిని తారుమారు చేయవద్దు.
y-అక్షంపై బిందువులకు x = 0; x-అక్షంపై బిందువులకు y = 0.
దూరం ఎప్పుడూ ఋణం కాదు; సూత్రం భేదాలను ముందు వర్గం చేస్తుంది.
విభజన సూత్రంలో, నిష్పత్తి m : n ఎదుటి బిందువు నిరూపకాలను గుణిస్తుంది.
జతలుగా సమాన దూరాలు సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఇస్తాయి, సరేఖీయ బిందువులను కాదు.
అడ్డు రేఖ వాలు 0; నిలువు రేఖ వాలు నిర్వచించబడదు.
సమాంతర రేఖలకు వాలులు సమానం; లంబ రేఖలకు వాలుల లబ్ధం −1.
సమ చతుర్భుజం కర్ణాలు అది చతురస్రమైతే మాత్రమే సమానం.

ఒక్క వాక్య సారాంశాలు

1. మూల బిందువు (0, 0).
2. పాదాలకు రెండు నిరూపకాలూ ధనాత్మకంగా ఉన్నదాని నుండి ప్రారంభించి అపసవ్య దిశలో సంఖ్యలు ఇస్తారు.
3. (x, y) యొక్క మూల బిందువు నుండి దూరం √(x² + y²).
4. మధ్య బిందు సూత్రం నిరూపకాల సగటును తీసుకుంటుంది.
5. గురుత్వ కేంద్రం మూడు శీర్షాల సగటు.
6. గురుత్వ కేంద్రం మధ్యగతరేఖను శీర్షం నుండి 2 : 1 లో విభజిస్తుంది.
7. AB ని x-అక్షం −y₁ : y₂ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
8. సరేఖీయ శీర్షాలున్న త్రిభుజ వైశాల్యం సున్నా.
9. వాలు = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).
10. ax + by + c = 0 వాలు −a/b.
11. (a, b) యొక్క x-అక్షంలో ప్రతిబింబం (a, −b).
12. సమాంతర చతుర్భుజ కర్ణాలు ఒకదానికొకటి సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి.

సాధన ప్రశ్నలు

బిందువు (−3, 4) ఉండే పాదం
1. మూడవ పాదం
2. రెండవ పాదం
3. నాలుగవ పాదం
4. మొదటి పాదం
సమాధానం
B. రెండవ పాదం
The point (−3, 4) lies in the
1. third quadrant
2. second quadrant
3. fourth quadrant
4. first quadrant
x > 0 మరియు y < 0 గా గల బిందువు ఉండే పాదం
1. మూడవ పాదం
2. నాలుగవ పాదం
3. మొదటి పాదం
4. రెండవ పాదం
సమాధానం
B. నాలుగవ పాదం
A point with x > 0 and y < 0 lies in the
1. third quadrant
2. fourth quadrant
3. first quadrant
4. second quadrant
x-అక్షంపై ఉన్న ప్రతి బిందువు కోటి (ordinate)
1. 1
2. ప్రథమాంశం (abscissa)
3. నిర్వచించబడదు
4. 0
సమాధానం
D. 0
The ordinate of every point on the x-axis is
1. 1
2. the abscissa
3. undefined
4. 0
y-అక్షంపై ఉన్న ప్రతి బిందువు ప్రథమాంశం (abscissa)
1. 1
2. 0
3. కోటికి సమానం
4. నిర్వచించబడదు
సమాధానం
B. 0
The abscissa of every point on the y-axis is
1. 1
2. 0
3. equal to the ordinate
4. undefined
బిందువు (3, 4) యొక్క మూలబిందువు నుండి దూరం
1. 5
2. 3.5
3. 25
4. 7
సమాధానం
A. 5
The distance of the point (3, 4) from the origin is
1. 5
2. 3.5
3. 25
4. 7
బిందువులు (1, 2), (4, 6) ల మధ్య దూరం
1. 3
2. 7
3. √7
4. 5
సమాధానం
D. 5
The distance between the points (1, 2) and (4, 6) is
1. 3
2. 7
3. √7
4. 5
(−2, 3), (4, −5) ల మధ్య దూరం
1. √28
2. 14
3. 10
4. 8
సమాధానం
C. 10
The distance between (−2, 3) and (4, −5) is
1. √28
2. 14
3. 10
4. 8
బిందువు (−5, 12) యొక్క మూలబిందువు నుండి దూరం
1. 13
2. 7
3. 169
4. 17
సమాధానం
A. 13
The distance of the point (−5, 12) from the origin is
1. 13
2. 7
3. 169
4. 17
బిందువు (3, −4) యొక్క x-అక్షం నుండి దూరం
1. 3
2. 5
3. 4
4. −4
సమాధానం
C. 4
The distance of the point (3, −4) from the x-axis is
1. 3
2. 5
3. 4
4. −4
(2, 3), (8, 7) లను కలిపే రేఖాఖండం మధ్య బిందువు
1. (10, 10)
2. (5, 5)
3. (3, 2)
4. (6, 4)
సమాధానం
B. (5, 5)
The mid-point of the segment joining (2, 3) and (8, 7) is
1. (10, 10)
2. (5, 5)
3. (3, 2)
4. (6, 4)
(1, 2), (7, 8) లను కలిపే రేఖను అంతరంగా 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు
1. (5, 6)
2. (4, 5)
3. (3, 4)
4. (2, 3)
సమాధానం
C. (3, 4)
The point dividing the line joining (1, 2) and (7, 8) internally in the ratio 1 : 2 is
1. (5, 6)
2. (4, 5)
3. (3, 4)
4. (2, 3)
(0, 0) నుండి (9, 12) కి మూడవ వంతు దూరంలో ఉన్న బిందువు
1. (6, 8)
2. (3, 3)
3. (4.5, 6)
4. (3, 4)
సమాధానం
D. (3, 4)
The point that is one-third of the way from (0, 0) to (9, 12) is
1. (6, 8)
2. (3, 3)
3. (4.5, 6)
4. (3, 4)
శీర్షాలు (0, 0), (6, 0), (0, 9) గా గల త్రిభుజ కేంద్రభాసం (centroid)
1. (2, 3)
2. (6, 9)
3. (2, 4.5)
4. (3, 4.5)
సమాధానం
A. (2, 3)
The centroid of the triangle with vertices (0, 0), (6, 0) and (0, 9) is
1. (2, 3)
2. (6, 9)
3. (2, 4.5)
4. (3, 4.5)
కేంద్రభాసం ప్రతి మధ్యగత రేఖను విభజించే నిష్పత్తి
1. శీర్షం నుండి 2 : 1
2. 1 : 1
3. శీర్షం నుండి 1 : 2
4. శీర్షం నుండి 3 : 1
సమాధానం
A. శీర్షం నుండి 2 : 1
The centroid divides each median in the ratio
1. 2 : 1 from the vertex
2. 1 : 1
3. 1 : 2 from the vertex
4. 3 : 1 from the vertex
శీర్షాలు (0, 0), (4, 0), (0, 6) గా గల త్రిభుజ వైశాల్యం
1. 10 చదరపు యూనిట్లు
2. 24 చదరపు యూనిట్లు
3. 6 చదరపు యూనిట్లు
4. 12 చదరపు యూనిట్లు
సమాధానం
D. 12 చదరపు యూనిట్లు
The area of the triangle with vertices (0, 0), (4, 0) and (0, 6) is
1. 10 square units
2. 24 square units
3. 6 square units
4. 12 square units
శీర్షాలు (1, 2), (3, 4), (5, 0) గా గల త్రిభుజ వైశాల్యం
1. 10 చదరపు యూనిట్లు
2. 4 చదరపు యూనిట్లు
3. 6 చదరపు యూనిట్లు
4. 12 చదరపు యూనిట్లు
సమాధానం
C. 6 చదరపు యూనిట్లు
The area of the triangle with vertices (1, 2), (3, 4) and (5, 0) is
1. 10 square units
2. 4 square units
3. 6 square units
4. 12 square units
బిందువులు (1, 2), (2, 3), (3, k) లు సరేఖీయాలు. అయితే k
1. 5
2. 3
3. 4
4. 6
సమాధానం
C. 4
The points (1, 2), (2, 3) and (3, k) are collinear. Then k is
1. 5
2. 3
3. 4
4. 6
(1, 2), (3, 6) ల గుండా పోయే రేఖ వాలు
1. 2
2. 4
3. 1/2
4. −2
సమాధానం
A. 2
The slope of the line through (1, 2) and (3, 6) is
1. 2
2. 4
3. 1/2
4. −2
రేఖ 2x + 3y = 6 వాలు
1. 2/3
2. −3/2
3. 2
4. −2/3
సమాధానం
D. −2/3
The slope of the line 2x + 3y = 6 is
1. 2/3
2. −3/2
3. 2
4. −2/3
వాలు 2 గా గల రేఖకు లంబంగా ఉండే రేఖ వాలు
1. 1/2
2. −1/2
3. −2
4. 2
సమాధానం
B. −1/2
The slope of a line perpendicular to a line of slope 2 is
1. 1/2
2. −1/2
3. −2
4. 2
వాలు 3, y-అంతర ఖండం 2 గా గల రేఖ సమీకరణం
1. y = −3x + 2
2. y = 3x + 2
3. y = 2x + 3
4. y = 3x − 2
సమాధానం
B. y = 3x + 2
The equation of the line with slope 3 and y-intercept 2 is
1. y = −3x + 2
2. y = 3x + 2
3. y = 2x + 3
4. y = 3x − 2
(3, 5) గుండా పోయే x-అక్షానికి సమాంతర రేఖ సమీకరణం
1. x = 5
2. y = 3
3. x = 3
4. y = 5
సమాధానం
D. y = 5
The equation of the line parallel to the x-axis through (3, 5) is
1. x = 5
2. y = 3
3. x = 3
4. y = 5
బిందువు (3, −4) యొక్క x-అక్షంలో ప్రతిబింబం
1. (4, 3)
2. (3, 4)
3. (−3, −4)
4. (−3, 4)
సమాధానం
B. (3, 4)
The reflection of the point (3, −4) in the x-axis is
1. (4, 3)
2. (3, 4)
3. (−3, −4)
4. (−3, 4)
బిందువు (3, −4) యొక్క మూలబిందువులో ప్రతిబింబం
1. (−3, −4)
2. (3, 4)
3. (−3, 4)
4. (−4, 3)
సమాధానం
C. (−3, 4)
The reflection of the point (3, −4) in the origin is
1. (−3, −4)
2. (3, 4)
3. (−3, 4)
4. (−4, 3)
(2, 3), (6, 5) ల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న x-అక్షంపై బిందువు
1. (6, 0)
2. (0, 6)
3. (4, 0)
4. (5, 0)
సమాధానం
A. (6, 0)
The point on the x-axis equidistant from (2, 3) and (6, 5) is
1. (6, 0)
2. (0, 6)
3. (4, 0)
4. (5, 0)
x-అక్షం (2, −3), (5, 6) లను కలిపే రేఖను విభజించే నిష్పత్తి
1. 1 : 1
2. 1 : 2
3. 2 : 1
4. 3 : 2
సమాధానం
B. 1 : 2
The x-axis divides the line joining (2, −3) and (5, 6) in the ratio
1. 1 : 1
2. 1 : 2
3. 2 : 1
4. 3 : 2
y-అక్షం (−2, 5), (4, 7) లను కలిపే రేఖను విభజించే నిష్పత్తి
1. 1 : 2
2. 1 : 1
3. 2 : 1
4. 2 : 3
సమాధానం
A. 1 : 2
The y-axis divides the line joining (−2, 5) and (4, 7) in the ratio
1. 1 : 2
2. 1 : 1
3. 2 : 1
4. 2 : 3
శీర్షాలు (0, 0), (3, 0), (0, 4) గా గల త్రిభుజ చుట్టుకొలత
1. 14 యూనిట్లు
2. 10 యూనిట్లు
3. 7 యూనిట్లు
4. 12 యూనిట్లు
సమాధానం
D. 12 యూనిట్లు
The perimeter of the triangle with vertices (0, 0), (3, 0) and (0, 4) is
1. 14 units
2. 10 units
3. 7 units
4. 12 units
శీర్షాలు (0, 0), (4, 0), (2, 2√3) గా గల త్రిభుజం
1. లంబకోణ త్రిభుజం
2. సమద్విబాహు కానీ సమబాహు కాని త్రిభుజం
3. సమబాహు త్రిభుజం
4. విషమబాహు త్రిభుజం
సమాధానం
C. సమబాహు త్రిభుజం
The triangle with vertices (0, 0), (4, 0) and (2, 2√3) is
1. right-angled
2. isosceles but not equilateral
3. equilateral
4. scalene
సమాంతర చతుర్భుజం ABCD లో మూడు శీర్షాలు A(0, 0), B(4, 0), C(5, 3). నాలుగవ శీర్షం D
1. (1, −3)
2. (1, 3)
3. (9, 3)
4. (−1, 3)
సమాధానం
B. (1, 3)
Three vertices of a parallelogram ABCD are A(0, 0), B(4, 0) and C(5, 3). The fourth vertex D is
1. (1, −3)
2. (1, 3)
3. (9, 3)
4. (−1, 3)
బిందువు (k, 2) కి (3, −2) నుండి 5 యూనిట్ల దూరం ఉండేటట్లు k విలువ(లు)
1. 0 లేదా 6
2. 6 మాత్రమే
3. 3 మాత్రమే
4. −6 లేదా 0
సమాధానం
A. 0 లేదా 6
The value(s) of k for which the point (k, 2) is 5 units from (3, −2) are
1. 0 or 6
2. 6 only
3. 3 only
4. −6 or 0
ఒక రేఖాఖండం ఒక చివర (1, 2), మధ్య బిందువు (3, 4). రెండవ చివర
1. (4, 5)
2. (2, 3)
3. (5, 6)
4. (7, 8)
సమాధానం
C. (5, 6)
One end of a segment is (1, 2) and its mid-point is (3, 4). The other end is
1. (4, 5)
2. (2, 3)
3. (5, 6)
4. (7, 8)
వ్యాసం చివరలు (−2, −3), (6, 5) గా గల వృత్త కేంద్రం
1. (0, 0)
2. (4, 8)
3. (4, 2)
4. (2, 1)
సమాధానం
D. (2, 1)
The centre of a circle whose diameter has ends (−2, −3) and (6, 5) is
1. (0, 0)
2. (4, 8)
3. (4, 2)
4. (2, 1)
వ్యాసం చివరలు (−2, −3), (6, 5) గా గల వృత్త వ్యాసార్ధం
1. 4√2 యూనిట్లు
2. 8 యూనిట్లు
3. 8√2 యూనిట్లు
4. 4 యూనిట్లు
సమాధానం
A. 4√2 యూనిట్లు
The radius of the circle whose diameter has ends (−2, −3) and (6, 5) is
1. 4√2 units
2. 8 units
3. 8√2 units
4. 4 units
కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. ఒక బిందువు ప్రథమాంశం (abscissa) దాని x-నిరూపకం. 2. y-అక్షంపై ఉన్న ప్రతి బిందువు ప్రథమాంశం సున్నా. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Consider the statements: 1. The abscissa of a point is its x-coordinate. 2. Every point on the y-axis has abscissa zero. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. దూర సూత్రం పైథాగరస్ సిద్ధాంతం నుండి వస్తుంది. 2. రెండు బిందువుల మధ్య దూరం ఋణాత్మకంగా ఉండవచ్చు. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. The distance formula follows from the Pythagoras theorem. 2. The distance between two points can be negative. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. మధ్య బిందు సూత్రం విభజన సూత్రం యొక్క 1 : 1 నిష్పత్తికి ప్రత్యేక సందర్భం. 2. త్రిభుజ కేంద్రభాసం దాని శీర్షాల నిరూపకాల సగటు. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Consider the statements: 1. The mid-point formula is a special case of the section formula with ratio 1 : 1. 2. The centroid of a triangle is the mean of the coordinates of its vertices. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. మూడు బిందువులు ఏర్పరిచే త్రిభుజ వైశాల్యం సున్నా అయితే అవి సరేఖీయాలు. 2. అన్ని జంటల దూరాలు సమానమైతే మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. Three points are collinear if the area of the triangle they form is zero. 2. Three points are collinear if all pairwise distances are equal. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. x-అక్షం వాలు నిర్వచించబడదు. 2. నిలువు రేఖ వాలు నిర్వచించబడదు. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Consider the statements: 1. The slope of the x-axis is undefined. 2. The slope of a vertical line is undefined. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. బిందువులు (a, b), (b, a) ఎల్లప్పుడూ ఒకే బిందువు. 2. బిందువు (0, −3) x-అక్షంపై ఉంటుంది. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
D. 1 లేదా 2 కాదు
Consider the statements: 1. The points (a, b) and (b, a) are always the same point. 2. The point (0, −3) lies on the x-axis. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ఏ జత సరిగ్గా సరిపోలింది?
1. దూరం: (x₂ − x₁) + (y₂ − y₁)
2. కేంద్రభాసం: ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)
3. వాలు: (x₂ − x₁)/(y₂ − y₁)
4. మధ్య బిందువు: ((x₁ − x₂)/2, (y₁ − y₂)/2)
సమాధానం
B. కేంద్రభాసం: ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)
Which pair is correctly matched?
1. Distance : (x₂ − x₁) + (y₂ − y₁)
2. Centroid : ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)
3. Slope : (x₂ − x₁)/(y₂ − y₁)
4. Mid-point : ((x₁ − x₂)/2, (y₁ − y₂)/2)
IX తరగతి విద్యార్థులు నిరూపకాలను సరైన క్రమంలో రాయడానికి ఉపాధ్యాయుడు
1. ఏ క్రమంలోనైనా రాయమని చెప్పాలి
2. గ్రిడ్ లేదా సీటింగ్ ప్లాన్ కృత్యాన్ని ఉపయోగించి, 'మొదట పక్కకు నడవండి, తర్వాత పైకి వెళ్ళండి' అనే నియమాన్ని చెప్పాలి
3. గ్రాఫ్ పేపర్ వాడకూడదు
4. మొదట ఋణ సంఖ్యలను మాత్రమే ఉపయోగించాలి
సమాధానం
B. గ్రిడ్ లేదా సీటింగ్ ప్లాన్ కృత్యాన్ని ఉపయోగించి, 'మొదట పక్కకు నడవండి, తర్వాత పైకి వెళ్ళండి' అనే నియమాన్ని చెప్పాలి
To help Class IX learners write coordinates in the correct order, a teacher should
1. tell learners to write either order
2. use a grid or seating-plan activity and the rule: first walk along, then go up
3. avoid using graph paper
4. only use negative numbers first
ఒక విద్యార్థి ఎల్లప్పుడూ (x, y) బదులు (y, x) ని గుర్తిస్తున్నాడు. అత్యంత సహాయకరమైన చర్య
1. పాదాలపై ఉపన్యాసం ఇవ్వడం
2. సూత్రాన్ని కంఠస్థం చేయమనడం
3. ప్రతిస్పందన ఇవ్వకుండా మార్కులు తగ్గించడం
4. గ్రిడ్‌పై (2, 5), (5, 2) లను గుర్తించి స్థానాలను పోల్చడం
సమాధానం
D. గ్రిడ్‌పై (2, 5), (5, 2) లను గుర్తించి స్థానాలను పోల్చడం
A learner always plots (y, x) instead of (x, y). The most helpful step is to
1. give a lecture on quadrants
2. ask the learner to memorise the formula
3. deduct marks without feedback
4. plot (2, 5) and (5, 2) on a grid and compare the positions
మూలబిందువు నుండి 3 యూనిట్లు క్రిందగా ఉన్న y-అక్షంపై బిందువు
1. (0, 3)
2. (−3, 0)
3. (0, −3)
4. (3, 0)
సమాధానం
C. (0, −3)
The point on the y-axis that is 3 units below the origin is
1. (0, 3)
2. (−3, 0)
3. (0, −3)
4. (3, 0)

Page 1 of 1

Finished reading?

Test yourself in 10 minutes

A free 10-question mini-mock on your exam's real pattern, with negative marking and an instant score. अपनी तैयारी 10 मिनट में जाँचें।

Take a free mini-mock →Topic-wise practice