←
స్కూల్ అసిస్టెంట్లు మరియు TET పేపర్ 2A కోసం గణితం (VI-X తరగతులు) · Chapter 9

త్రికోణమితి: నిష్పత్తులు, సర్వసమికలు, ఎత్తులు మరియు దూరాలు

గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

  • లంబకోణ త్రిభుజంలో sin = ఎదుటి భుజం/కర్ణం, cos = ఆసన్న భుజం/కర్ణం మరియు tan = ఎదుటి భుజం/ఆసన్న భుజం; cosec, sec మరియు cot వాటి వ్యుత్క్రమాలు.
  • ప్రాథమిక సర్వసమికలు: sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ మరియు 1 + cot²θ = cosec²θ; పూరక కోణాలకు sin(90° − θ) = cos θ.
  • ఎత్తులు మరియు దూరాల లెక్కలు ఉన్నతి కోణం లేదా అవనతి కోణంతో లంబకోణ త్రిభుజాన్ని వాడతాయి, సాధారణంగా 30°, 45° లేదా 60° యొక్క tan, sin లేదా cos తో.

త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు

అల్పకోణం θ ఉన్న లంబకోణ త్రిభుజాన్ని తీసుకోండి. θ కి ఎదురుగా ఉన్న భుజం లంబం (P), θ కి ఆనుకుని ఉన్న భుజం భూమి (B), అతి పొడవైన భుజం కర్ణం (H).

నిష్పత్తినిర్వచనంవ్యుత్క్రమం
sin θP/Hcosec θ = H/P
cos θB/Hsec θ = H/B
tan θP/Bcot θ = B/P

అలాగే tan θ = sin θ / cos θ మరియు cot θ = cos θ / sin θ. ఒకే అల్పకోణం ఉన్న లంబకోణ త్రిభుజాలు సదృశం కాబట్టి, నిష్పత్తులు కోణంపై మాత్రమే ఆధారపడతాయి, త్రిభుజం పరిమాణంపై కాదు. అల్పకోణానికి sin θ మరియు cos θ లు 0 మరియు 1 మధ్య ఉంటాయి, sec θ మరియు cosec θ కనీసం 1 ఉంటాయి. sin θ అనేది నిష్పత్తికి ఒకే గుర్తు; అది sin × θ కాదు.

ఒక నిష్పత్తి తెలిస్తే, మిగిలినవి లంబకోణ త్రిభుజం నుండి వస్తాయి. ఉదాహరణ: sin A = 3/5 అయితే భుజాలు 3, 4, 5, కాబట్టి cos A = 4/5 మరియు tan A = 3/4.

ప్రామాణిక విలువలు

θ0°30°45°60°90°
sin01/21/√2√3/21
cos1√3/21/√21/20
tan01/√31√3నిర్వచించబడదు
cosecనిర్వచించబడదు2√22/√31
sec12/√3√22నిర్వచించబడదు
cotనిర్వచించబడదు√311/√30

sine కోసం జ్ఞాపక సూత్రం: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° లకు √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 విలువలు. cosine అదే జాబితా వ్యతిరేక క్రమంలో. θ, 0° నుండి 90° కు వెళ్లేటప్పుడు sin మరియు tan పెరుగుతాయి, cos తగ్గుతుంది.

పూరక కోణాలు

(90° − θ) యొక్క నిష్పత్తిసమానం
sin (90° − θ)cos θ
cos (90° − θ)sin θ
tan (90° − θ)cot θ
cot (90° − θ)tan θ
sec (90° − θ)cosec θ
cosec (90° − θ)sec θ

ఉదాహరణలు: cos 55° = sin 35° కాబట్టి sin 35° / cos 55° = 1. tan 15° × tan 75° = tan 15° × cot 15° = 1.

సర్వసమికలు

  • 1. sin²θ + cos²θ = 1 (ప్రతి కోణానికి సత్యం).
  • 2. 1 + tan²θ = sec²θ (మొదటి దానిని cos²θ తో భాగించండి).
  • 3. 1 + cot²θ = cosec²θ (మొదటి దానిని sin²θ తో భాగించండి).
  • 4. sin θ × cosec θ = 1, cos θ × sec θ = 1, tan θ × cot θ = 1.

ఉపయోగకర పర్యవసానాలు: sec²θ − tan²θ = 1; cosec²θ − cot²θ = 1; 1 − sin²θ = cos²θ. సర్వసమికను నిరూపించడానికి ఒక వైపు (సాధారణంగా సంక్లిష్టమైన వైపు) పని చేసి, అన్నింటినీ sin మరియు cos లోకి మార్చండి. ఫలితం ఇప్పటికే సత్యమన్నట్లుగా పదాలను సమాన గుర్తుకు అటూ ఇటూ మార్చవద్దు.

సాధించిన ఉదాహరణలు:

  • (sin θ + cos θ)² + (sin θ − cos θ)² = 2(sin²θ + cos²θ) = 2.
  • (1 − sin²θ) sec²θ = cos²θ × sec²θ = 1.
  • sec θ = 5/4 అయితే tan²θ = 25/16 − 1 = 9/16, కాబట్టి tan θ = 3/4.
  • sin 60° cos 30° + cos 60° sin 30° = 3/4 + 1/4 = 1.
  • 2 sin 30° cos 30° = 2 × 1/2 × √3/2 = √3/2.

సర్వసమికను నిరూపించడం: ఒక నమూనా

(1 + tan²θ) cos²θ = 1 ను నిరూపించడానికి ఎడమ వైపు తీసుకోండి. 1 + tan²θ = sec²θ కాబట్టి ఎడమ వైపు sec²θ × cos²θ అవుతుంది. sec θ = 1/cos θ కాబట్టి ఇది 1 కి సమానం, ఇదే కుడి వైపు. మరొక నమూనా sin θ/(1 + cos θ) + (1 + cos θ)/sin θ = 2 cosec θ నిరూపించడం: భిన్నాలను కలిపితే (sin²θ + (1 + cos θ)²)/(sin θ (1 + cos θ)) వస్తుంది. లవం sin²θ + 1 + 2 cos θ + cos²θ = 2 + 2 cos θ = 2(1 + cos θ). (1 + cos θ) ను కొట్టివేస్తే 2/sin θ = 2 cosec θ మిగులుతుంది.

ఇతర ప్రత్యేక ఫలితాలు: మొదటి పాదంలో θ తో sin θ పెరుగుతుంది, కాబట్టి sin 20° < sin 40°; cos θ తగ్గుతుంది, కాబట్టి cos 20° > cos 40°. 0° కోణానికి sin 0° = 0, cos 0° = 1 మరియు tan 0° = 0. 22.5° లేదా 15° నిష్పత్తులు ప్రామాణిక పట్టికలో లేవు; అవసరమైనప్పుడు ప్రశ్నలో ఇస్తారు.

ఎత్తులు మరియు దూరాలు

దృష్టి రేఖ అంటే కంటి నుండి వస్తువు వరకు గీసిన రేఖ. వస్తువు పరిశీలకుని కంటి కంటే పైన ఉన్నప్పుడు దృష్టి రేఖ మరియు క్షితిజ సమాంతర రేఖ మధ్య కోణం ఉన్నతి కోణం. వస్తువు కింద ఉన్నప్పుడు దృష్టి రేఖ మరియు క్షితిజ సమాంతర రేఖ మధ్య కోణం అవనతి కోణం. పరిశీలకుని నుండి వస్తువు ఉన్నతి కోణం, వస్తువు నుండి పరిశీలకుని అవనతి కోణానికి సమానం, ఎందుకంటే అవి ఏకాంతర కోణాలు.

పద్ధతి: (1) చక్కని పటం గీయండి; (2) లంబకోణ త్రిభుజాన్ని గుర్తించండి; (3) తెలిసిన, తెలియని భుజాలను కలిపే నిష్పత్తిని ఎంచుకోండి; (4) సాధించండి. ఎత్తు h మరియు క్షితిజ సమాంతర దూరం d కు: tan θ = h/d. గోడకు ఆనించిన l పొడవైన నిచ్చెనకు: sin θ = ఎత్తు/l మరియు cos θ = పాదం దూరం/l. ఇవ్వకపోతే పరిశీలకుని ఎత్తును విస్మరించండి.

సందర్భంసంబంధం
గోపురం ఎత్తు h, దూరం d, ఉన్నతి కోణం θh = d tan θ
నేలతో θ కోణంలో ఉన్న నిచ్చెన lఎత్తు = l sin θ
స్తంభం h యొక్క నీడ stan (సూర్య ఉన్నతి కోణం) = h/s
θ కోణంలో గాలిపటం దారం lఎత్తు = l sin θ

సాధించిన ఉదాహరణలు:

  • 1. ఒక గోపురం 30 మీ దూరం నుండి 30° వద్ద కనిపిస్తుంది: h = 30 tan 30° = 10√3 మీ.
  • 2. 10 మీ స్తంభం నీడ 10 మీ: tan θ = 1, కాబట్టి θ = 45°.
  • 3. 20 మీ నిచ్చెన గోడపై 10 మీ ఎత్తు చేరుతుంది: sin θ = 1/2, కాబట్టి θ = 30°.
  • 4. 50 మీ గోపురం నుండి పడవ 45° అవనతి కోణంలో కనిపిస్తుంది: పడవ పాదం నుండి 50 మీ దూరంలో ఉంది.
  • 5. 60 మీ భవనం 60° ఉన్నతి కోణంలో: d = 60/√3 = 20√3 మీ.

గోపురంతో ఒకే రేఖలో ఉన్న రెండు బిందువుల నుండి రెండు ఉన్నతి కోణాలు ఇచ్చినప్పుడు, h మరియు d లలో రెండు సమీకరణాలు ఏర్పరచి తీసివేయండి. ఉదాహరణకు, గోపురం ఎత్తు h, d + x మరియు d దూరాల వద్ద ఉన్నతి కోణాలు 30° మరియు 60° అయితే, h = (d + x)/√3 మరియు h = d√3.

తరగతి గది దృష్టికోణం

చదరపు కాగితంపై గీసిన సదృశ లంబకోణ త్రిభుజాలతో ప్రారంభించి, స్థిర కోణానికి నిష్పత్తులను కొలవనివ్వండి; ఇది నిష్పత్తి కోణంపైనే ఆధారపడుతుందని చూపిస్తుంది. ప్రొట్రాక్టర్, స్ట్రా, దారంతో క్లైనోమీటర్ తయారు చేసి పాఠశాల ఆవరణలో నిజమైన ఎత్తులు కొలవండి. అపోహలు: "sin θ"ని sin × θ గా చదవడం, ఎదుటి, ఆసన్న భుజాలను కలగలపడం, ఉన్నతి కోణాన్ని నిలువుతో కోణంగా వాడటం, tan 90° నిర్వచించబడదని మరచిపోవడం.

పరీక్షలో పొరపాట్లు

  • sin θ అంటే sin × θ కాదు; అది ఒకే నిష్పత్తి.
  • tan 90° మరియు sec 90° నిర్వచించబడవు; cot 0° మరియు cosec 0° నిర్వచించబడవు.
  • sin 30° = cos 60° = 1/2, కానీ tan 30° = 1/√3 మరియు tan 60° = √3.
  • tan (90° − θ) = cot θ, tan θ కాదు.
  • sin²θ + cos²θ = 1 అల్పకోణాలకే కాక అన్ని కోణాలకు చెల్లుతుంది.
  • అల్పకోణానికి sec θ ఎప్పుడూ 1 కంటే తక్కువ కాదు.
  • ఉన్నతి కోణాన్ని క్షితిజ సమాంతర రేఖ నుండి కొలుస్తారు, నిలువు నుండి కాదు.
  • ఒక కోణం sine, cosine లు ఎప్పుడూ 1 కంటే ఎక్కువ కావు.

ఒక్క వాక్య సారాంశాలు

  • 1. sin = P/H, cos = B/H, tan = P/B.
  • 2. sin 30° = 1/2 మరియు cos 60° = 1/2.
  • 3. sin 45° = cos 45° = 1/√2.
  • 4. tan 45° = 1.
  • 5. tan 60° = √3 మరియు tan 30° = 1/√3.
  • 6. sin²θ + cos²θ = 1.
  • 7. 1 + tan²θ = sec²θ.
  • 8. 1 + cot²θ = cosec²θ.
  • 9. sin (90° − θ) = cos θ.
  • 10. tan θ × cot θ = 1.
  • 11. ఉన్నతి కోణం, రెండవ చివర నుండి అవనతి కోణానికి సమానం.
  • 12. ఎత్తు = దూరం × tan (ఉన్నతి కోణం).

సాధన ప్రశ్నలు

  1. లంబకోణ త్రిభుజంలో sin θ నిర్వచనం

    1. కర్ణం / ఎదుటి భుజం
    2. ఎదుటి భుజం / ఆసన్న భుజం
    3. ఆసన్న భుజం / కర్ణం
    4. ఎదుటి భుజం / కర్ణం
    సమాధానం

    D. ఎదుటి భుజం / కర్ణం

    In a right triangle, sin θ is defined as

    1. hypotenuse / opposite side
    2. opposite side / adjacent side
    3. adjacent side / hypotenuse
    4. opposite side / hypotenuse

  2. tan θ దీనికి సమానం

    1. sin θ × cos θ
    2. sin θ / cos θ
    3. cos θ / sin θ
    4. 1 / sin θ
    సమాధానం

    B. sin θ / cos θ

    tan θ is equal to

    1. sin θ × cos θ
    2. sin θ / cos θ
    3. cos θ / sin θ
    4. 1 / sin θ

  3. sin θ యొక్క వ్యుత్క్రమం

    1. sec θ
    2. tan θ
    3. cot θ
    4. cosec θ
    సమాధానం

    D. cosec θ

    The reciprocal of sin θ is

    1. sec θ
    2. tan θ
    3. cot θ
    4. cosec θ

  4. అన్ని కోణాలకు సరైన సర్వసమానత (గుర్తింపు) ఏది?

    1. sin²θ + cos²θ = 1
    2. tan²θ + cot²θ = 1
    3. sin²θ − cos²θ = 1
    4. sin θ + cos θ = 1
    సమాధానం

    A. sin²θ + cos²θ = 1

    Which identity is correct for all angles?

    1. sin²θ + cos²θ = 1
    2. tan²θ + cot²θ = 1
    3. sin²θ − cos²θ = 1
    4. sin θ + cos θ = 1

  5. 1 + tan²θ దీనికి సమానం

    1. cos²θ
    2. cosec²θ
    3. sec²θ
    4. cot²θ
    సమాధానం

    C. sec²θ

    1 + tan²θ equals

    1. cos²θ
    2. cosec²θ
    3. sec²θ
    4. cot²θ

  6. 1 + cot²θ దీనికి సమానం

    1. tan²θ
    2. sin²θ
    3. sec²θ
    4. cosec²θ
    సమాధానం

    D. cosec²θ

    1 + cot²θ equals

    1. tan²θ
    2. sin²θ
    3. sec²θ
    4. cosec²θ

  7. sin 30° విలువ

    1. 1/2
    2. √3/2
    3. 1/√2
    4. 1
    సమాధానం

    A. 1/2

    The value of sin 30° is

    1. 1/2
    2. √3/2
    3. 1/√2
    4. 1

  8. cos 60° విలువ

    1. √3/2
    2. 1/2
    3. 1/√2
    4. 0
    సమాధానం

    B. 1/2

    The value of cos 60° is

    1. √3/2
    2. 1/2
    3. 1/√2
    4. 0

  9. tan 45° విలువ

    1. 0
    2. √3
    3. 1
    4. 1/√3
    సమాధానం

    C. 1

    The value of tan 45° is

    1. 0
    2. √3
    3. 1
    4. 1/√3

  10. tan 60° విలువ

    1. √3
    2. 1/√3
    3. 1
    4. 2
    సమాధానం

    A. √3

    The value of tan 60° is

    1. √3
    2. 1/√3
    3. 1
    4. 2

  11. sin 45° విలువ

    1. 1/2
    2. √3/2
    3. 1
    4. 1/√2
    సమాధానం

    D. 1/√2

    The value of sin 45° is

    1. 1/2
    2. √3/2
    3. 1
    4. 1/√2

  12. sec 60° విలువ

    1. 1/2
    2. 2
    3. √3
    4. 2/√3
    సమాధానం

    B. 2

    The value of sec 60° is

    1. 1/2
    2. 2
    3. √3
    4. 2/√3

  13. కింది వాటిలో నిర్వచించబడనిది ఏది?

    1. cot 45°
    2. sin 90°
    3. tan 90°
    4. tan 45°
    సమాధానం

    C. tan 90°

    Which of the following is undefined?

    1. cot 45°
    2. sin 90°
    3. tan 90°
    4. tan 45°

  14. sin θ కి సాధ్యం కాని విలువ ఏది?

    1. 0.5
    2. 1
    3. 0
    4. 1.5
    సమాధానం

    D. 1.5

    Which value is impossible for sin θ?

    1. 0.5
    2. 1
    3. 0
    4. 1.5

  15. sin (90° − θ) దీనికి సమానం

    1. cos θ
    2. tan θ
    3. sin θ
    4. sec θ
    సమాధానం

    A. cos θ

    sin (90° − θ) equals

    1. cos θ
    2. tan θ
    3. sin θ
    4. sec θ

  16. sin A = 3/5 మరియు A అల్పకోణం అయితే tan A

    1. 4/5
    2. 3/5
    3. 3/4
    4. 4/3
    సమాధానం

    C. 3/4

    If sin A = 3/5 and A is acute, then tan A is

    1. 4/5
    2. 3/5
    3. 3/4
    4. 4/3

  17. cos A = 5/13 మరియు A అల్పకోణం అయితే sin A

    1. 8/13
    2. 12/13
    3. 13/12
    4. 5/12
    సమాధానం

    B. 12/13

    If cos A = 5/13 and A is acute, then sin A is

    1. 8/13
    2. 12/13
    3. 13/12
    4. 5/12

  18. sin 30° + cos 60° విలువ

    1. 1
    2. 1/2
    3. √3
    4. 3/2
    సమాధానం

    A. 1

    The value of sin 30° + cos 60° is

    1. 1
    2. 1/2
    3. √3
    4. 3/2

  19. tan 30° × tan 60° విలువ

    1. √3
    2. 1/3
    3. 3
    4. 1
    సమాధానం

    D. 1

    The value of tan 30° × tan 60° is

    1. √3
    2. 1/3
    3. 3
    4. 1

  20. 2 sin 30° cos 30° విలువ

    1. 1/2
    2. 3/4
    3. √3/2
    4. √3
    సమాధానం

    C. √3/2

    The value of 2 sin 30° cos 30° is

    1. 1/2
    2. 3/4
    3. √3/2
    4. √3

  21. sin 60° cos 30° + cos 60° sin 30° విలువ

    1. √3/2
    2. 1
    3. 1/2
    4. 3/4
    సమాధానం

    B. 1

    The value of sin 60° cos 30° + cos 60° sin 30° is

    1. √3/2
    2. 1
    3. 1/2
    4. 3/4

  22. (sin θ + cos θ)² + (sin θ − cos θ)² విలువ

    1. 1
    2. 0
    3. 4 sin θ cos θ
    4. 2
    సమాధానం

    D. 2

    The value of (sin θ + cos θ)² + (sin θ − cos θ)² is

    1. 1
    2. 0
    3. 4 sin θ cos θ
    4. 2

  23. (1 − sin²θ) sec²θ సూక్ష్మీకరించగా

    1. 1
    2. 0
    3. tan²θ
    4. sin²θ
    సమాధానం

    A. 1

    The expression (1 − sin²θ) sec²θ simplifies to

    1. 1
    2. 0
    3. tan²θ
    4. sin²θ

  24. tan 15° × tan 75° విలువ

    1. 0
    2. √3
    3. 1
    4. 1/√3
    సమాధానం

    C. 1

    The value of tan 15° × tan 75° is

    1. 0
    2. √3
    3. 1
    4. 1/√3

  25. sin 35° / cos 55° విలువ

    1. 0
    2. tan 35°
    3. 1
    4. 1/2
    సమాధానం

    C. 1

    The value of sin 35° / cos 55° is

    1. 0
    2. tan 35°
    3. 1
    4. 1/2

  26. అల్పకోణం θ కి sin θ = cos θ అయితే θ

    1. 60°
    2. 45°
    3. 30°
    4. 90°
    సమాధానం

    B. 45°

    If sin θ = cos θ for an acute angle θ, then θ is

    1. 60°
    2. 45°
    3. 30°
    4. 90°

  27. అల్పకోణం θ కి tan θ = √3 అయితే θ

    1. 60°
    2. 90°
    3. 30°
    4. 45°
    సమాధానం

    A. 60°

    If tan θ = √3 for an acute angle θ, then θ is

    1. 60°
    2. 90°
    3. 30°
    4. 45°

  28. sec θ = 5/4 మరియు θ అల్పకోణం అయితే tan θ

    1. 3/5
    2. 3/4
    3. 5/3
    4. 4/3
    సమాధానం

    B. 3/4

    If sec θ = 5/4 and θ is acute, then tan θ is

    1. 3/5
    2. 3/4
    3. 5/3
    4. 4/3

  29. 10 m ఎత్తైన స్తంభం నీడ పొడవు 10 m. సూర్యుని ఉన్నతి కోణం

    1. 60°
    2. 90°
    3. 30°
    4. 45°
    సమాధానం

    D. 45°

    A pole 10 m high casts a shadow 10 m long. The angle of elevation of the sun is

    1. 60°
    2. 90°
    3. 30°
    4. 45°

  30. ఒక టవర్ అడుగు నుండి 30 m దూరంలో ఉన్న బిందువు నుండి దాని పై భాగపు ఉన్నతి కోణం 30°. టవర్ ఎత్తు

    1. 10√3 m
    2. 30√3 m
    3. 30 m
    4. 15 m
    సమాధానం

    A. 10√3 m

    The angle of elevation of the top of a tower from a point 30 m from its foot is 30°. The height of the tower is

    1. 10√3 m
    2. 30√3 m
    3. 30 m
    4. 15 m

  31. 10 m నిచ్చెన గోడకు ఆనించబడి నేలతో 60° కోణం చేస్తుంది. అది చేరే ఎత్తు

    1. 10√3 m
    2. 5√3 m
    3. 5 m
    4. 20/√3 m
    సమాధానం

    B. 5√3 m

    A 10 m ladder leans on a wall making 60° with the ground. The height it reaches is

    1. 10√3 m
    2. 5√3 m
    3. 5 m
    4. 20/√3 m

  32. 20 m నిచ్చెన గోడపై 10 m ఎత్తు వరకు చేరుతుంది. అది నేలతో చేసే కోణం

    1. 60°
    2. 15°
    3. 30°
    4. 45°
    సమాధానం

    C. 30°

    A 20 m ladder reaches 10 m up a wall. The angle it makes with the ground is

    1. 60°
    2. 15°
    3. 30°
    4. 45°

  33. గాలిపటం దారం పొడవు 100 m, అది నేలతో 30° కోణం చేస్తుంది; దారం బిగుతుగా ఉంది. గాలిపటం ఎత్తు

    1. 100/√3 m
    2. 50√3 m
    3. 100 m
    4. 50 m
    సమాధానం

    D. 50 m

    A kite string is 100 m long and makes 30° with the ground; the string is taut. The kite's height is

    1. 100/√3 m
    2. 50√3 m
    3. 100 m
    4. 50 m

  34. 50 m ఎత్తైన టవర్ పై నుండి పడవ యొక్క అవనతి కోణం 45°. టవర్ అడుగు నుండి పడవకు దూరం

    1. 25 m
    2. 50√2 m
    3. 50 m
    4. 50√3 m
    సమాధానం

    C. 50 m

    From the top of a 50 m tower the angle of depression of a boat is 45°. The boat's distance from the tower's foot is

    1. 25 m
    2. 50√2 m
    3. 50 m
    4. 50√3 m

  35. 60 m ఎత్తైన భవనాన్ని నేలపై ఒక బిందువు నుండి 60° ఉన్నతి కోణంలో చూశారు. భవనం అడుగు నుండి ఆ బిందువుకు దూరం

    1. 60√3 m
    2. 20√3 m
    3. 30 m
    4. 60 m
    సమాధానం

    B. 20√3 m

    A 60 m building is viewed at an elevation of 60° from a point on the ground. The distance from the foot is

    1. 60√3 m
    2. 20√3 m
    3. 30 m
    4. 60 m

  36. పరిశీలకుని నుండి ఒక వస్తువు యొక్క అవనతి కోణం దీనికి సమానం

    1. ఆ వస్తువు నుండి పరిశీలకుని ఉన్నతి కోణం
    2. సున్నా
    3. ఆ కోణానికి సంపూరకం
    4. ఆ కోణానికి రెట్టింపు
    సమాధానం

    A. ఆ వస్తువు నుండి పరిశీలకుని ఉన్నతి కోణం

    The angle of depression of an object from an observer equals

    1. the angle of elevation of the observer from the object
    2. zero
    3. the supplement of that angle
    4. twice that angle

  37. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. ఏ కోణానికైనా sin θ, cos θ లు ఎప్పుడూ 1 ని మించవు. 2. అల్పకోణానికి sec θ, 1 కంటే తక్కువ కావచ్చు. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    A. 1 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. sin θ and cos θ never exceed 1 for any angle. 2. sec θ can be less than 1 for an acute angle. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  38. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. tan θ = sin θ / cos θ. 2. cot θ = cos θ / sin θ. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    C. 1 మరియు 2 రెండూ

    Consider the statements: 1. tan θ = sin θ / cos θ. 2. cot θ = cos θ / sin θ. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  39. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. sin (90° − θ) = cos θ. 2. tan (90° − θ) = tan θ. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    A. 1 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. sin (90° − θ) = cos θ. 2. tan (90° − θ) = tan θ. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  40. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. cos 90° = 1. 2. sin 90° = 1. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    B. 2 మాత్రమే

    Consider the statements: 1. cos 90° = 1. 2. sin 90° = 1. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  41. కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. tan 90° = 1. 2. sec 90° నిర్వచించబడింది. ఏది/ఏవి సరైనవి?

    1. 1 మాత్రమే
    2. 2 మాత్రమే
    3. 1 మరియు 2 రెండూ
    4. 1 లేదా 2 కాదు
    సమాధానం

    D. 1 లేదా 2 కాదు

    Consider the statements: 1. tan 90° = 1. 2. sec 90° is defined. Which is/are correct?

    1. 1 only
    2. 2 only
    3. Both 1 and 2
    4. Neither 1 nor 2

  42. ఏ జత సరిగ్గా సరిపోలింది?

    1. cot 45° : 0
    2. tan 30° : √3
    3. sec 60° : 1/2
    4. cosec 30° : 2
    సమాధానం

    D. cosec 30° : 2

    Which pair is correctly matched?

    1. cot 45° : 0
    2. tan 30° : √3
    3. sec 60° : 1/2
    4. cosec 30° : 2

  43. ఏ సర్వసమానత జత సరిగ్గా సరిపోలింది?

    1. sec²θ − 1 : cot²θ
    2. 1 − sin²θ : sin²θ
    3. 1 + tan²θ : cosec²θ
    4. 1 + cot²θ : cosec²θ
    సమాధానం

    D. 1 + cot²θ : cosec²θ

    Which identity pair is correctly matched?

    1. sec²θ − 1 : cot²θ
    2. 1 − sin²θ : sin²θ
    3. 1 + tan²θ : cosec²θ
    4. 1 + cot²θ : cosec²θ

  44. ఒక విద్యార్థి 'sin θ = sin × θ' అని రాశాడు. ఉపాధ్యాయుడు వివరించవలసిన ఉత్తమ ప్రతిస్పందన

    1. sin అనేది ఎల్లప్పుడూ 1/2 అయిన సంఖ్య
    2. θ ని ఎల్లప్పుడూ 30° తో భర్తీ చేయాలి
    3. sin θ అనేది కోణంపై ఆధారపడే ఒకే నిష్పత్తి, లబ్ధం కాదు
    4. విద్యార్థి చెప్పింది సరైనదే
    సమాధానం

    C. sin θ అనేది కోణంపై ఆధారపడే ఒకే నిష్పత్తి, లబ్ధం కాదు

    A learner writes 'sin θ = sin × θ'. The best teacher response is to explain that

    1. sin is a number that is always 1/2
    2. θ should be replaced by 30° always
    3. sin θ is a single ratio that depends on the angle, not a product
    4. the learner is correct

  45. X తరగతిలో త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను పరిచయం చేయడానికి ఉత్తమ మార్గం

    1. ముందుగా విలువల పట్టికను ఇవ్వడం
    2. ఉదాహరణలు లేకుండా సర్వసమానతలను చెప్పడం
    3. అనేక సరూప లంబకోణ త్రిభుజాలను గీసి, భుజాల నిష్పత్తులు కోణంపై మాత్రమే ఆధారపడతాయని చూపడం
    4. ఎత్తులు మరియు దూరాలను మాత్రమే బోధించడం
    సమాధానం

    C. అనేక సరూప లంబకోణ త్రిభుజాలను గీసి, భుజాల నిష్పత్తులు కోణంపై మాత్రమే ఆధారపడతాయని చూపడం

    The best way to introduce trigonometric ratios in Class X is to

    1. give the table of values first
    2. state the identities without examples
    3. draw several similar right triangles and show that the ratios of sides depend only on the angle
    4. teach only heights and distances
Page 1 of 1
‹
›