స్కూల్ అసిస్టెంట్లు మరియు TET పేపర్ 2A కోసం గణితం (VI-X తరగతులు) · Chapter 10

క్షేత్రమితి: స్థూపం, శంకువు, గోళం మరియు సంయుక్త ఘనాలు

గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

గోళం: ఉపరితల వైశాల్యం 4πr², ఘనపరిమాణం (4/3)πr³. శంకువు: వక్రతల వైశాల్యం πrl, ఘనపరిమాణం (1/3)πr²h, l² = r² + h². అర్ధగోళం: వక్రతల వైశాల్యం 2πr², సంపూర్ణతల వైశాల్యం 3πr², ఘనపరిమాణం (2/3)πr³.
ఒక ఘనాన్ని కరిగించి తిరిగి పోతపోసినప్పుడు దాని ఘనపరిమాణం మారదు; ఉపరితల వైశాల్యం సాధారణంగా మారుతుంది.
సంయుక్త ఘనాలకు ఘనపరిమాణాలను కూడండి, కానీ సంపూర్ణతల వైశాల్యం కోసం బయటకు కనిపించే తలాలను మాత్రమే కూడండి.

ప్రమాణాలు మరియు ప్రాథమికాలు

వైశాల్యాన్ని చదరపు ప్రమాణాలలో, ఘనపరిమాణాన్ని ఘన ప్రమాణాలలో కొలుస్తారు. 1 మీ = 100 సెం.మీ, కాబట్టి 1 మీ³ = 10,00,000 సెం.మీ³. 1 లీటరు = 1000 సెం.మీ³ మరియు 1 మీ³ = 1000 లీటర్లు. చెప్పకపోతే, వ్యాసార్థం లేదా జవాబు 7 తో పనిచేస్తున్నప్పుడు π = 22/7 వాడండి; ప్రశ్న కోరితే జవాబులో π ను అలాగే ఉంచండి.

వక్రతల వైశాల్యం (CSA) లేదా పార్శ్వ వైశాల్యం అంటే వక్రతలం మాత్రమే. సంపూర్ణతల వైశాల్యం (TSA) సమతల ముఖాలను కూడా కలిగి ఉంటుంది. ఘనపరిమాణం అంటే ఆక్రమించిన స్థలం (ఘనం బోలుగా ఉంటే సామర్థ్యం).

దీర్ఘఘనం, ఘనం మరియు స్థూపం

ఘనం	CSA / పార్శ్వ	TSA	ఘనపరిమాణం
దీర్ఘఘనం l × b × h	2h(l + b)	2(lb + bh + hl)	lbh
ఘనం a	4a²	6a²	a³
స్థూపం r, h	2πrh	2πr(r + h)	πr²h

దీర్ఘఘన కర్ణం = √(l² + b² + h²); ఘన కర్ణం = a√3. బాహ్య వ్యాసార్థం R, అంతర వ్యాసార్థం r ఉన్న బోలు స్థూపం: ఘనపరిమాణం = πh(R² − r²).

ఉదాహరణ: 2 మీ × 1.5 మీ × 1 మీ దీర్ఘఘన ట్యాంకు 3 మీ³ = 3000 లీటర్లు పడుతుంది. TSA 150 సెం.మీ² ఉన్న ఘనానికి a = 5 సెం.మీ, ఘనపరిమాణం 125 సెం.మీ³. r = 7 సెం.మీ, h = 10 సెం.మీ ఉన్న స్థూపం ఘనపరిమాణం 1540 సెం.మీ³, CSA 440 సెం.మీ².

శంకువు

భూమి వ్యాసార్థం r, ఎత్తు h, తిర్యక్ ఎత్తు l ఉన్న శంకువుకు l = √(r² + h²).

రాశి	సూత్రం
వక్రతల వైశాల్యం	πrl
సంపూర్ణతల వైశాల్యం	πr(l + r)
ఘనపరిమాణం	(1/3)πr²h

శంకువు ఘనపరిమాణం, అదే భూమి మరియు ఎత్తు ఉన్న స్థూపం ఘనపరిమాణంలో మూడో వంతు. శంకువును తెరిచినప్పుడు వక్రతలం వ్యాసార్థం l ఉన్న వృత్త సెక్టార్ అవుతుంది, దాని చాప పొడవు భూమి చుట్టుకొలత 2πr కు సమానం. వ్యాసార్థం R ఉన్న అర్ధవృత్తం నుండి చేసిన శంకువుకు తిర్యక్ ఎత్తు R, భూమి వ్యాసార్థం R/2.

ఉదాహరణ: r = 3 మరియు h = 4 అయితే l = 5, CSA = 15π మరియు ఘనపరిమాణం = 12π. r = 7 మరియు h = 24 అయితే l = 25 మరియు CSA = 22/7 × 7 × 25 = 550.

గోళం మరియు అర్ధగోళం

ఘనం	CSA	TSA	ఘనపరిమాణం
గోళం r	–	4πr²	(4/3)πr³
అర్ధగోళం r	2πr²	3πr²	(2/3)πr³
గోళాకార కవచం R, r	–	–	(4/3)π(R³ − r³)

గోళానికి అంచులు లేదా సమతల ముఖాలు ఉండవు. దాని ఘనపరిమాణం r³ కు, ఉపరితల వైశాల్యం r² కు అనులోమానుపాతంలో మారతాయి. వ్యాసార్థం రెట్టింపైతే ఘనపరిమాణం 8 రెట్లు, ఉపరితల వైశాల్యం 4 రెట్లు అవుతాయి. భుజం a ఉన్న ఘనం లోపల అతి పెద్ద గోళం వ్యాసార్థం a/2. గోళం లోపల అతి పెద్ద ఘనం యొక్క ఘన కర్ణం గోళం వ్యాసానికి సమానం.

ఉదాహరణలు: r = 7 అయితే ఉపరితల వైశాల్యం 616. వ్యాసార్థం 3 ఉన్న గోళం ఘనపరిమాణం 36π. వ్యాసార్థం 6 ఉన్న అర్ధగోళం ఘనపరిమాణం 144π.

శంకువు ఛిన్నం

భూమికి సమాంతరంగా ఒక తలంతో చిన్న శంకువును కత్తిరించిన తర్వాత మిగిలేదే శంకువు ఛిన్నం (ఫ్రస్టమ్). వ్యాసార్థాలు R మరియు r, ఎత్తు h, తిర్యక్ ఎత్తు l అయితే:

రాశి	సూత్రం
తిర్యక్ ఎత్తు	l = √(h² + (R − r)²)
ఘనపరిమాణం	(πh/3)(R² + Rr + r²)
CSA	π(R + r)l
TSA	π(R + r)l + πR² + πr²

ఉదాహరణ: R = 7, r = 4, h = 4 అయితే l = 5 మరియు CSA = 55π. R = 4, r = 2, h = 3 అయితే ఘనపరిమాణం 28π.

సంయుక్త ఘనాలు మరియు రూపాంతరం

సంయుక్త ఘనాలకు (అర్ధగోళంపై శంకువు, అర్ధగోళ చివరలున్న స్థూపం, పైన శంకువు ఉన్న స్థూపం), పటం గీసి ప్రతి భాగాన్ని జాబితా చేయండి.

ఘనపరిమాణం: భాగాల ఘనపరిమాణాలను కూడండి (ఒక భాగాన్ని తొలగించి ఉంటే తీసివేయండి).
ఉపరితల వైశాల్యం: బయటకు కనిపించే భాగాల వక్ర వైశాల్యాలను కూడండి. రెండు ఘనాలు కలిసే చోట కలిసిన తలం దాగి ఉంటుంది, దానిని వదిలేయండి.

సాధించిన ఉదాహరణలు:

1. అర్ధగోళం (r = 3) పై శంకువు (r = 3, h = 4, l = 5). ఘనపరిమాణం = 12π + 18π = 30π. ఉపరితలం = 15π + 18π = 33π.
2. క్యాప్సూల్: స్థూపం r = 3, h = 10, ప్రతి చివర అర్ధగోళం. ఉపరితలం = 2π(3)(10) + 4π(9) = 96π. ఘనపరిమాణం = 90π + 36π = 126π.
3. వ్యాసార్థం 6 ఉన్న గోళాన్ని వ్యాసార్థం 2 ఉన్న గోళాలుగా తిరిగి పోతపోస్తే: సంఖ్య = 6³/2³ = 27.
4. r = 3, h = 8 ఉన్న స్థూపాన్ని వ్యాసార్థం 3 ఉన్న గోళాలుగా తిరిగి పోతపోస్తే: 72π/36π = 2 గోళాలు.
5. వ్యాసార్థం 3 ఉన్న గోళాన్ని భూమి వ్యాసార్థం 3 ఉన్న శంకువుగా తిరిగి పోతపోస్తే: 36π = (1/3)π(9)h నుండి h = 12.

రూపాంతర లెక్కలకు "పాత ఘనం ఘనపరిమాణం = కొత్త ఘనం ఘనపరిమాణం (లేదా n × ఒక ఘనం ఘనపరిమాణం)" అని రాసి π ను కొట్టివేయండి. పాత్రను నింపడం లేదా నీరు పోయడం అయితే ఘనపరిమాణాలను సమానం చేయండి; గోళాన్ని వేసినప్పుడు స్థూప నీటి మట్టం పెరిగితే, పెరుగుదల × భూమి వైశాల్యం = గోళం ఘనపరిమాణం.

ఆచరణాత్మక సమస్యలు

ట్యాంకులో నీరు. స్థూపాకార ట్యాంకు సామర్థ్యం = πr²h. అడ్డుకోత వ్యాసార్థం r₁ ఉన్న పైపు v వేగంతో నీటిని ఇస్తే, ప్రమాణ కాలానికి ఘనపరిమాణం πr₁²v. నింపడానికి కాలం = సామర్థ్యం ÷ రేటు, కాబట్టి ప్రమాణాలను ఒకేలా ఉంచండి (మీటర్లు మీటర్లతో, తర్వాత ఘన మీటర్లను లీటర్లకు మార్చండి).

ఐస్‌క్రీమ్ కోన్. వ్యాసార్థం r, ఎత్తు h ఉన్న శంకువు ఐస్‌క్రీమ్‌తో నిండి, అదే వ్యాసార్థంతో పైన అర్ధగోళం ఉంటే, ఘనపరిమాణం (1/3)πr²h + (2/3)πr³.

బోలు గిన్నె. అంతర వ్యాసార్థం r ఉన్న అర్ధగోళాకార గిన్నె (2/3)πr³ పడుతుంది; మందం t ఉన్న గిన్నెకు వాడిన లోహం బాహ్య మరియు అంతర అర్ధగోళ ఘనపరిమాణాల భేదం.

సెక్టార్ నుండి శంకువు. వ్యాసార్థం l, కోణం θ ఉన్న సెక్టార్‌ను శంకువుగా చేస్తే, చాప పొడవు (θ/360) × 2πl = 2πr, కాబట్టి r = lθ/360. శంకువు తిర్యక్ ఎత్తు l.

నీటి మట్టం పెరుగుదల. ఒక ఘనాన్ని స్థూపాకార పాత్రలో పూర్తిగా ముంచినప్పుడు, స్థానభ్రంశం చెందిన నీటి ఘనపరిమాణం ఘనం ఘనపరిమాణానికి సమానం, కాబట్టి మట్టం పెరుగుదల = ఘనం ఘనపరిమాణం ÷ పాత్ర భూమి వైశాల్యం.

పైపు లేదా బావి. వ్యాసార్థం r, లోతు h ఉన్న స్థూపాకార బావి నుండి తవ్విన మట్టి ఘనపరిమాణం πr²h; దానిని దీర్ఘచతురస్రంపై సమానంగా పరిస్తే, మందం = ఘనపరిమాణం ÷ వైశాల్యం.

ప్రతి లెక్కకు చెక్ లిస్ట్: (1) పటం గీయండి, (2) సూత్రం రాయండి, (3) ప్రమాణాలతో ప్రతిక్షేపించండి, (4) జవాబు సహేతుకమో చూడండి (ఉదాహరణకు శంకువు ఘనపరిమాణం దానిని కప్పి ఉంచే స్థూపం కంటే తక్కువ ఉండాలి).

తరగతి గది దృష్టికోణం

నిజమైన వస్తువులతో బోధించండి: శంకువును ఇసుకతో నింపి, అదే భూమి మరియు ఎత్తు ఉన్న స్థూపంలో పోసి మూడో వంతు సంబంధాన్ని చూపండి; కాగితం శంకువును తెరిచి సెక్టార్‌ను చూపండి; తిరిగి పోతపోసినా ఘనపరిమాణం మారదని చూపడానికి మట్టిని వాడండి. సాధారణ తప్పులు: శంకువు వైశాల్యంలో l బదులు h వాడటం, CSA మరియు TSA కలగలపడం, సంయుక్త ఘనాల దాగిన తలాలను కూడటం, ప్రమాణాలు మార్చడం మరచిపోవడం, వ్యాసార్థం 7 గుణిజం కానప్పుడు 22/7 వాడటం.

పరీక్షలో పొరపాట్లు

శంకువు CSA కి తిర్యక్ ఎత్తు l వాడండి, కానీ ఘనపరిమాణానికి ఎత్తు h వాడండి.
గోళం ఉపరితల వైశాల్యం 4πr², అర్ధగోళం CSA 2πr² మరియు TSA 3πr².
ఘన అర్ధగోళం TSA లో సమతల వృత్తాకార ముఖం ఉంటుంది; బోలు గిన్నెలో ఉండదు.
కరిగించి తిరిగి పోతపోస్తే ఘనపరిమాణం నిలుస్తుంది, ఉపరితల వైశాల్యం కాదు.
వ్యాసార్థం రెట్టింపైతే గోళం వైశాల్యం 4 రెట్లు, ఘనపరిమాణం 8 రెట్లు.
1 లీటరు 1000 సెం.మీ³, 100 సెం.మీ³ కాదు; 1 మీ³ 1000 లీటర్లు.
సంయుక్త ఘనాల ఉపరితల వైశాల్యంలో కలిసిన తలాలను లెక్కించవద్దు.
ఛిన్నం తిర్యక్ ఎత్తుకు వ్యాసార్థాల భేదం వాడతారు, మొత్తం కాదు.

ఒక్క వాక్య సారాంశాలు

1. గోళం: 4πr² మరియు (4/3)πr³.
2. శంకువు: πrl మరియు (1/3)πr²h.
3. స్థూపం: 2πrh మరియు πr²h.
4. అర్ధగోళం: 2πr², 3πr² మరియు (2/3)πr³.
5. తిర్యక్ ఎత్తు l = √(r² + h²).
6. శంకువు, అదే భూమి మరియు ఎత్తు ఉన్న స్థూపంలో మూడో వంతు.
7. 1 లీటరు = 1000 సెం.మీ³.
8. 1 మీ³ = 1000 లీటర్లు.
9. దీర్ఘఘన కర్ణం √(l² + b² + h²).
10. ఘన కర్ణం a√3.
11. ఛిన్నం ఘనపరిమాణం (πh/3)(R² + Rr + r²).
12. కవచం ఘనపరిమాణం (4/3)π(R³ − r³).

సాధన ప్రశ్నలు

వ్యాసార్ధం r గా గల గోళ ఉపరితల వైశాల్యం
1. πr²
2. 4πr²
3. 2πr²
4. 3πr²
సమాధానం
B. 4πr²
The surface area of a sphere of radius r is
1. πr²
2. 4πr²
3. 2πr²
4. 3πr²
వ్యాసార్ధం r గా గల గోళ ఘనపరిమాణం
1. (1/3)πr³
2. (2/3)πr³
3. 4πr²
4. (4/3)πr³
సమాధానం
D. (4/3)πr³
The volume of a sphere of radius r is
1. (1/3)πr³
2. (2/3)πr³
3. 4πr²
4. (4/3)πr³
భూ వ్యాసార్ధం r, ఎత్తు h గా గల శంఖువు ఘనపరిమాణం
1. πr²h
2. (1/3)πr²h
3. (2/3)πr²h
4. (1/2)πr²h
సమాధానం
B. (1/3)πr²h
The volume of a cone with base radius r and height h is
1. πr²h
2. (1/3)πr²h
3. (2/3)πr²h
4. (1/2)πr²h
భూ వ్యాసార్ధం r, తిర్యక్ ఎత్తు l గా గల శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం
1. πrl
2. πrh
3. πr²
4. 2πrl
సమాధానం
A. πrl
The curved surface area of a cone with base radius r and slant height l is
1. πrl
2. πrh
3. πr²
4. 2πrl
వ్యాసార్ధం r, ఎత్తు h గా గల శంఖువు తిర్యక్ ఎత్తు
1. √(r² + h²)
2. r² + h²
3. r + h
4. √(h² − r²)
సమాధానం
A. √(r² + h²)
The slant height of a cone with radius r and height h is
1. √(r² + h²)
2. r² + h²
3. r + h
4. √(h² − r²)
వ్యాసార్ధం r గా గల అర్ధగోళ వక్రతల వైశాల్యం
1. 3πr²
2. πr²
3. 2πr²
4. 4πr²
సమాధానం
C. 2πr²
The curved surface area of a hemisphere of radius r is
1. 3πr²
2. πr²
3. 2πr²
4. 4πr²
వ్యాసార్ధం r గా గల ఘన అర్ధగోళ సంపూర్ణ తల వైశాల్యం
1. 4πr²
2. 3πr²
3. 2πr²
4. 5πr²
సమాధానం
B. 3πr²
The total surface area of a solid hemisphere of radius r is
1. 4πr²
2. 3πr²
3. 2πr²
4. 5πr²
వ్యాసార్ధం r గా గల అర్ధగోళ ఘనపరిమాణం
1. (1/3)πr³
2. (4/3)πr³
3. 2πr³
4. (2/3)πr³
సమాధానం
D. (2/3)πr³
The volume of a hemisphere of radius r is
1. (1/3)πr³
2. (4/3)πr³
3. 2πr³
4. (2/3)πr³
మూసి ఉన్న స్థూపం సంపూర్ణ తల వైశాల్యం
1. 2πr(r + h)
2. πr(r + h)
3. πr²h
4. 2πrh
సమాధానం
A. 2πr(r + h)
The total surface area of a closed cylinder is
1. 2πr(r + h)
2. πr(r + h)
3. πr²h
4. 2πrh
భూ వ్యాసార్ధం, ఎత్తు సమానంగా గల శంఖువు ఘనపరిమాణానికి, స్థూప ఘనపరిమాణానికి గల నిష్పత్తి
1. 1 : 1
2. 1 : 3
3. 2 : 3
4. 1 : 2
సమాధానం
B. 1 : 3
The ratio of the volume of a cone to the volume of a cylinder with the same base radius and height is
1. 1 : 1
2. 1 : 3
3. 2 : 3
4. 1 : 2
వ్యాసార్ధం 7 cm గల గోళ ఉపరితల వైశాల్యం (π = 22/7 తీసుకోండి)
1. 1232 cm²
2. 154 cm²
3. 616 cm²
4. 308 cm²
సమాధానం
C. 616 cm²
The surface area of a sphere of radius 7 cm (take π = 22/7) is
1. 1232 cm²
2. 154 cm²
3. 616 cm²
4. 308 cm²
వ్యాసార్ధం 21 cm గల గోళ ఘనపరిమాణం (π = 22/7 తీసుకోండి)
1. 19404 cm³
2. 7392 cm³
3. 58212 cm³
4. 38808 cm³
సమాధానం
D. 38808 cm³
The volume of a sphere of radius 21 cm (take π = 22/7) is
1. 19404 cm³
2. 7392 cm³
3. 58212 cm³
4. 38808 cm³
వ్యాసార్ధం 3 cm గల గోళ ఘనపరిమాణం
1. 27π cm³
2. 108π cm³
3. 12π cm³
4. 36π cm³
సమాధానం
D. 36π cm³
The volume of a sphere of radius 3 cm is
1. 27π cm³
2. 108π cm³
3. 12π cm³
4. 36π cm³
వ్యాసార్ధం 7 cm గల ఘన అర్ధగోళ సంపూర్ణ తల వైశాల్యం (π = 22/7)
1. 462 cm²
2. 308 cm²
3. 154 cm²
4. 616 cm²
సమాధానం
A. 462 cm²
The total surface area of a solid hemisphere of radius 7 cm (π = 22/7) is
1. 462 cm²
2. 308 cm²
3. 154 cm²
4. 616 cm²
వ్యాసార్ధం 3 cm, ఎత్తు 4 cm గల శంఖువు ఘనపరిమాణం
1. 36π cm³
2. 12π cm³
3. 24π cm³
4. 4π cm³
సమాధానం
B. 12π cm³
The volume of a cone with radius 3 cm and height 4 cm is
1. 36π cm³
2. 12π cm³
3. 24π cm³
4. 4π cm³
వ్యాసార్ధం 3 cm, ఎత్తు 4 cm గల శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం
1. 12π cm²
2. 9π cm²
3. 15π cm²
4. 24π cm²
సమాధానం
C. 15π cm²
The curved surface area of a cone with radius 3 cm and height 4 cm is
1. 12π cm²
2. 9π cm²
3. 15π cm²
4. 24π cm²
ఒక శంఖువు వ్యాసార్ధం 7 cm, ఎత్తు 24 cm. దాని వక్రతల వైశాల్యం (π = 22/7)
1. 550 cm²
2. 154 cm²
3. 1100 cm²
4. 528 cm²
సమాధానం
A. 550 cm²
A cone has radius 7 cm and height 24 cm. Its curved surface area (π = 22/7) is
1. 550 cm²
2. 154 cm²
3. 1100 cm²
4. 528 cm²
ఒక శంఖువు వ్యాసార్ధం 6 cm, ఎత్తు 7 cm. దాని ఘనపరిమాణం (π = 22/7)
1. 132 cm³
2. 792 cm³
3. 264 cm³
4. 528 cm³
సమాధానం
C. 264 cm³
A cone has radius 6 cm and height 7 cm. Its volume (π = 22/7) is
1. 132 cm³
2. 792 cm³
3. 264 cm³
4. 528 cm³
ఒక స్థూపం వ్యాసార్ధం 7 cm, ఎత్తు 10 cm. దాని ఘనపరిమాణం (π = 22/7)
1. 770 cm³
2. 440 cm³
3. 3080 cm³
4. 1540 cm³
సమాధానం
D. 1540 cm³
A cylinder has radius 7 cm and height 10 cm. Its volume (π = 22/7) is
1. 770 cm³
2. 440 cm³
3. 3080 cm³
4. 1540 cm³
ఒక స్థూపం వ్యాసార్ధం 7 cm, ఎత్తు 10 cm. దాని వక్రతల వైశాల్యం (π = 22/7)
1. 748 cm²
2. 440 cm²
3. 1540 cm²
4. 220 cm²
సమాధానం
B. 440 cm²
A cylinder has radius 7 cm and height 10 cm. Its curved surface area (π = 22/7) is
1. 748 cm²
2. 440 cm²
3. 1540 cm²
4. 220 cm²
వ్యాసార్ధం 6 cm గల అర్ధగోళ ఘనపరిమాణం
1. 288π cm³
2. 72π cm³
3. 216π cm³
4. 144π cm³
సమాధానం
D. 144π cm³
The volume of a hemisphere of radius 6 cm is
1. 288π cm³
2. 72π cm³
3. 216π cm³
4. 144π cm³
గోళ వ్యాసార్ధాన్ని రెట్టింపు చేస్తే దాని ఘనపరిమాణం
1. 2 రెట్లు
2. 6 రెట్లు
3. 8 రెట్లు
4. 4 రెట్లు
సమాధానం
C. 8 రెట్లు
If the radius of a sphere is doubled, its volume becomes
1. 2 times
2. 6 times
3. 8 times
4. 4 times
గోళ వ్యాసార్ధాన్ని రెట్టింపు చేస్తే దాని ఉపరితల వైశాల్యం
1. 8 రెట్లు
2. 4 రెట్లు
3. 2 రెట్లు
4. 6 రెట్లు
సమాధానం
B. 4 రెట్లు
If the radius of a sphere is doubled, its surface area becomes
1. 8 times
2. 4 times
3. 2 times
4. 6 times
శంఖువు ఎత్తు మారకుండా దాని వ్యాసార్ధాన్ని రెట్టింపు చేస్తే దాని ఘనపరిమాణం
1. 4 రెట్లు
2. 6 రెట్లు
3. 2 రెట్లు
4. 8 రెట్లు
సమాధానం
A. 4 రెట్లు
If the radius of a cone is doubled and its height is kept the same, its volume becomes
1. 4 times
2. 6 times
3. 2 times
4. 8 times
వ్యాసార్ధం 6 cm గల ఘన గోళాన్ని కరిగించి వ్యాసార్ధం 2 cm గల చిన్న గోళాలుగా పోతపోశారు. చిన్న గోళాల సంఖ్య
1. 9
2. 3
3. 27
4. 18
సమాధానం
C. 27
A solid sphere of radius 6 cm is melted and recast into small spheres of radius 2 cm. The number of small spheres is
1. 9
2. 3
3. 27
4. 18
వ్యాసార్ధం 3 cm, ఎత్తు 8 cm గల ఘన స్థూపాన్ని కరిగించి వ్యాసార్ధం 3 cm గల గోళాలుగా మార్చారు. గోళాల సంఖ్య
1. 2
2. 1
3. 3
4. 4
సమాధానం
A. 2
A solid cylinder of radius 3 cm and height 8 cm is melted into spheres of radius 3 cm. The number of spheres is
1. 2
2. 1
3. 3
4. 4
వ్యాసార్ధం 3 cm గల ఘన గోళాన్ని కరిగించి భూ వ్యాసార్ధం 3 cm గల శంఖువుగా పోతపోశారు. శంఖువు ఎత్తు
1. 6 cm
2. 4 cm
3. 9 cm
4. 12 cm
సమాధానం
D. 12 cm
A solid sphere of radius 3 cm is melted and recast into a cone of base radius 3 cm. The height of the cone is
1. 6 cm
2. 4 cm
3. 9 cm
4. 12 cm
భుజం 6 cm గల ఘనంలో అమరే అతి పెద్ద గోళ ఘనపరిమాణం
1. 288π cm³
2. 36π cm³
3. 12π cm³
4. 72π cm³
సమాధానం
B. 36π cm³
The largest sphere that fits inside a cube of side 6 cm has volume
1. 288π cm³
2. 36π cm³
3. 12π cm³
4. 72π cm³
వ్యాసార్ధం 14 cm గల అర్ధవృత్తాకార రేకుతో శంఖువును తయారుచేశారు. ఆ శంఖువు భూ వ్యాసార్ధం
1. 7 cm
2. 3.5 cm
3. 28 cm
4. 14 cm
సమాధానం
A. 7 cm
A cone is made from a semicircular sheet of radius 14 cm. The radius of the cone's base is
1. 7 cm
2. 3.5 cm
3. 28 cm
4. 14 cm
ఒక బొమ్మ శంఖువు (వ్యాసార్ధం 3 cm, ఎత్తు 4 cm) భూమిపై వ్యాసార్ధం 3 cm గల అర్ధగోళంతో కలిసి ఉంది. దాని ఘనపరిమాణం
1. 42π cm³
2. 12π cm³
3. 18π cm³
4. 30π cm³
సమాధానం
D. 30π cm³
A toy is a cone (radius 3 cm, height 4 cm) joined to a hemisphere of radius 3 cm on its base. Its volume is
1. 42π cm³
2. 12π cm³
3. 18π cm³
4. 30π cm³
అదే బొమ్మకు (అర్ధగోళం వ్యాసార్ధం 3 cm పై తిర్యక్ ఎత్తు 5 cm గల శంఖువు) సంపూర్ణ తల వైశాల్యం
1. 48π cm²
2. 33π cm²
3. 15π cm²
4. 18π cm²
సమాధానం
B. 33π cm²
For the same toy (cone of slant height 5 cm on a hemisphere of radius 3 cm) the total surface area is
1. 48π cm²
2. 33π cm²
3. 15π cm²
4. 18π cm²
ఒక క్యాప్సూల్ వ్యాసార్ధం 3 cm, ఎత్తు 10 cm గల స్థూపం, దాని రెండు చివర్లలో ఒక్కో అర్ధగోళం ఉంటుంది. దాని సంపూర్ణ తల వైశాల్యం
1. 66π cm²
2. 126π cm²
3. 96π cm²
4. 60π cm²
సమాధానం
C. 96π cm²
A capsule is a cylinder of radius 3 cm and height 10 cm with a hemisphere on each end. Its total surface area is
1. 66π cm²
2. 126π cm²
3. 96π cm²
4. 60π cm²
ఒక ఛిన్నకం (frustum) వ్యాసార్ధాలు 7 cm, 4 cm; ఎత్తు 4 cm. దాని తిర్యక్ ఎత్తు
1. 4 cm
2. √65 cm
3. 5 cm
4. 3 cm
సమాధానం
C. 5 cm
A frustum has radii 7 cm and 4 cm and height 4 cm. Its slant height is
1. 4 cm
2. √65 cm
3. 5 cm
4. 3 cm
వ్యాసార్ధాలు 4 cm, 2 cm; ఎత్తు 3 cm గల ఛిన్నకం ఘనపరిమాణం
1. 84π cm³
2. 28π cm³
3. 14π cm³
4. 56π cm³
సమాధానం
B. 28π cm³
The volume of a frustum with radii 4 cm and 2 cm and height 3 cm is
1. 84π cm³
2. 28π cm³
3. 14π cm³
4. 56π cm³
ఒక దీర్ఘఘనాకార ట్యాంక్ కొలతలు 2 m × 1.5 m × 1 m. దాని సామర్థ్యం లీటర్లలో
1. 30000
2. 300
3. 30
4. 3000
సమాధానం
D. 3000
A cuboid tank measures 2 m × 1.5 m × 1 m. Its capacity in litres is
1. 30000
2. 300
3. 30
4. 3000
ఒక దీర్ఘఘనం భుజాలు 3, 4, 12 యూనిట్లు. దాని అంతర్గత కర్ణం
1. 13 యూనిట్లు
2. 12 యూనిట్లు
3. 5 యూనిట్లు
4. 19 యూనిట్లు
సమాధానం
A. 13 యూనిట్లు
A cuboid has sides 3, 4 and 12 units. Its space diagonal is
1. 13 units
2. 12 units
3. 5 units
4. 19 units
ఒక ఘనం సంపూర్ణ తల వైశాల్యం 150 cm². దాని ఘనపరిమాణం
1. 216 cm³
2. 25 cm³
3. 150 cm³
4. 125 cm³
సమాధానం
D. 125 cm³
A cube has total surface area 150 cm². Its volume is
1. 216 cm³
2. 25 cm³
3. 150 cm³
4. 125 cm³
కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. శంఖువు ఘనపరిమాణం, అదే భూమి మరియు ఎత్తు గల స్థూప ఘనపరిమాణంలో మూడవ వంతు. 2. గోళ ఉపరితల వైశాల్యం 2πr². ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. A cone's volume is one-third of the volume of a cylinder with the same base and height. 2. The surface area of a sphere is 2πr². Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. ఒక ఘనాన్ని కరిగించి తిరిగి పోతపోసినప్పుడు దాని ఘనపరిమాణం మారదు. 2. ఒక ఘనాన్ని కరిగించి తిరిగి పోతపోసినప్పుడు దాని ఉపరితల వైశాల్యం మారదు. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. When a solid is melted and recast, its volume stays the same. 2. When a solid is melted and recast, its surface area stays the same. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. అర్ధగోళ వక్రతల వైశాల్యం 2πr². 2. ఘన అర్ధగోళ సంపూర్ణ తల వైశాల్యం 3πr². ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Consider the statements: 1. The curved surface area of a hemisphere is 2πr². 2. The total surface area of a solid hemisphere is 3πr². Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం πrh. 2. శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం πrl; ఇక్కడ l తిర్యక్ ఎత్తు. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Consider the statements: 1. The curved surface area of a cone is πrh. 2. The curved surface area of a cone is πrl, with l the slant height. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది వాక్యాలను పరిశీలించండి: 1. 1 లీటరు = 100 cm³. 2. మూసి ఉన్న స్థూపం సంపూర్ణ తల వైశాల్యం 2πrh. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
D. 1 లేదా 2 కాదు
Consider the statements: 1. 1 litre equals 100 cm³. 2. The total surface area of a closed cylinder is 2πrh. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ఏ జత సరిగ్గా సరిపోలింది?
1. స్థూపం: ఘనపరిమాణం 2πrh
2. శంఖువు: ఘనపరిమాణం (1/3)πr²h
3. గోళం: ఉపరితల వైశాల్యం (4/3)πr³
4. అర్ధగోళం: ఘనపరిమాణం (4/3)πr³
సమాధానం
B. శంఖువు: ఘనపరిమాణం (1/3)πr²h
Which pair is correctly matched?
1. Cylinder : volume 2πrh
2. Cone : volume (1/3)πr²h
3. Sphere : surface area (4/3)πr³
4. Hemisphere : volume (4/3)πr³
శంఖువు ఘనపరిమాణం స్థూప ఘనపరిమాణంలో మూడవ వంతు ఎందుకో విద్యార్థులు చూడాలని ఉపాధ్యాయుడు కోరుకుంటున్నాడు. ఉత్తమ కృత్యం
1. శంఖువును ఇసుక లేదా నీటితో నింపి, అదే భూమి మరియు ఎత్తు గల స్థూపంలో మూడుసార్లు పోయడం
2. సూత్రాన్ని చెప్పి ముందుకు సాగడం
3. శంఖువును బోర్డుపై మాత్రమే గీయడం
4. 1/3 ని కంఠస్థం చేయమనడం
సమాధానం
A. శంఖువును ఇసుక లేదా నీటితో నింపి, అదే భూమి మరియు ఎత్తు గల స్థూపంలో మూడుసార్లు పోయడం
A teacher wants learners to see why a cone's volume is one-third of a cylinder's. The best activity is to
1. fill a cone with sand or water and pour it into a cylinder of the same base and height three times
2. state the formula and move on
3. draw the cone only on the board
4. ask learners to memorise 1/3
ఒక విద్యార్థి శంఖువు వక్రతల వైశాల్యానికి తిర్యక్ ఎత్తు l బదులు ఎత్తు h ని వాడుతున్నాడు. దీనిని సరిదిద్దడానికి ఉత్తమ మార్గం
1. జాగ్రత్తగా ఉండమని చెప్పడం
2. ఘనపరిమాణ సూత్రంలో h వాడతాం కాబట్టి తప్పును పట్టించుకోకపోవడం
3. కాగితపు శంఖువును విప్పి సెక్టారుగా చూపి, తిర్యక్ అంచే సెక్టారు వ్యాసార్ధమని చూపడం
4. సూత్రాల పొడవైన జాబితా ఇవ్వడం
సమాధానం
C. కాగితపు శంఖువును విప్పి సెక్టారుగా చూపి, తిర్యక్ అంచే సెక్టారు వ్యాసార్ధమని చూపడం
A learner uses height h instead of slant height l for the curved surface area of a cone. The best way to correct this is to
1. tell the learner to be careful
2. ignore the error since the volume formula uses h
3. show a paper cone opened out to a sector so that the slant edge is the sector radius
4. give a longer list of formulas

Page 1 of 1

Finished reading?

Test yourself in 10 minutes

A free 10-question mini-mock on your exam's real pattern, with negative marking and an instant score. अपनी तैयारी 10 मिनट में जाँचें।

Take a free mini-mock →Topic-wise practice