NEET भौतिकी: गुरुत्वाकर्षण और द्रव्य के गुण · Chapter 1

गुरुत्वाकर्षण

याद रखने योग्य बातें

दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल F = G m₁ m₂ / r² होता है। यह सदैव आकर्षी होता है, द्रव्यमानों को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है और 1/r² के अनुसार घटता है।
गुरुत्वीय त्वरण g = GM/R² है। यह ध्रुवों पर अधिकतम, विषुवत् रेखा पर कम होता है, ऊँचाई के साथ छोटे h के लिए g(1 − 2h/R) के अनुसार और गहराई के साथ g(1 − d/R) के अनुसार घटता है तथा पृथ्वी के केंद्र पर शून्य होता है।
पलायन चाल √(2GM/R) = √(2gR) है, जो पृथ्वी के लिए लगभग 11.2 km s⁻¹ है। पृष्ठ के निकट कक्षीय चाल √(gR) है, जो लगभग 7.9 km s⁻¹ है। उपग्रह की कुल ऊर्जा −GMm/2r होती है, अतः इसकी बंधन ऊर्जा +GMm/2r है।
केपलर के नियम: कक्षाएँ दीर्घवृत्ताकार होती हैं जिनकी एक नाभि पर सूर्य होता है; त्रिज्या सदिश समान समय में समान क्षेत्रफल बुहारता है; T², a³ के समानुपाती होता है। भूस्थिर उपग्रह का आवर्तकाल 24 h और ऊँचाई लगभग 36,000 km होती है।

केपलर के ग्रहीय गति के नियम

केपलर ने तीन नियम दिए जो बताते हैं कि ग्रह सूर्य के चारों ओर कैसे गति करते हैं।

1. कक्षाओं का नियम: प्रत्येक ग्रह सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्ताकार कक्षा में गति करता है, जिसकी एक नाभि पर सूर्य स्थित होता है।
2. क्षेत्रफलों का नियम: सूर्य और ग्रह को मिलाने वाली रेखा समान समय अंतरालों में समान क्षेत्रफल बुहारती है। क्षेत्रीय वेग (प्रति इकाई समय में बुहारा गया क्षेत्रफल) नियत रहता है।
3. आवर्तकालों का नियम: ग्रह के परिक्रमण-काल का वर्ग उसकी कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन के समानुपाती होता है। T² ∝ a³.

क्षेत्रफलों का नियम कोणीय संवेग (angular momentum) के संरक्षण से प्राप्त होता है। ग्रह पर गुरुत्वीय बल केंद्रीय होता है (यह सूर्य की ओर जाने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है), इसलिए सूर्य के परितः इसका बल-आघूर्ण (torque) शून्य है और कोणीय संवेग L = m v r नियत रहता है। क्षेत्रीय वेग = L / 2m, जो नियत है। ग्रह सूर्य के निकटतम बिंदु (उपसौर, perihelion) पर सबसे तेज़ और सूर्य से दूरतम बिंदु (अपसौर, aphelion) पर सबसे धीमा चलता है।

दो ग्रहों के लिए, (T₁/T₂)² = (a₁/a₂)³. वृत्तीय कक्षा के लिए अर्ध-दीर्घ अक्ष त्रिज्या r होती है।

नियम	कथन	भौतिक आधार
प्रथम (कक्षाएँ)	दीर्घवृत्ताकार पथ, एक नाभि पर सूर्य	व्युत्क्रम-वर्ग बल
द्वितीय (क्षेत्रफल)	समान समय में समान क्षेत्रफल	कोणीय संवेग का संरक्षण
तृतीय (आवर्तकाल)	T² ∝ a³	व्युत्क्रम-वर्ग बल और अभिकेंद्र आवश्यकता

सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम और गुरुत्वीय नियतांक

न्यूटन का नियम: प्रत्येक कण प्रत्येक अन्य कण को ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

F = G m₁ m₂ / r²

यहाँ G सार्वत्रिक गुरुत्वीय नियतांक (universal gravitational constant) है। G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². इसकी विमाएँ [M⁻¹ L³ T⁻²] हैं। G का मान ब्रह्मांड में हर जगह समान है और यह द्रव्यमानों के बीच के माध्यम पर निर्भर नहीं करता।

गुरुत्वाकर्षण बल की विशेषताएँ:

यह सदैव आकर्षी होता है।
दोनों द्रव्यमानों पर लगने वाले बल क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म बनाते हैं: परिमाण में बराबर, दिशा में विपरीत।
यह केंद्रीय बल और संरक्षी बल है।
यह मूल बलों में सबसे दुर्बल है, परंतु दीर्घ परास में कार्य करता है।
यह अध्यारोपण सिद्धांत का पालन करता है: किसी द्रव्यमान पर नेट बल अन्य सभी द्रव्यमानों से लगने वाले बलों का सदिश योग होता है।
एकसमान पतला गोलीय कोश अपने बाहर के बिंदुओं के लिए ऐसे कार्य करता है मानो उसका संपूर्ण द्रव्यमान उसके केंद्र पर हो। खोखले कोश के भीतर नेट बल शून्य होता है।

गुरुत्वीय त्वरण और इसमें परिवर्तन

पृथ्वी (द्रव्यमान M, त्रिज्या R) के पृष्ठ पर द्रव्यमान m की वस्तु का भार mg = GMm/R² होता है। अतः

g = GM/R²

पृष्ठ पर g लगभग 9.8 m s⁻² है। पृथ्वी का द्रव्यमान लगभग 6 × 10²⁴ kg और त्रिज्या लगभग 6400 km है। चूँकि M = (4/3)πR³ρ, g = (4/3)πGρR, अतः दिए गए माध्य घनत्व ρ के लिए g, R के समानुपाती है।

पृष्ठ से ऊँचाई h पर परिवर्तन

g′ = g R² / (R + h)² = g (1 + h/R)⁻²

R की तुलना में h बहुत छोटा होने पर g′ ≈ g (1 − 2h/R)। भिन्नात्मक कमी 2h/R है।

पृष्ठ से गहराई d पर परिवर्तन

पृथ्वी को एकसमान गोला मानें। केवल त्रिज्या (R − d) वाला भीतरी गोला वस्तु को आकर्षित करता है।

g′ = g (1 − d/R)

अतः g गहराई के साथ रैखिक रूप से घटता है और केंद्र पर शून्य हो जाता है।

अक्षांश और घूर्णन के साथ परिवर्तन (गुणात्मक)

पृथ्वी पूर्णतः गोल नहीं है। ध्रुवों पर इसकी त्रिज्या विषुवत् रेखा की तुलना में थोड़ी कम है। पृथ्वी अपनी अक्ष के परितः कोणीय चाल ω से घूर्णन भी करती है। अक्षांश λ पर प्रभावी मान है

g′ = g − Rω² cos² λ

ध्रुवों (λ = 90°) पर घूर्णन का कोई प्रभाव नहीं पड़ता और g अधिकतम होता है। विषुवत् रेखा (λ = 0°) पर कमी Rω² होती है और g न्यूनतम होता है। यदि पृथ्वी का घूर्णन रुक जाए, तो विषुवत् रेखा पर g बढ़ जाएगा परंतु ध्रुवों पर अपरिवर्तित रहेगा।

स्थान	g का मान	कारण
पृष्ठ	g = GM/R²	संदर्भ मान
ऊँचाई h (छोटी)	g (1 − 2h/R)	केंद्र से अधिक दूरी
गहराई d	g (1 − d/R)	भीतर की ओर खींचने वाला द्रव्यमान कम
पृथ्वी का केंद्र	0	बल निरस्त हो जाते हैं
विषुवत् रेखा	g − Rω²	घूर्णन, चपटा आकार
ध्रुव	अधिकतम	घूर्णन का प्रभाव नहीं, केंद्र के निकट

गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा, गुरुत्वीय विभव और पलायन चाल

r दूरी पर स्थित दो बिंदु द्रव्यमानों m₁ और m₂ की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा उन्हें अनंत से उस दूरी तक लाने में किया गया कार्य है। स्थितिज ऊर्जा का शून्य अनंत पृथक्करण पर लिया जाता है।

U = − G m₁ m₂ / r

मान ऋणात्मक है क्योंकि बल आकर्षी है: द्रव्यमानों को पृथक करने के लिए कार्य देना पड़ता है।

किसी बिंदु पर गुरुत्वीय विभव (gravitational potential) वहाँ प्रति इकाई द्रव्यमान की स्थितिज ऊर्जा है। द्रव्यमान M के क्षेत्र में दूरी r पर:

V = − GM / r (मात्रक: J kg⁻¹)

उस बिंदु पर द्रव्यमान m की स्थितिज ऊर्जा U = mV है। पृथ्वी के पृष्ठ पर V = −GM/R = −gR.

पृष्ठ के निकट स्थितिज ऊर्जा। द्रव्यमान m की वस्तु को छोटी ऊँचाई h तक उठाने में स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है

ΔU = mgh

यह परिचित सूत्र है, जो तब मान्य है जब h, R से बहुत छोटा हो। यथार्थ परिवर्तन GMm h / [R (R + h)] है।

पलायन चाल। पलायन चाल (escape speed) वह न्यूनतम चाल है जो पृष्ठ पर किसी वस्तु को देनी होती है ताकि वह अनंत तक पहुँच जाए (वहाँ चाल शून्य के साथ)। ऊर्जा संरक्षण से:

½ m v_e² − GMm/R = 0, अतः v_e = √(2GM/R) = √(2gR)

पृथ्वी के लिए v_e = √(2 × 9.8 × 6.4 × 10⁶) ≈ 11.2 km s⁻¹। पलायन चाल वस्तु के द्रव्यमान या प्रक्षेपण की दिशा पर निर्भर नहीं करती (यदि वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें)। चंद्रमा के लिए यह लगभग 2.4 km s⁻¹ है। यह कम होने के कारण चंद्रमा वायुमंडल को रोक नहीं पाता। यदि किसी वस्तु को v_e से अधिक चाल से प्रक्षेपित किया जाए, तो वह कुछ चाल शेष रहते हुए अनंत तक पहुँचती है।

साथ ही v_e = √2 × v₀, जहाँ v₀ पृष्ठ के निकट कक्षीय चाल है।

उपग्रहों की गति

पृथ्वी के चारों ओर त्रिज्या r = R + h की वृत्तीय कक्षा में उपग्रह के लिए गुरुत्व ही अभिकेंद्र बल है:

G M m / r² = m v² / r

कक्षीय चाल: v = √(GM/r) = √(g R² / (R + h))

पृष्ठ के निकट (h, R से बहुत छोटा): v₀ = √(gR) ≈ 7.9 km s⁻¹.

आवर्तकाल: T = 2π r / v = 2π √(r³ / GM)। अतः T² ∝ r³ (केपलर का तृतीय नियम)। पृष्ठ के निकट T = 2π √(R/g) ≈ 84 मिनट।

कक्षा बड़ी होने पर कक्षीय चाल घटती है। आवर्तकाल उपग्रह के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता।

भूस्थिर (भूतुल्यकालिक) उपग्रह। इसका आवर्तकाल 24 घंटे होता है, जो पृथ्वी के घूर्णन के बराबर है। यह विषुवतीय तल में पृथ्वी के घूर्णन की दिशा (पश्चिम से पूर्व) में परिक्रमा करता है, इसलिए आकाश में स्थिर प्रतीत होता है। इसकी कक्षीय त्रिज्या पृथ्वी के केंद्र से लगभग 42,400 km है, जो पृष्ठ से लगभग 36,000 km की ऊँचाई है। इसका उपयोग संचार और प्रसारण में होता है।

ध्रुवीय उपग्रह। यह लगभग 500 से 800 km की ऊँचाई पर निम्न कक्षा में गति करता है और उत्तर तथा दक्षिण ध्रुवों के ऊपर से गुज़रता है। इसका आवर्तकाल लगभग 100 मिनट है। नीचे पृथ्वी के घूमने के कारण यह क्रमिक परिक्रमाओं में पूरा पृष्ठ देख सकता है। इसका उपयोग सुदूर संवेदन, मौसम निगरानी और मानचित्रण में होता है।

उपग्रह	पृष्ठ से ऊँचाई	आवर्तकाल	कक्षा का तल
पृथ्वी के निकट	बहुत कम	लगभग 84 मिनट	कोई भी
ध्रुवीय	लगभग 500–800 km	लगभग 100 मिनट	ध्रुवों के ऊपर से गुज़रता है
भूस्थिर	लगभग 36,000 km	24 h	विषुवतीय

परिक्रमा करते उपग्रह की ऊर्जा और भारहीनता

वृत्तीय कक्षा (त्रिज्या r) में द्रव्यमान m के उपग्रह के लिए:

गतिज ऊर्जा: K = ½ m v² = GMm / 2r
स्थितिज ऊर्जा: U = − GMm / r
कुल ऊर्जा: E = K + U = − GMm / 2r

अतः U = −2K, और E = −K = U/2। कुल ऊर्जा ऋणात्मक है, जो दर्शाती है कि उपग्रह पृथ्वी से बद्ध है। बंधन ऊर्जा (binding energy) वह ऊर्जा है जो उपग्रह को अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक है: + GMm / 2r। कक्षा बड़ी होने पर कुल ऊर्जा बढ़ती है (कम ऋणात्मक होती है) और गतिज ऊर्जा घटती है। यदि उपग्रह वायु-घर्षण के कारण ऊर्जा खोता है, तो वह निचली कक्षा में आ जाता है और उसकी चाल बढ़ जाती है।

भारहीनता। किसी वस्तु का आभासी भार वह अभिलंब प्रतिक्रिया है जो वह अपने आधार से अनुभव करती है। मुक्त रूप से गिरते निर्देश तंत्र में, या परिक्रमा करते उपग्रह में, वस्तु और उसका परिवेश समान त्वरण से गिरते हैं, इसलिए कोई अभिलंब प्रतिक्रिया नहीं लगती। वस्तु भारहीन अनुभव करती है। गुरुत्व फिर भी उस पर कार्य करता है: उपग्रह में अंतरिक्ष यात्री पृथ्वी के गुरुत्व से परे नहीं है। भारहीनता मुक्त रूप से गिरती लिफ्ट में भी होती है। पृथ्वी के केंद्र पर वास्तविक गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 (ऊँचाई और गहराई पर g)। g = 10 m s⁻² और R = 6400 km लीजिए। पृष्ठ से 1600 km ऊँचाई पर और 1600 km गहराई पर g ज्ञात कीजिए।

ऊँचाई: g′ = g R² / (R + h)² = 10 × (6400/8000)² = 10 × 0.64 = 6.4 m s⁻².

गहराई: g′ = g (1 − d/R) = 10 × (1 − 0.25) = 7.5 m s⁻².

उदाहरण 2 (अन्य ग्रह की पलायन चाल)। एक ग्रह का माध्य घनत्व पृथ्वी के बराबर है परंतु त्रिज्या पृथ्वी की आधी है। पृथ्वी से पलायन चाल 11.2 km s⁻¹ है। चूँकि नियत घनत्व पर g, R के समानुपाती है, v_e = √(2gR), R के समानुपाती है। अतः v_e = 11.2 / 2 = 5.6 km s⁻¹.

उदाहरण 3 (केपलर के तृतीय नियम से उपग्रह का आवर्तकाल)। एक उपग्रह पृथ्वी के केंद्र से r = 4R पर परिक्रमा करता है। पृष्ठ के निकट उपग्रह का T₀ = 84 मिनट है। T = T₀ × (4)^(3/2) = 84 × 8 = 672 मिनट।

उदाहरण 4 (ऊर्जाएँ)। 1000 kg द्रव्यमान का उपग्रह ऐसी दूरी पर परिक्रमा करता है जहाँ उसकी गतिज ऊर्जा 3 × 10⁹ J है। उसकी कुल ऊर्जा −3 × 10⁹ J, स्थितिज ऊर्जा −6 × 10⁹ J और बंधन ऊर्जा 3 × 10⁹ J है।

सूत्र सारांश

राशि	सूत्र	प्रतीक और मात्रक
गुरुत्वाकर्षण बल	F = G m₁ m₂ / r²	N; G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²
पृष्ठ पर g	g = GM/R²	m s⁻²
ऊँचाई h पर g	g (R/(R+h))² ≈ g(1 − 2h/R)	सन्निकटन के लिए h, R से बहुत छोटा
गहराई d पर g	g (1 − d/R)	एकसमान पृथ्वी
अक्षांश λ पर g	g − Rω² cos² λ	ω rad s⁻¹ में
स्थितिज ऊर्जा	U = −G m₁ m₂ / r	J
विभव	V = −GM / r	J kg⁻¹
छोटे ऊँचाई-परिवर्तन पर	ΔU = mgh	J
पलायन चाल	√(2GM/R) = √(2gR)	लगभग 11.2 km s⁻¹ (पृथ्वी)
कक्षीय चाल	√(GM/r)	पृष्ठ के निकट √(gR), लगभग 7.9 km s⁻¹
आवर्तकाल	2π √(r³/GM)	s
उपग्रह की ऊर्जाएँ	K = GMm/2r, U = −GMm/r, E = −GMm/2r	J
केपलर का तृतीय नियम	T² ∝ a³	एक ही सूर्य के किन्हीं दो ग्रहों के लिए

NEET में सामान्य भूलें

1. G और g भिन्न हैं: G सार्वत्रिक नियतांक है; g स्थान के साथ बदलता है।
2. पलायन चाल प्रक्षेपित वस्तु के द्रव्यमान या दिशा पर निर्भर नहीं करती, परंतु पृष्ठ के निकट कक्षीय चाल पलायन चाल से √2 गुना कम होती है।
3. बद्ध उपग्रह की कुल ऊर्जा ऋणात्मक होती है; गतिज ऊर्जा धनात्मक और कुल ऊर्जा के परिमाण के बराबर होती है; स्थितिज ऊर्जा कुल ऊर्जा की दोगुनी होती है।
4. g गहराई के साथ रैखिक रूप से घटता है परंतु ऊँचाई के साथ व्युत्क्रम-वर्ग के रूप में। g(1 − 2h/R) का प्रयोग केवल तब करें जब h, R से बहुत छोटा हो।
5. उपग्रह में भारहीनता का अर्थ यह नहीं कि गुरुत्व शून्य है। इसका अर्थ है कि उपग्रह और उसकी वस्तुएँ मुक्त पतन में हैं।
6. किसी दी गई ऊँचाई पर g सभी वस्तुओं के लिए समान होता है, परंतु भार mg द्रव्यमान पर निर्भर करता है।
7. भूस्थिर उपग्रह केवल विषुवत् रेखा के ऊपर होता है; किसी अन्य अक्षांश के ऊपर स्थित उपग्रह भूस्थिर नहीं हो सकता।
8. घूर्णन विषुवत् रेखा पर g को घटाता है और ध्रुवों पर इसका कोई प्रभाव नहीं होता। g का मान ध्रुवों पर सबसे अधिक होता है।
9. केपलर के द्वितीय नियम का अर्थ है कि ग्रह उपसौर पर सबसे तेज़ चलता है, अपसौर पर नहीं।
10. उपग्रह का आवर्तकाल उसके अपने द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता, परंतु कक्षा की त्रिज्या पर निर्भर करता है।

एक-पंक्ति तथ्य

1. G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻² और इसकी विमाएँ [M⁻¹ L³ T⁻²] हैं।
2. गुरुत्वाकर्षण बल केंद्रीय, संरक्षी और आकर्षी होता है।
3. g = GM/R² पृथ्वी के पृष्ठ पर लगभग 9.8 m s⁻² है।
4. ऊँचाई h (जो R से बहुत छोटी है) पर g भिन्न 2h/R से घटता है।
5. गहराई d पर g′ = g (1 − d/R).
6. पृथ्वी के केंद्र पर g शून्य होता है।
7. द्रव्यमान M से दूरी r पर गुरुत्वीय विभव −GM/r होता है।
8. पृथ्वी से पलायन चाल लगभग 11.2 km s⁻¹ है।
9. पृथ्वी के पृष्ठ के निकट कक्षीय चाल लगभग 7.9 km s⁻¹ है।
10. पलायन चाल = √2 × पृष्ठ के निकट कक्षीय चाल।
11. पृष्ठ के निकट उपग्रह का आवर्तकाल लगभग 84 मिनट होता है।
12. भूस्थिर उपग्रह की ऊँचाई लगभग 36,000 km है।
13. ध्रुवीय उपग्रह लगभग 500–800 km की ऊँचाई पर ध्रुवों के ऊपर से गुज़रता है।
14. कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा −GMm/2r होती है।
15. उपग्रह की बंधन ऊर्जा GMm/2r है।

अभ्यास प्रश्न

सार्वत्रिक गुरुत्वीय नियतांक G का विमीय सूत्र है
1. [M⁻¹ L³ T⁻²]
2. [M⁻¹ L² T⁻²]
3. [M L³ T⁻²]
4. [M⁻¹ L³ T⁻¹]
उत्तर
A. [M⁻¹ L³ T⁻²]
F = G m₁m₂/r² से, G = F r²/(m₁m₂) = [M L T⁻²][L²]/[M²] = [M⁻¹ L³ T⁻²]।
The dimensional formula of the universal gravitational constant G is
1. [M⁻¹ L³ T⁻²]
2. [M⁻¹ L² T⁻²]
3. [M L³ T⁻²]
4. [M⁻¹ L³ T⁻¹]
केपलर का क्षेत्रफलों का नियम (समान समय में समान क्षेत्रफल) किसके संरक्षण का प्रत्यक्ष परिणाम है
1. द्रव्यमान
2. यांत्रिक ऊर्जा
3. कोणीय संवेग
4. रैखिक संवेग
उत्तर
C. कोणीय संवेग
सूर्य का गुरुत्वीय बल केंद्रीय है, इसलिए सूर्य के परितः बल-आघूर्ण शून्य है और कोणीय संवेग नियत रहता है। क्षेत्रीय वेग L/2m है।
Kepler's law of areas (equal areas in equal times) is a direct result of conservation of
1. mass
2. mechanical energy
3. angular momentum
4. linear momentum
सूर्य के चारों ओर ग्रह P की माध्य कक्षीय त्रिज्या पृथ्वी की 4 गुनी है। यदि पृथ्वी का आवर्तकाल 1 वर्ष है, तो P का आवर्तकाल है
1. 2 वर्ष
2. 8 वर्ष
3. 16 वर्ष
4. 4 वर्ष
उत्तर
B. 8 वर्ष
T² ∝ r³, अतः T = 1 × 4^(3/2) = 8 वर्ष। जाँच: पृथ्वी की इकाइयों में T² = 64 और r³ = 64।
The mean orbital radius of a planet P round the Sun is 4 times that of the Earth. If the Earth's period is 1 year, the period of P is
1. 2 years
2. 8 years
3. 16 years
4. 4 years
पृथ्वी के पृष्ठ पर g का मान 10 m s⁻² लीजिए। पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊँचाई पर पृष्ठ से ऊपर g का मान है
1. 7.5 m s⁻²
2. 5.0 m s⁻²
3. 1.25 m s⁻²
4. 2.5 m s⁻²
उत्तर
D. 2.5 m s⁻²
g′ = g R²/(R + R)² = g/4 = 2.5 m s⁻²। जाँच: केंद्र से दूरी दोगुनी हो जाती है, अतः g घटकर एक-चौथाई रह जाता है।
Take the value of g on the surface of the Earth as 10 m s⁻². At a height equal to the radius of the Earth above the surface, g is
1. 7.5 m s⁻²
2. 5.0 m s⁻²
3. 1.25 m s⁻²
4. 2.5 m s⁻²
पृष्ठ पर g = 10 m s⁻² और R = 6400 km लीजिए। पृष्ठ से 1280 km की गहराई पर g का मान (एकसमान पृथ्वी) है
1. 8.0 m s⁻²
2. 2.0 m s⁻²
3. 6.9 m s⁻²
4. 6.0 m s⁻²
उत्तर
A. 8.0 m s⁻²
g′ = g (1 − d/R) = 10 × (1 − 0.2) = 8.0 m s⁻²। जाँच: त्रिज्या का केवल 80% शेष है और भीतर g त्रिज्या के समानुपाती होता है।
Take g = 10 m s⁻² at the surface and R = 6400 km. The value of g at a depth of 1280 km below the surface (uniform Earth) is
1. 8.0 m s⁻²
2. 2.0 m s⁻²
3. 6.9 m s⁻²
4. 6.0 m s⁻²
पृथ्वी के पृष्ठ से किसी वस्तु की पलायन चाल निर्भर नहीं करती
1. पृष्ठ पर गुरुत्वीय त्वरण पर
2. वस्तु के द्रव्यमान पर
3. पृथ्वी की त्रिज्या पर
4. पृथ्वी के द्रव्यमान पर
उत्तर
B. वस्तु के द्रव्यमान पर
v_e = √(2GM/R) = √(2gR)। इसमें पृथ्वी के M, R और g हैं, परंतु प्रक्षेपित वस्तु का द्रव्यमान नहीं है।
The escape speed of a body from the surface of the Earth does not depend on
1. the acceleration due to gravity at the surface
2. the mass of the body
3. the radius of the Earth
4. the mass of the Earth
एक ग्रह का द्रव्यमान पृथ्वी का 9 गुना और त्रिज्या पृथ्वी की 4 गुनी है। यदि पृथ्वी की पलायन चाल 11.2 km s⁻¹ है, तो इस ग्रह से पलायन चाल है
1. 33.6 km s⁻¹
2. 7.5 km s⁻¹
3. 16.8 km s⁻¹
4. 25.2 km s⁻¹
उत्तर
C. 16.8 km s⁻¹
v_e ∝ √(M/R) = √(9/4) = 1.5, अतः v = 11.2 × 1.5 = 16.8 km s⁻¹।
A planet has 9 times the mass and 4 times the radius of the Earth. If the Earth's escape speed is 11.2 km s⁻¹, the escape speed from this planet is
1. 33.6 km s⁻¹
2. 7.5 km s⁻¹
3. 16.8 km s⁻¹
4. 25.2 km s⁻¹
किसी ग्रह के पृष्ठ के बहुत निकट परिक्रमा करते उपग्रह की पलायन चाल और कक्षीय चाल का अनुपात है
1. 2
2. 1/√2
3. 1
4. √2
उत्तर
D. √2
v_e = √(2gR) और v₀ = √(gR), अतः v_e/v₀ = √2।
The ratio of the escape speed to the orbital speed of a satellite revolving very close to the surface of a planet is
1. 2
2. 1/√2
3. 1
4. √2
g = 10 m s⁻² और R = 6400 km लीजिए। पृथ्वी के पृष्ठ के बहुत निकट परिक्रमा करते उपग्रह की कक्षीय चाल है
1. 5.7 km s⁻¹
2. 11.3 km s⁻¹
3. 8.0 km s⁻¹
4. 16 km s⁻¹
उत्तर
C. 8.0 km s⁻¹
v₀ = √(gR) = √(10 × 6.4 × 10⁶) = √(6.4 × 10⁷) = 8000 m s⁻¹। जाँच: √2 × 8 = 11.3 km s⁻¹ पलायन चाल है।
Take g = 10 m s⁻² and R = 6400 km. The orbital speed of a satellite revolving very close to the Earth's surface is
1. 5.7 km s⁻¹
2. 11.3 km s⁻¹
3. 8.0 km s⁻¹
4. 16 km s⁻¹
पृथ्वी के चारों ओर वृत्तीय कक्षा में उपग्रह का आवर्तकाल निर्भर करता है
1. उपग्रह के द्रव्यमान और कक्षा की त्रिज्या पर
2. पृथ्वी के द्रव्यमान और कक्षा की त्रिज्या पर
3. केवल उपग्रह के द्रव्यमान पर
4. केवल उपग्रह के द्रव्यमान और पृथ्वी के द्रव्यमान पर
उत्तर
B. पृथ्वी के द्रव्यमान और कक्षा की त्रिज्या पर
T = 2π √(r³/GM)। यह पृथ्वी के r और M पर निर्भर करता है, उपग्रह के अपने द्रव्यमान पर नहीं।
The time period of a satellite in a circular orbit round the Earth depends on
1. the mass of the satellite and the radius of the orbit
2. the mass of the Earth and the radius of the orbit
3. the mass of the satellite only
4. the mass of the satellite and the mass of the Earth only
पृथ्वी (द्रव्यमान M) के चारों ओर त्रिज्या r की वृत्तीय कक्षा में द्रव्यमान m के उपग्रह की कुल ऊर्जा है
1. −GMm/2r
2. +GMm/r
3. +GMm/2r
4. −GMm/r
उत्तर
A. −GMm/2r
K = GMm/2r और U = −GMm/r, अतः E = K + U = −GMm/2r।
The total energy of a satellite of mass m in a circular orbit of radius r round the Earth (mass M) is
1. −GMm/2r
2. +GMm/r
3. +GMm/2r
4. −GMm/r
g = 10 m s⁻² और R = 6400 km लीजिए। पृथ्वी के केंद्र से 2R त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा में 800 kg के उपग्रह की बंधन ऊर्जा है
1. 2.56 × 10¹⁰ J
2. 5.12 × 10¹⁰ J
3. 6.4 × 10⁹ J
4. 1.28 × 10¹⁰ J
उत्तर
D. 1.28 × 10¹⁰ J
बंधन ऊर्जा = GMm/2r = (gR²)m/(2 × 2R) = mgR/4 = 800 × 10 × 6.4 × 10⁶/4 = 1.28 × 10¹⁰ J।
Take g = 10 m s⁻² and R = 6400 km. The binding energy of an 800 kg satellite in a circular orbit of radius 2R (from the centre of the Earth) is
1. 2.56 × 10¹⁰ J
2. 5.12 × 10¹⁰ J
3. 6.4 × 10⁹ J
4. 1.28 × 10¹⁰ J
भूस्थिर उपग्रह की पृथ्वी के पृष्ठ से ऊँचाई लगभग है
1. 36,000 km
2. 6,400 km
3. 3,600 km
4. 84,000 km
उत्तर
A. 36,000 km
24 h के आवर्तकाल से कक्षीय त्रिज्या लगभग 42,400 km आती है, जो पृष्ठ से लगभग 36,000 km ऊपर है।
The height of a geostationary satellite above the surface of the Earth is about
1. 36,000 km
2. 6,400 km
3. 3,600 km
4. 84,000 km
g = 10 m s⁻² और R = 6400 km लीजिए। 2 kg द्रव्यमान को पृथ्वी के पृष्ठ से R के बराबर ऊँचाई तक उठाने पर स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि है
1. 6.4 × 10⁶ J
2. 6.4 × 10⁷ J
3. 1.28 × 10⁸ J
4. 3.2 × 10⁷ J
उत्तर
B. 6.4 × 10⁷ J
ΔU = GMm(1/R − 1/2R) = mgR/2 = 2 × 10 × 6.4 × 10⁶/2 = 6.4 × 10⁷ J। mgh = mgR प्रयोग करने पर गलत उत्तर 1.28 × 10⁸ J आता।
Take g = 10 m s⁻² and R = 6400 km. The increase in potential energy of a 2 kg mass when it is raised from the surface of the Earth to a height equal to R is
1. 6.4 × 10⁶ J
2. 6.4 × 10⁷ J
3. 1.28 × 10⁸ J
4. 3.2 × 10⁷ J
R = 6400 km लीजिए। पृष्ठ से वह ऊँचाई, जिस पर g अपने पृष्ठीय मान से 1% घट जाता है, लगभग है
1. 320 km
2. 16 km
3. 64 km
4. 32 km
उत्तर
D. 32 km
भिन्नात्मक कमी = 2h/R = 0.01, अतः h = R/200 = 6400/200 = 32 km। जाँच: g(R/(R+h))² = 0.9901 g।
Take R = 6400 km. The height above the surface at which g falls by 1% of its surface value is about
1. 320 km
2. 16 km
3. 64 km
4. 32 km
g = 10 m s⁻² और R = 6400 km लीजिए। पृथ्वी के पृष्ठ पर गुरुत्वीय विभव (अनंत पर शून्य) है
1. +6.4 × 10⁷ J kg⁻¹
2. −6.4 × 10⁶ J kg⁻¹
3. −6.4 × 10⁷ J kg⁻¹
4. −3.2 × 10⁷ J kg⁻¹
उत्तर
C. −6.4 × 10⁷ J kg⁻¹
V = −GM/R = −gR = −10 × 6.4 × 10⁶ = −6.4 × 10⁷ J kg⁻¹।
Take g = 10 m s⁻² and R = 6400 km. The gravitational potential at the surface of the Earth (zero at infinity) is
1. +6.4 × 10⁷ J kg⁻¹
2. −6.4 × 10⁶ J kg⁻¹
3. −6.4 × 10⁷ J kg⁻¹
4. −3.2 × 10⁷ J kg⁻¹
नीचे दो कथन दिए गए हैं। कथन I: विषुवत् रेखा पर g का मान ध्रुवों पर इसके मान से कम होता है। कथन II: पृथ्वी का घूर्णन विषुवत् रेखा पर प्रभावी g को Rω² से घटा देता है। सही विकल्प चुनिए।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
A. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
दोनों सही हैं। अक्षांश λ पर प्रभावी g, g − Rω² cos²λ है, जो विषुवत् रेखा पर न्यूनतम है और ध्रुवों पर अप्रभावित रहता है।
Given below are two statements. Statement I: The value of g at the equator is less than its value at the poles. Statement II: Rotation of the Earth reduces the effective g at the equator by Rω². Choose the correct option.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
नीचे दो कथन दिए गए हैं। कथन I: पृथ्वी के भीतर g गहराई के साथ रैखिक रूप से घटता है। कथन II: पृथ्वी के केंद्र पर g का मान अधिकतम होता है। सही विकल्प चुनिए।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
C. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
g′ = g(1 − d/R) रैखिक रूप से घटता है और केंद्र पर शून्य है, अतः कथन II गलत है।
Given below are two statements. Statement I: Inside the Earth, g decreases linearly with depth. Statement II: The value of g at the centre of the Earth is maximum. Choose the correct option.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
नीचे दो कथन दिए गए हैं। कथन I: ग्रह सूर्य के निकटतम होने पर सबसे धीमा चलता है। कथन II: सूर्य के परितः ग्रह का कोणीय संवेग नियत रहता है। सही विकल्प चुनिए।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
D. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
m v r नियत है, अतः चाल वहाँ सबसे अधिक होती है जहाँ r न्यूनतम है (उपसौर)। कथन I गलत है, कथन II सही है।
Given below are two statements. Statement I: A planet moves slowest when it is nearest to the Sun. Statement II: The angular momentum of a planet about the Sun is constant. Choose the correct option.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
नीचे दो कथन दिए गए हैं। कथन I: किसी वस्तु की पलायन चाल उसके द्रव्यमान पर निर्भर करती है। कथन II: किसी वस्तु की पलायन चाल इस पर निर्भर करती है कि उसे किस दिशा में प्रक्षेपित किया गया है। सही विकल्प चुनिए।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
B. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
v_e = √(2GM/R) केवल ग्रह के M और R पर निर्भर है, वस्तु के द्रव्यमान या प्रक्षेपण की दिशा पर नहीं।
Given below are two statements. Statement I: The escape speed of a body depends on its mass. Statement II: The escape speed of a body depends on the direction in which it is projected. Choose the correct option.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं? 1. कक्षा बड़ी होने पर उपग्रह की कक्षीय चाल घटती है। 2. उपग्रह का आवर्तकाल उसके द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता। 3. वृत्तीय कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा धनात्मक होती है।
1. 1 और 2 केवल
2. 2 और 3 केवल
3. 1 और 3 केवल
4. 1, 2 और 3
उत्तर
A. 1 और 2 केवल
v = √(GM/r) और T = 2π√(r³/GM) से 1 और 2 सही सिद्ध होते हैं। कुल ऊर्जा −GMm/2r ऋणात्मक है, अतः 3 गलत है।
Which of the following statements are correct? 1. The orbital speed of a satellite decreases as the orbit becomes larger. 2. The period of a satellite does not depend on its mass. 3. The total energy of a satellite in a circular orbit is positive.
1. 1 and 2 only
2. 2 and 3 only
3. 1 and 3 only
4. 1, 2 and 3
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं? 1. भूस्थिर उपग्रह पश्चिम से पूर्व की ओर परिक्रमा करता है। 2. भूस्थिर उपग्रह को किसी भी अक्षांश के ऊपर स्थापित किया जा सकता है। 3. भूस्थिर उपग्रह का आवर्तकाल 24 घंटे होता है।
1. 1 और 2 केवल
2. 2 और 3 केवल
3. 1 और 3 केवल
4. 1, 2 और 3
उत्तर
C. 1 और 3 केवल
यह पृथ्वी के घूर्णन की दिशा (पश्चिम से पूर्व) में चलता है और इसका T = 24 h है, परंतु इसे विषुवतीय तल में ही होना चाहिए, अतः 2 गलत है।
Which of the following statements are correct? 1. A geostationary satellite revolves from west to east. 2. A geostationary satellite can be placed above any latitude. 3. The period of a geostationary satellite is 24 hours.
1. 1 and 2 only
2. 2 and 3 only
3. 1 and 3 only
4. 1, 2 and 3
नीचे दो कथन दिए गए हैं। कथन I: वृत्तीय कक्षा में उपग्रह की गतिज ऊर्जा उसकी कुल ऊर्जा के परिमाण के बराबर होती है। कथन II: उपग्रह की गतिज ऊर्जा उसकी स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होती है। सही विकल्प चुनिए।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
C. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
K = GMm/2r और |E| = GMm/2r, अतः I सही है। |U| = GMm/r = 2K, अतः II गलत है।
Given below are two statements. Statement I: The kinetic energy of a satellite in a circular orbit equals the magnitude of its total energy. Statement II: The kinetic energy of the satellite equals the magnitude of its potential energy. Choose the correct option.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
नीचे दो कथन दिए गए हैं। कथन I: परिक्रमा करते उपग्रह में अंतरिक्ष यात्री भारहीन अनुभव करता है क्योंकि उस ऊँचाई पर गुरुत्व शून्य होता है। कथन II: मुक्त रूप से गिरती लिफ्ट में व्यक्ति भी भारहीन अनुभव करता है। सही विकल्प चुनिए।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
D. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उपग्रह की ऊँचाई पर भी गुरुत्व कार्य करता है; भारहीनता मुक्त पतन के कारण होती है। कथन II सही है।
Given below are two statements. Statement I: An astronaut in an orbiting satellite feels weightless because gravity is zero at that height. Statement II: A person in a freely falling lift also feels weightless. Choose the correct option.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं? 1. चंद्रमा से पलायन चाल पृथ्वी से पलायन चाल से अधिक है। 2. चंद्रमा वायुमंडल को रोक नहीं सकता क्योंकि उसकी पलायन चाल कम है। 3. पृथ्वी से पलायन चाल लगभग 11.2 km s⁻¹ है।
1. 1 और 2 केवल
2. 2 और 3 केवल
3. 1 और 3 केवल
4. 1, 2 और 3
उत्तर
B. 2 और 3 केवल
चंद्रमा की पलायन चाल (लगभग 2.4 km s⁻¹) पृथ्वी की तुलना में बहुत कम है, अतः 1 गलत है; 2 और 3 सही हैं।
Which of the following statements are correct? 1. The escape speed from the Moon is greater than that from the Earth. 2. The Moon cannot hold an atmosphere because its escape speed is low. 3. The escape speed from the Earth is about 11.2 km s⁻¹.
1. 1 and 2 only
2. 2 and 3 only
3. 1 and 3 only
4. 1, 2 and 3
नीचे दो कथन दिए गए हैं। कथन I: वायु-घर्षण के कारण उपग्रह के निचली कक्षा में आने पर उसकी चाल बढ़ जाती है। कथन II: उसकी कुल ऊर्जा अधिक ऋणात्मक हो जाती है। सही विकल्प चुनिए।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
A. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
r घटने पर v = √(GM/r) बढ़ती है और E = −GMm/2r अधिक ऋणात्मक हो जाती है। दोनों सही हैं।
Given below are two statements. Statement I: When a satellite moves to a lower orbit because of air drag, its speed increases. Statement II: Its total energy becomes more negative. Choose the correct option.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
अभिकथन (A): पृथ्वी के बहुत निकट परिक्रमा करते उपग्रह की कक्षीय चाल लगभग 7.9 km s⁻¹ होती है। कारण (R): पृथ्वी के पृष्ठ से पलायन चाल लगभग 11.2 km s⁻¹ है।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
B. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
दोनों तथ्य सत्य हैं, परंतु पलायन चाल कक्षीय चाल की व्याख्या नहीं करती, जो √(gR) से प्राप्त होती है।
Assertion (A): A satellite revolving very close to the Earth has an orbital speed of about 7.9 km s⁻¹. Reason (R): The escape speed from the surface of the Earth is about 11.2 km s⁻¹.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
अभिकथन (A): पृथ्वी के केंद्र पर किसी वस्तु का भार शून्य होता है। कारण (R): पृथ्वी के केंद्र पर g का मान अधिकतम होता है।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
C. A सत्य है लेकिन R असत्य है
केंद्र पर g शून्य है, अतः A सत्य है और R असत्य है।
Assertion (A): The weight of a body is zero at the centre of the Earth. Reason (R): The value of g is maximum at the centre of the Earth.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
अभिकथन (A): भूस्थिर उपग्रह को उत्तरी ध्रुव के ऊपर स्थापित किया जा सकता है। कारण (R): भूस्थिर उपग्रह की कक्षा विषुवतीय तल में होनी चाहिए।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
D. A असत्य है लेकिन R सत्य है
A असत्य है क्योंकि कक्षा विषुवतीय होनी चाहिए; R सत्य है।
Assertion (A): A geostationary satellite can be placed above the north pole. Reason (R): The orbit of a geostationary satellite must lie in the equatorial plane.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
अभिकथन (A): ग्रह सूर्य के निकट होने पर तेज़ चलता है। कारण (R): सूर्य के परितः ग्रह का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
A. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
m v r = नियतांक, अतः छोटे r पर v अधिक होता है। R, A की व्याख्या करता है।
Assertion (A): A planet moves faster when it is nearer the Sun. Reason (R): The angular momentum of the planet about the Sun is conserved.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
अभिकथन (A): दो द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल तब नहीं बदलता जब उनके निकट कोई तीसरा द्रव्यमान लाया जाता है। कारण (R): गुरुत्वाकर्षण बल व्युत्क्रम-वर्ग नियम का पालन करता है।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
B. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
युग्म बल केवल दो द्रव्यमानों और उनकी दूरी पर निर्भर करता है, अतः A सत्य है। व्युत्क्रम-वर्ग नियम सत्य है, परंतु यह तीसरे पिंड से स्वतंत्रता की व्याख्या नहीं करता।
Assertion (A): The gravitational force between two masses does not change when a third mass is brought near them. Reason (R): Gravitational force follows an inverse square law.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
सूची I को सूची II से सुमेलित कीजिए। सूची I: a. कक्षाओं का नियम b. क्षेत्रफलों का नियम c. आवर्तकालों का नियम d. गुरुत्वीय नियतांक G। सूची II: i. T² ∝ a³ ii. सूर्य नाभि पर, दीर्घवृत्ताकार पथ iii. कोणीय संवेग का संरक्षण iv. विमाएँ [M⁻¹ L³ T⁻²]
1. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
2. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
3. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
4. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
उत्तर
D. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
युग्म: कक्षाएँ - दीर्घवृत्त (ii); क्षेत्रफल - कोणीय संवेग (iii); आवर्तकाल - T² ∝ a³ (i); G - विमाएँ (iv)।
Match List I with List II. List I: a. Law of orbits b. Law of areas c. Law of periods d. Gravitational constant G. List II: i. T² ∝ a³ ii. Elliptical path with the Sun at a focus iii. Conservation of angular momentum iv. Dimensions [M⁻¹ L³ T⁻²]
1. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
2. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
3. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
4. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
सूची I को सूची II से सुमेलित कीजिए। सूची I: a. पृथ्वी से पलायन चाल b. पृथ्वी के पृष्ठ के निकट कक्षीय चाल c. भूस्थिर उपग्रह की ऊँचाई d. पृष्ठ के निकट उपग्रह का आवर्तकाल। सूची II: i. लगभग 84 मिनट ii. लगभग 36,000 km iii. लगभग 7.9 km s⁻¹ iv. लगभग 11.2 km s⁻¹
1. a-iii, b-iv, c-ii, d-i
2. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
3. a-ii, b-iii, c-iv, d-i
4. a-iv, b-iii, c-i, d-ii
उत्तर
B. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
युग्म: 11.2 km/s (iv), 7.9 km/s (iii), 36,000 km (ii), 84 मिनट (i)।
Match List I with List II. List I: a. Escape speed from the Earth b. Orbital speed near the Earth's surface c. Height of a geostationary satellite d. Period of a near-surface satellite. List II: i. About 84 minutes ii. About 36,000 km iii. About 7.9 km s⁻¹ iv. About 11.2 km s⁻¹
1. a-iii, b-iv, c-ii, d-i
2. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
3. a-ii, b-iii, c-iv, d-i
4. a-iv, b-iii, c-i, d-ii
त्रिज्या r की वृत्तीय कक्षा में द्रव्यमान m के उपग्रह के लिए सूची I को सूची II से सुमेलित कीजिए। सूची I: a. गतिज ऊर्जा b. स्थितिज ऊर्जा c. कुल ऊर्जा d. स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात। सूची II: i. −GMm/2r ii. −GMm/r iii. −2 iv. GMm/2r
1. a-ii, b-iv, c-i, d-iii
2. a-iv, b-ii, c-iii, d-i
3. a-iv, b-ii, c-i, d-iii
4. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
उत्तर
C. a-iv, b-ii, c-i, d-iii
K = GMm/2r (iv), U = −GMm/r (ii), E = −GMm/2r (i), U/K = −2 (iii)।
Match List I with List II for a satellite of mass m in a circular orbit of radius r. List I: a. Kinetic energy b. Potential energy c. Total energy d. Ratio of potential energy to kinetic energy. List II: i. −GMm/2r ii. −GMm/r iii. −2 iv. GMm/2r
1. a-ii, b-iv, c-i, d-iii
2. a-iv, b-ii, c-iii, d-i
3. a-iv, b-ii, c-i, d-iii
4. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
सूची I को सूची II से सुमेलित कीजिए। सूची I: a. पृथ्वी का केंद्र b. विषुवत् रेखा c. गहराई d पर d. छोटी ऊँचाई h पर। सूची II (g का मान): i. g − Rω² ii. g(1 − 2h/R) iii. g(1 − d/R) iv. शून्य
1. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
2. a-i, b-iv, c-iii, d-ii
3. a-iii, b-i, c-iv, d-ii
4. a-iv, b-i, c-iii, d-ii
उत्तर
D. a-iv, b-i, c-iii, d-ii
केंद्र: 0 (iv); विषुवत् रेखा: g − Rω² (i); गहराई: g(1 − d/R) (iii); ऊँचाई: g(1 − 2h/R) (ii)।
Match List I with List II. List I: a. Centre of the Earth b. Equator c. At depth d d. At small height h. List II (value of g): i. g − Rω² ii. g(1 − 2h/R) iii. g(1 − d/R) iv. Zero
1. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
2. a-i, b-iv, c-iii, d-ii
3. a-iii, b-i, c-iv, d-ii
4. a-iv, b-i, c-iii, d-ii
सूची I को सूची II से सुमेलित कीजिए। सूची I: a. भूस्थिर उपग्रह b. ध्रुवीय उपग्रह c. पृथ्वी के बहुत निकट उपग्रह d. पृथ्वी के केंद्र से 4R दूरी पर उपग्रह। सूची II: i. आवर्तकाल लगभग 84 मिनट ii. आवर्तकाल 24 घंटे iii. ऊँचाई लगभग 500 से 800 km iv. आवर्तकाल लगभग 672 मिनट (पृष्ठ के निकट उपग्रह के लिए 84 मिनट लेने पर)
1. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
2. a-i, b-iii, c-ii, d-iv
3. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
4. a-ii, b-iii, c-iv, d-i
उत्तर
A. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
भूस्थिर: 24 h (ii); ध्रुवीय: 500-800 km (iii); पृष्ठ के निकट: 84 मिनट (i); 4R पर: 84 × 4^(3/2) = 672 मिनट (iv)।
Match List I with List II. List I: a. Geostationary satellite b. Polar satellite c. Satellite very close to the Earth d. Satellite at a distance 4R from the centre of the Earth. List II: i. Period about 84 minutes ii. Period 24 hours iii. Height about 500 to 800 km iv. Period about 672 minutes (taking 84 minutes for the near-surface satellite)
1. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
2. a-i, b-iii, c-ii, d-iv
3. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
4. a-ii, b-iii, c-iv, d-i
सूची I को सूची II से सुमेलित कीजिए। सूची I: a. पलायन चाल b. पृष्ठ के निकट कक्षीय चाल c. पृष्ठ पर गुरुत्वीय विभव d. पृष्ठ के निकट आवर्तकाल। सूची II: i. √(gR) ii. −gR iii. 2π√(R/g) iv. √(2gR)
1. a-i, b-iv, c-ii, d-iii
2. a-iv, b-i, c-iii, d-ii
3. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
4. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
उत्तर
C. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
v_e = √(2gR) (iv); v₀ = √(gR) (i); V = −GM/R = −gR (ii); T = 2πR/v₀ = 2π√(R/g) (iii)।
Match List I with List II. List I: a. Escape speed b. Orbital speed near the surface c. Gravitational potential at the surface d. Period near the surface. List II: i. √(gR) ii. −gR iii. 2π√(R/g) iv. √(2gR)
1. a-i, b-iv, c-ii, d-iii
2. a-iv, b-i, c-iii, d-ii
3. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
4. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
एक ग्रह सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्ताकार कक्षा में गति करता है। सूर्य से इसकी निकटतम दूरी इसकी दूरतम दूरी की एक-चौथाई है। निकटतम बिंदु पर इसकी चाल और दूरतम बिंदु पर इसकी चाल का अनुपात है
1. 2
2. 16
3. 4
4. 1/4
उत्तर
C. 4
कोणीय संवेग संरक्षित है: v₁r₁ = v₂r₂, अतः v₁/v₂ = r₂/r₁ = 4।
A planet moves round the Sun in an elliptical orbit. Its closest distance from the Sun is one quarter of its farthest distance. The ratio of its speed at the closest point to its speed at the farthest point is
1. 2
2. 16
3. 4
4. 1/4
पृथ्वी के पृष्ठ पर किसी वस्तु का भार 900 N है। पृथ्वी की त्रिज्या की दोगुनी ऊँचाई पर पृष्ठ से ऊपर उसका भार है
1. 300 N
2. 100 N
3. 450 N
4. 225 N
उत्तर
B. 100 N
केंद्र से दूरी 3R है, अतः भार = 900 × (1/3)² = 100 N।
A body weighs 900 N on the surface of the Earth. Its weight at a height of twice the radius of the Earth above the surface is
1. 300 N
2. 100 N
3. 450 N
4. 225 N
R = 6400 km लीजिए। पृथ्वी के पृष्ठ से किसी वस्तु को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर पृष्ठ के निकट कक्षीय चाल (√(gR)) के बराबर चाल से प्रक्षेपित किया जाता है। वायु प्रतिरोध और घूर्णन की उपेक्षा करने पर पृष्ठ से ऊपर वह अधिकतम कितनी ऊँचाई तक पहुँचेगी
1. 12800 km
2. 19200 km
3. 3200 km
4. 6400 km
उत्तर
D. 6400 km
½v² − gR = −gR²/(R+h) से −gR/2 = −gR²/(R+h) मिलता है, अतः R + h = 2R और h = R = 6400 km। v²/2g प्रयोग करने पर गलत उत्तर 3200 km आता।
Take R = 6400 km. A body is projected vertically upward from the Earth's surface with a speed equal to the orbital speed near the surface (√(gR)). Neglecting air resistance and rotation, the maximum height it reaches above the surface is
1. 12800 km
2. 19200 km
3. 3200 km
4. 6400 km
g = 10 m s⁻² और R = 6400 km लीजिए। एक उपग्रह पृथ्वी के पृष्ठ से 3R ऊँचाई पर परिक्रमा करता है। इसकी कक्षीय चाल है
1. 4.0 km s⁻¹
2. 5.7 km s⁻¹
3. 2.0 km s⁻¹
4. 8.0 km s⁻¹
उत्तर
A. 4.0 km s⁻¹
r = 4R, अतः v = √(gR²/4R) = ½√(gR) = ½ × 8 = 4 km s⁻¹।
Take g = 10 m s⁻² and R = 6400 km. A satellite orbits at a height of 3R above the surface of the Earth. Its orbital speed is
1. 4.0 km s⁻¹
2. 5.7 km s⁻¹
3. 2.0 km s⁻¹
4. 8.0 km s⁻¹
g = 10 m s⁻² और R = 6400 km लीजिए। 1000 kg के उपग्रह को त्रिज्या 2R की वृत्तीय कक्षा से त्रिज्या 4R की वृत्तीय कक्षा में ले जाने के लिए आवश्यक अतिरिक्त ऊर्जा (त्रिज्याएँ पृथ्वी के केंद्र से) है
1. 1.6 × 10¹⁰ J
2. 8.0 × 10⁹ J
3. 4.0 × 10⁹ J
4. 3.2 × 10¹⁰ J
उत्तर
B. 8.0 × 10⁹ J
ΔE = (GMm/2)(1/2R − 1/4R) = GMm/8R = mgR/8 = 1000 × 10 × 6.4 × 10⁶/8 = 8 × 10⁹ J। केवल स्थितिज ऊर्जा का परिवर्तन लेने पर 1.6 × 10¹⁰ J आता।
Take g = 10 m s⁻² and R = 6400 km. The extra energy needed to shift a 1000 kg satellite from a circular orbit of radius 2R to a circular orbit of radius 4R (radii from the centre of the Earth) is
1. 1.6 × 10¹⁰ J
2. 8.0 × 10⁹ J
3. 4.0 × 10⁹ J
4. 3.2 × 10¹⁰ J
भूस्थिर उपग्रह विषुवत् रेखा के एक ही बिंदु के ऊपर बना रहता है। पृथ्वी की अक्ष के परितः इसकी कोणीय चाल, rad s⁻¹ में (π = 3.14 लेकर), लगभग है
1. 4.4 × 10⁻³
2. 7.3 × 10⁻⁴
3. 1.2 × 10⁻³
4. 7.3 × 10⁻⁵
उत्तर
D. 7.3 × 10⁻⁵
ω = 2π/T = 2 × 3.14/86400 = 7.3 × 10⁻⁵ rad s⁻¹। जाँच: 24 h में 360° अर्थात् 15° प्रति घंटा।
A geostationary satellite stays above the same point on the equator. Its angular speed about the Earth's axis, in rad s⁻¹ (taking π = 3.14), is about
1. 4.4 × 10⁻³
2. 7.3 × 10⁻⁴
3. 1.2 × 10⁻³
4. 7.3 × 10⁻⁵
पृथ्वी के लिए R = 6400 km और ω = 7.5 × 10⁻⁵ rad s⁻¹ लीजिए। 60° अक्षांश वाले स्थान पर घूर्णन के कारण g के मान में कमी है
1. 0.018 m s⁻²
2. 0.009 m s⁻²
3. 0.036 m s⁻²
4. 0.0045 m s⁻²
उत्तर
B. 0.009 m s⁻²
Δg = Rω² cos²λ = 6.4 × 10⁶ × 5.625 × 10⁻⁹ × 0.25 = 0.009 m s⁻²। cos² के बिना उत्तर 0.036 m s⁻² आता।
Take R = 6400 km and ω = 7.5 × 10⁻⁵ rad s⁻¹ for the Earth. The decrease in the value of g because of rotation at a place of latitude 60° is
1. 0.018 m s⁻²
2. 0.009 m s⁻²
3. 0.036 m s⁻²
4. 0.0045 m s⁻²

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