गैसों का अणुगति सिद्धांत

क्या याद रखें

• आदर्श गैस का दाब: P = ⅓ρv²rms = ⅓(N/V)m v²rms। एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा (3/2)k_BT होती है, जो केवल परम ताप पर निर्भर करती है।
• चालों का क्रम v_mp < v_avg < v_rms है, जहाँ v_rms = √(3k_BT/m) = √(3RT/M), v_avg = √(8k_BT/πm) और v_mp = √(2k_BT/m)।
• ऊर्जा के समविभाजन का नियम (law of equipartition): अणु की ऊर्जा के व्यंजक में प्रत्येक द्विघातीय पद की औसत ऊर्जा ½k_BT होती है। f स्वातंत्र्य कोटियों के लिए Cv = (f/2)R, Cp = (f/2 + 1)R और γ = 1 + 2/f। इससे γ = 5/3 (एकपरमाणुक), 7/5 (दृढ़ द्विपरमाणुक) और 4/3 (दृढ़ अरैखिक बहुपरमाणुक) प्राप्त होता है।
• ठोस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा 3R होती है (डुलोंग-पेटिट); गैस का माध्य मुक्त पथ l = 1/(√2 π n d²) है।

पदार्थ की आणविक प्रकृति

सभी पदार्थ परमाणुओं और अणुओं से बने हैं। ठोस में वे पास-पास होते हैं और निश्चित स्थितियों के इर्द-गिर्द कंपन करते हैं। द्रव में वे पास-पास होते हैं पर एक-दूसरे के ऊपर से खिसक सकते हैं। गैस में वे दूर-दूर होते हैं, स्वतंत्र रूप से गति करते हैं और एक-दूसरे से तथा दीवारों से टकराते हैं। गैस के अणु का आकार लगभग 1 Å (10⁻¹⁰ m) होता है, और सामान्य परिस्थितियों में गैस में अणुओं के बीच औसत दूरी लगभग दस गुना अधिक होती है। एक मोल में कणों की संख्या आवोगाद्रो संख्या (Avogadro number) है, N_A = 6.022 × 10²³ mol⁻¹।

गैसों का व्यवहार

इन्हें मिलाने पर आदर्श गैस समीकरण PV = nRT प्राप्त होता है, जहाँ R = 8.314 J mol⁻¹ K⁻¹। यदि N अणुओं की संख्या है, तो PV = Nk_BT, जहाँ k_B = 1.38 × 10⁻²³ J K⁻¹ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और R = N_A k_B। मानक ताप और दाब (0 °C और 1 atm) पर किसी भी आदर्श गैस का एक मोल लगभग 22.4 L आयतन घेरता है। वास्तविक गैस निम्न दाब और उच्च ताप पर आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है।

आदर्श गैस का अणुगति सिद्धांत

परिकल्पनाएँ:

• 1. गैस में बहुत बड़ी संख्या में सर्वसम अणु यादृच्छिक गति में होते हैं।
• 2. अणु का आकार अणुओं के बीच औसत दूरी की तुलना में बहुत छोटा होता है।
• 3. टक्कर के समय के अतिरिक्त अणु एक-दूसरे पर कोई बल नहीं लगाते, अतः उनके बीच कोई स्थितिज ऊर्जा नहीं होती।
• 4. अणुओं की परस्पर और दीवारों से टक्करें पूर्णतः प्रत्यास्थ होती हैं।
• 5. टक्कर का समय दो टक्करों के बीच के समय की तुलना में बहुत छोटा होता है।
• 6. गति यादृच्छिक होती है, इसलिए सभी दिशाएँ समान रूप से संभावित हैं।

दाब। दाब अणुओं की दीवार से बार-बार होने वाली टक्करों के कारण उत्पन्न होता है। आयतन V में द्रव्यमान m के N अणुओं के लिए:

P = ⅓(N/V) m v²rms = ⅓ρ v²rms

यहाँ v²rms चालों के वर्गों का माध्य है और ρ गैस का घनत्व है। दाब को P = ⅔ × (प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा) भी लिखा जा सकता है।

दाब का सूत्र कैसे बनता है। द्रव्यमान m का अणु, चाल v_x से दीवार की ओर चलकर प्रत्यास्थ रूप से लौटता है, तो उसका संवेग परिवर्तन 2mv_x होता है। क्षेत्रफल A की दीवार पर प्रति सेकंड ऐसी टक्करों की संख्या संख्या-घनत्व और v_x के समानुपाती होती है। सभी अणुओं के योगदान जोड़ने पर दाब n m v_x² के समानुपाती प्राप्त होता है। गति यादृच्छिक होने के कारण v_x², v_y² और v_z² के औसत समान होते हैं, इसलिए प्रत्येक v²rms का एक-तिहाई है। यही गुणनखंड ⅓ का स्रोत है। प्रति इकाई आयतन अणु अधिक हों, अणु भारी हों, या अधिक तेज़ हों, तो दाब अधिक होता है।

ताप की गतिज व्याख्या। PV = Nk_BT का उपयोग करने पर प्रति अणु औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा है

½ m v²rms = (3/2) k_BT

ताप अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा का माप है और गैस के प्रकार पर निर्भर नहीं करता। समान ताप पर विभिन्न गैसों के अणुओं की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा समान होती है। 0 K पर यह गति रुक जाएगी। एकपरमाणुक आदर्श गैस के एक मोल की आंतरिक ऊर्जा U = (3/2)RT होती है।

गैस अणुओं की चालें

अतः v_mp : v_avg : v_rms = √2 : √(8/π) : √3। तीनों √T के समानुपाती और √m (या √M, जहाँ M मोलर द्रव्यमान है) के व्युत्क्रमानुपाती हैं। समान ताप पर हाइड्रोजन के अणु ऑक्सीजन के अणुओं से बहुत अधिक तेज़ होते हैं।

ऊर्जा के समविभाजन का नियम और स्वातंत्र्य कोटियाँ

समविभाजन का नियम: परम ताप T पर ऊष्मीय साम्य में, अणु की ऊर्जा के व्यंजक में प्रत्येक स्वतंत्र द्विघातीय पद का औसत मान ½k_BT होता है। ऐसे स्वतंत्र प्रकारों की संख्या स्वातंत्र्य कोटियों (degrees of freedom) की संख्या f है।

कंपन विधा 2 गिनी जाती है क्योंकि उसमें गतिज और स्थितिज ऊर्जा के दो पद होते हैं, प्रत्येक ½k_BT का। प्रति अणु औसत ऊर्जा (f/2)k_BT है, और एक मोल की आंतरिक ऊर्जा (f/2)RT है।

गैसों की विशिष्ट ऊष्मा धारिताएँ

आदर्श गैस के एक मोल के लिए U = (f/2)RT, अतः:

• Cv = (f/2)R
• Cp = Cv + R = (f/2 + 1)R
• γ = Cp/Cv = 1 + 2/f

स्वातंत्र्य कोटियाँ जितनी अधिक होंगी, γ का मान उतना ही कम होगा। एकपरमाणुक गैसों के मान प्रयोग से अच्छी तरह मेल खाते हैं। सामान्य तापों पर द्विपरमाणुक गैसों के प्रायोगिक मान दृढ़ मॉडल से मेल खाते हैं क्योंकि इन तापों पर कंपन सक्रिय नहीं होता।

ठोसों और जल की विशिष्ट ऊष्मा धारिता

ठोस। ठोस में परमाणु अपनी माध्य स्थिति के इर्द-गिर्द तीन दिशाओं में कंपन करता है। प्रत्येक दिशा में एक गतिज और एक स्थितिज पद होता है, अतः 6 द्विघातीय पद होते हैं। प्रति परमाणु औसत ऊर्जा 3k_BT है, और एक मोल की आंतरिक ऊर्जा U = 3RT है। इसलिए मोलर विशिष्ट ऊष्मा है

C = 3R ≈ 24.9 J mol⁻¹ K⁻¹

यह डुलोंग-पेटिट नियम (Dulong-Petit law) है। यह अधिकांश ठोसों के लिए सामान्य तापों पर लागू होता है, पर निम्न तापों पर विफल हो जाता है। प्रति इकाई द्रव्यमान विशिष्ट ऊष्मा c = 3R/M है, जहाँ M kg में मोलर द्रव्यमान है।

जल। जल के अणु के तीन परमाणुओं को ठोस-सदृश निकाय मानने पर 9R ≈ 74.8 J mol⁻¹ K⁻¹ प्राप्त होता है। मापा गया मान लगभग 75.4 J mol⁻¹ K⁻¹ है, जो निकट है।

माध्य मुक्त पथ

माध्य मुक्त पथ (mean free path) l वह औसत दूरी है जो अणु दो क्रमिक टक्करों के बीच तय करता है। व्यास d और संख्या-घनत्व n (प्रति इकाई आयतन अणु) वाले अणुओं के लिए:

l = 1/(√2 π n d²)

P = nk_BT का उपयोग करने पर यह l = k_BT/(√2 π d² P) हो जाता है। इसलिए:

• स्थिर दाब पर ताप बढ़ने पर l बढ़ता है।
• स्थिर ताप पर दाब (या संख्या-घनत्व) बढ़ने पर l घटता है।
• अणु का व्यास बढ़ने पर l घटता है।

सामान्य परिस्थितियों में वायु में l की कोटि 10⁻⁷ m होती है, जो अणु के व्यास से कहीं अधिक है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 (वर्ग-माध्य-मूल चाल)। 27 °C पर ऑक्सीजन की rms चाल ज्ञात कीजिए। M = 32 g mol⁻¹ = 0.032 kg mol⁻¹, R = 8.3 J mol⁻¹ K⁻¹। v_rms = √(3RT/M) = √(3 × 8.3 × 300/0.032) = √(2.33 × 10⁵) ≈ 483 m s⁻¹।

उदाहरण 2 (गतिज ऊर्जा)। 300 K पर प्रति अणु औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा (3/2)k_BT = 1.5 × 1.38 × 10⁻²³ × 300 = 6.2 × 10⁻²¹ J है।

उदाहरण 3 (दाब)। घनत्व 1.2 kg m⁻³ की गैस की v_rms = 500 m s⁻¹ है। P = ⅓ρv²rms = ⅓ × 1.2 × 500² = 1.0 × 10⁵ Pa।

उदाहरण 4 (ताप और चाल)। 27 °C (300 K) पर किसी गैस की rms चाल v है। किस ताप पर यह 2v होगी? चूँकि v_rms ∝ √T, ताप 4 गुना होना चाहिए: 4 × 300 = 1200 K, जो 927 °C है।

उदाहरण 5 (गैसों की तुलना)। समान ताप पर v_rms ∝ 1/√M। हाइड्रोजन (M = 2 g mol⁻¹) और ऑक्सीजन (M = 32 g mol⁻¹) के लिए v_H/v_O = √(32/2) = 4। दोनों गैसों के प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा समान है, पर हाइड्रोजन के अणु चार गुना तेज़ चलते हैं।

उदाहरण 6 (स्थिर आयतन पर ऊष्मा)। दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के 2 mol का ताप स्थिर आयतन पर 10 K बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा ज्ञात कीजिए (R = 8.3 J mol⁻¹ K⁻¹)। Cv = 5R/2, अतः Q = nCvΔT = 2 × 2.5 × 8.3 × 10 = 415 J।

उदाहरण 7 (डुलोंग-पेटिट)। ऐलुमिनियम के लिए M = 27 g mol⁻¹। c = 3R/M = 24.9/0.027 ≈ 920 J kg⁻¹ K⁻¹, जो मापे गए मान लगभग 900 के निकट है।

सूत्र सारांश

NEET में सामान्य भूलें

• 1. v_rms, v_avg और v_mp भिन्न हैं। v_rms सबसे अधिक और v_mp सबसे कम होती है।
• 2. प्रति अणु माध्य गतिज ऊर्जा केवल T पर निर्भर करती है, गैस के प्रकार पर नहीं; चाल T और द्रव्यमान दोनों पर निर्भर करती है।
• 3. दृढ़ द्विपरमाणुक अणु के लिए f = 5 होता है, 7 नहीं; कंपन विधाएँ तभी गिनी जाती हैं जब कथन में दी गई हों।
• 4. कंपन विधा 2 स्वातंत्र्य कोटियों का योगदान देती है, 1 का नहीं।
• 5. f बढ़ने पर γ घटता है।
• 6. माध्य मुक्त पथ में गुणनखंड √2 न भूलें।
• 7. माध्य मुक्त पथ स्थिर दाब पर ताप के साथ बढ़ता है, पर स्थिर ताप पर दाब के साथ घटता है।
• 8. v_rms, √T के समानुपाती है, इसलिए T दोगुना करने पर चाल √2 गुना बढ़ती है, 2 गुना नहीं।
• 9. दाब P = ⅓ρv²rms है; ½ का उपयोग न करें और वर्ग को न छोड़ें।
• 10. डुलोंग-पेटिट मान 3R मोलर मान है; प्रति किलोग्राम विशिष्ट ऊष्मा मोलर द्रव्यमान पर निर्भर करती है।

एक पंक्ति के तथ्य

• 1. आदर्श गैस समीकरण PV = nRT = Nk_BT है।
• 2. k_B = 1.38 × 10⁻²³ J K⁻¹।
• 3. N_A = 6.022 × 10²³ mol⁻¹।
• 4. STP पर आदर्श गैस का एक मोल लगभग 22.4 L घेरता है।
• 5. P = ⅓ρv²rms।
• 6. प्रति अणु माध्य गतिज ऊर्जा = (3/2)k_BT।
• 7. v_rms ∝ √(T/M)।
• 8. v_mp : v_avg : v_rms = √2 : √(8/π) : √3।
• 9. एकपरमाणुक गैस: f = 3 और γ = 5/3।
• 10. दृढ़ द्विपरमाणुक गैस: f = 5 और γ = 7/5।
• 11. दृढ़ अरैखिक बहुपरमाणुक गैस: f = 6 और γ = 4/3।
• 12. प्रत्येक द्विघातीय ऊर्जा पद ½k_BT वहन करता है।
• 13. ठोस की मोलर विशिष्ट ऊष्मा 3R है।
• 14. जल की मोलर विशिष्ट ऊष्मा लगभग 9R है।
• 15. माध्य मुक्त पथ l = 1/(√2 π n d²)।

अभ्यास प्रश्न

1. परम ताप T पर आदर्श गैस के एक अणु की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा है

   1. (3/2)k_BT
   2. (5/2)k_BT
   3. (1/2)k_BT
   4. 3k_BT
   उत्तर

   A. (3/2)k_BT

   अणुगति सिद्धांत से प्रत्येक अणु के लिए ½mv²rms = (3/2)k_BT, गैस कोई भी हो।

   The average translational kinetic energy of a molecule of an ideal gas at absolute temperature T is

   1. (3/2)k_BT
   2. (5/2)k_BT
   3. (1/2)k_BT
   4. 3k_BT

2. एकपरमाणुक आदर्श गैस के लिए अनुपात Cp/Cv है

   1. 4/3
   2. 7/5
   3. 5/3
   4. 9/7
   उत्तर

   C. 5/3

   f = 3 से γ = 1 + 2/3 = 5/3।

   The ratio Cp/Cv for a monatomic ideal gas is

   1. 4/3
   2. 7/5
   3. 5/3
   4. 9/7

3. k_B = 1.38 × 10⁻²³ J K⁻¹ लीजिए। 300 K पर आदर्श गैस के एक अणु की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा लगभग है

   1. 6.2 × 10⁻²³ J
   2. 6.2 × 10⁻²¹ J
   3. 1.2 × 10⁻²⁰ J
   4. 4.1 × 10⁻²¹ J
   उत्तर

   B. 6.2 × 10⁻²¹ J

   (3/2)k_BT = 1.5 × 1.38 × 10⁻²³ × 300 = 6.2 × 10⁻²¹ J। (अकेला k_BT 4.1 × 10⁻²¹ J है।)

   Take k_B = 1.38 × 10⁻²³ J K⁻¹. The average translational kinetic energy of a molecule of an ideal gas at 300 K is about

   1. 6.2 × 10⁻²³ J
   2. 6.2 × 10⁻²¹ J
   3. 1.2 × 10⁻²⁰ J
   4. 4.1 × 10⁻²¹ J

4. किसी दिए गए ताप पर आदर्श गैस के अणुओं की चालों का सही क्रम है

   1. v_avg < v_mp < v_rms
   2. v_rms < v_avg < v_mp
   3. v_mp < v_rms < v_avg
   4. v_mp < v_avg < v_rms
   उत्तर

   D. v_mp < v_avg < v_rms

   चालें √2 : √(8/π) : √3 के अनुपात में हैं, अर्थात लगभग 1 : 1.13 : 1.22।

   At a given temperature, the correct order of the speeds of molecules of an ideal gas is

   1. v_avg < v_mp < v_rms
   2. v_rms < v_avg < v_mp
   3. v_mp < v_rms < v_avg
   4. v_mp < v_avg < v_rms

5. 1.2 kg m⁻³ घनत्व की गैस के अणुओं की rms चाल 500 m s⁻¹ है। उसका दाब है

   1. 1.5 × 10⁵ Pa
   2. 3.0 × 10⁵ Pa
   3. 3.3 × 10⁴ Pa
   4. 1.0 × 10⁵ Pa
   उत्तर

   D. 1.0 × 10⁵ Pa

   P = ⅓ρv²rms = ⅓ × 1.2 × 250 000 = 1.0 × 10⁵ Pa। (⅓ के स्थान पर ½ लेने पर 1.5 × 10⁵ Pa आता।)

   A gas of density 1.2 kg m⁻³ has an rms molecular speed of 500 m s⁻¹. Its pressure is

   1. 1.5 × 10⁵ Pa
   2. 3.0 × 10⁵ Pa
   3. 3.3 × 10⁴ Pa
   4. 1.0 × 10⁵ Pa

6. दृढ़ द्विपरमाणुक अणु की स्वातंत्र्य कोटियों की संख्या है

   1. 3
   2. 6
   3. 7
   4. 5
   उत्तर

   D. 5

   दृढ़ द्विपरमाणुक अणु में 3 स्थानांतरीय और 2 घूर्णी स्वातंत्र्य कोटियाँ होती हैं।

   The number of degrees of freedom of a rigid diatomic molecule is

   1. 3
   2. 6
   3. 7
   4. 5

7. एकपरमाणुक आदर्श गैस की स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है

   1. 3R
   2. 3R/2
   3. 5R/2
   4. R/2
   उत्तर

   B. 3R/2

   Cv = (f/2)R, f = 3 के साथ Cv = 3R/2।

   The molar specific heat at constant volume of a monatomic ideal gas is

   1. 3R
   2. 3R/2
   3. 5R/2
   4. R/2

8. γ = 4/3 वाली गैस के लिए प्रति अणु स्वातंत्र्य कोटियों की संख्या है

   1. 3
   2. 6
   3. 5
   4. 7
   उत्तर

   B. 6

   γ = 1 + 2/f से 2/f = 1/3, अतः f = 6।

   For a gas with γ = 4/3, the number of degrees of freedom per molecule is

   1. 3
   2. 6
   3. 5
   4. 7

9. समान ताप पर हाइड्रोजन के अणुओं (M = 2 g mol⁻¹) की rms चाल और ऑक्सीजन के अणुओं (M = 32 g mol⁻¹) की rms चाल का अनुपात है

   1. 16
   2. 2
   3. 1/4
   4. 4
   उत्तर

   D. 4

   v_rms ∝ 1/√M, अतः अनुपात = √(32/2) = √16 = 4।

   At the same temperature, the ratio of the rms speed of hydrogen molecules (M = 2 g mol⁻¹) to that of oxygen molecules (M = 32 g mol⁻¹) is

   1. 16
   2. 2
   3. 1/4
   4. 4

10. 27 °C पर किसी गैस की rms चाल v है। किस ताप पर rms चाल 2v हो जाएगी?

    1. 927 °C
    2. 54 °C
    3. 327 °C
    4. 600 °C
    उत्तर

    A. 927 °C

    v_rms ∝ √T। 2v के लिए T = 4 × 300 = 1200 K हो जाता है, जो 927 °C है।

    The rms speed of a gas at 27 °C is v. At what temperature does the rms speed become 2v?

    1. 927 °C
    2. 54 °C
    3. 327 °C
    4. 600 °C

11. दृढ़ द्विपरमाणुक गैस की स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है

    1. 3R
    2. 9R/2
    3. 7R/2
    4. 5R/2
    उत्तर

    C. 7R/2

    Cp = Cv + R = 5R/2 + R = 7R/2।

    The molar specific heat at constant pressure of a rigid diatomic gas is

    1. 3R
    2. 9R/2
    3. 7R/2
    4. 5R/2

12. स्थिर ताप पर आदर्श गैस का दाब दोगुना कर दिया जाता है। उसके अणुओं का माध्य मुक्त पथ हो जाता है

    1. आधा
    2. दोगुना
    3. चार गुना
    4. अपरिवर्तित
    उत्तर

    A. आधा

    निश्चित T पर l ∝ 1/n ∝ 1/P। P दोगुना करने पर l आधा हो जाता है।

    The pressure of an ideal gas is doubled at constant temperature. The mean free path of its molecules becomes

    1. half
    2. double
    3. four times
    4. unchanged

13. STP पर आदर्श गैस के एक मोल का आयतन 22.4 L है और N_A = 6.022 × 10²³ mol⁻¹। STP पर 1 L में अणुओं की संख्या लगभग है

    1. 6.0 × 10²³
    2. 2.7 × 10²⁵
    3. 2.7 × 10²²
    4. 2.7 × 10¹⁹
    उत्तर

    C. 2.7 × 10²²

    N = 6.022 × 10²³/22.4 = 2.7 × 10²²। (2.7 × 10²⁵ प्रति m³ संख्या है।)

    The volume of one mole of an ideal gas at STP is 22.4 L and N_A = 6.022 × 10²³ mol⁻¹. The number of molecules in 1 L at STP is about

    1. 6.0 × 10²³
    2. 2.7 × 10²⁵
    3. 2.7 × 10²²
    4. 2.7 × 10¹⁹

14. आवोगाद्रो का नियम कहता है कि समान ताप और दाब पर सभी गैसों के समान आयतनों में होते हैं

    1. समान द्रव्यमान
    2. अणुओं की समान संख्या
    3. परमाणुओं की समान संख्या
    4. समान घनत्व
    उत्तर

    B. अणुओं की समान संख्या

    यही आवोगाद्रो के नियम का कथन है।

    Avogadro's law states that equal volumes of all gases at the same temperature and pressure contain

    1. equal masses
    2. equal numbers of molecules
    3. equal numbers of atoms
    4. equal densities

15. R = 8.3 J mol⁻¹ K⁻¹ लीजिए। 300 K पर एकपरमाणुक आदर्श गैस के 2 mol की आंतरिक ऊर्जा है

    1. 4980 J
    2. 12 450 J
    3. 7470 J
    4. 2490 J
    उत्तर

    C. 7470 J

    U = (3/2)nRT = 1.5 × 2 × 8.3 × 300 = 7470 J।

    Take R = 8.3 J mol⁻¹ K⁻¹. The internal energy of 2 mol of a monatomic ideal gas at 300 K is

    1. 4980 J
    2. 12 450 J
    3. 7470 J
    4. 2490 J

16. नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: आदर्श गैस के अणुओं की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा केवल परम ताप पर निर्भर करती है। कथन II: समान ताप पर विभिन्न गैसों के अणुओं की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा समान होती है।

    1. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
    2. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
    3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
    4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
    उत्तर

    B. कथन I और कथन II दोनों सही हैं

    दोनों (3/2)k_BT से निकलते हैं, जो गैस के प्रकार पर निर्भर नहीं करता।

    Given below are two statements: Statement I: The average translational kinetic energy of the molecules of an ideal gas depends only on the absolute temperature. Statement II: At the same temperature, molecules of different gases have the same average translational kinetic energy.

    1. Both Statement I and Statement II are incorrect
    2. Both Statement I and Statement II are correct
    3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
    4. Statement I is incorrect but Statement II is correct

17. नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: rms, औसत और अधिकतम संभावित चालों में rms चाल सबसे अधिक होती है। कथन II: v_rms = √(3k_BT/m)।

    1. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
    2. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
    3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
    4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
    उत्तर

    B. कथन I और कथन II दोनों सही हैं

    v_mp : v_avg : v_rms = √2 : √(8/π) : √3। दोनों कथन सही हैं।

    Given below are two statements: Statement I: Among the rms, average and most probable speeds, the rms speed is the greatest. Statement II: v_rms = √(3k_BT/m).

    1. Both Statement I and Statement II are incorrect
    2. Both Statement I and Statement II are correct
    3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
    4. Statement I is incorrect but Statement II is correct

18. नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: आदर्श गैस का दाब P = ⅓ρv²rms है। कथन II: गैस का दाब दीवारों पर टिके गैस अणुओं के भार के कारण होता है।

    1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
    2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
    3. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
    4. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
    उत्तर

    D. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है

    दाब दीवारों से टक्करों में स्थानांतरित संवेग से उत्पन्न होता है, भार से नहीं।

    Given below are two statements: Statement I: The pressure of an ideal gas is P = ⅓ρv²rms. Statement II: The pressure of a gas is caused by the weight of the gas molecules resting on the walls.

    1. Both Statement I and Statement II are correct
    2. Both Statement I and Statement II are incorrect
    3. Statement I is incorrect but Statement II is correct
    4. Statement I is correct but Statement II is incorrect

19. नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: दृढ़ द्विपरमाणुक गैस अणु की स्वातंत्र्य कोटियों की संख्या 5 है। कथन II: एकपरमाणुक गैस अणु की 3 घूर्णी स्वातंत्र्य कोटियाँ होती हैं।

    1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
    2. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
    3. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
    4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
    उत्तर

    B. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है

    एकपरमाणुक अणु की केवल 3 स्थानांतरीय स्वातंत्र्य कोटियाँ होती हैं।

    Given below are two statements: Statement I: The number of degrees of freedom of a rigid diatomic gas molecule is 5. Statement II: A monatomic gas molecule has 3 rotational degrees of freedom.

    1. Both Statement I and Statement II are correct
    2. Statement I is correct but Statement II is incorrect
    3. Both Statement I and Statement II are incorrect
    4. Statement I is incorrect but Statement II is correct

20. निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं? 1. प्रत्येक द्विघातीय ऊर्जा पद प्रति अणु ½k_BT की औसत ऊर्जा वहन करता है। 2. द्विपरमाणुक अणु की एक कंपन विधा दो स्वातंत्र्य कोटियों के रूप में गिनी जाती है। 3. दृढ़ अरैखिक बहुपरमाणुक गैस के लिए γ = 5/3 होता है।

    1. 1 और 3 केवल
    2. 2 और 3 केवल
    3. 1 और 2 केवल
    4. 1, 2 और 3
    उत्तर

    C. 1 और 2 केवल

    दृढ़ अरैखिक बहुपरमाणुक गैस के लिए f = 6 और γ = 4/3 है, अतः 3 गलत है।

    Which of the following statements are correct? 1. Each quadratic energy term carries an average energy of ½k_BT per molecule. 2. A vibrational mode of a diatomic molecule counts as two degrees of freedom. 3. A rigid nonlinear polyatomic gas has γ = 5/3.

    1. 1 and 3 only
    2. 2 and 3 only
    3. 1 and 2 only
    4. 1, 2 and 3

21. निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं? 1. स्थिर दाब पर ताप बढ़ने पर माध्य मुक्त पथ बढ़ता है। 2. अणु का व्यास बढ़ने पर माध्य मुक्त पथ घटता है। 3. स्थिर ताप पर माध्य मुक्त पथ दाब से स्वतंत्र होता है।

    1. 2 और 3 केवल
    2. 1 और 3 केवल
    3. 1, 2 और 3
    4. 1 और 2 केवल
    उत्तर

    D. 1 और 2 केवल

    l = k_BT/(√2 π d² P)। यह T के साथ बढ़ता है, d² के साथ घटता है, और P के साथ घटता है, अतः 3 गलत है।

    Which of the following statements are correct? 1. The mean free path increases when the temperature increases at constant pressure. 2. The mean free path decreases when the molecular diameter increases. 3. The mean free path is independent of pressure at constant temperature.

    1. 2 and 3 only
    2. 1 and 3 only
    3. 1, 2 and 3
    4. 1 and 2 only

22. नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: अधिकांश ठोसों की सामान्य ताप पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा लगभग 3R होती है। कथन II: ठोस में प्रत्येक परमाणु के छह द्विघातीय ऊर्जा पद होते हैं (तीन गतिज और तीन स्थितिज)।

    1. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
    2. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
    3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
    4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
    उत्तर

    B. कथन I और कथन II दोनों सही हैं

    परमाणु तीन दिशाओं में दोलन करता है, जिससे 6 पद और प्रति परमाणु 3k_BT ऊर्जा मिलती है, अतः C = 3R।

    Given below are two statements: Statement I: The molar specific heat of most solids at ordinary temperature is about 3R. Statement II: Each atom in a solid has six quadratic energy terms (three kinetic and three potential).

    1. Both Statement I and Statement II are incorrect
    2. Both Statement I and Statement II are correct
    3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
    4. Statement I is incorrect but Statement II is correct

23. नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: समान ताप पर हल्के गैस अणुओं की rms चाल भारी अणुओं से अधिक होती है। कथन II: समान ताप पर उनकी औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा समान होती है।

    1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
    2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
    3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
    4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
    उत्तर

    A. कथन I और कथन II दोनों सही हैं

    v_rms ∝ 1/√m, जबकि माध्य गतिज ऊर्जा (3/2)k_BT सभी गैसों के लिए समान है।

    Given below are two statements: Statement I: At the same temperature, lighter gas molecules have a greater rms speed than heavier ones. Statement II: At the same temperature, they have the same average translational kinetic energy.

    1. Both Statement I and Statement II are correct
    2. Both Statement I and Statement II are incorrect
    3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
    4. Statement I is incorrect but Statement II is correct

24. नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: बॉयल का नियम कहता है कि स्थिर दाब पर V, T के समानुपाती होता है। कथन II: चार्ल्स का नियम कहता है कि स्थिर ताप पर V, 1/P के समानुपाती होता है।

    1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
    2. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
    3. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
    4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
    उत्तर

    C. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं

    ये आपस में बदल गए हैं। बॉयल: स्थिर T पर PV स्थिर। चार्ल्स: स्थिर P पर V/T स्थिर।

    Given below are two statements: Statement I: Boyle's law states that V is proportional to T at constant pressure. Statement II: Charles' law states that V is proportional to 1/P at constant temperature.

    1. Both Statement I and Statement II are correct
    2. Statement I is correct but Statement II is incorrect
    3. Both Statement I and Statement II are incorrect
    4. Statement I is incorrect but Statement II is correct

25. नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: अणुगति सिद्धांत में अणुओं की दीवारों से टक्करें पूर्णतः प्रत्यास्थ मानी जाती हैं। कथन II: अणुगति सिद्धांत में अणु दूर-दूर होने पर भी एक-दूसरे पर बड़े आकर्षण बल लगाते हैं।

    1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
    2. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
    3. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
    4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
    उत्तर

    B. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है

    सिद्धांत मानता है कि टक्कर के समय के अतिरिक्त अणु एक-दूसरे पर कोई बल नहीं लगाते।

    Given below are two statements: Statement I: In the kinetic theory, collisions of molecules with the walls are taken as perfectly elastic. Statement II: In the kinetic theory, molecules exert large attractive forces on each other even when they are far apart.

    1. Both Statement I and Statement II are correct
    2. Statement I is correct but Statement II is incorrect
    3. Both Statement I and Statement II are incorrect
    4. Statement I is incorrect but Statement II is correct

26. अभिकथन (A): बंद दृढ़ पात्र में गैस का दाब गर्म करने पर बढ़ता है। कारण (R): अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है, इसलिए वे दीवारों पर अधिक ज़ोर से और अधिक बार टकराते हैं।

    1. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
    2. A सत्य है लेकिन R असत्य है
    3. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
    4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
    उत्तर

    C. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है

    स्थिर V पर P ∝ T। अधिक चाल का अर्थ है प्रति टक्कर अधिक संवेग और अधिक टक्करें। R, A की व्याख्या करता है।

    Assertion (A): The pressure of a gas in a closed rigid vessel rises when it is heated. Reason (R): The average kinetic energy of the molecules increases, so they hit the walls harder and more often.

    1. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
    2. A is true but R is false
    3. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
    4. A is false but R is true

27. अभिकथन (A): समान ताप पर हाइड्रोजन के अणुओं की rms चाल ऑक्सीजन के अणुओं से अधिक होती है। कारण (R): rms चाल मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

    1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
    2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
    3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
    4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
    उत्तर

    A. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है

    v_rms = √(3RT/M), और हाइड्रोजन का M कम है। R, A की व्याख्या करता है।

    Assertion (A): Hydrogen molecules have a greater rms speed than oxygen molecules at the same temperature. Reason (R): The rms speed is inversely proportional to the square root of the molar mass.

    1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
    2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
    3. A is true but R is false
    4. A is false but R is true

28. अभिकथन (A): गैस का ताप उसके अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा का माप है। कारण (R): गैस के अणु यादृच्छिक रूप से गति करते हैं।

    1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
    2. A सत्य है लेकिन R असत्य है
    3. A असत्य है लेकिन R सत्य है
    4. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
    उत्तर

    D. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है

    A सत्य है क्योंकि (3/2)k_BT माध्य ऊर्जा है। R सत्य है पर ताप से संबंध की व्याख्या नहीं करता।

    Assertion (A): The temperature of a gas is a measure of the average kinetic energy of its molecules. Reason (R): The molecules of a gas move randomly.

    1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
    2. A is true but R is false
    3. A is false but R is true
    4. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A

29. अभिकथन (A): स्थिर ताप पर संपीडित करने पर गैस का माध्य मुक्त पथ घटता है। कारण (R): माध्य मुक्त पथ अणुओं के संख्या-घनत्व के समानुपाती होता है।

    1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
    2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
    3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
    4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
    उत्तर

    C. A सत्य है लेकिन R असत्य है

    A सत्य है। R असत्य है: l = 1/(√2 π n d²), अतः l, n के व्युत्क्रमानुपाती है।

    Assertion (A): The mean free path of a gas decreases when it is compressed at constant temperature. Reason (R): The mean free path is directly proportional to the number density of molecules.

    1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
    2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
    3. A is true but R is false
    4. A is false but R is true

30. अभिकथन (A): बंद पात्र में विराम में रखी गैस के अणुओं का औसत वेग (सदिश) शून्य नहीं होता। कारण (R): अणु सभी दिशाओं में समान प्रायिकता से गति करते हैं।

    1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
    2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
    3. A असत्य है लेकिन R सत्य है
    4. A सत्य है लेकिन R असत्य है
    उत्तर

    C. A असत्य है लेकिन R सत्य है

    A असत्य है: औसत वेग शून्य होता है। R सत्य है, और यही औसत वेग के शून्य होने का कारण है।

    Assertion (A): The average velocity (a vector) of the molecules of a gas at rest in a closed vessel is not zero. Reason (R): The molecules move in all directions with equal probability.

    1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
    2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
    3. A is false but R is true
    4. A is true but R is false

31. अभिकथन (A): दृढ़ द्विपरमाणुक गैस का γ एकपरमाणुक गैस के γ से कम होता है। कारण (R): द्विपरमाणुक अणु की स्वातंत्र्य कोटियाँ एकपरमाणुक अणु से अधिक होती हैं, और γ = 1 + 2/f।

    1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
    2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
    3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
    4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
    उत्तर

    A. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है

    f = 5 से 7/5 और f = 3 से 5/3 मिलता है। अधिक स्वातंत्र्य कोटियों से γ कम होता है। R, A की व्याख्या करता है।

    Assertion (A): The value of γ for a rigid diatomic gas is smaller than that for a monatomic gas. Reason (R): A diatomic molecule has more degrees of freedom than a monatomic molecule, and γ = 1 + 2/f.

    1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
    2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
    3. A is true but R is false
    4. A is false but R is true

32. सूची I को सूची II से सुमेलित कीजिए। सूची I: a. वर्ग-माध्य-मूल चाल b. अधिकतम संभावित चाल c. औसत चाल d. प्रति अणु माध्य गतिज ऊर्जा सूची II: i. √(2k_BT/m) ii. √(8k_BT/πm) iii. √(3k_BT/m) iv. (3/2)k_BT

    1. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
    2. a-iii, b-i, c-iv, d-ii
    3. a-i, b-iii, c-ii, d-iv
    4. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
    उत्तर

    A. a-iii, b-i, c-ii, d-iv

    v_rms: iii। v_mp: i। v_avg: ii। माध्य गतिज ऊर्जा: iv।

    Match List I with List II. List I: a. Root mean square speed b. Most probable speed c. Average speed d. Mean kinetic energy per molecule List II: i. √(2k_BT/m) ii. √(8k_BT/πm) iii. √(3k_BT/m) iv. (3/2)k_BT

    1. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
    2. a-iii, b-i, c-iv, d-ii
    3. a-i, b-iii, c-ii, d-iv
    4. a-iii, b-ii, c-i, d-iv

33. सूची I को सूची II से सुमेलित कीजिए। सूची I: a. एकपरमाणुक गैस b. दृढ़ द्विपरमाणुक गैस c. कंपन सहित द्विपरमाणुक गैस d. दृढ़ अरैखिक बहुपरमाणुक गैस सूची II: i. 7 ii. 3 iii. 6 iv. 5

    1. a-iv, b-ii, c-i, d-iii
    2. a-ii, b-iv, c-iii, d-i
    3. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
    4. a-ii, b-iv, c-i, d-iii
    उत्तर

    D. a-ii, b-iv, c-i, d-iii

    स्वातंत्र्य कोटियाँ: एकपरमाणुक 3 (ii), दृढ़ द्विपरमाणुक 5 (iv), कंपन सहित 7 (i), दृढ़ बहुपरमाणुक 6 (iii)।

    Match List I with List II. List I: a. Monatomic gas b. Rigid diatomic gas c. Diatomic gas with vibration d. Rigid nonlinear polyatomic gas List II: i. 7 ii. 3 iii. 6 iv. 5

    1. a-iv, b-ii, c-i, d-iii
    2. a-ii, b-iv, c-iii, d-i
    3. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
    4. a-ii, b-iv, c-i, d-iii

34. सूची I को सूची II से सुमेलित कीजिए। सूची I: a. वर्ग-माध्य-मूल चाल निर्भर करती है b. प्रति अणु माध्य गतिज ऊर्जा निर्भर करती है c. माध्य मुक्त पथ निर्भर करता है d. ठोसों की मोलर विशिष्ट ऊष्मा सूची II: i. सभी सरल ठोसों के लिए 3R ii. संख्या-घनत्व और अणु के व्यास पर iii. ताप और मोलर द्रव्यमान पर iv. केवल ताप पर

    1. a-iii, b-iv, c-ii, d-i
    2. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
    3. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
    4. a-iii, b-iv, c-i, d-ii
    उत्तर

    A. a-iii, b-iv, c-ii, d-i

    v_rms: T और M (iii)। माध्य KE: केवल T (iv)। l: n और d (ii)। ठोस: 3R (i)।

    Match List I with List II. List I: a. Root mean square speed depends on b. Mean kinetic energy per molecule depends on c. Mean free path depends on d. Molar specific heat of solids List II: i. 3R for all simple solids ii. Number density and molecular diameter iii. Temperature and molar mass iv. Temperature only

    1. a-iii, b-iv, c-ii, d-i
    2. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
    3. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
    4. a-iii, b-iv, c-i, d-ii

35. सूची I को सूची II से सुमेलित कीजिए। सूची I: a. बोल्ट्ज़मान नियतांक b. आवोगाद्रो संख्या c. STP पर मोलर आयतन d. गैस नियतांक सूची II: i. 6.022 × 10²³ mol⁻¹ ii. 22.4 L iii. 1.38 × 10⁻²³ J K⁻¹ iv. 8.314 J mol⁻¹ K⁻¹

    1. a-i, b-iii, c-ii, d-iv
    2. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
    3. a-iii, b-i, c-iv, d-ii
    4. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
    उत्तर

    D. a-iii, b-i, c-ii, d-iv

    k_B: iii। N_A: i। मोलर आयतन: ii। R: iv।

    Match List I with List II. List I: a. Boltzmann constant b. Avogadro number c. Molar volume at STP d. Gas constant List II: i. 6.022 × 10²³ mol⁻¹ ii. 22.4 L iii. 1.38 × 10⁻²³ J K⁻¹ iv. 8.314 J mol⁻¹ K⁻¹

    1. a-i, b-iii, c-ii, d-iv
    2. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
    3. a-iii, b-i, c-iv, d-ii
    4. a-iii, b-i, c-ii, d-iv

36. सूची I को सूची II से सुमेलित कीजिए। सूची I: a. बॉयल का नियम b. चार्ल्स का नियम c. आवोगाद्रो का नियम d. डाल्टन का नियम सूची II: i. स्थिर P पर V/T स्थिर ii. स्थिर T पर PV स्थिर iii. समान आयतनों में अणुओं की संख्या समान iv. कुल दाब आंशिक दाबों का योग

    1. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
    2. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
    3. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
    4. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
    उत्तर

    A. a-ii, b-i, c-iii, d-iv

    बॉयल: ii। चार्ल्स: i। आवोगाद्रो: iii। डाल्टन: iv।

    Match List I with List II. List I: a. Boyle's law b. Charles' law c. Avogadro's law d. Dalton's law List II: i. V/T constant at constant P ii. PV constant at constant T iii. Equal volumes contain equal numbers of molecules iv. Total pressure is the sum of partial pressures

    1. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
    2. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
    3. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
    4. a-ii, b-i, c-iv, d-iii

37. सूची I को सूची II से सुमेलित कीजिए। सूची I: a. एकपरमाणुक गैस का Cv b. एकपरमाणुक गैस का Cp c. दृढ़ द्विपरमाणुक गैस का Cp d. दृढ़ अरैखिक बहुपरमाणुक गैस का Cp सूची II: i. 7R/2 ii. 3R/2 iii. 4R iv. 5R/2

    1. a-ii, b-iv, c-iii, d-i
    2. a-ii, b-iv, c-i, d-iii
    3. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
    4. a-iv, b-ii, c-i, d-iii
    उत्तर

    B. a-ii, b-iv, c-i, d-iii

    3R/2 (ii); 5R/2 (iv); 7R/2 (i); 4R (iii)।

    Match List I with List II. List I: a. Cv of a monatomic gas b. Cp of a monatomic gas c. Cp of a rigid diatomic gas d. Cp of a rigid nonlinear polyatomic gas List II: i. 7R/2 ii. 3R/2 iii. 4R iv. 5R/2

    1. a-ii, b-iv, c-iii, d-i
    2. a-ii, b-iv, c-i, d-iii
    3. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
    4. a-iv, b-ii, c-i, d-iii

38. R = 8.3 J mol⁻¹ K⁻¹ लीजिए। 27 °C पर ऑक्सीजन अणुओं (M = 32 g mol⁻¹) की rms चाल लगभग है

    1. 240 m s⁻¹
    2. 960 m s⁻¹
    3. 15 m s⁻¹
    4. 480 m s⁻¹
    उत्तर

    D. 480 m s⁻¹

    v = √(3RT/M) = √(3 × 8.3 × 300/0.032) ≈ 483 m s⁻¹। M को किलोग्राम के बजाय ग्राम में लेने पर 15 m s⁻¹ आता है, जो गलत है।

    Take R = 8.3 J mol⁻¹ K⁻¹. The rms speed of oxygen molecules (M = 32 g mol⁻¹) at 27 °C is about

    1. 240 m s⁻¹
    2. 960 m s⁻¹
    3. 15 m s⁻¹
    4. 480 m s⁻¹

39. 320 K पर ऑक्सीजन (M = 32 g mol⁻¹) की rms चाल उस ताप पर हाइड्रोजन (M = 2 g mol⁻¹) की rms चाल के बराबर है, जो है

    1. 20 K
    2. 5120 K
    3. 80 K
    4. 1280 K
    उत्तर

    A. 20 K

    v_rms ∝ √(T/M), अतः T/M समान है: T = 320 × 2/32 = 20 K।

    The rms speed of oxygen (M = 32 g mol⁻¹) at 320 K is the same as the rms speed of hydrogen (M = 2 g mol⁻¹) at a temperature of

    1. 20 K
    2. 5120 K
    3. 80 K
    4. 1280 K

40. R = 8.3 J mol⁻¹ K⁻¹ लीजिए। डुलोंग-पेटिट नियम से ऐलुमिनियम (M = 27 g mol⁻¹) की विशिष्ट ऊष्मा धारिता लगभग है

    1. 307 J kg⁻¹ K⁻¹
    2. 24.9 J kg⁻¹ K⁻¹
    3. 920 J kg⁻¹ K⁻¹
    4. 2490 J kg⁻¹ K⁻¹
    उत्तर

    C. 920 J kg⁻¹ K⁻¹

    c = 3R/M = 24.9/0.027 ≈ 920 J kg⁻¹ K⁻¹।

    Take R = 8.3 J mol⁻¹ K⁻¹. Using the Dulong-Petit law, the specific heat capacity of aluminium (M = 27 g mol⁻¹) is about

    1. 307 J kg⁻¹ K⁻¹
    2. 24.9 J kg⁻¹ K⁻¹
    3. 920 J kg⁻¹ K⁻¹
    4. 2490 J kg⁻¹ K⁻¹

41. किसी गैस का संख्या-घनत्व 2.5 × 10²⁵ m⁻³ और अणु का व्यास 3 × 10⁻¹⁰ m है। π = 3.14 और √2 = 1.414 लीजिए। माध्य मुक्त पथ लगभग है

    1. 1.4 × 10⁻⁷ m
    2. 1.0 × 10⁻⁷ m
    3. 1.0 × 10⁻⁵ m
    4. 1.0 × 10⁻⁹ m
    उत्तर

    B. 1.0 × 10⁻⁷ m

    l = 1/(√2 π n d²) = 1/(1.414 × 3.14 × 2.5 × 10²⁵ × 9 × 10⁻²⁰) = 1.0 × 10⁻⁷ m। √2 छोड़ देने पर 1.4 × 10⁻⁷ m आता है।

    A gas has a number density of 2.5 × 10²⁵ m⁻³ and a molecular diameter of 3 × 10⁻¹⁰ m. Take π = 3.14 and √2 = 1.414. The mean free path is about

    1. 1.4 × 10⁻⁷ m
    2. 1.0 × 10⁻⁷ m
    3. 1.0 × 10⁻⁵ m
    4. 1.0 × 10⁻⁹ m

42. R = 8.3 J mol⁻¹ K⁻¹ लीजिए। दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के 2 mol का ताप स्थिर आयतन पर 10 K बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा है

    1. 415 J
    2. 581 J
    3. 830 J
    4. 249 J
    उत्तर

    A. 415 J

    Q = nCvΔT = 2 × (5/2) × 8.3 × 10 = 415 J।

    Take R = 8.3 J mol⁻¹ K⁻¹. The heat needed to raise the temperature of 2 mol of a rigid diatomic gas by 10 K at constant volume is

    1. 415 J
    2. 581 J
    3. 830 J
    4. 249 J

43. किसी मिश्रण में एकपरमाणुक गैस और दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के मोल समान संख्या में हैं। मिश्रण का अनुपात Cp/Cv है

    1. 23/15
    2. 6/5
    3. 7/5
    4. 3/2
    उत्तर

    D. 3/2

    Cv = (3R/2 + 5R/2)/2 = 2R और Cp = 3R, अतः γ = 3/2। दोनों γ मानों का माध्य (23/15) गलत है।

    A mixture contains equal numbers of moles of a monatomic gas and a rigid diatomic gas. The ratio Cp/Cv of the mixture is

    1. 23/15
    2. 6/5
    3. 7/5
    4. 3/2

44. k_B = 1.38 × 10⁻²³ J K⁻¹ लीजिए। 1.0 × 10⁵ Pa दाब और 300 K ताप पर आदर्श गैस के प्रति घन मीटर अणुओं की संख्या लगभग है

    1. 2.4 × 10²⁸
    2. 7.2 × 10²⁷
    3. 2.4 × 10²⁵
    4. 2.4 × 10²³
    उत्तर

    C. 2.4 × 10²⁵

    n = P/(k_BT) = 10⁵/(1.38 × 10⁻²³ × 300) = 2.4 × 10²⁵ m⁻³।

    Take k_B = 1.38 × 10⁻²³ J K⁻¹. At a pressure of 1.0 × 10⁵ Pa and a temperature of 300 K, the number of molecules per cubic metre of an ideal gas is about

    1. 2.4 × 10²⁸
    2. 7.2 × 10²⁷
    3. 2.4 × 10²⁵
    4. 2.4 × 10²³