NEET भौतिकी: मात्रक, मापन और शुद्धगतिकी · Chapter 3

समतल में गति

याद रखने योग्य बातें

सदिश (vector) में परिमाण और दिशा होती है और यह योग के त्रिभुज (समांतर चतुर्भुज) नियम का पालन करता है। कोण θ पर स्थित सदिशों A और B के परिणामी का परिमाण R = √(A² + B² + 2AB cos θ) होता है।
अदिश गुणनफल: A·B = AB cos θ (एक अदिश)। सदिश गुणनफल: A × B = AB sin θ n̂ (दोनों के लंबवत एक सदिश, जिसकी दिशा दाएँ हाथ के नियम से मिलती है)। A × B = −(B × A)।
प्रक्षेप्य गति: क्षैतिज वेग नियत रहता है और ऊर्ध्वाधर गति में त्वरण g नीचे की ओर होता है। उड्डयन काल T = 2u sin θ/g; अधिकतम ऊँचाई H = u² sin²θ/(2g); परास R = u² sin 2θ/g। परास θ = 45° पर अधिकतम होता है।
एकसमान वृत्तीय गति में चाल नियत रहती है परंतु वेग बदलता है। त्वरण अभिकेंद्रीय होता है: a = v²/r = ω²r, जो केंद्र की ओर निर्देशित होता है।

अदिश और सदिश

अदिश (scalar) में केवल परिमाण होता है: द्रव्यमान, दूरी, चाल, समय, ऊर्जा, ताप। सदिश में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं और यह सदिश योग के नियमों का पालन करता है: विस्थापन, वेग, त्वरण, बल। धारा और दाब में किसी अर्थ में परिमाण और दिशा होती है परंतु ये अदिश हैं, क्योंकि ये सदिश योग के नियम का पालन नहीं करते।

सदिश को मोटे अक्षरों में या तीर के साथ लिखा जाता है; इन नोट्स में "सदिश A" लिखा गया है और इसका परिमाण |A| = A है।

स्थिति सदिश: मूल बिंदु से बिंदु P(x, y) तक का सदिश। r = x î + y ĵ।
विस्थापन सदिश: प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति तक का सदिश, Δr = r₂ − r₁। यह केवल अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है, पथ पर नहीं।
समान सदिश: समान परिमाण और समान दिशा, चाहे उन्हें कहीं भी रखा जाए।
सदिश का ऋणात्मक: समान परिमाण, विपरीत दिशा।
सदिश A को वास्तविक संख्या λ से गुणा करने पर परिमाण |λ|A वाला सदिश प्राप्त होता है। यदि λ > 0 तो दिशा A के समान होती है; यदि λ < 0 तो विपरीत होती है।
मात्रक सदिश (unit vector): परिमाण 1 वाला सदिश जो केवल दिशा दर्शाता है। n̂ = A/|A|। x, y और z के अनुदिश मात्रक सदिश î, ĵ और k̂ हैं।
शून्य सदिश (null vector): इसका परिमाण शून्य होता है और कोई निश्चित दिशा नहीं होती।

सदिशों का योग और व्यवकलन

त्रिभुज नियम। यदि दो सदिशों को शीर्ष से पुच्छ (head to tail) खींचा जाए, तो परिणामी पहले की पुच्छ से दूसरे के शीर्ष तक का सदिश होता है। समांतर चतुर्भुज नियम। यदि दो सदिशों को एक ही बिंदु से समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाओं के रूप में खींचा जाए, तो परिणामी उस बिंदु से खींचा गया विकर्ण होता है।

विश्लेषणात्मक विधि। सदिशों A और B के लिए, जिनके बीच कोण θ है (जब वे एक ही बिंदु से खींचे जाएँ):

परिणामी का परिमाण: R = √(A² + B² + 2AB cos θ)।
दिशा: tan α = B sin θ/(A + B cos θ), जहाँ α, R का A से बना कोण है।

कोण θ	परिणामी	टिप्पणी
0°	A + B	अधिकतम
90°	√(A² + B²)
120° (A = B)	A	परिणामी प्रत्येक सदिश के बराबर
180°	(A − B) का परिमाण	न्यूनतम

व्यवकलन के लिए A − B = A + (−B)। इसका परिमाण √(A² + B² − 2AB cos θ) है।

गुण: सदिश योग क्रमविनिमेय (A + B = B + A) और साहचर्य ((A + B) + C = A + (B + C)) है। तीन सदिशों का परिणामी शून्य तभी हो सकता है जब प्रत्येक का परिमाण अन्य दो के योग से अधिक न हो (सबसे बड़ा सदिश अन्य के योग से अधिक नहीं हो सकता)। दो सदिशों का परिणामी |A − B| और A + B के बीच होता है।

सदिश का वियोजन

किसी सदिश को परस्पर लंबवत अक्षों के अनुदिश घटकों में विभाजित किया जा सकता है। x-अक्ष से कोण θ बनाने वाले सदिश A के लिए:

Ax = A cos θ और Ay = A sin θ।
A = Ax î + Ay ĵ।
परिमाण A = √(Ax² + Ay²), दिशा tan θ = Ay/Ax।

घटकों में दिए गए सदिशों के लिए A + B = (Ax + Bx) î + (Ay + By) ĵ। योग और व्यवकलन घटक-दर-घटक किए जाते हैं।

उदाहरण: A = 3î + 4ĵ का परिमाण 5 है। A के अनुदिश मात्रक सदिश (3î + 4ĵ)/5 = 0.6î + 0.8ĵ है।

तीन विमाओं में A = Ax î + Ay ĵ + Az k̂ और A = √(Ax² + Ay² + Az²)।

अदिश (बिंदु) गुणनफल और सदिश (क्रॉस) गुणनफल

गुण	अदिश गुणनफल A·B	सदिश गुणनफल A × B
मान	AB cos θ	n̂ के अनुदिश AB sin θ
परिणाम	अदिश	सदिश
क्रमविनिमेय	हाँ: A·B = B·A	नहीं: A × B = −B × A
समांतर सदिश (θ = 0°)	AB	0
लंबवत सदिश (θ = 90°)	0	AB
समान सदिश	A·A = A²	A × A = 0
मात्रक सदिश	î·î = ĵ·ĵ = k̂·k̂ = 1; î·ĵ = 0	î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ; î × î = 0
घटकों में	AxBx + AyBy + AzBz	घटकों का सारणिक

A × B की दिशा दाएँ हाथ के नियम से मिलती है: दाएँ हाथ की उँगलियों को A से B की ओर छोटे कोण से मोड़िए; अँगूठा A × B की दिशा में होता है। परिमाण |A × B| भुजाओं A और B वाले समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

उपयोग:

कार्य W = F·s (अदिश गुणनफल)। शक्ति P = F·v।
बल आघूर्ण τ = r × F। कोणीय संवेग L = r × p।
सदिशों के बीच कोण: cos θ = A·B/(AB)।
B के अनुदिश A का घटक = A·B̂ = (A·B)/B।
दो सदिश लंबवत होते हैं यदि A·B = 0; समांतर होते हैं यदि A × B = 0।

उदाहरण: A = 2î + 3ĵ और B = î − ĵ। A·B = 2 − 3 = −1। A × B = (2)(−1) − (3)(1) = −5, k̂ दिशा में, अतः A × B = −5k̂।

समतल में गति

समतल में गतिमान कण के लिए, जिसकी स्थिति r = x î + y ĵ है:

वेग v = dr/dt = vx î + vy ĵ, जहाँ vx = dx/dt और vy = dy/dt। वेग सदैव पथ की स्पर्श रेखा के अनुदिश होता है।
त्वरण a = dv/dt = ax î + ay ĵ।
x और y के अनुदिश गतियाँ एक-दूसरे से स्वतंत्र होती हैं।

समतल में नियत त्वरण a के लिए:

v = v₀ + at
r = r₀ + v₀t + ½at²

ये सदिश समीकरण घटकों के दो समूहों के समीकरणों के समान हैं: vx = v₀x + axt, x = x₀ + v₀x t + ½ax t², और y के लिए भी यही।

प्रक्षेप्य गति

प्रक्षेप्य (projectile) वायु में फेंका गया वह पिंड है जो केवल गुरुत्व के अधीन गति करता है। मान लीजिए इसे क्षैतिज से कोण θ ऊपर चाल u से फेंका गया है (वायु प्रतिरोध नगण्य)।

प्रारंभिक घटक: ux = u cos θ, uy = u sin θ।
क्षैतिज: ax = 0, अतः x = u cos θ · t और vx = u cos θ नियत है।
ऊर्ध्वाधर: ay = −g, अतः y = u sin θ · t − ½gt² और vy = u sin θ − gt।

राशि	सूत्र	टिप्पणी
पथ का समीकरण	y = x tan θ − g x²/(2u² cos²θ)	परवलय
उड्डयन काल	T = 2u sin θ/g	उसी तल पर लौटने के लिए
अधिकतम ऊँचाई	H = u² sin²θ/(2g)
क्षैतिज परास	R = u² sin 2θ/g
अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय	u sin θ/g	T का आधा

तथ्य:

उच्चतम बिंदु पर वेग क्षैतिज दिशा में u cos θ होता है (ऊर्ध्वाधर घटक शून्य)। वहाँ चाल न्यूनतम होती है। त्वरण फिर भी नीचे की ओर g होता है।
परास θ = 45° पर अधिकतम होता है: R_max = u²/g।
कोणों θ और (90° − θ) (पूरक कोणों) के लिए परास समान होता है, क्योंकि sin 2θ = sin(180° − 2θ)। इनकी ऊँचाइयाँ और उड्डयन काल भिन्न होते हैं।
θ = 45° पर R = 4H। सामान्यतः H/R = tan θ/4, अतः tan θ = 4H/R।
R = 4H/tan θ। θ = 45° पर H = R/4।
धरती से फेंका गया प्रक्षेप्य उसी चाल u से, क्षैतिज से उसी कोण पर नीचे की ओर, लौटता है।

ऊँचाई से क्षैतिज प्रक्षेपण। एक पिंड ऊँचाई h से क्षैतिज दिशा में चाल u से फेंका जाता है। प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है।

उड्डयन काल: T = √(2h/g)। यह u पर निर्भर नहीं करता।
क्षैतिज परास: R = u√(2h/g)।
पथ: y = g x²/(2u²) (प्रक्षेपण बिंदु से नीचे की ओर मापा गया)।
अंतिम चाल: v = √(u² + 2gh)। क्षैतिज से कोण: tan α = vy/u = √(2gh)/u।

हल उदाहरण 1। एक गेंद क्षैतिज से 30° ऊपर 20 m s⁻¹ से फेंकी जाती है (g = 10 m s⁻²)। T = 2 × 20 × 0.5/10 = 2 s। H = 400 × 0.25/20 = 5 m। R = 400 × sin 60°/10 = 40 × 0.866 = 34.6 m।

हल उदाहरण 2। 80 m ऊँची चट्टान से एक पत्थर 15 m s⁻¹ से क्षैतिज फेंका जाता है (g = 10 m s⁻²)। T = √(2 × 80/10) = 4 s। परास = 15 × 4 = 60 m। धरती पर ऊर्ध्वाधर चाल = 10 × 4 = 40 m s⁻¹।

एकसमान वृत्तीय गति

एक कण त्रिज्या r के वृत्त पर नियत चाल v से चलता है। इसका वेग दिशा बदलता है, इसलिए इसमें त्वरण होता है।

राशि	सूत्र	मात्रक
कोणीय विस्थापन	θ	rad
कोणीय वेग	ω = Δθ/Δt = 2π/T = 2πν	rad s⁻¹
रेखीय चाल	v = ωr	m s⁻¹
आवर्तकाल	T = 2π/ω = 2πr/v	s
आवृत्ति	ν = 1/T	Hz
अभिकेंद्रीय त्वरण	a = v²/r = ω²r	m s⁻²

अभिकेंद्रीय त्वरण (centripetal acceleration) केंद्र की ओर होता है। इसका परिमाण नियत होता है, परंतु दिशा लगातार बदलती रहती है।
वेग स्पर्श रेखा के अनुदिश होता है। यह प्रत्येक क्षण त्वरण के लंबवत होता है।
एकसमान वृत्तीय गति में चाल नियत होती है, परंतु वेग और त्वरण (सदिश के रूप में) नियत नहीं होते।
जब कण कोण θ से घूमता है, तब वेग में परिवर्तन: |Δv| = 2v sin(θ/2)। आधे चक्कर में |Δv| = 2v।
अभिकेंद्रीय बल mv²/r है। यह केंद्र की ओर नेट बल का नाम है; यह कोई नए प्रकार का बल नहीं है।

उदाहरण: एक पत्थर को 0.5 m त्रिज्या के वृत्त में प्रति सेकंड 2 चक्कर लगाते हुए घुमाया जाता है। ω = 2π × 2 = 4π rad s⁻¹, v = ωr = 2π m s⁻¹ ≈ 6.28 m s⁻¹, a = ω²r = 16π² × 0.5 ≈ 79 m s⁻²।

दो विमाओं में आपेक्षिक वेग

B के सापेक्ष A का वेग v_AB = v_A − v_B (सदिश व्यवकलन) होता है।

वर्षा और छाता। वर्षा चाल v_r से ऊर्ध्वाधर गिरती है। एक व्यक्ति समतल भूमि पर चाल v_m से चलता है। व्यक्ति के सापेक्ष वर्षा का क्षैतिज घटक v_m (व्यक्ति की ओर) और ऊर्ध्वाधर घटक v_r होता है। इसकी चाल √(v_r² + v_m²) है। व्यक्ति को छाता आगे की ओर (अपनी गति की दिशा में) ऊर्ध्वाधर से कोण θ पर झुकाकर पकड़ना चाहिए, जहाँ tan θ = v_m/v_r।

नदी और नाव। मान लीजिए v_b स्थिर जल में नाव की चाल और v_r नदी की धारा की चाल है। भूमि के सापेक्ष नाव का वेग दोनों का सदिश योग होता है।

उद्देश्य	अभिविन्यास	समय	परिणाम
न्यूनतम समय	तट के लंबवत	t = d/v_b (d = चौड़ाई)	धारा की दिशा में बहाव = v_r d/v_b
न्यूनतम पथ (शून्य बहाव)	लंब से कोण θ पर धारा के विपरीत, sin θ = v_r/v_b	t = d/√(v_b² − v_r²)	केवल तभी संभव जब v_b > v_r

न्यूनतम समय वाले अभिविन्यास में पार करने का समय केवल जल के सापेक्ष नाव के वेग के लंबवत घटक पर निर्भर करता है, नदी की चाल पर नहीं।

हल उदाहरण 3। स्थिर जल में नाव की चाल 5 m s⁻¹ है। वह 100 m चौड़ी नदी को पार करती है जिसकी धारा 3 m s⁻¹ है। न्यूनतम समय = 100/5 = 20 s, बहाव = 3 × 20 = 60 m। शून्य बहाव के लिए sin θ = 3/5, अतः पार की ओर नेट चाल √(25 − 9) = 4 m s⁻¹ है और समय 100/4 = 25 s है।

सूत्र सारांश

मद	सूत्र	संकेत और मात्रक
परिणामी	R = √(A² + B² + 2AB cos θ)	θ सदिशों के बीच
घटक	Ax = A cos θ, Ay = A sin θ
अदिश गुणनफल	A·B = AB cos θ = AxBx + AyBy + AzBz	अदिश
सदिश गुणनफल का परिमाण	A × B का परिमाण = AB sin θ	अदिश मान
उड्डयन काल	T = 2u sin θ/g	s
अधिकतम ऊँचाई	H = u² sin²θ/(2g)	m
परास	R = u² sin 2θ/g	m
क्षैतिज प्रक्षेपण	T = √(2h/g), R = u√(2h/g)
कोणीय वेग	ω = 2π/T = 2πν	rad s⁻¹
अभिकेंद्रीय त्वरण	a = v²/r = ω²r	m s⁻²
आपेक्षिक वेग	v_AB = v_A − v_B	m s⁻¹

NEET की चूक-भूलें

1. R = √(A² + B² + 2AB cos θ) में कोण θ पुच्छ-से-पुच्छ खींचे गए सदिशों के बीच का कोण है; व्यवकलन के लिए "+" चिह्न "−" हो जाता है।
2. विद्युत धारा और दाब में ढीले अर्थ में दिशा होती है परंतु ये अदिश हैं, क्योंकि ये सदिश योग के नियम का पालन नहीं करते।
3. A × B = −B × A, परंतु A·B = B·A।
4. पूरक प्रक्षेपण कोणों के लिए परास बराबर होता है, परंतु उड्डयन काल और अधिकतम ऊँचाई भिन्न होते हैं।
5. प्रक्षेप्य पथ के शीर्ष पर चाल शून्य नहीं होती (वह u cos θ होती है), जब तक प्रक्षेपण ऊर्ध्वाधर न हो।
6. क्षैतिज प्रक्षेपण में उड्डयन काल केवल ऊँचाई पर निर्भर करता है, प्रक्षेपण चाल पर नहीं।
7. एकसमान वृत्तीय गति में त्वरण शून्य नहीं होता और नियत भी नहीं होता: इसकी दिशा लगातार बदलती है।
8. अभिकेंद्रीय बल अन्य बलों के अतिरिक्त कार्य करने वाला कोई अलग बल नहीं है।
9. वर्षा-छाता: छाता व्यक्ति की गति की दिशा में ऊर्ध्वाधर से झुकाया जाता है, tan θ = v_man/v_rain के साथ।
10. नाव सीधे सामने वाले बिंदु पर तभी पहुँच सकती है जब स्थिर जल में उसकी चाल नदी की चाल से अधिक हो; न्यूनतम समय और न्यूनतम पथ के अभिविन्यास भिन्न होते हैं।

एक पंक्ति के तथ्य

1. परिमाण A वाले दो समान सदिशों का 120° पर परिणामी का परिमाण A होता है।
2. दो सदिशों के परिणामी का परिमाण |A − B| और A + B के बीच होता है।
3. î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ।
4. लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है; समांतर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य होता है।
5. भुजाओं A और B वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल |A × B| होता है।
6. कार्य बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है।
7. बल आघूर्ण सदिश गुणनफल r × F है।
8. प्रक्षेप्य का पथ परवलय होता है।
9. अधिकतम परास 45° पर u²/g होता है।
10. 45° पर परास अधिकतम ऊँचाई के चार गुने के बराबर होता है।
11. पूरक कोण समान परास देते हैं।
12. प्रक्षेप्य का क्षैतिज वेग नियत रहता है।
13. ऊँचाई h से क्षैतिज प्रक्षेपण के लिए उड्डयन काल √(2h/g) होता है।
14. अभिकेंद्रीय त्वरण = v²/r = ω²r।
15. एकसमान वृत्तीय गति में आधे चक्कर में वेग-परिवर्तन का परिमाण 2v होता है।

अभ्यास प्रश्न

3 N और 4 N परिमाण वाले दो लंबवत सदिशों के परिणामी का परिमाण है
1. 5 N
2. 7 N
3. 12 N
4. 1 N
उत्तर
A. 5 N
R = √(3² + 4²) = 5 N (7 N अधिकतम है, 0° पर)।
The resultant of two perpendicular vectors of magnitudes 3 N and 4 N has magnitude
1. 5 N
2. 7 N
3. 12 N
4. 1 N
निम्नलिखित में से कौन-सी राशि अदिश है?
1. बल आघूर्ण
2. विस्थापन
3. कार्य
4. संवेग
उत्तर
C. कार्य
कार्य = F·s अदिश गुणनफल है, अतः अदिश है। अन्य सदिश हैं।
Which of the following is a scalar quantity?
1. torque
2. displacement
3. work
4. momentum
A = 2î + 3ĵ + k̂ और B = î − 2ĵ + 4k̂ के लिए A·B का मान है
1. −4
2. 12
3. 8
4. 0
उत्तर
D. 0
A·B = 2(1) + 3(−2) + 1(4) = 2 − 6 + 4 = 0, अतः सदिश लंबवत हैं।
For A = 2î + 3ĵ + k̂ and B = î − 2ĵ + 4k̂, the value of A·B is
1. −4
2. 12
3. 8
4. 0
परिमाण 4 और 3 इकाई वाले दो सदिश 30° का कोण बनाते हैं। उनके सदिश गुणनफल का परिमाण है
1. 3√3 इकाई
2. 6 इकाई
3. 12 इकाई
4. 6√3 इकाई
उत्तर
B. 6 इकाई
|A × B| = AB sin 30° = 4 × 3 × ½ = 6।
Two vectors of magnitudes 4 and 3 units make an angle of 30°. The magnitude of their cross product is
1. 3√3 units
2. 6 units
3. 12 units
4. 6√3 units
एक प्रक्षेप्य क्षैतिज से 30° ऊपर 20 m s⁻¹ से फेंका जाता है। g = 10 m s⁻² लेने पर उड्डयन काल है
1. 1 s
2. 2 s
3. 4 s
4. 2√3 s
उत्तर
B. 2 s
T = 2u sin θ/g = 2 × 20 × 0.5/10 = 2 s।
A projectile is launched at 20 m s⁻¹ at 30° above the horizontal. Taking g = 10 m s⁻², the time of flight is
1. 1 s
2. 2 s
3. 4 s
4. 2√3 s
एक गेंद क्षैतिज से 30° ऊपर 40 m s⁻¹ से फेंकी जाती है (g = 10 m s⁻²)। प्राप्त अधिकतम ऊँचाई है
1. 10 m
2. 40 m
3. 20 m
4. 80 m
उत्तर
C. 20 m
H = u² sin²θ/(2g) = 1600 × 0.25/20 = 20 m। जाँच: uy = 20 m s⁻¹, H = 400/20 = 20 m।
A ball is thrown at 40 m s⁻¹ at 30° above the horizontal (g = 10 m s⁻²). The maximum height reached is
1. 10 m
2. 40 m
3. 20 m
4. 80 m
एक पिंड क्षैतिज से 45° पर 20 m s⁻¹ से प्रक्षेपित किया जाता है (g = 10 m s⁻²)। इसका क्षैतिज परास है
1. 40 m
2. 20 m
3. 10 m
4. 80 m
उत्तर
A. 40 m
R = u² sin 90°/g = 400/10 = 40 m।
A body is projected at 20 m s⁻¹ at 45° to the horizontal (g = 10 m s⁻²). Its horizontal range is
1. 40 m
2. 20 m
3. 10 m
4. 80 m
किसी दी गई चाल से 25° पर प्रक्षेपित प्रक्षेप्य का क्षैतिज परास उसी चाल से किस कोण पर प्रक्षेपित करने पर प्राप्त परास के बराबर होता है?
1. 75°
2. 50°
3. 45°
4. 65°
उत्तर
D. 65°
समान परास पूरक कोणों के लिए होता है: 90° − 25° = 65°।
The horizontal range of a projectile launched at 25° with a given speed equals its range when launched at the same speed at
1. 75°
2. 50°
3. 45°
4. 65°
एक पत्थर 45 m ऊँची मीनार की चोटी से 10 m s⁻¹ से क्षैतिज फेंका जाता है (g = 10 m s⁻²)। वह कितनी क्षैतिज दूरी पर गिरता है?
1. 45 m
2. 90 m
3. 30 m
4. 10 m
उत्तर
C. 30 m
T = √(2 × 45/10) = 3 s। परास = 10 × 3 = 30 m।
A stone is thrown horizontally at 10 m s⁻¹ from the top of a 45 m high tower (g = 10 m s⁻²). It lands at a horizontal distance of
1. 45 m
2. 90 m
3. 30 m
4. 10 m
एक पहिया प्रति मिनट 120 चक्कर लगाता है। इसका कोणीय वेग है
1. 120π rad s⁻¹
2. 240π rad s⁻¹
3. 2π rad s⁻¹
4. 4π rad s⁻¹
उत्तर
D. 4π rad s⁻¹
120 चक्कर/मिनट = 2 चक्कर/s। ω = 2π × 2 = 4π rad s⁻¹।
A wheel makes 120 revolutions per minute. Its angular velocity is
1. 120π rad s⁻¹
2. 240π rad s⁻¹
3. 2π rad s⁻¹
4. 4π rad s⁻¹
एक कण 5 m त्रिज्या के वृत्त में 10 m s⁻¹ की नियत चाल से गति करता है। इसके त्वरण का परिमाण है
1. 50 m s⁻²
2. 20 m s⁻²
3. 0
4. 2 m s⁻²
उत्तर
B. 20 m s⁻²
a = v²/r = 100/5 = 20 m s⁻²।
A particle moves in a circle of radius 5 m with a constant speed of 10 m s⁻¹. The magnitude of its acceleration is
1. 50 m s⁻²
2. 20 m s⁻²
3. 0
4. 2 m s⁻²
सदिश 6î + 8ĵ के अनुदिश मात्रक सदिश है
1. 0.6î + 0.8ĵ
2. 0.8î + 0.6ĵ
3. 6î + 8ĵ
4. î + ĵ
उत्तर
A. 0.6î + 0.8ĵ
परिमाण = 10, अतः मात्रक सदिश (6î + 8ĵ)/10 = 0.6î + 0.8ĵ है।
The unit vector along the vector 6î + 8ĵ is
1. 0.6î + 0.8ĵ
2. 0.8î + 0.6ĵ
3. 6î + 8ĵ
4. î + ĵ
परिमाण F वाले दो बल एक-दूसरे से 120° के कोण पर कार्य करते हैं। परिणामी का परिमाण है
1. 2F
2. F/2
3. √3 F
4. F
उत्तर
D. F
R = √(F² + F² + 2F² cos 120°) = √(2F² − F²) = F।
Two forces, each of magnitude F, act at an angle of 120° to each other. The magnitude of the resultant is
1. 2F
2. F/2
3. √3 F
4. F
एक बिंदु पर 7 N और 4 N के दो बल कार्य करते हैं। निम्नलिखित में से कौन-सा उनके परिणामी का परिमाण नहीं हो सकता?
1. 11 N
2. 12 N
3. 3 N
4. 6 N
उत्तर
B. 12 N
परिणामी 7 − 4 = 3 N और 7 + 4 = 11 N के बीच होता है, इसलिए 12 N असंभव है।
Two forces of 7 N and 4 N act at a point. Which of the following cannot be the magnitude of their resultant?
1. 11 N
2. 12 N
3. 3 N
4. 6 N
परिमाण 10 इकाई वाला एक सदिश x-अक्ष से 30° का कोण बनाता है। इसका y-घटक है
1. 5 इकाई
2. 10 इकाई
3. 5√3 इकाई
4. 10√3 इकाई
उत्तर
A. 5 इकाई
Ay = A sin 30° = 10 × ½ = 5 इकाई।
A vector of magnitude 10 units makes an angle of 30° with the x-axis. Its y-component is
1. 5 units
2. 10 units
3. 5√3 units
4. 10√3 units
एक कण त्रिज्या r के वृत्त का आधा चक्कर लगाता है। उसके विस्थापन के परिमाण और पथ लंबाई का अनुपात है
1. 1 : 2
2. π : 2
3. 2 : π
4. 1 : π
उत्तर
C. 2 : π
विस्थापन = व्यास = 2r; पथ लंबाई = πr। अनुपात = 2 : π।
A particle goes half way round a circle of radius r. The ratio of the magnitude of its displacement to the path length is
1. 1 : 2
2. π : 2
3. 2 : π
4. 1 : π
नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: सदिश योग क्रमविनिमेय है। कथन II: सदिश व्यवकलन क्रमविनिमेय है।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
C. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
A + B = B + A, परंतु A − B = −(B − A), इसलिए कथन II गलत है।
Given below are two statements: Statement I: Vector addition is commutative. Statement II: Vector subtraction is commutative.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: A × B = B × A। कथन II: A·B = B·A।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
D. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
क्रम उलटने पर सदिश गुणनफल का चिह्न बदल जाता है, A × B = −B × A। कथन I गलत है; अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय है।
Given below are two statements: Statement I: A × B = B × A. Statement II: A·B = B·A.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: प्रक्षेप्य का परास 45° पर प्रक्षेपित करने पर अधिकतम होता है। कथन II: समान चाल से पूरक कोणों पर प्रक्षेपित प्रक्षेप्यों का परास समान होता है।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
A. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
R = u² sin 2θ/g, θ = 45° पर अधिकतम होता है और θ तथा 90° − θ के लिए समान मान देता है। दोनों सही हैं।
Given below are two statements: Statement I: The range of a projectile is maximum when it is launched at 45°. Statement II: Projectiles launched at complementary angles with the same speed have the same range.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: प्रक्षेप्य के पथ के उच्चतम बिंदु पर उसका त्वरण शून्य होता है। कथन II: प्रक्षेप्य के वेग का क्षैतिज घटक उसकी उड़ान के दौरान बदलता है।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
B. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
त्वरण पूरे समय g रहता है, और क्षैतिज वेग नियत रहता है। दोनों गलत हैं।
Given below are two statements: Statement I: The acceleration of a projectile at the highest point of its path is zero. Statement II: The horizontal component of velocity of a projectile changes during its flight.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: एकसमान वृत्तीय गति में त्वरण नियत होता है। कथन II: एकसमान वृत्तीय गति में चाल नियत होती है।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
D. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
त्वरण का परिमाण नियत होता है परंतु दिशा बदलती रहती है, इसलिए सदिश के रूप में यह नियत नहीं है। कथन II सही है।
Given below are two statements: Statement I: In uniform circular motion, the acceleration is constant. Statement II: In uniform circular motion, the speed is constant.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं? 1. दो लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है। 2. दो समांतर सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य होता है। 3. किसी भी सदिश A के लिए A·A = 0।
1. 1 और 2 केवल
2. 2 और 3 केवल
3. 1 और 3 केवल
4. 1, 2 और 3
उत्तर
A. 1 और 2 केवल
A·A = A², शून्य नहीं, इसलिए 3 गलत है।
Which of the following statements are correct? 1. The dot product of two perpendicular vectors is zero. 2. The cross product of two parallel vectors is zero. 3. For any vector A, A·A = 0.
1. 1 and 2 only
2. 2 and 3 only
3. 1 and 3 only
4. 1, 2 and 3
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं? 1. क्षैतिज प्रक्षेपण में उड्डयन काल प्रक्षेपण चाल पर निर्भर नहीं करता। 2. क्षैतिज प्रक्षेपण में परास u√(2h/g) होता है। 3. प्रक्षेप्य का पथ परवलय होता है।
1. 1 और 2 केवल
2. 2 और 3 केवल
3. 1 और 3 केवल
4. 1, 2 और 3
उत्तर
D. 1, 2 और 3
तीनों कथन सही हैं।
Which of the following statements are correct? 1. In horizontal projection, the time of flight does not depend on the launch speed. 2. In horizontal projection, the range is u√(2h/g). 3. The trajectory of a projectile is a parabola.
1. 1 and 2 only
2. 2 and 3 only
3. 1 and 3 only
4. 1, 2 and 3
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं? 1. नाव नदी तट पर ठीक सामने वाले बिंदु तक तभी पहुँच सकती है जब स्थिर जल में उसकी चाल नदी की चाल से कम हो। 2. पार करने का न्यूनतम समय तट के लंबवत अभिविन्यास से मिलता है। 3. ऊर्ध्वाधर वर्षा में चलता हुआ व्यक्ति छाता ऊर्ध्वाधर से θ झुकाकर पकड़ता है, जहाँ tan θ = v_man/v_rain।
1. 1 और 2 केवल
2. 2 और 3 केवल
3. 1 और 3 केवल
4. 1, 2 और 3
उत्तर
B. 2 और 3 केवल
कथन 1 गलत है: नाव की चाल नदी की चाल से अधिक होनी चाहिए। कथन 2 और 3 सही हैं।
Which of the following statements are correct? 1. A boat can reach the point directly opposite on a river bank only if its speed in still water is less than the river speed. 2. The shortest time to cross is obtained by heading perpendicular to the bank. 3. A man walking in vertical rain holds the umbrella tilted by θ from the vertical with tan θ = v_man/v_rain.
1. 1 and 2 only
2. 2 and 3 only
3. 1 and 3 only
4. 1, 2 and 3
नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: विस्थापन सदिश केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है। कथन II: पथ लंबाई केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करती है।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
C. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
पथ लंबाई वास्तविक पथ पर निर्भर करती है। कथन II गलत है।
Given below are two statements: Statement I: The displacement vector depends only on the initial and final positions. Statement II: The path length depends only on the initial and final positions.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: बल आघूर्ण τ = r × F से दिया जाता है। कथन II: किसी बल द्वारा किया गया कार्य W = F·s होता है।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
A. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
बल आघूर्ण सदिश गुणनफल (सदिश) है और कार्य अदिश गुणनफल (अदिश) है। दोनों सही हैं।
Given below are two statements: Statement I: Torque is given by τ = r × F. Statement II: Work done by a force is W = F·s.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
अभिकथन (A): 30° पर प्रक्षेपित एक प्रक्षेप्य और समान चाल से 60° पर प्रक्षेपित दूसरे प्रक्षेप्य का परास समान होता है। कारण (R): परास sin 2θ पर निर्भर करता है, जिसका मान θ और (90° − θ) के लिए समान होता है।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
A. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
sin 60° = sin 120°, अतः परास समान है; R, A की व्याख्या करता है।
Assertion (A): A projectile launched at 30° and another launched at 60° with the same speed have the same range. Reason (R): The range depends on sin 2θ, which has the same value for θ and (90° − θ).
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
अभिकथन (A): प्रक्षेप्य का क्षैतिज वेग उसकी पूरी उड़ान में नियत रहता है। कारण (R): उच्चतम बिंदु पर प्रक्षेप्य का वेग पूर्णतः क्षैतिज होता है।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
B. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
A सत्य है क्योंकि कोई क्षैतिज बल नहीं है। R सत्य है परंतु यह नहीं बताता कि क्षैतिज वेग नियत क्यों है।
Assertion (A): The horizontal velocity of a projectile remains constant throughout its flight. Reason (R): At the highest point, the velocity of the projectile is purely horizontal.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
अभिकथन (A): ऊर्ध्वाधर वर्षा में चलता हुआ व्यक्ति अपना छाता आगे की ओर झुकाकर पकड़ता है। कारण (R): व्यक्ति के चलने के कारण वर्षा व्यक्ति की गति की दिशा में क्षैतिज वेग प्राप्त कर लेती है।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
C. A सत्य है लेकिन R असत्य है
व्यक्ति के सापेक्ष वर्षा उसकी गति के विपरीत क्षैतिज घटक के साथ आती है। R असत्य है: वर्षा का अपना वेग नहीं बदलता।
Assertion (A): A man walking in vertical rain holds his umbrella tilted forward. Reason (R): The rain acquires a horizontal velocity in the direction of the man's motion because he walks.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
अभिकथन (A): स्थिर जल में जिस नाव की चाल नदी की चाल से कम है, वह प्रारंभिक बिंदु के ठीक सामने वाले बिंदु तक पार जा सकती है। कारण (R): शून्य बहाव के लिए नाव का धारा के विपरीत घटक v_b sin θ = v_r को संतुष्ट करना चाहिए।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
D. A असत्य है लेकिन R सत्य है
v_b < v_r होने पर sin θ = v_r/v_b का मान 1 से अधिक हो जाता है, जो असंभव है। A असत्य है; R सत्य है।
Assertion (A): A boat with a speed in still water smaller than the river speed can cross to the point directly opposite the starting point. Reason (R): For zero drift, the boat's upstream component must satisfy v_b sin θ = v_r.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
अभिकथन (A): किसी दी गई ऊँचाई से क्षैतिज प्रक्षेपण में उड्डयन काल प्रक्षेपण चाल पर निर्भर करता है। कारण (R): प्रक्षेप्य का क्षैतिज वेग नियत होता है।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
D. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उड्डयन काल √(2h/g) है, जो प्रक्षेपण चाल से स्वतंत्र है। A असत्य है; R सत्य है।
Assertion (A): In horizontal projection from a given height, the time of flight depends on the launch speed. Reason (R): The horizontal velocity of the projectile is constant.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
अभिकथन (A): एकसमान वृत्तीय गति में अभिकेंद्रीय त्वरण का परिमाण नियत होता है। कारण (R): अभिकेंद्रीय त्वरण सदैव वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
B. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
v और r नियत होने से a = v²/r परिमाण में नियत है। दिशा वाला कथन भी सत्य है परंतु यह नहीं बताता कि परिमाण नियत क्यों है।
Assertion (A): In uniform circular motion, the magnitude of the centripetal acceleration is constant. Reason (R): The centripetal acceleration is always directed towards the centre of the circle.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
सूची I का सूची II से मिलान कीजिए। सूची I: a. कार्य b. बल आघूर्ण c. विस्थापन d. चाल सूची II: i. अदिश गुणनफल से प्राप्त अदिश ii. सदिश गुणनफल से प्राप्त सदिश iii. केवल अंतिम बिंदुओं पर निर्भर सदिश iv. दिशा-रहित अदिश
1. a-i, b-ii, c-iv, d-iii
2. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
3. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
4. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
उत्तर
C. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
कार्य अदिश गुणनफल (अदिश) है, बल आघूर्ण सदिश गुणनफल (सदिश) है, विस्थापन अंतिम बिंदुओं के बीच का सदिश है, चाल अदिश है।
Match List I with List II. List I: a. Work b. Torque c. Displacement d. Speed List II: i. Scalar from a dot product ii. Vector from a cross product iii. Vector that depends only on end points iv. Scalar with no direction
1. a-i, b-ii, c-iv, d-iii
2. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
3. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
4. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
सूची I का सूची II से मिलान कीजिए। सूची I: एक गेंद क्षैतिज से 30° ऊपर 20 m s⁻¹ से प्रक्षेपित की जाती है (g = 10 m s⁻²)। a. उड्डयन काल b. अधिकतम ऊँचाई c. क्षैतिज परास d. उच्चतम बिंदु पर चाल सूची II: i. 5 m ii. 2 s iii. 20√3 m iv. 10√3 m s⁻¹
1. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
2. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
3. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
4. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
उत्तर
A. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
T = 2 s; H = 5 m; R = 400 × (√3/2)/10 = 20√3 m; शीर्ष पर चाल = 20 cos 30° = 10√3 m s⁻¹।
Match List I with List II. A ball is projected at 20 m s⁻¹ at 30° above the horizontal (g = 10 m s⁻²). List I: a. Time of flight b. Maximum height c. Horizontal range d. Speed at the highest point List II: i. 5 m ii. 2 s iii. 20√3 m iv. 10√3 m s⁻¹
1. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
2. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
3. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
4. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
सूची I का सूची II से मिलान कीजिए। सूची I: a. कोणीय वेग ω b. रेखीय चाल v c. अभिकेंद्रीय त्वरण a d. आवर्तकाल T सूची II: i. 2π/ω ii. ωr iii. ω²r iv. Δθ/Δt
1. a-iv, b-ii, c-i, d-iii
2. a-iv, b-ii, c-iii, d-i
3. a-ii, b-iv, c-iii, d-i
4. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
उत्तर
B. a-iv, b-ii, c-iii, d-i
ω = Δθ/Δt, v = ωr, a = ω²r, T = 2π/ω।
Match List I with List II. List I: a. Angular velocity ω b. Linear speed v c. Centripetal acceleration a d. Period T List II: i. 2π/ω ii. ωr iii. ω²r iv. Δθ/Δt
1. a-iv, b-ii, c-i, d-iii
2. a-iv, b-ii, c-iii, d-i
3. a-ii, b-iv, c-iii, d-i
4. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
सूची I का सूची II से मिलान कीजिए। सूची I: सदिशों A और B के परिमाण 4 और 5 हैं। a. कोण 0° होने पर A·B b. कोण 90° होने पर A·B c. कोण 30° होने पर A × B का परिमाण d. कोण 180° होने पर A·B सूची II: i. 0 ii. 10 iii. 20 iv. −20
1. a-i, b-iii, c-ii, d-iv
2. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
3. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
4. a-iii, b-i, c-iv, d-ii
उत्तर
C. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
4 × 5 = 20; cos 90° = 0; 20 sin 30° = 10; 20 cos 180° = −20।
Match List I with List II. Vectors A and B have magnitudes 4 and 5. List I: a. A·B when the angle is 0° b. A·B when the angle is 90° c. Magnitude of A × B when the angle is 30° d. A·B when the angle is 180° List II: i. 0 ii. 10 iii. 20 iv. −20
1. a-i, b-iii, c-ii, d-iv
2. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
3. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
4. a-iii, b-i, c-iv, d-ii
सूची I का सूची II से मिलान कीजिए। सूची I: परिमाण F वाले दो सदिश नीचे दिया गया कोण बनाते हैं। a. 0° b. 60° c. 90° d. 120° सूची II: i. F ii. √2 F iii. 2F iv. √3 F
1. a-iii, b-iv, c-ii, d-i
2. a-ii, b-iv, c-iii, d-i
3. a-iii, b-iv, c-i, d-ii
4. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
उत्तर
A. a-iii, b-iv, c-ii, d-i
R = 2F cos(θ/2): 2F; √3 F; √2 F; F।
Match List I with List II. Two vectors, each of magnitude F, make the angle given below. List I: a. 0° b. 60° c. 90° d. 120° List II: i. F ii. √2 F iii. 2F iv. √3 F
1. a-iii, b-iv, c-ii, d-i
2. a-ii, b-iv, c-iii, d-i
3. a-iii, b-iv, c-i, d-ii
4. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
सूची I का सूची II से मिलान कीजिए। सूची I: स्थिर जल में एक नाव की चाल 5 m s⁻¹ है और वह 100 m चौड़ी नदी को पार करती है जिसकी धारा 3 m s⁻¹ है। a. पार करने का न्यूनतम समय b. न्यूनतम समय में बहाव c. शून्य बहाव के लिए नदी के आर-पार चाल d. शून्य बहाव के लिए पार करने का समय सूची II: i. 25 s ii. 60 m iii. 20 s iv. 4 m s⁻¹
1. a-iii, b-iv, c-ii, d-i
2. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
3. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
4. a-ii, b-iii, c-iv, d-i
उत्तर
C. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
t = 100/5 = 20 s; बहाव = 3 × 20 = 60 m; शून्य बहाव के लिए √(25 − 9) = 4 m s⁻¹, समय = 100/4 = 25 s।
Match List I with List II. A boat has speed 5 m s⁻¹ in still water and crosses a 100 m wide river with current 3 m s⁻¹. List I: a. Shortest crossing time b. Drift in the shortest time c. Speed across the river for zero drift d. Time of crossing for zero drift List II: i. 25 s ii. 60 m iii. 20 s iv. 4 m s⁻¹
1. a-iii, b-iv, c-ii, d-i
2. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
3. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
4. a-ii, b-iii, c-iv, d-i
एक गेंद क्षैतिज से कोण θ ऊपर 50 m s⁻¹ से प्रक्षेपित की जाती है, जहाँ sin θ = 0.6 और cos θ = 0.8 (g = 10 m s⁻²)। इसका क्षैतिज परास है
1. 120 m
2. 300 m
3. 250 m
4. 240 m
उत्तर
D. 240 m
T = 2 × 30/10 = 6 s; क्षैतिज चाल = 40 m s⁻¹; R = 40 × 6 = 240 m। जाँच: R = 2 u² sin θ cos θ/g = 2 × 2500 × 0.48/10 = 240 m।
A ball is projected at 50 m s⁻¹ at an angle θ above the horizontal with sin θ = 0.6 and cos θ = 0.8 (g = 10 m s⁻²). Its horizontal range is
1. 120 m
2. 300 m
3. 250 m
4. 240 m
एक पत्थर 20 m ऊँची चट्टान की चोटी से 15 m s⁻¹ से क्षैतिज फेंका जाता है (g = 10 m s⁻²)। धरती से टकराते समय उसकी चाल है
1. 20 m s⁻¹
2. 25 m s⁻¹
3. 15 m s⁻¹
4. 35 m s⁻¹
उत्तर
B. 25 m s⁻¹
T = 2 s; vy = 20 m s⁻¹; v = √(15² + 20²) = 25 m s⁻¹। ऊर्जा से जाँच: v² = 225 + 2 × 10 × 20 = 625।
A stone is thrown horizontally at 15 m s⁻¹ from the top of a 20 m high cliff (g = 10 m s⁻²). The speed with which it hits the ground is
1. 20 m s⁻¹
2. 25 m s⁻¹
3. 15 m s⁻¹
4. 35 m s⁻¹
वर्षा 12 m s⁻¹ से ऊर्ध्वाधर गिर रही है। एक व्यक्ति समतल भूमि पर 5 m s⁻¹ से चलता है। व्यक्ति के सापेक्ष वर्षा की चाल है
1. 17 m s⁻¹
2. 7 m s⁻¹
3. 10 m s⁻¹
4. 13 m s⁻¹
उत्तर
D. 13 m s⁻¹
v_rel = √(12² + 5²) = 13 m s⁻¹।
Rain falls vertically at 12 m s⁻¹. A man walks on level ground at 5 m s⁻¹. The speed of the rain relative to the man is
1. 17 m s⁻¹
2. 7 m s⁻¹
3. 10 m s⁻¹
4. 13 m s⁻¹
स्थिर जल में एक नाव की चाल 10 m s⁻¹ है। उसे 6 m s⁻¹ से बहती 200 m चौड़ी नदी को पार करके प्रारंभिक बिंदु के ठीक सामने वाले बिंदु पर उतरना है। पार करने का समय है
1. 12.5 s
2. 20 s
3. 25 s
4. 33 s
उत्तर
C. 25 s
नदी के आर-पार नेट चाल = √(10² − 6²) = 8 m s⁻¹; t = 200/8 = 25 s। जाँच: sin θ = 6/10, cos θ = 0.8, आर-पार चाल = 10 × 0.8 = 8 m s⁻¹।
A boat has a speed of 10 m s⁻¹ in still water. It is to cross a 200 m wide river flowing at 6 m s⁻¹ and land at the point directly opposite the starting point. The time of crossing is
1. 12.5 s
2. 20 s
3. 25 s
4. 33 s
एक कण 0.4 m त्रिज्या के वृत्त पर 5 rad s⁻¹ के कोणीय वेग से गति करता है। इसका अभिकेंद्रीय त्वरण है
1. 12.5 m s⁻²
2. 10 m s⁻²
3. 50 m s⁻²
4. 2 m s⁻²
उत्तर
B. 10 m s⁻²
a = ω²r = 25 × 0.4 = 10 m s⁻²। जाँच: v = ωr = 2 m s⁻¹ और v²/r = 4/0.4 = 10।
A particle moves on a circle of radius 0.4 m with an angular velocity of 5 rad s⁻¹. Its centripetal acceleration is
1. 12.5 m s⁻²
2. 10 m s⁻²
3. 50 m s⁻²
4. 2 m s⁻²
एक कण वृत्त में 10 m s⁻¹ की नियत चाल से चलता है। वृत्त के एक चौथाई भाग में चलने पर उसके वेग में परिवर्तन का परिमाण है
1. 10√2 m s⁻¹
2. 0
3. 10 m s⁻¹
4. 20 m s⁻¹
उत्तर
A. 10√2 m s⁻¹
प्रारंभिक और अंतिम वेग लंबवत हैं, प्रत्येक का परिमाण 10 m s⁻¹ है, अतः |Δv| = √(10² + 10²) = 10√2 m s⁻¹ (= 2v sin 45°)।
A particle moves in a circle at a constant speed of 10 m s⁻¹. The magnitude of the change in its velocity when it moves through one quarter of the circle is
1. 10√2 m s⁻¹
2. 0
3. 10 m s⁻¹
4. 20 m s⁻¹
दी गई प्रक्षेपण चाल के साथ, समतल भूमि पर प्रक्षेप्य का अधिकतम क्षैतिज परास 80 m है। यदि उसे उस कोण पर प्रक्षेपित किया जाए जो यह अधिकतम परास देता है, तो प्राप्त अधिकतम ऊँचाई है
1. 80 m
2. 10 m
3. 40 m
4. 20 m
उत्तर
D. 20 m
अधिकतम परास 45° पर: R = u²/g = 80, अतः u² = 800 (g = 10)। H = u² sin²45°/(2g) = 800 × 0.5/20 = 20 m। जाँच: H = R/4।
With a given launch speed, the maximum horizontal range of a projectile on level ground is 80 m. If it is launched at the angle that gives this maximum range, the maximum height reached is
1. 80 m
2. 10 m
3. 40 m
4. 20 m

Page 1 of 1

Finished reading?

Test yourself in 10 minutes

A free 10-question mini-mock on your exam's real pattern, with negative marking and an instant score. अपनी तैयारी 10 मिनट में जाँचें।

Take a free mini-mock →Topic-wise practice