NEET భౌతిక శాస్త్రం: ప్రమాణాలు, కొలతలు మరియు గతిశాస్త్రం · Chapter 3

తలంలో చలనం (Motion in a Plane)

గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

సదిశ రాశి (vector)కి పరిమాణం మరియు దిశ ఉంటాయి, అది త్రిభుజ (సమాంతర చతుర్భుజ) సూత్రం ప్రకారం కూడుతుంది. θ కోణంలో ఉన్న A, B సదిశల పరివర్తిత (resultant) పరిమాణం R = √(A² + B² + 2AB cos θ).
అదిశ లబ్ధం (dot product): A·B = AB cos θ (అదిశ రాశి). సదిశ లబ్ధం (cross product): A × B = AB sin θ n̂ (రెండింటికీ లంబంగా ఉండే సదిశ, కుడిచేతి నియమం ద్వారా దిశ). A × B = −(B × A).
ప్రక్షేప చలనం (projectile motion): క్షితిజ సమాంతర వేగం స్థిరం, నిలువు చలనానికి క్రిందివైపు g త్వరణం ఉంటుంది. ప్రయాణ కాలం T = 2u sin θ/g; గరిష్ఠ ఎత్తు H = u² sin²θ/(2g); వ్యాప్తి (range) R = u² sin 2θ/g. వ్యాప్తి θ = 45° వద్ద గరిష్ఠం.
ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో, వడి స్థిరం కానీ వేగం మారుతుంది. త్వరణం అభికేంద్ర త్వరణం (centripetal): a = v²/r = ω²r, కేంద్రం వైపు ఉంటుంది.

అదిశలు మరియు సదిశలు

అదిశ రాశికి పరిమాణం మాత్రమే ఉంటుంది: ద్రవ్యరాశి, దూరం, వడి, కాలం, శక్తి, ఉష్ణోగ్రత. సదిశ రాశికి పరిమాణం మరియు దిశ రెండూ ఉంటాయి, అది సదిశ కూడిక నియమాలను పాటిస్తుంది: స్థానభ్రంశం, వేగం, త్వరణం, బలం. విద్యుత్ ప్రవాహం మరియు పీడనానికి కొంతవరకు పరిమాణం, దిశ ఉన్నట్లు అనిపించినా అవి అదిశలే, ఎందుకంటే అవి సదిశ కూడిక నియమాన్ని పాటించవు.

సదిశను బోల్డ్‌లో లేదా బాణంతో రాస్తారు; ఈ నోట్స్‌లో, "సదిశ A" మరియు దాని పరిమాణం |A| = A.

స్థాన సదిశ (position vector): మూలబిందువు నుండి బిందువు P(x, y) వరకు ఉన్న సదిశ. r = x î + y ĵ.
స్థానభ్రంశ సదిశ: ఆరంభ స్థానం నుండి అంత్య స్థానం వరకు ఉన్న సదిశ, Δr = r₂ − r₁. ఇది కేవలం చివరి బిందువులపై ఆధారపడుతుంది, మార్గంపై కాదు.
సమాన సదిశలు: ఒకే పరిమాణం మరియు ఒకే దిశ, ఎక్కడ ఉంచినా.
సదిశ రుణం: ఒకే పరిమాణం, వ్యతిరేక దిశ.
సదిశ A ను వాస్తవ సంఖ్య λ తో గుణిస్తే పరిమాణం |λ|A ఉన్న సదిశ వస్తుంది. λ > 0 అయితే దిశ A వలెనే; λ < 0 అయితే వ్యతిరేకం.
ప్రమాణ సదిశ (unit vector): పరిమాణం 1 ఉండి దిశను మాత్రమే చూపే సదిశ. n̂ = A/|A|. x, y, z వెంట ప్రమాణ సదిశలు î, ĵ మరియు k̂.
శూన్య సదిశ (null vector): పరిమాణం సున్నా మరియు నిర్దిష్ట దిశ లేనిది.

సదిశల కూడిక మరియు తీసివేత

త్రిభుజ సూత్రం. రెండు సదిశలను తల నుండి తోక (head to tail) గా గీస్తే, పరివర్తిత సదిశ మొదటి దాని తోక నుండి రెండవ దాని తల వరకు ఉన్న సదిశ. సమాంతర చతుర్భుజ సూత్రం. రెండు సదిశలను ఒకే బిందువు నుండి సమాంతర చతుర్భుజం ప్రక్క భుజాలుగా గీస్తే, పరివర్తిత సదిశ ఆ బిందువు నుండి కర్ణం.

విశ్లేషణాత్మక పద్ధతి. A, B సదిశల మధ్య కోణం θ అయితే (ఒకే బిందువు నుండి గీసినప్పుడు):

పరివర్తిత సదిశ పరిమాణం: R = √(A² + B² + 2AB cos θ).
దిశ: tan α = B sin θ/(A + B cos θ), ఇక్కడ α అనేది R కు A తో ఉన్న కోణం.

కోణం θ	పరివర్తిత సదిశ	వ్యాఖ్య
0°	A + B	గరిష్ఠం
90°	√(A² + B²)
120° (A = B)	A	పరివర్తిత సదిశ ప్రతి సదిశకు సమానం
180°	(A − B) పరిమాణం	కనిష్ఠం

తీసివేతకు, A − B = A + (−B). దాని పరిమాణం √(A² + B² − 2AB cos θ).

లక్షణాలు: సదిశ కూడిక వినిమయ (A + B = B + A) మరియు సహచర ((A + B) + C = A + (B + C)) లక్షణాలను పాటిస్తుంది. మూడు సదిశల పరివర్తిత సదిశ సున్నా కావాలంటే, ప్రతి సదిశ పరిమాణం మిగతా రెండింటి మొత్తం కంటే ఎక్కువ కాకూడదు (అతి పెద్దది మిగతా వాటి మొత్తాన్ని మించకూడదు). రెండు సదిశల పరివర్తిత సదిశ |A − B| మరియు A + B మధ్య ఉంటుంది.

సదిశ వియోజనం (Resolution of a vector)

సదిశను లంబ అక్షాల వెంట అంశాలుగా విభజించవచ్చు. x-అక్షంతో θ కోణం చేసే సదిశ A కు:

Ax = A cos θ మరియు Ay = A sin θ.
A = Ax î + Ay ĵ.
పరిమాణం A = √(Ax² + Ay²), దిశ tan θ = Ay/Ax.

అంశాల రూపంలో ఇచ్చిన సదిశలకు, A + B = (Ax + Bx) î + (Ay + By) ĵ. కూడిక, తీసివేత అంశం వారీగా చేస్తారు.

ఉదాహరణ: A = 3î + 4ĵ పరిమాణం 5. A వెంట ప్రమాణ సదిశ (3î + 4ĵ)/5 = 0.6î + 0.8ĵ.

త్రిమితిలో, A = Ax î + Ay ĵ + Az k̂ మరియు A = √(Ax² + Ay² + Az²).

అదిశ (డాట్) లబ్ధం మరియు సదిశ (క్రాస్) లబ్ధం

లక్షణం	అదిశ లబ్ధం A·B	సదిశ లబ్ధం A × B
విలువ	AB cos θ	n̂ వెంట AB sin θ
ఫలితం	అదిశ	సదిశ
వినిమయం	అవును: A·B = B·A	కాదు: A × B = −B × A
సమాంతర సదిశలు (θ = 0°)	AB	0
లంబ సదిశలు (θ = 90°)	0	AB
ఒకే సదిశ	A·A = A²	A × A = 0
ప్రమాణ సదిశలు	î·î = ĵ·ĵ = k̂·k̂ = 1; î·ĵ = 0	î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ; î × î = 0
అంశాల రూపంలో	AxBx + AyBy + AzBz	అంశాల నిర్ణాయకం

A × B దిశను కుడిచేతి నియమం ఇస్తుంది: కుడిచేతి వేళ్లను A నుండి B వైపు చిన్న కోణం గుండా వంచండి; బొటనవేలు A × B వెంట చూపుతుంది. పరిమాణం |A × B| అనేది A, B భుజాలుగా ఉన్న సమాంతర చతుర్భుజం వైశాల్యానికి సమానం.

ఉపయోగాలు:

పని W = F·s (అదిశ లబ్ధం). సామర్థ్యం P = F·v.
టార్క్ τ = r × F. కోణీయ ద్రవ్యవేగం L = r × p.
సదిశల మధ్య కోణం: cos θ = A·B/(AB).
B వెంట A అంశం = A·B̂ = (A·B)/B.
A·B = 0 అయితే రెండు సదిశలు లంబంగా ఉంటాయి; A × B = 0 అయితే సమాంతరంగా ఉంటాయి.

ఉదాహరణ: A = 2î + 3ĵ మరియు B = î − ĵ. A·B = 2 − 3 = −1. A × B = (2)(−1) − (3)(1) = k̂ దిశలో −5, కాబట్టి A × B = −5k̂.

తలంలో చలనం

తలంలో కదిలే కణానికి, స్థానం r = x î + y ĵ అయితే:

వేగం v = dr/dt = vx î + vy ĵ, ఇక్కడ vx = dx/dt మరియు vy = dy/dt. వేగం ఎల్లప్పుడూ పథానికి స్పర్శరేఖ దిశలో ఉంటుంది.
త్వరణం a = dv/dt = ax î + ay ĵ.
x వెంట మరియు y వెంట చలనాలు ఒకదానిపై ఒకటి ఆధారపడవు.

తలంలో స్థిర త్వరణం a కు:

v = v₀ + at
r = r₀ + v₀t + ½at²

ఈ సదిశ సమీకరణాలు రెండు అంశ సమీకరణాల సమితులకు సమానమే: vx = v₀x + axt, x = x₀ + v₀x t + ½ax t², y కు కూడా అలాగే.

ప్రక్షేప చలనం

ప్రక్షేపకం (projectile) అంటే గాలిలోకి విసిరి, గురుత్వం ఒక్కటే పనిచేస్తూ కదిలే వస్తువు. దానిని క్షితిజానికి θ కోణంలో పైకి u వడితో ప్రయోగించారనుకోండి (గాలి నిరోధం విస్మరించబడింది).

ఆరంభ అంశాలు: ux = u cos θ, uy = u sin θ.
క్షితిజ సమాంతరం: ax = 0, కాబట్టి x = u cos θ · t మరియు vx = u cos θ స్థిరం.
నిలువు: ay = −g, కాబట్టి y = u sin θ · t − ½gt² మరియు vy = u sin θ − gt.

రాశి	సూత్రం	వ్యాఖ్య
పథ సమీకరణం	y = x tan θ − g x²/(2u² cos²θ)	పరావలయం
ప్రయాణ కాలం	T = 2u sin θ/g	అదే మట్టానికి తిరిగి రావడానికి
గరిష్ఠ ఎత్తు	H = u² sin²θ/(2g)
క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి	R = u² sin 2θ/g
గరిష్ఠ ఎత్తు చేరే కాలం	u sin θ/g	T లో సగం

వాస్తవాలు:

అత్యున్నత బిందువు వద్ద, వేగం క్షితిజ సమాంతరంగా u cos θ (నిలువు అంశం సున్నా). అక్కడ వడి కనిష్ఠం. త్వరణం ఇంకా క్రిందివైపు g.
θ = 45° వద్ద వ్యాప్తి గరిష్ఠం: R_max = u²/g.
θ మరియు (90° − θ) (పూరక కోణాలు) లకు వ్యాప్తి సమానం, ఎందుకంటే sin 2θ = sin(180° − 2θ). వాటి ఎత్తులు, ప్రయాణ కాలాలు వేరుగా ఉంటాయి.
θ = 45° వద్ద, R = 4H. సాధారణంగా, H/R = tan θ/4, కాబట్టి tan θ = 4H/R.
R = 4H/tan θ. θ = 45° వద్ద, H = R/4.
నేల నుండి ప్రయోగించిన ప్రక్షేపకం అదే వడి u తో, క్షితిజానికి క్రింద అదే కోణంలో తిరిగి వస్తుంది.

ఎత్తు నుండి క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపణ. ఒక వస్తువును h ఎత్తు నుండి క్షితిజ సమాంతరంగా u వడితో ప్రయోగించారు. ఆరంభ నిలువు వేగం సున్నా.

ప్రయాణ కాలం: T = √(2h/g). ఇది u పై ఆధారపడదు.
క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి: R = u√(2h/g).
పథం: y = g x²/(2u²) (ప్రయోగ బిందువు నుండి క్రిందికి కొలిచినది).
అంత్య వడి: v = √(u² + 2gh). క్షితిజంతో కోణం: tan α = vy/u = √(2gh)/u.

సాధించిన ఉదాహరణ 1. ఒక బంతిని క్షితిజానికి 30° పైకి 20 m s⁻¹ తో విసిరారు (g = 10 m s⁻²). T = 2 × 20 × 0.5/10 = 2 s. H = 400 × 0.25/20 = 5 m. R = 400 × sin 60°/10 = 40 × 0.866 = 34.6 m.

సాధించిన ఉదాహరణ 2. 80 m ఎత్తైన కొండ నుండి ఒక రాయిని క్షితిజ సమాంతరంగా 15 m s⁻¹ తో విసిరారు (g = 10 m s⁻²). T = √(2 × 80/10) = 4 s. వ్యాప్తి = 15 × 4 = 60 m. నేల వద్ద నిలువు వడి = 10 × 4 = 40 m s⁻¹.

ఏకరీతి వృత్తాకార చలనం

ఒక కణం r వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తంపై స్థిర వడి v తో కదులుతుంది. దాని వేగం దిశ మారుతుంది, కాబట్టి దానికి త్వరణం ఉంటుంది.

రాశి	సూత్రం	ప్రమాణం
కోణీయ స్థానభ్రంశం	θ	rad
కోణీయ వేగం	ω = Δθ/Δt = 2π/T = 2πν	rad s⁻¹
రేఖీయ వడి	v = ωr	m s⁻¹
ఆవర్తన కాలం	T = 2π/ω = 2πr/v	s
పౌనఃపున్యం	ν = 1/T	Hz
అభికేంద్ర త్వరణం	a = v²/r = ω²r	m s⁻²

అభికేంద్ర త్వరణం కేంద్రం వైపు ఉంటుంది. దాని పరిమాణం స్థిరం, కానీ దిశ నిరంతరం మారుతుంది.
వేగం స్పర్శరేఖ వెంట ఉంటుంది. ప్రతి క్షణంలో అది త్వరణానికి లంబంగా ఉంటుంది.
ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో, వడి స్థిరం, కానీ వేగం మరియు త్వరణం (సదిశలుగా) స్థిరం కావు.
కణం θ కోణం తిరిగినప్పుడు వేగంలో మార్పు: |Δv| = 2v sin(θ/2). అర్ధ భ్రమణంలో, |Δv| = 2v.
అభికేంద్ర బలం mv²/r. ఇది కేంద్రం వైపు ఉన్న నికర బలానికి పేరు; ఇది కొత్త రకం బలం కాదు.

ఉదాహరణ: 0.5 m వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తంలో ఒక రాయిని సెకనుకు 2 భ్రమణాలతో తిప్పారు. ω = 2π × 2 = 4π rad s⁻¹, v = ωr = 2π m s⁻¹ ≈ 6.28 m s⁻¹, a = ω²r = 16π² × 0.5 ≈ 79 m s⁻².

ద్విమితిలో సాపేక్ష వేగం

B కి సంబంధించి A వేగం v_AB = v_A − v_B (సదిశ తీసివేత).

వర్షం మరియు గొడుగు. వర్షం నిలువుగా v_r వడితో పడుతోంది. ఒక వ్యక్తి సమతల నేలపై v_m వడితో నడుస్తున్నాడు. అతనికి సంబంధించి వర్షానికి క్షితిజ సమాంతర అంశం v_m (అతని వైపు) మరియు నిలువు అంశం v_r ఉంటాయి. దాని వడి √(v_r² + v_m²). అతను గొడుగును నిలువు నుండి θ కోణంలో ముందుకు (తన చలన దిశ వైపు) వంచి పట్టుకోవాలి, ఇక్కడ tan θ = v_m/v_r.

నది మరియు పడవ. నిశ్చల నీటిలో పడవ వడి v_b, నది ప్రవాహ వడి v_r అనుకోండి. నేలకు సంబంధించి పడవ వేగం రెండింటి సదిశ మొత్తం.

లక్ష్యం	పడవ ముఖం	కాలం	ఫలితం
అతి తక్కువ కాలం	ఒడ్డుకు లంబంగా	t = d/v_b (d = వెడల్పు)	దిగువకు కొట్టుకుపోవడం = v_r d/v_b
అతి తక్కువ మార్గం (కొట్టుకుపోవడం సున్నా)	లంబానికి θ కోణంలో ఎగువ వైపు, sin θ = v_r/v_b	t = d/√(v_b² − v_r²)	v_b > v_r అయితేనే సాధ్యం

అతి తక్కువ కాల దిశకు, దాటే కాలం నీటికి సంబంధించి పడవ వేగం యొక్క లంబ అంశంపైనే ఆధారపడుతుంది, నది వడిపై కాదు.

సాధించిన ఉదాహరణ 3. పడవ నిశ్చల నీటిలో 5 m s⁻¹ వడి కలిగి ఉంది. అది 3 m s⁻¹ ప్రవాహం ఉన్న 100 m వెడల్పు నదిని దాటుతుంది. అతి తక్కువ కాలం = 100/5 = 20 s, కొట్టుకుపోవడం = 3 × 20 = 60 m. కొట్టుకుపోవడం సున్నా కావాలంటే, sin θ = 3/5, కాబట్టి అడ్డంగా నికర వడి √(25 − 9) = 4 m s⁻¹ మరియు కాలం 100/4 = 25 s.

సూత్రాల సారాంశం

అంశం	సూత్రం	గుర్తులు మరియు ప్రమాణాలు
పరివర్తిత సదిశ	R = √(A² + B² + 2AB cos θ)	సదిశల మధ్య కోణం θ
అంశాలు	Ax = A cos θ, Ay = A sin θ
అదిశ లబ్ధం	A·B = AB cos θ = AxBx + AyBy + AzBz	అదిశ
సదిశ లబ్ధం పరిమాణం	A × B పరిమాణం = AB sin θ	అదిశ విలువ
ప్రయాణ కాలం	T = 2u sin θ/g	s
గరిష్ఠ ఎత్తు	H = u² sin²θ/(2g)	m
వ్యాప్తి	R = u² sin 2θ/g	m
క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపణ	T = √(2h/g), R = u√(2h/g)
కోణీయ వేగం	ω = 2π/T = 2πν	rad s⁻¹
అభికేంద్ర త్వరణం	a = v²/r = ω²r	m s⁻²
సాపేక్ష వేగం	v_AB = v_A − v_B	m s⁻¹

NEET లో పొరపాటు పడే అంశాలు

1. R = √(A² + B² + 2AB cos θ) లోని కోణం తోక-తోక (tail to tail) గా గీసిన సదిశల మధ్య కోణం; తీసివేతకు "+" గుర్తు "−" అవుతుంది.
2. విద్యుత్ ప్రవాహం మరియు పీడనానికి వదులుగా చూస్తే దిశ ఉన్నా అవి అదిశలే, ఎందుకంటే అవి సదిశ కూడిక నియమాన్ని పాటించవు.
3. A × B = −B × A, కానీ A·B = B·A.
4. పూరక ప్రయోగ కోణాలకు, వ్యాప్తి సమానం, కానీ ప్రయాణ కాలం మరియు గరిష్ఠ ఎత్తు వేరుగా ఉంటాయి.
5. ప్రక్షేప పథం శిఖరం వద్ద వడి సున్నా కాదు (అది u cos θ), నిలువుగా ప్రయోగిస్తే తప్ప.
6. క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపణలో ప్రయాణ కాలం ఎత్తుపై మాత్రమే ఆధారపడుతుంది, ప్రయోగ వడిపై కాదు.
7. ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో, త్వరణం సున్నా కాదు మరియు స్థిరం కాదు: దాని దిశ నిరంతరం మారుతుంది.
8. అభికేంద్ర బలం ఇతర బలాలకు అదనంగా పనిచేసే బలం కాదు.
9. వర్షం-గొడుగు: గొడుగును నిలువు నుండి వ్యక్తి చలన దిశ వైపు వంచుతారు, tan θ = v_man/v_rain.
10. నిశ్చల నీటిలో పడవ వడి నది వడి కంటే ఎక్కువగా ఉంటేనే అది ఎదురుగా నేరుగా ఉన్న బిందువును చేరగలదు; అతి తక్కువ కాలం మరియు అతి తక్కువ మార్గం వేర్వేరు దిశలు.

ఒక్క వాక్య సారాంశాలు

1. 120° వద్ద ఉన్న A పరిమాణంతో సమానమైన రెండు సదిశల పరివర్తిత సదిశ పరిమాణం A.
2. రెండు సదిశల పరివర్తిత సదిశ పరిమాణం |A − B| మరియు A + B మధ్య ఉంటుంది.
3. î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ.
4. లంబ సదిశల అదిశ లబ్ధం సున్నా; సమాంతర సదిశల సదిశ లబ్ధం సున్నా.
5. A, B భుజాలుగా ఉన్న సమాంతర చతుర్భుజం వైశాల్యం |A × B|.
6. పని అంటే బలం మరియు స్థానభ్రంశాల అదిశ లబ్ధం.
7. టార్క్ అనేది సదిశ లబ్ధం r × F.
8. ప్రక్షేపకం పథం పరావలయం.
9. గరిష్ఠ వ్యాప్తి 45° వద్ద u²/g.
10. 45° వద్ద, వ్యాప్తి గరిష్ఠ ఎత్తుకు నాలుగు రెట్లు.
11. పూరక కోణాలు సమాన వ్యాప్తులను ఇస్తాయి.
12. ప్రక్షేపకం క్షితిజ సమాంతర వేగం స్థిరంగా ఉంటుంది.
13. h ఎత్తు నుండి క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపణకు, ప్రయాణ కాలం √(2h/g).
14. అభికేంద్ర త్వరణం = v²/r = ω²r.
15. ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో అర్ధ భ్రమణంలో, వేగంలో మార్పు పరిమాణం 2v.

సాధన ప్రశ్నలు

3 N మరియు 4 N పరిమాణాలు ఉన్న రెండు లంబ సదిశల పరివర్తిత సదిశ పరిమాణం
1. 5 N
2. 7 N
3. 12 N
4. 1 N
సమాధానం
A. 5 N
R = √(3² + 4²) = 5 N (7 N గరిష్ఠం, 0° వద్ద).
The resultant of two perpendicular vectors of magnitudes 3 N and 4 N has magnitude
1. 5 N
2. 7 N
3. 12 N
4. 1 N
ఈ క్రింది వాటిలో అదిశ రాశి ఏది?
1. టార్క్
2. స్థానభ్రంశం
3. పని
4. ద్రవ్యవేగం
సమాధానం
C. పని
పని = F·s అనేది అదిశ లబ్ధం, అదిశ రాశి. మిగతావి సదిశలు.
Which of the following is a scalar quantity?
1. torque
2. displacement
3. work
4. momentum
A = 2î + 3ĵ + k̂ మరియు B = î − 2ĵ + 4k̂ లకు, A·B విలువ
1. −4
2. 12
3. 8
4. 0
సమాధానం
D. 0
A·B = 2(1) + 3(−2) + 1(4) = 2 − 6 + 4 = 0, కాబట్టి సదిశలు లంబంగా ఉన్నాయి.
For A = 2î + 3ĵ + k̂ and B = î − 2ĵ + 4k̂, the value of A·B is
1. −4
2. 12
3. 8
4. 0
4 మరియు 3 యూనిట్ల పరిమాణాలు ఉన్న రెండు సదిశలు 30° కోణం చేస్తాయి. వాటి సదిశ లబ్ధం పరిమాణం
1. 3√3 యూనిట్లు
2. 6 యూనిట్లు
3. 12 యూనిట్లు
4. 6√3 యూనిట్లు
సమాధానం
B. 6 యూనిట్లు
|A × B| = AB sin 30° = 4 × 3 × ½ = 6.
Two vectors of magnitudes 4 and 3 units make an angle of 30°. The magnitude of their cross product is
1. 3√3 units
2. 6 units
3. 12 units
4. 6√3 units
ఒక ప్రక్షేపకాన్ని క్షితిజానికి 30° పైకి 20 m s⁻¹ తో ప్రయోగించారు. g = 10 m s⁻² తీసుకుంటే, ప్రయాణ కాలం
1. 1 s
2. 2 s
3. 4 s
4. 2√3 s
సమాధానం
B. 2 s
T = 2u sin θ/g = 2 × 20 × 0.5/10 = 2 s.
A projectile is launched at 20 m s⁻¹ at 30° above the horizontal. Taking g = 10 m s⁻², the time of flight is
1. 1 s
2. 2 s
3. 4 s
4. 2√3 s
ఒక బంతిని క్షితిజానికి 30° పైకి 40 m s⁻¹ తో విసిరారు (g = 10 m s⁻²). అది చేరే గరిష్ఠ ఎత్తు
1. 10 m
2. 40 m
3. 20 m
4. 80 m
సమాధానం
C. 20 m
H = u² sin²θ/(2g) = 1600 × 0.25/20 = 20 m. పరీక్ష: uy = 20 m s⁻¹, H = 400/20 = 20 m.
A ball is thrown at 40 m s⁻¹ at 30° above the horizontal (g = 10 m s⁻²). The maximum height reached is
1. 10 m
2. 40 m
3. 20 m
4. 80 m
ఒక వస్తువును క్షితిజానికి 45° వద్ద 20 m s⁻¹ తో ప్రయోగించారు (g = 10 m s⁻²). దాని క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి
1. 40 m
2. 20 m
3. 10 m
4. 80 m
సమాధానం
A. 40 m
R = u² sin 90°/g = 400/10 = 40 m.
A body is projected at 20 m s⁻¹ at 45° to the horizontal (g = 10 m s⁻²). Its horizontal range is
1. 40 m
2. 20 m
3. 10 m
4. 80 m
ఇచ్చిన వడితో 25° వద్ద ప్రయోగించిన ప్రక్షేపకం క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి, అదే వడితో ఏ కోణంలో ప్రయోగిస్తే వచ్చే వ్యాప్తికి సమానం
1. 75°
2. 50°
3. 45°
4. 65°
సమాధానం
D. 65°
పూరక కోణాలకు సమాన వ్యాప్తులు వస్తాయి: 90° − 25° = 65°.
The horizontal range of a projectile launched at 25° with a given speed equals its range when launched at the same speed at
1. 75°
2. 50°
3. 45°
4. 65°
45 m ఎత్తైన టవర్ పై నుండి ఒక రాయిని క్షితిజ సమాంతరంగా 10 m s⁻¹ తో విసిరారు (g = 10 m s⁻²). అది క్షితిజ సమాంతరంగా ఎంత దూరంలో పడుతుంది
1. 45 m
2. 90 m
3. 30 m
4. 10 m
సమాధానం
C. 30 m
T = √(2 × 45/10) = 3 s. వ్యాప్తి = 10 × 3 = 30 m.
A stone is thrown horizontally at 10 m s⁻¹ from the top of a 45 m high tower (g = 10 m s⁻²). It lands at a horizontal distance of
1. 45 m
2. 90 m
3. 30 m
4. 10 m
ఒక చక్రం నిమిషానికి 120 భ్రమణాలు చేస్తుంది. దాని కోణీయ వేగం
1. 120π rad s⁻¹
2. 240π rad s⁻¹
3. 2π rad s⁻¹
4. 4π rad s⁻¹
సమాధానం
D. 4π rad s⁻¹
120 rev/min = 2 rev/s. ω = 2π × 2 = 4π rad s⁻¹.
A wheel makes 120 revolutions per minute. Its angular velocity is
1. 120π rad s⁻¹
2. 240π rad s⁻¹
3. 2π rad s⁻¹
4. 4π rad s⁻¹
ఒక కణం 5 m వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తంలో 10 m s⁻¹ స్థిర వడితో కదులుతుంది. దాని త్వరణం పరిమాణం
1. 50 m s⁻²
2. 20 m s⁻²
3. 0
4. 2 m s⁻²
సమాధానం
B. 20 m s⁻²
a = v²/r = 100/5 = 20 m s⁻².
A particle moves in a circle of radius 5 m with a constant speed of 10 m s⁻¹. The magnitude of its acceleration is
1. 50 m s⁻²
2. 20 m s⁻²
3. 0
4. 2 m s⁻²
సదిశ 6î + 8ĵ వెంట ప్రమాణ సదిశ
1. 0.6î + 0.8ĵ
2. 0.8î + 0.6ĵ
3. 6î + 8ĵ
4. î + ĵ
సమాధానం
A. 0.6î + 0.8ĵ
పరిమాణం = 10, కాబట్టి ప్రమాణ సదిశ (6î + 8ĵ)/10 = 0.6î + 0.8ĵ.
The unit vector along the vector 6î + 8ĵ is
1. 0.6î + 0.8ĵ
2. 0.8î + 0.6ĵ
3. 6î + 8ĵ
4. î + ĵ
ఒక్కొక్కటి F పరిమాణం ఉన్న రెండు బలాలు ఒకదానికొకటి 120° కోణంలో పనిచేస్తున్నాయి. పరివర్తిత బలం పరిమాణం
1. 2F
2. F/2
3. √3 F
4. F
సమాధానం
D. F
R = √(F² + F² + 2F² cos 120°) = √(2F² − F²) = F.
Two forces, each of magnitude F, act at an angle of 120° to each other. The magnitude of the resultant is
1. 2F
2. F/2
3. √3 F
4. F
7 N మరియు 4 N బలాలు ఒక బిందువు వద్ద పనిచేస్తున్నాయి. వాటి పరివర్తిత బలం పరిమాణం కాలేనిది ఏది?
1. 11 N
2. 12 N
3. 3 N
4. 6 N
సమాధానం
B. 12 N
పరివర్తిత బలం 7 − 4 = 3 N మరియు 7 + 4 = 11 N మధ్య ఉంటుంది, కాబట్టి 12 N అసాధ్యం.
Two forces of 7 N and 4 N act at a point. Which of the following cannot be the magnitude of their resultant?
1. 11 N
2. 12 N
3. 3 N
4. 6 N
10 యూనిట్ల పరిమాణం ఉన్న సదిశ x-అక్షంతో 30° కోణం చేస్తుంది. దాని y-అంశం
1. 5 యూనిట్లు
2. 10 యూనిట్లు
3. 5√3 యూనిట్లు
4. 10√3 యూనిట్లు
సమాధానం
A. 5 యూనిట్లు
Ay = A sin 30° = 10 × ½ = 5 యూనిట్లు.
A vector of magnitude 10 units makes an angle of 30° with the x-axis. Its y-component is
1. 5 units
2. 10 units
3. 5√3 units
4. 10√3 units
ఒక కణం r వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తంలో సగం దూరం తిరిగింది. దాని స్థానభ్రంశ పరిమాణానికి, పథ పొడవుకు నిష్పత్తి
1. 1 : 2
2. π : 2
3. 2 : π
4. 1 : π
సమాధానం
C. 2 : π
స్థానభ్రంశం = వ్యాసం = 2r; పథ పొడవు = πr. నిష్పత్తి = 2 : π.
A particle goes half way round a circle of radius r. The ratio of the magnitude of its displacement to the path length is
1. 1 : 2
2. π : 2
3. 2 : π
4. 1 : π
ఈ క్రింద రెండు ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి: ప్రవచనం I: సదిశ కూడిక వినిమయ లక్షణాన్ని పాటిస్తుంది. ప్రవచనం II: సదిశ తీసివేత వినిమయ లక్షణాన్ని పాటిస్తుంది.
1. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
2. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరికావు
3. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
4. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
సమాధానం
C. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
A + B = B + A, కానీ A − B = −(B − A), కాబట్టి ప్రవచనం II సరికాదు.
Given below are two statements: Statement I: Vector addition is commutative. Statement II: Vector subtraction is commutative.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
ఈ క్రింద రెండు ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి: ప్రవచనం I: A × B = B × A. ప్రవచనం II: A·B = B·A.
1. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
2. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరికావు
3. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
4. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
సమాధానం
D. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
క్రమం మార్చినప్పుడు సదిశ లబ్ధం గుర్తు మారుతుంది, A × B = −B × A. ప్రవచనం I సరికాదు; అదిశ లబ్ధం వినిమయం.
Given below are two statements: Statement I: A × B = B × A. Statement II: A·B = B·A.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
ఈ క్రింద రెండు ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి: ప్రవచనం I: ప్రక్షేపకాన్ని 45° వద్ద ప్రయోగించినప్పుడు దాని వ్యాప్తి గరిష్ఠం. ప్రవచనం II: ఒకే వడితో పూరక కోణాల వద్ద ప్రయోగించిన ప్రక్షేపకాలకు ఒకే వ్యాప్తి ఉంటుంది.
1. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
2. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరికావు
3. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
4. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
సమాధానం
A. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
R = u² sin 2θ/g, θ = 45° వద్ద గరిష్ఠం, మరియు θ, 90° − θ లకు సమాన విలువలు వస్తాయి. రెండూ సరైనవి.
Given below are two statements: Statement I: The range of a projectile is maximum when it is launched at 45°. Statement II: Projectiles launched at complementary angles with the same speed have the same range.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
ఈ క్రింద రెండు ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి: ప్రవచనం I: ప్రక్షేపకం పథంలో అత్యున్నత బిందువు వద్ద దాని త్వరణం సున్నా. ప్రవచనం II: ప్రక్షేపకం వేగం యొక్క క్షితిజ సమాంతర అంశం దాని ప్రయాణంలో మారుతుంది.
1. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
2. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరికావు
3. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
4. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
సమాధానం
B. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరికావు
త్వరణం మొత్తం g, మరియు క్షితిజ సమాంతర వేగం స్థిరంగా ఉంటుంది. రెండూ సరికావు.
Given below are two statements: Statement I: The acceleration of a projectile at the highest point of its path is zero. Statement II: The horizontal component of velocity of a projectile changes during its flight.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
ఈ క్రింద రెండు ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి: ప్రవచనం I: ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో త్వరణం స్థిరం. ప్రవచనం II: ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో వడి స్థిరం.
1. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
2. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరికావు
3. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
4. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
సమాధానం
D. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
త్వరణం పరిమాణం స్థిరం కానీ దిశ మారుతుంది, కాబట్టి సదిశగా అది స్థిరం కాదు. ప్రవచనం II సరైనది.
Given below are two statements: Statement I: In uniform circular motion, the acceleration is constant. Statement II: In uniform circular motion, the speed is constant.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
ఈ క్రింది ప్రవచనాలలో ఏవి సరైనవి? 1. రెండు లంబ సదిశల అదిశ లబ్ధం సున్నా. 2. రెండు సమాంతర సదిశల సదిశ లబ్ధం సున్నా. 3. ఏ సదిశ A కైనా, A·A = 0.
1. 1 మరియు 2 మాత్రమే
2. 2 మరియు 3 మాత్రమే
3. 1 మరియు 3 మాత్రమే
4. 1, 2 మరియు 3
సమాధానం
A. 1 మరియు 2 మాత్రమే
A·A = A², సున్నా కాదు, కాబట్టి 3 సరికాదు.
Which of the following statements are correct? 1. The dot product of two perpendicular vectors is zero. 2. The cross product of two parallel vectors is zero. 3. For any vector A, A·A = 0.
1. 1 and 2 only
2. 2 and 3 only
3. 1 and 3 only
4. 1, 2 and 3
ఈ క్రింది ప్రవచనాలలో ఏవి సరైనవి? 1. క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపణలో, ప్రయాణ కాలం ప్రయోగ వడిపై ఆధారపడదు. 2. క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపణలో, వ్యాప్తి u√(2h/g). 3. ప్రక్షేపకం పథం పరావలయం.
1. 1 మరియు 2 మాత్రమే
2. 2 మరియు 3 మాత్రమే
3. 1 మరియు 3 మాత్రమే
4. 1, 2 మరియు 3
సమాధానం
D. 1, 2 మరియు 3
మూడు ప్రవచనాలూ సరైనవి.
Which of the following statements are correct? 1. In horizontal projection, the time of flight does not depend on the launch speed. 2. In horizontal projection, the range is u√(2h/g). 3. The trajectory of a projectile is a parabola.
1. 1 and 2 only
2. 2 and 3 only
3. 1 and 3 only
4. 1, 2 and 3
ఈ క్రింది ప్రవచనాలలో ఏవి సరైనవి? 1. నిశ్చల నీటిలో పడవ వడి నది వడి కంటే తక్కువగా ఉంటేనే, అది నది ఒడ్డున ఎదురుగా నేరుగా ఉన్న బిందువును చేరగలదు. 2. ఒడ్డుకు లంబంగా ముఖం పెడితే దాటడానికి అతి తక్కువ కాలం వస్తుంది. 3. నిలువు వర్షంలో నడిచే వ్యక్తి గొడుగును నిలువు నుండి θ కోణంలో వంచి పట్టుకుంటాడు, tan θ = v_man/v_rain.
1. 1 మరియు 2 మాత్రమే
2. 2 మరియు 3 మాత్రమే
3. 1 మరియు 3 మాత్రమే
4. 1, 2 మరియు 3
సమాధానం
B. 2 మరియు 3 మాత్రమే
ప్రవచనం 1 తప్పు: పడవ వడి నది వడి కంటే ఎక్కువ ఉండాలి. ప్రవచనాలు 2 మరియు 3 సరైనవి.
Which of the following statements are correct? 1. A boat can reach the point directly opposite on a river bank only if its speed in still water is less than the river speed. 2. The shortest time to cross is obtained by heading perpendicular to the bank. 3. A man walking in vertical rain holds the umbrella tilted by θ from the vertical with tan θ = v_man/v_rain.
1. 1 and 2 only
2. 2 and 3 only
3. 1 and 3 only
4. 1, 2 and 3
ఈ క్రింద రెండు ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి: ప్రవచనం I: స్థానభ్రంశ సదిశ ఆరంభ మరియు అంత్య స్థానాలపై మాత్రమే ఆధారపడుతుంది. ప్రవచనం II: పథ పొడవు ఆరంభ మరియు అంత్య స్థానాలపై మాత్రమే ఆధారపడుతుంది.
1. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
2. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరికావు
3. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
4. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
సమాధానం
C. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
పథ పొడవు వాస్తవ మార్గంపై ఆధారపడుతుంది. ప్రవచనం II సరికాదు.
Given below are two statements: Statement I: The displacement vector depends only on the initial and final positions. Statement II: The path length depends only on the initial and final positions.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
ఈ క్రింద రెండు ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి: ప్రవచనం I: టార్క్ τ = r × F ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. ప్రవచనం II: బలం చేసే పని W = F·s.
1. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
2. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరికావు
3. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
4. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
సమాధానం
A. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
టార్క్ సదిశ లబ్ధం (సదిశ) మరియు పని అదిశ లబ్ధం (అదిశ). రెండూ సరైనవి.
Given below are two statements: Statement I: Torque is given by τ = r × F. Statement II: Work done by a force is W = F·s.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
నిశ్చితవాక్యం (A): 30° వద్ద ప్రయోగించిన ప్రక్షేపకానికి, అదే వడితో 60° వద్ద ప్రయోగించిన ప్రక్షేపకానికి ఒకే వ్యాప్తి ఉంటుంది. కారణం (R): వ్యాప్తి sin 2θ పై ఆధారపడుతుంది, అది θ మరియు (90° − θ) లకు ఒకే విలువను ఇస్తుంది.
1. A మరియు R రెండూ సత్యం, R అనేది A కి సరైన వివరణ
2. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
3. A సత్యం కానీ R అసత్యం
4. A అసత్యం కానీ R సత్యం
సమాధానం
A. A మరియు R రెండూ సత్యం, R అనేది A కి సరైన వివరణ
sin 60° = sin 120°, కాబట్టి వ్యాప్తులు సమానం; R, A ని వివరిస్తుంది.
Assertion (A): A projectile launched at 30° and another launched at 60° with the same speed have the same range. Reason (R): The range depends on sin 2θ, which has the same value for θ and (90° − θ).
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
నిశ్చితవాక్యం (A): ప్రక్షేపకం క్షితిజ సమాంతర వేగం దాని ప్రయాణం అంతటా స్థిరంగా ఉంటుంది. కారణం (R): అత్యున్నత బిందువు వద్ద, ప్రక్షేపకం వేగం పూర్తిగా క్షితిజ సమాంతరంగా ఉంటుంది.
1. A మరియు R రెండూ సత్యం, R అనేది A కి సరైన వివరణ
2. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
3. A సత్యం కానీ R అసత్యం
4. A అసత్యం కానీ R సత్యం
సమాధానం
B. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
క్షితిజ సమాంతర బలం లేదు కాబట్టి A సత్యం. R సత్యమే కానీ క్షితిజ సమాంతర వేగం స్థిరంగా ఎందుకు ఉందో వివరించదు.
Assertion (A): The horizontal velocity of a projectile remains constant throughout its flight. Reason (R): At the highest point, the velocity of the projectile is purely horizontal.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
నిశ్చితవాక్యం (A): నిలువు వర్షంలో నడిచే వ్యక్తి తన గొడుగును ముందుకు వంచి పట్టుకుంటాడు. కారణం (R): అతను నడవడం వల్ల వర్షం అతని చలన దిశలో క్షితిజ సమాంతర వేగాన్ని పొందుతుంది.
1. A మరియు R రెండూ సత్యం, R అనేది A కి సరైన వివరణ
2. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
3. A సత్యం కానీ R అసత్యం
4. A అసత్యం కానీ R సత్యం
సమాధానం
C. A సత్యం కానీ R అసత్యం
వ్యక్తికి సంబంధించి వర్షం అతని చలనానికి వ్యతిరేకంగా క్షితిజ సమాంతర అంశంతో వస్తుంది. R అసత్యం: వర్షం స్వంత వేగం మారదు.
Assertion (A): A man walking in vertical rain holds his umbrella tilted forward. Reason (R): The rain acquires a horizontal velocity in the direction of the man's motion because he walks.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
నిశ్చితవాక్యం (A): నిశ్చల నీటిలో వడి నది వడి కంటే తక్కువ ఉన్న పడవ, ఆరంభ బిందువుకు ఎదురుగా నేరుగా ఉన్న బిందువును చేరగలదు. కారణం (R): కొట్టుకుపోవడం సున్నా కావాలంటే, పడవ ఎగువ దిశ అంశం v_b sin θ = v_r ను తృప్తిపరచాలి.
1. A మరియు R రెండూ సత్యం, R అనేది A కి సరైన వివరణ
2. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
3. A సత్యం కానీ R అసత్యం
4. A అసత్యం కానీ R సత్యం
సమాధానం
D. A అసత్యం కానీ R సత్యం
v_b < v_r అయితే, sin θ = v_r/v_b విలువ 1 ను మించుతుంది, ఇది అసాధ్యం. A అసత్యం; R సత్యం.
Assertion (A): A boat with a speed in still water smaller than the river speed can cross to the point directly opposite the starting point. Reason (R): For zero drift, the boat's upstream component must satisfy v_b sin θ = v_r.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
నిశ్చితవాక్యం (A): ఇచ్చిన ఎత్తు నుండి క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపణలో, ప్రయాణ కాలం ప్రయోగ వడిపై ఆధారపడుతుంది. కారణం (R): ప్రక్షేపకం క్షితిజ సమాంతర వేగం స్థిరం.
1. A మరియు R రెండూ సత్యం, R అనేది A కి సరైన వివరణ
2. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
3. A సత్యం కానీ R అసత్యం
4. A అసత్యం కానీ R సత్యం
సమాధానం
D. A అసత్యం కానీ R సత్యం
ప్రయాణ కాలం √(2h/g), ప్రయోగ వడిపై ఆధారపడదు. A అసత్యం; R సత్యం.
Assertion (A): In horizontal projection from a given height, the time of flight depends on the launch speed. Reason (R): The horizontal velocity of the projectile is constant.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
నిశ్చితవాక్యం (A): ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో, అభికేంద్ర త్వరణం పరిమాణం స్థిరం. కారణం (R): అభికేంద్ర త్వరణం ఎల్లప్పుడూ వృత్త కేంద్రం వైపు ఉంటుంది.
1. A మరియు R రెండూ సత్యం, R అనేది A కి సరైన వివరణ
2. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
3. A సత్యం కానీ R అసత్యం
4. A అసత్యం కానీ R సత్యం
సమాధానం
B. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
v మరియు r స్థిరం కాబట్టి a = v²/r పరిమాణంలో స్థిరం. దిశ గురించిన ప్రవచనం కూడా సత్యమే కానీ పరిమాణం స్థిరంగా ఎందుకు ఉందో వివరించదు.
Assertion (A): In uniform circular motion, the magnitude of the centripetal acceleration is constant. Reason (R): The centripetal acceleration is always directed towards the centre of the circle.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
జాబితా I ను జాబితా II తో జతపరచండి. జాబితా I: a. పని b. టార్క్ c. స్థానభ్రంశం d. వడి జాబితా II: i. అదిశ లబ్ధం నుండి వచ్చిన అదిశ ii. సదిశ లబ్ధం నుండి వచ్చిన సదిశ iii. చివరి బిందువులపై మాత్రమే ఆధారపడే సదిశ iv. దిశ లేని అదిశ
1. a-i, b-ii, c-iv, d-iii
2. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
3. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
4. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
సమాధానం
C. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
పని అదిశ లబ్ధం (అదిశ), టార్క్ సదిశ లబ్ధం (సదిశ), స్థానభ్రంశం చివరి బిందువుల మధ్య సదిశ, వడి అదిశ.
Match List I with List II. List I: a. Work b. Torque c. Displacement d. Speed List II: i. Scalar from a dot product ii. Vector from a cross product iii. Vector that depends only on end points iv. Scalar with no direction
1. a-i, b-ii, c-iv, d-iii
2. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
3. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
4. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
జాబితా I ను జాబితా II తో జతపరచండి. ఒక బంతిని క్షితిజానికి 30° పైకి 20 m s⁻¹ తో ప్రయోగించారు (g = 10 m s⁻²). జాబితా I: a. ప్రయాణ కాలం b. గరిష్ఠ ఎత్తు c. క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి d. అత్యున్నత బిందువు వద్ద వడి జాబితా II: i. 5 m ii. 2 s iii. 20√3 m iv. 10√3 m s⁻¹
1. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
2. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
3. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
4. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
సమాధానం
A. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
T = 2 s; H = 5 m; R = 400 × (√3/2)/10 = 20√3 m; శిఖరం వద్ద వడి = 20 cos 30° = 10√3 m s⁻¹.
Match List I with List II. A ball is projected at 20 m s⁻¹ at 30° above the horizontal (g = 10 m s⁻²). List I: a. Time of flight b. Maximum height c. Horizontal range d. Speed at the highest point List II: i. 5 m ii. 2 s iii. 20√3 m iv. 10√3 m s⁻¹
1. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
2. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
3. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
4. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
జాబితా I ను జాబితా II తో జతపరచండి. జాబితా I: a. కోణీయ వేగం ω b. రేఖీయ వడి v c. అభికేంద్ర త్వరణం a d. ఆవర్తన కాలం T జాబితా II: i. 2π/ω ii. ωr iii. ω²r iv. Δθ/Δt
1. a-iv, b-ii, c-i, d-iii
2. a-iv, b-ii, c-iii, d-i
3. a-ii, b-iv, c-iii, d-i
4. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
సమాధానం
B. a-iv, b-ii, c-iii, d-i
ω = Δθ/Δt, v = ωr, a = ω²r, T = 2π/ω.
Match List I with List II. List I: a. Angular velocity ω b. Linear speed v c. Centripetal acceleration a d. Period T List II: i. 2π/ω ii. ωr iii. ω²r iv. Δθ/Δt
1. a-iv, b-ii, c-i, d-iii
2. a-iv, b-ii, c-iii, d-i
3. a-ii, b-iv, c-iii, d-i
4. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
జాబితా I ను జాబితా II తో జతపరచండి. సదిశలు A, B పరిమాణాలు 4 మరియు 5. జాబితా I: a. కోణం 0° అయినప్పుడు A·B b. కోణం 90° అయినప్పుడు A·B c. కోణం 30° అయినప్పుడు A × B పరిమాణం d. కోణం 180° అయినప్పుడు A·B జాబితా II: i. 0 ii. 10 iii. 20 iv. −20
1. a-i, b-iii, c-ii, d-iv
2. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
3. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
4. a-iii, b-i, c-iv, d-ii
సమాధానం
C. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
4 × 5 = 20; cos 90° = 0; 20 sin 30° = 10; 20 cos 180° = −20.
Match List I with List II. Vectors A and B have magnitudes 4 and 5. List I: a. A·B when the angle is 0° b. A·B when the angle is 90° c. Magnitude of A × B when the angle is 30° d. A·B when the angle is 180° List II: i. 0 ii. 10 iii. 20 iv. −20
1. a-i, b-iii, c-ii, d-iv
2. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
3. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
4. a-iii, b-i, c-iv, d-ii
జాబితా I ను జాబితా II తో జతపరచండి. ఒక్కొక్కటి F పరిమాణం ఉన్న రెండు సదిశలు క్రింద ఇచ్చిన కోణం చేస్తాయి. జాబితా I: a. 0° b. 60° c. 90° d. 120° జాబితా II: i. F ii. √2 F iii. 2F iv. √3 F
1. a-iii, b-iv, c-ii, d-i
2. a-ii, b-iv, c-iii, d-i
3. a-iii, b-iv, c-i, d-ii
4. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
సమాధానం
A. a-iii, b-iv, c-ii, d-i
R = 2F cos(θ/2): 2F; √3 F; √2 F; F.
Match List I with List II. Two vectors, each of magnitude F, make the angle given below. List I: a. 0° b. 60° c. 90° d. 120° List II: i. F ii. √2 F iii. 2F iv. √3 F
1. a-iii, b-iv, c-ii, d-i
2. a-ii, b-iv, c-iii, d-i
3. a-iii, b-iv, c-i, d-ii
4. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
జాబితా I ను జాబితా II తో జతపరచండి. నిశ్చల నీటిలో పడవ వడి 5 m s⁻¹, అది 3 m s⁻¹ ప్రవాహం ఉన్న 100 m వెడల్పు నదిని దాటుతుంది. జాబితా I: a. అతి తక్కువ దాటే కాలం b. అతి తక్కువ కాలంలో కొట్టుకుపోవడం c. కొట్టుకుపోవడం సున్నా అయినప్పుడు నదికి అడ్డంగా వడి d. కొట్టుకుపోవడం సున్నా అయినప్పుడు దాటే కాలం జాబితా II: i. 25 s ii. 60 m iii. 20 s iv. 4 m s⁻¹
1. a-iii, b-iv, c-ii, d-i
2. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
3. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
4. a-ii, b-iii, c-iv, d-i
సమాధానం
C. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
t = 100/5 = 20 s; కొట్టుకుపోవడం = 3 × 20 = 60 m; కొట్టుకుపోవడం సున్నాకు √(25 − 9) = 4 m s⁻¹, కాలం = 100/4 = 25 s.
Match List I with List II. A boat has speed 5 m s⁻¹ in still water and crosses a 100 m wide river with current 3 m s⁻¹. List I: a. Shortest crossing time b. Drift in the shortest time c. Speed across the river for zero drift d. Time of crossing for zero drift List II: i. 25 s ii. 60 m iii. 20 s iv. 4 m s⁻¹
1. a-iii, b-iv, c-ii, d-i
2. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
3. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
4. a-ii, b-iii, c-iv, d-i
ఒక బంతిని క్షితిజానికి θ కోణంలో పైకి 50 m s⁻¹ తో ప్రయోగించారు, ఇక్కడ sin θ = 0.6 మరియు cos θ = 0.8 (g = 10 m s⁻²). దాని క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి
1. 120 m
2. 300 m
3. 250 m
4. 240 m
సమాధానం
D. 240 m
T = 2 × 30/10 = 6 s; క్షితిజ సమాంతర వడి = 40 m s⁻¹; R = 40 × 6 = 240 m. పరీక్ష: R = 2 u² sin θ cos θ/g = 2 × 2500 × 0.48/10 = 240 m.
A ball is projected at 50 m s⁻¹ at an angle θ above the horizontal with sin θ = 0.6 and cos θ = 0.8 (g = 10 m s⁻²). Its horizontal range is
1. 120 m
2. 300 m
3. 250 m
4. 240 m
20 m ఎత్తైన కొండ శిఖరం నుండి ఒక రాయిని క్షితిజ సమాంతరంగా 15 m s⁻¹ తో విసిరారు (g = 10 m s⁻²). అది నేలను తాకే వడి
1. 20 m s⁻¹
2. 25 m s⁻¹
3. 15 m s⁻¹
4. 35 m s⁻¹
సమాధానం
B. 25 m s⁻¹
T = 2 s; vy = 20 m s⁻¹; v = √(15² + 20²) = 25 m s⁻¹. శక్తి ద్వారా పరీక్ష: v² = 225 + 2 × 10 × 20 = 625.
A stone is thrown horizontally at 15 m s⁻¹ from the top of a 20 m high cliff (g = 10 m s⁻²). The speed with which it hits the ground is
1. 20 m s⁻¹
2. 25 m s⁻¹
3. 15 m s⁻¹
4. 35 m s⁻¹
వర్షం నిలువుగా 12 m s⁻¹ తో పడుతోంది. ఒక వ్యక్తి సమతల నేలపై 5 m s⁻¹ తో నడుస్తున్నాడు. వ్యక్తికి సంబంధించి వర్షం వడి
1. 17 m s⁻¹
2. 7 m s⁻¹
3. 10 m s⁻¹
4. 13 m s⁻¹
సమాధానం
D. 13 m s⁻¹
v_rel = √(12² + 5²) = 13 m s⁻¹.
Rain falls vertically at 12 m s⁻¹. A man walks on level ground at 5 m s⁻¹. The speed of the rain relative to the man is
1. 17 m s⁻¹
2. 7 m s⁻¹
3. 10 m s⁻¹
4. 13 m s⁻¹
నిశ్చల నీటిలో పడవ వడి 10 m s⁻¹. అది 6 m s⁻¹ తో ప్రవహిస్తున్న 200 m వెడల్పు నదిని దాటి, ఆరంభ బిందువుకు ఎదురుగా నేరుగా ఉన్న బిందువు వద్ద చేరాలి. దాటే కాలం
1. 12.5 s
2. 20 s
3. 25 s
4. 33 s
సమాధానం
C. 25 s
అడ్డంగా నికర వడి = √(10² − 6²) = 8 m s⁻¹; t = 200/8 = 25 s. పరీక్ష: sin θ = 6/10, cos θ = 0.8, అడ్డంగా వడి = 10 × 0.8 = 8 m s⁻¹.
A boat has a speed of 10 m s⁻¹ in still water. It is to cross a 200 m wide river flowing at 6 m s⁻¹ and land at the point directly opposite the starting point. The time of crossing is
1. 12.5 s
2. 20 s
3. 25 s
4. 33 s
ఒక కణం 0.4 m వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తంపై 5 rad s⁻¹ కోణీయ వేగంతో కదులుతుంది. దాని అభికేంద్ర త్వరణం
1. 12.5 m s⁻²
2. 10 m s⁻²
3. 50 m s⁻²
4. 2 m s⁻²
సమాధానం
B. 10 m s⁻²
a = ω²r = 25 × 0.4 = 10 m s⁻². పరీక్ష: v = ωr = 2 m s⁻¹ మరియు v²/r = 4/0.4 = 10.
A particle moves on a circle of radius 0.4 m with an angular velocity of 5 rad s⁻¹. Its centripetal acceleration is
1. 12.5 m s⁻²
2. 10 m s⁻²
3. 50 m s⁻²
4. 2 m s⁻²
ఒక కణం వృత్తంపై 10 m s⁻¹ స్థిర వడితో కదులుతుంది. అది వృత్తంలో పావు భాగం కదిలినప్పుడు దాని వేగంలో మార్పు పరిమాణం
1. 10√2 m s⁻¹
2. 0
3. 10 m s⁻¹
4. 20 m s⁻¹
సమాధానం
A. 10√2 m s⁻¹
ఆరంభ మరియు అంత్య వేగాలు లంబంగా ఉన్నాయి, ఒక్కొక్కటి 10 m s⁻¹ పరిమాణం, కాబట్టి |Δv| = √(10² + 10²) = 10√2 m s⁻¹ (= 2v sin 45°).
A particle moves in a circle at a constant speed of 10 m s⁻¹. The magnitude of the change in its velocity when it moves through one quarter of the circle is
1. 10√2 m s⁻¹
2. 0
3. 10 m s⁻¹
4. 20 m s⁻¹
ఇచ్చిన ప్రయోగ వడితో, సమతల నేలపై ప్రక్షేపకం గరిష్ఠ క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి 80 m. ఈ గరిష్ఠ వ్యాప్తిని ఇచ్చే కోణంలో ప్రయోగిస్తే, అది చేరే గరిష్ఠ ఎత్తు
1. 80 m
2. 10 m
3. 40 m
4. 20 m
సమాధానం
D. 20 m
గరిష్ఠ వ్యాప్తి 45° వద్ద: R = u²/g = 80, కాబట్టి u² = 800 (g = 10). H = u² sin²45°/(2g) = 800 × 0.5/20 = 20 m. పరీక్ష: H = R/4.
With a given launch speed, the maximum horizontal range of a projectile on level ground is 80 m. If it is launched at the angle that gives this maximum range, the maximum height reached is
1. 80 m
2. 10 m
3. 40 m
4. 20 m

Page 1 of 1

Finished reading?

Test yourself in 10 minutes

A free 10-question mini-mock on your exam's real pattern, with negative marking and an instant score. अपनी तैयारी 10 मिनट में जाँचें।

Take a free mini-mock →Topic-wise practice