NEET भौतिकी: दोलन और तरंगें · Chapter 1

दोलन (Oscillations)

याद रखने योग्य बातें

सरल आवर्त गति (simple harmonic motion, SHM) में प्रत्यानयन बल तथा त्वरण विस्थापन के अनुक्रमानुपाती होते हैं और माध्य स्थिति की ओर दिशित होते हैं: F = −kx, a = −ω²x, जहाँ ω = √(k/m)।
विस्थापन, वेग और त्वरण क्रमशः x = A cos(ωt + φ), v = −Aω sin(ωt + φ) तथा a = −Aω² cos(ωt + φ) हैं; विस्थापन x पर चाल v = ω√(A² − x²) होती है।
सरल आवर्त गति की कुल ऊर्जा नियत रहती है: E = ½kA² = ½mω²A²। गतिज ऊर्जा ½k(A² − x²) और स्थितिज ऊर्जा ½kx² होती है।
भारित कमानी (spring) का आवर्तकाल T = 2π√(m/k) और सरल लोलक का आवर्तकाल T = 2π√(l/g) होता है। कमानी का आवर्तकाल g पर निर्भर नहीं करता; सरल लोलक का आवर्तकाल गोलक के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता।

आवर्ती गति और दोलन गति

जो गति समान समय-अंतरालों के बाद स्वयं को दोहराती है, उसे आवर्ती गति (periodic motion) कहते हैं। वह न्यूनतम समय-अंतराल जिसके बाद गति दोहराई जाती है, आवर्तकाल (period) T कहलाता है (मात्रक: सेकंड, s)। एक सेकंड में होने वाले दोहरावों की संख्या आवृत्ति (frequency) f = 1/T है (मात्रक: हर्ट्ज़, Hz = s⁻¹)। कोणीय आवृत्ति (angular frequency) ω = 2πf = 2π/T है (मात्रक: rad s⁻¹)।

दोलन गति (oscillatory motion) वह आवर्ती गति है जिसमें कोई पिंड एक नियत बिंदु के दोनों ओर आगे-पीछे गति करता है; इस बिंदु को माध्य (साम्य) स्थिति कहते हैं। प्रत्येक दोलन गति आवर्ती होती है, परंतु प्रत्येक आवर्ती गति दोलन गति नहीं होती। उदाहरण के लिए, सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की गति आवर्ती है, परंतु दोलन गति नहीं है।

दोलन करते कण के विस्थापन को समय के फलन के रूप में लिखा जा सकता है। इसका सरलतम रूप समय का sine या cosine फलन है। कोई भी आवर्ती फलन भिन्न-भिन्न आवृत्तियों के sine और cosine फलनों से बनाया जा सकता है; इसीलिए sine और cosine फलन इतने महत्वपूर्ण हैं।

सरल आवर्त गति और उसका समीकरण

कोई कण सरल आवर्त गति में होता है जब माध्य स्थिति से उसका विस्थापन समय के साथ इस प्रकार बदलता है

x(t) = A cos(ωt + φ)

प्रतीक	नाम	अर्थ	मात्रक
x	विस्थापन	समय t पर माध्य स्थिति से दूरी	m
A	आयाम (amplitude)	विस्थापन का अधिकतम परिमाण	m
ω	कोणीय आवृत्ति	2π/T = 2πf	rad s⁻¹
(ωt + φ)	कला (phase)	समय t पर गति की अवस्था निर्धारित करती है	rad
φ	कला-स्थिरांक (प्रारंभिक कला)	t = 0 पर कला	rad

आयाम A और कला-स्थिरांक φ प्रारंभिक स्थिति और प्रारंभिक वेग से निर्धारित होते हैं। आवर्तकाल T = 2π/ω है। जब कला में 2π की वृद्धि होती है तब x का मान दोहराता है। समान ω और भिन्न φ वाले दो कणों के बीच कलांतर उनके कला-स्थिरांकों के अंतर के बराबर होता है।

सरल आवर्त गति और एकसमान वृत्तीय गति

A त्रिज्या के वृत्त पर नियत कोणीय चाल ω से गति करता हुआ कण लीजिए। किसी भी व्यास पर इसका प्रक्षेप (छाया) सरल आवर्त गति करता है। यदि त्रिज्या सदिश x-अक्ष से कोण (ωt + φ) बनाता है, तो x-अक्ष पर प्रक्षेप x = A cos(ωt + φ) होता है। अतः सरल आवर्त गति का आयाम वृत्त की त्रिज्या है और सरल आवर्त गति की कोणीय आवृत्ति वृत्तीय गति की कोणीय चाल है। वृत्तीय गति की चाल Aω है, जो सरल आवर्त गति की अधिकतम चाल है।

सरल आवर्त गति में वेग और त्वरण

x = A cos(ωt + φ) का अवकलन करने पर:

वेग: v = −Aω sin(ωt + φ)।
त्वरण: a = −Aω² cos(ωt + φ) = −ω²x।
विस्थापन x पर चाल: v = ω√(A² − x²)।

स्थिति	x	चाल	त्वरण	बल
माध्य स्थिति	0	अधिकतम, Aω	शून्य	शून्य
चरम स्थिति	±A	शून्य	अधिकतम, Aω²	अधिकतम, kA
कोई भी x	x	ω√(A² − x²)	−ω²x	−kx

वेग विस्थापन से π/2 कला आगे रहता है। त्वरण वेग से π/2 आगे रहता है और विस्थापन से विपरीत कला (π) में होता है। विस्थापन के सापेक्ष त्वरण का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखा है जिसकी प्रवणता ऋणात्मक −ω² है।

सरल आवर्त गति का बल नियम

F = ma = −mω²x से हमें F = −kx प्राप्त होता है, जहाँ k = mω² बल-स्थिरांक है (मात्रक: N m⁻¹)। बल x का रैखिक फलन है और सदैव माध्य स्थिति की ओर दिशित होता है, इसलिए यह प्रत्यानयन बल है। इससे ω = √(k/m) और T = 2π√(m/k) प्राप्त होते हैं। कोई पिंड सरल आवर्त गति तभी करता है जब प्रत्यानयन बल विस्थापन के अनुक्रमानुपाती हो।

सरल आवर्त गति में ऊर्जा

सरल आवर्त गति कर रहे m द्रव्यमान के कण के लिए:

गतिज ऊर्जा: K = ½mv² = ½mω²A² sin²(ωt + φ) = ½k(A² − x²)।
स्थितिज ऊर्जा: U = ½kx² = ½mω²A² cos²(ωt + φ)।
कुल ऊर्जा: E = K + U = ½kA², जो नियत है और समय या स्थिति पर निर्भर नहीं करती।

शब्दों में ग्राफ:

x के सापेक्ष U ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है, जिसका न्यूनतम मान (शून्य) x = 0 पर है और x = ±A पर मान ½kA² है।
x के सापेक्ष K नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है, जिसका अधिकतम मान ½kA² x = 0 पर है और x = ±A पर शून्य है।
x के सापेक्ष E, ½kA² ऊँचाई पर क्षैतिज सरल रेखा है। K और U के वक्र इसे उन बिंदुओं पर काटते हैं जहाँ K + U = E है।
K और U दोनों आवृत्ति 2f से दोलन करते हैं, अर्थात विस्थापन की आवृत्ति से दुगुनी आवृत्ति से। एक आवर्तकाल में प्रत्येक का समय-औसत E/2 होता है।

स्थिति	K	U
x = 0	E (अधिकतम)	0
x = ±A/2	3E/4	E/4
x = ±A/√2	E/2	E/2
x = ±A	0	E (अधिकतम)

भारित कमानी के दोलन

k बल-स्थिरांक की कमानी से जुड़े m द्रव्यमान को चिकने क्षैतिज पृष्ठ पर खींचकर छोड़ा जाता है। कमानी का बल F = −kx गति को सरल आवर्त गति बना देता है, जिसके लिए

ω = √(k/m), T = 2π√(m/k), f = (1/2π)√(k/m)।

अधिक द्रव्यमान से आवर्तकाल अधिक होता है; अधिक कठोर कमानी से आवर्तकाल कम होता है। ऊर्ध्वाधर कमानी से लटके द्रव्यमान का आवर्तकाल भी T = 2π√(m/k) होता है, क्योंकि गुरुत्व केवल साम्य स्थिति को खिसकाता है। यदि भार के कारण स्थैतिक प्रसार Δl है, तो k = mg/Δl और T = 2π√(Δl/g) होता है।

कमानियों का संयोजन

व्यवस्था	प्रभावी बल-स्थिरांक	परिणाम
दो कमानियाँ समांतर में (समान प्रसार)	k = k₁ + k₂	किसी भी एक कमानी से अधिक कठोर
दो कमानियाँ श्रेणी में (समान बल)	1/k = 1/k₁ + 1/k₂, अतः k = k₁k₂/(k₁ + k₂)	किसी भी एक कमानी से अधिक मुलायम

k स्थिरांक की दो सर्वसम कमानियों के लिए: समांतर में 2k और श्रेणी में k/2 प्राप्त होता है।

सरल लोलक

सरल लोलक (simple pendulum) एक बिंदु द्रव्यमान (गोलक) है जो l लंबाई की हल्की, अवितान्य डोरी से एक स्थिर बिंदु पर लटका होता है। ऊर्ध्वाधर से अल्प कोण θ (रेडियन में) के लिए, प्रत्यानयन स्पर्शरेखीय बल mg sin θ ≈ mgθ होता है। चाप विस्थापन s = lθ है, अतः बल F = −(mg/l)s है। यह F = −ks के रूप का है जिसमें k = mg/l है, इसलिए

ω = √(g/l), T = 2π√(l/g)।

आवर्तकाल लंबाई l और g पर निर्भर करता है। यह गोलक के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता, और अल्प आयामों के लिए आयाम पर भी निर्भर नहीं करता। लंबाई l को निलंबन बिंदु से गोलक के केंद्र तक मापा जाता है। सेकंड लोलक (seconds pendulum) का आवर्तकाल 2 s होता है (प्रत्येक दोलन-पक्ष के लिए एक सेकंड)। g = 9.8 m s⁻² पर इसकी लंबाई l = gT²/4π² = g/π² है, जो लगभग 0.99 m, अर्थात लगभग 1 m है। चूँकि T ∝ √l, लंबाई में थोड़ी वृद्धि से लोलक घड़ी धीमी चलने लगती है।

अवमंदित और प्रणोदित दोलन, अनुनाद

व्यवहार में घर्षण और वायु-अवरोध के कारण मुक्त दोलन धीरे-धीरे समाप्त हो जाता है। ये अवमंदन बल (damping forces) हैं। यदि अवमंदन बल F_d = −bv है (b अवमंदन स्थिरांक है), तो आयाम समय के साथ चरघातांकी रूप से घटता है:

x(t) = A e^(−bt/2m) cos(ω′t + φ), जहाँ ω′ = √(k/m − b²/4m²)।

यांत्रिक ऊर्जा समय के साथ घटती है क्योंकि वह परिवेश में क्षय हो जाती है। अल्प अवमंदन के लिए अवमंदित कोणीय आवृत्ति ω′, ω = √(k/m) से थोड़ी कम होती है, इसलिए आवर्तकाल थोड़ा अधिक होता है।

मुक्त (प्राकृतिक) दोलन (free oscillation) किसी बाह्य आवर्ती बल के बिना प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति ω पर होता है। प्रणोदित दोलन (forced oscillation) कोणीय आवृत्ति ω_d के बाह्य आवर्ती बल के अंतर्गत किसी निकाय का दोलन है। आरंभिक अस्थायी अवस्था समाप्त होने के बाद निकाय अपनी प्राकृतिक आवृत्ति पर नहीं, बल्कि चालक आवृत्ति ω_d पर दोलन करता है। जब ω_d, ω के निकट होती है तब प्रणोदित दोलन का आयाम अधिक होता है। जब ω_d = ω होता है तब अनुनाद (resonance) होता है; तब आयाम अधिकतम होता है। अवमंदन की उपस्थिति में अधिकतम आयाम परिमित रहता है; अवमंदन जितना कम होगा, अनुनाद शिखर उतना ही तीक्ष्ण और ऊँचा होगा।

सूत्र सारांश

राशि	सूत्र	मात्रक
आवृत्ति, आवर्तकाल	f = 1/T, ω = 2π/T	Hz, s, rad s⁻¹
विस्थापन	x = A cos(ωt + φ)	m
वेग	v = −Aω sin(ωt + φ); v = ω√(A² − x²)	m s⁻¹
अधिकतम चाल	v_max = Aω	m s⁻¹
त्वरण	a = −ω²x; a_max = Aω²	m s⁻²
बल नियम	F = −kx	N
गतिज ऊर्जा	½k(A² − x²)	J
स्थितिज ऊर्जा	½kx²	J
कुल ऊर्जा	½kA² = ½mω²A²	J
कमानी-द्रव्यमान निकाय	T = 2π√(m/k)	s
कमानियाँ	समांतर k₁ + k₂; श्रेणी k₁k₂/(k₁ + k₂)	N m⁻¹
सरल लोलक	T = 2π√(l/g)	s
सेकंड लोलक	T = 2 s, l ≈ 0.99 m	s, m

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1. 0.2 kg द्रव्यमान का एक गुटका 80 N m⁻¹ स्थिरांक की कमानी से जुड़ा है। ω और T ज्ञात कीजिए।

ω = √(k/m) = √(80/0.2) = √400 = 20 rad s⁻¹। T = 2π/ω = 2π/20 = π/10 s, लगभग 0.31 s।

उदाहरण 2. किसी कण का आयाम 0.05 m और ω = 10 rad s⁻¹ है। x = 0.03 m पर इसकी चाल और इसका अधिकतम त्वरण ज्ञात कीजिए।

v = ω√(A² − x²) = 10 × √(0.0025 − 0.0009) = 10 × 0.04 = 0.4 m s⁻¹। a_max = Aω² = 0.05 × 100 = 5 m s⁻²।

उदाहरण 3. 2.5 m लंबाई का एक सरल लोलक वहाँ दोलन करता है जहाँ g = 10 m s⁻² है। इसका आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

T = 2π√(l/g) = 2π√(2.5/10) = 2π × 0.5 = π s, लगभग 3.14 s।

उदाहरण 4. एक कमानी की कुल ऊर्जा 8 J है। जब विस्थापन आयाम का आधा हो तब K और U ज्ञात कीजिए।

U = ½k(A/2)² = E/4 = 2 J। K = E − U = 6 J।

NEET के जाल

1. प्रत्येक दोलन गति आवर्ती होती है, परंतु प्रत्येक आवर्ती गति सरल आवर्त गति नहीं होती। सरल आवर्त गति के लिए विस्थापन के अनुक्रमानुपाती बल आवश्यक है।
2. वेग माध्य स्थिति पर अधिकतम होता है; त्वरण चरम स्थिति पर अधिकतम होता है। x = 0 पर त्वरण शून्य होता है; x = ±A पर चाल शून्य होती है।
3. सरल आवर्त गति में कण का वेग सदैव माध्य स्थिति की ओर दिशित नहीं होता; केवल त्वरण होता है।
4. कमानी-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल m और k पर निर्भर करता है, g और आयाम पर नहीं। सरल लोलक का आवर्तकाल द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता।
5. गतिज और स्थितिज ऊर्जा प्रत्येक आवृत्ति 2f से दोलन करती हैं, f से नहीं। कुल ऊर्जा बिल्कुल दोलन नहीं करती।
6. गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा के बराबर x = ±A/√2 पर होती है, x = ±A/2 पर नहीं। x = A/2 पर गतिज ऊर्जा 3E/4 होती है।
7. समांतर कमानियों के स्थिरांक जुड़ते हैं; श्रेणी कमानियों के स्थिरांकों के व्युत्क्रम जुड़ते हैं। श्रेणी संयोजन निकाय को अधिक मुलायम बनाता है।
8. लोलक की प्रभावी लंबाई गोलक के केंद्र तक मापी जाती है। T ∝ √l, इसलिए चार गुनी लंबाई से आवर्तकाल दुगुना हो जाता है।
9. अनुनाद पर आयाम अधिकतम होता है, परंतु अवमंदन होने पर परिमित रहता है; यह अनंत नहीं होता।
10. अवमंदित स्थिति में आयाम घटता है, परंतु आवर्तकाल अनवमंदित आवर्तकाल से थोड़ा अधिक होता है, कम नहीं।

एक पंक्ति में

1. आवर्तकाल T = 1/f और ω = 2π/T।
2. x = A cos(ωt + φ) में (ωt + φ) कला है और φ कला-स्थिरांक है।
3. एकसमान वृत्तीय गति का व्यास पर प्रक्षेप सरल आवर्त गति है।
4. सरल आवर्त गति में अधिकतम चाल Aω है; अधिकतम त्वरण Aω² है।
5. a = −ω²x: त्वरण विस्थापन के अनुक्रमानुपाती और उसके विपरीत होता है।
6. x के सापेक्ष a का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली ऋणात्मक प्रवणता की सरल रेखा है।
7. कुल ऊर्जा E = ½kA² = ½mω²A² नियत है और A² के अनुक्रमानुपाती है।
8. गतिज ऊर्जा माध्य स्थिति पर अधिकतम होती है; स्थितिज ऊर्जा चरम स्थिति पर अधिकतम होती है।
9. x = ±A/√2 पर K = U।
10. समय-औसत गतिज ऊर्जा समय-औसत स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है, प्रत्येक E/2।
11. कमानी-द्रव्यमान का आवर्तकाल T = 2π√(m/k)।
12. समांतर कमानियाँ: k = k₁ + k₂। श्रेणी कमानियाँ: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
13. सरल लोलक का आवर्तकाल T = 2π√(l/g), अल्प कोणों के लिए मान्य।
14. सेकंड लोलक का T = 2 s और लंबाई लगभग 0.99 m होती है।
15. अनुनाद तब होता है जब चालक आवृत्ति दोलक की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर होती है।

अभ्यास प्रश्न

एक कण 5 Hz आवृत्ति से सरल आवर्त गति करता है। इसका आवर्तकाल क्या है?
1. 5 s
2. 0.5 s
3. 10π s
4. 0.2 s
उत्तर
D. 0.2 s
T = 1/f = 1/5 = 0.2 s।
A particle executes SHM with a frequency of 5 Hz. What is its time period?
1. 5 s
2. 0.5 s
3. 10π s
4. 0.2 s
सरल आवर्त गति कर रहे कण का विस्थापन x = 0.1 cos(4πt + π/3) है, जहाँ x मीटर में और t सेकंड में है। इसका आवर्तकाल क्या है?
1. 0.5 s
2. 4π s
3. 2 s
4. 0.25 s
उत्तर
A. 0.5 s
ω = 4π rad s⁻¹, अतः T = 2π/ω = 2π/4π = 0.5 s। (जाँच: f = 2 Hz, T = 1/2 s।)
The displacement of a particle in SHM is x = 0.1 cos(4πt + π/3), with x in metre and t in second. What is its time period?
1. 0.5 s
2. 4π s
3. 2 s
4. 0.25 s
0.5 kg द्रव्यमान का एक गुटका 200 N m⁻¹ बल-स्थिरांक की क्षैतिज कमानी से जुड़ा है और चिकने पृष्ठ पर दोलन करता है। इसका आवर्तकाल क्या है?
1. π/20 s
2. π/10 s
3. π/5 s
4. 10π s
उत्तर
B. π/10 s
T = 2π√(m/k) = 2π√(0.5/200) = 2π × 0.05 = π/10 s। जाँच: ω = √(200/0.5) = 20 rad s⁻¹ और T = 2π/20।
A block of mass 0.5 kg is attached to a horizontal spring of force constant 200 N m⁻¹ and oscillates on a smooth surface. What is its time period?
1. π/20 s
2. π/10 s
3. π/5 s
4. 10π s
सरल आवर्त गति कर रहे कण का आयाम 0.2 m और कोणीय आवृत्ति 5 rad s⁻¹ है। इसके अधिकतम त्वरण का परिमाण क्या है?
1. 0.04 m s⁻²
2. 1 m s⁻²
3. 5 m s⁻²
4. 25 m s⁻²
उत्तर
C. 5 m s⁻²
a_max = Aω² = 0.2 × 25 = 5 m s⁻²। जाँच: v_max = Aω = 1 m s⁻¹ और a_max = v_max × ω = 5।
A particle in SHM has amplitude 0.2 m and angular frequency 5 rad s⁻¹. What is the magnitude of its maximum acceleration?
1. 0.04 m s⁻²
2. 1 m s⁻²
3. 5 m s⁻²
4. 25 m s⁻²
सरल आवर्त गति कर रहे कण का आयाम 0.13 m और कोणीय आवृत्ति 10 rad s⁻¹ है। विस्थापन 0.05 m होने पर इसकी चाल क्या है?
1. 1.3 m s⁻¹
2. 1.8 m s⁻¹
3. 1.2 m s⁻¹
4. 0.5 m s⁻¹
उत्तर
C. 1.2 m s⁻¹
v = ω√(A² − x²) = 10 × √(0.0169 − 0.0025) = 10 × 0.12 = 1.2 m s⁻¹।
A particle in SHM has amplitude 0.13 m and angular frequency 10 rad s⁻¹. What is its speed when the displacement is 0.05 m?
1. 1.3 m s⁻¹
2. 1.8 m s⁻¹
3. 1.2 m s⁻¹
4. 0.5 m s⁻¹
100 N m⁻¹ बल-स्थिरांक की दो सर्वसम कमानियाँ श्रेणी में जोड़ी गई हैं। इस संयोजन से 2 kg द्रव्यमान जोड़ा जाता है। ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज दोलन का आवर्तकाल क्या है?
1. 4π/5 s
2. π/10 s
3. π/5 s
4. 2π/5 s
उत्तर
D. 2π/5 s
श्रेणी में: k = 100 × 100/200 = 50 N m⁻¹। T = 2π√(2/50) = 2π/5 s। (समांतर में, k = 200, आवर्तकाल π/5 s होता।)
Two identical springs, each of force constant 100 N m⁻¹, are connected in series. A mass of 2 kg is attached to the combination. What is the time period of vertical or horizontal oscillation?
1. 4π/5 s
2. π/10 s
3. π/5 s
4. 2π/5 s
सेकंड लोलक का आवर्तकाल क्या होता है?
1. 2 s
2. π s
3. 1 s
4. 0.5 s
उत्तर
A. 2 s
सेकंड लोलक प्रत्येक दोलन-पक्ष में 1 s लेता है, इसलिए उसका पूरा आवर्तकाल 2 s होता है।
What is the time period of a seconds pendulum?
1. 2 s
2. π s
3. 1 s
4. 0.5 s
1 m लंबाई का एक सरल लोलक वहाँ दोलन करता है जहाँ g = π² m s⁻² है। इसका आवर्तकाल क्या है?
1. 2π s
2. 2 s
3. 1 s
4. π s
उत्तर
B. 2 s
T = 2π√(l/g) = 2π√(1/π²) = 2 s।
A simple pendulum of length 1 m oscillates at a place where g = π² m s⁻². What is its time period?
1. 2π s
2. 2 s
3. 1 s
4. π s
सरल आवर्त गति में कण का वेग शून्य होता है
1. माध्य स्थिति पर
2. चरम स्थितियों पर
3. केवल A/2 विस्थापन पर
4. सभी स्थितियों पर
उत्तर
B. चरम स्थितियों पर
v = ω√(A² − x²) तब शून्य होता है जब x = ±A, अर्थात चरम स्थितियों पर; यह x = 0 पर अधिकतम होता है।
In SHM the velocity of the particle is zero at
1. the mean position
2. the extreme positions
3. a displacement of A/2 only
4. all positions
एक कण आवृत्ति f से सरल आवर्त गति करता है। उसकी गतिज ऊर्जा जिस आवृत्ति से दोलन करती है, वह है
1. f/2
2. f
3. 4f
4. 2f
उत्तर
D. 2f
K = ½mω²A² sin²(ωt + φ) प्रत्येक आधे आवर्तकाल में दोहराती है, अतः इसकी आवृत्ति 2f है।
A particle executes SHM with frequency f. The frequency with which its kinetic energy oscillates is
1. f/2
2. f
3. 4f
4. 2f
सरल आवर्त गति कर रहे कण के लिए विस्थापन के सापेक्ष त्वरण का ग्राफ होता है
1. मूल बिंदु से गुजरने वाली ऋणात्मक प्रवणता की सरल रेखा
2. क्षैतिज सरल रेखा
3. ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय
4. मूल बिंदु से गुजरने वाली धनात्मक प्रवणता की सरल रेखा
उत्तर
A. मूल बिंदु से गुजरने वाली ऋणात्मक प्रवणता की सरल रेखा
a = −ω²x, x का रैखिक फलन है, मूल बिंदु से गुजरता है और इसकी प्रवणता −ω² है।
The graph of acceleration against displacement for a particle in SHM is
1. a straight line through the origin with negative slope
2. a horizontal straight line
3. a parabola opening upward
4. a straight line through the origin with positive slope
सरल आवर्त गति कर रहे कण (आयाम A) की गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा माध्य स्थिति से किस विस्थापन पर बराबर होती हैं?
1. A/2
2. A/4
3. A/√2
4. A/3
उत्तर
C. A/√2
½k(A² − x²) = ½kx² से x² = A²/2 मिलता है, अतः x = A/√2।
At what displacement from the mean position are the kinetic energy and the potential energy of a particle in SHM (amplitude A) equal?
1. A/2
2. A/4
3. A/√2
4. A/3
एक सरल लोलक की लंबाई चार गुनी कर दी जाती है। इसका आवर्तकाल हो जाता है
1. मूल का 2 गुना
2. मूल का 4 गुना
3. मूल का 1/2
4. मूल का 16 गुना
उत्तर
A. मूल का 2 गुना
T ∝ √l, अतः T′/T = √4 = 2।
The length of a simple pendulum is made four times. Its time period becomes
1. 2 times the original
2. 4 times the original
3. 1/2 of the original
4. 16 times the original
जिस अवमंदित दोलन में अवमंदन बल वेग के अनुक्रमानुपाती हो, उसमें दोलन का आयाम
1. समय के साथ रैखिक रूप से घटता है
2. समय के साथ चरघातांकी रूप से बढ़ता है
3. समय के साथ चरघातांकी रूप से घटता है
4. नियत रहता है
उत्तर
C. समय के साथ चरघातांकी रूप से घटता है
आयाम A e^(−bt/2m) है, जो चरघातांकी क्षय है।
In a damped oscillation where the damping force is proportional to velocity, the amplitude of the oscillation
1. decreases linearly with time
2. increases exponentially with time
3. decreases exponentially with time
4. remains constant
प्रणोदित दोलन में अनुनाद तब होता है जब
1. चालक आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति की दुगुनी हो
2. चालक बल शून्य हो
3. अवमंदन अधिकतम हो
4. चालक आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर हो
उत्तर
D. चालक आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर हो
आयाम तब अधिकतम होता है जब चालक बल की कोणीय आवृत्ति प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति के बराबर होती है।
Resonance occurs in a forced oscillation when
1. the driving frequency is double the natural frequency
2. the driving force is zero
3. the damping is maximum
4. the driving frequency equals the natural frequency
एक कण माध्य स्थिति से आरंभ करके 12 s आवर्तकाल की सरल आवर्त गति करता है। अपने आयाम के आधे तक पहुँचने में कितना समय लगेगा?
1. 1.5 s
2. 1 s
3. 3 s
4. 2 s
उत्तर
B. 1 s
x = A sin ωt = A/2 से ωt = π/6 मिलता है, अतः t = T/12 = 1 s। जाँच: कला π/6, 2π का 1/12 है।
A particle starts from the mean position and executes SHM of time period 12 s. What is the time taken to reach half of its amplitude?
1. 1.5 s
2. 1 s
3. 3 s
4. 2 s
नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: सरल आवर्त गति में कण का त्वरण सदैव माध्य स्थिति की ओर दिशित होता है। कथन II: सरल आवर्त गति में कण का वेग सदैव माध्य स्थिति की ओर दिशित होता है।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
C. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
a = −ω²x सदैव x = 0 की ओर दिशित होता है। गति के बाहर की ओर वाले अर्ध भाग में वेग माध्य स्थिति से दूर की ओर दिशित होता है।
Given below are two statements: Statement I: In SHM the acceleration of the particle is always directed towards the mean position. Statement II: In SHM the velocity of the particle is always directed towards the mean position.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: सरल आवर्त गति कर रहे कण की कुल ऊर्जा उसके विस्थापन पर निर्भर नहीं करती। कथन II: सरल आवर्त गति कर रहे कण की कुल ऊर्जा आयाम के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होती है।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
A. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
E = ½kA² नियत है और A² के अनुक्रमानुपाती है।
Given below are two statements: Statement I: The total energy of a particle in SHM does not depend on its displacement. Statement II: The total energy of a particle in SHM is proportional to the square of the amplitude.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: अल्प दोलनों के लिए सरल लोलक का आवर्तकाल उसके गोलक के द्रव्यमान पर निर्भर करता है। कथन II: ऊर्ध्वाधर कमानी पर दोलन करते द्रव्यमान का आवर्तकाल g के मान पर निर्भर नहीं करता।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
D. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
T = 2π√(l/g) में द्रव्यमान नहीं है; T = 2π√(m/k) में g नहीं है। कथन I गलत है, कथन II सही है।
Given below are two statements: Statement I: The time period of a simple pendulum, for small oscillations, depends on the mass of its bob. Statement II: The time period of a mass oscillating on a vertical spring does not depend on the value of g.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
सरल आवर्त गति कर रहे कण के लिए निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं? 1. माध्य स्थिति पर त्वरण शून्य होता है। 2. चरम स्थिति पर चाल अधिकतम होती है। 3. चरम स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है।
1. 1 और 2 केवल
2. 1 और 3 केवल
3. 2 और 3 केवल
4. 1, 2 और 3
उत्तर
B. 1 और 3 केवल
a = −ω²x, x = 0 पर शून्य है (1 सत्य)। चरम स्थितियों पर चाल शून्य होती है (2 असत्य)। U = ½kx², x = ±A पर अधिकतम है (3 सत्य)।
Which of the following statements are correct for a particle in SHM? 1. The acceleration is zero at the mean position. 2. The speed is maximum at the extreme position. 3. The potential energy is maximum at the extreme position.
1. 1 and 2 only
2. 1 and 3 only
3. 2 and 3 only
4. 1, 2 and 3
नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: जब k₁ और k₂ स्थिरांक की दो कमानियाँ समांतर में जोड़ी जाती हैं, तब प्रभावी बल-स्थिरांक k₁ + k₂ होता है। कथन II: जब दो कमानियाँ श्रेणी में जोड़ी जाती हैं, तब प्रभावी बल-स्थिरांक दोनों स्थिरांकों में से बड़े स्थिरांक से अधिक होता है।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
C. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
समांतर में k₁ + k₂ मिलता है। श्रेणी में k₁k₂/(k₁ + k₂) मिलता है, जो दोनों स्थिरांकों में से प्रत्येक से छोटा है।
Given below are two statements: Statement I: When two springs of constants k₁ and k₂ are connected in parallel, the effective force constant is k₁ + k₂. Statement II: When two springs are connected in series, the effective force constant is greater than the larger of the two constants.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: अनुनाद पर प्रणोदित दोलन का आयाम अधिकतम होता है। कथन II: अवमंदन कितना भी हो, अनुनाद पर आयाम अनंत हो जाता है।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
C. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
अनुनाद पर आयाम अधिकतम होता है, परंतु अवमंदन उसे परिमित रखता है।
Given below are two statements: Statement I: At resonance the amplitude of a forced oscillation is maximum. Statement II: At resonance the amplitude becomes infinite whatever the damping.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: प्रत्येक आवर्ती गति सरल आवर्त गति होती है। कथन II: प्रत्येक सरल आवर्त गति आवर्ती गति होती है।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
D. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
सरल आवर्त गति एक नियत आवर्तकाल के बाद दोहराती है, इसलिए वह आवर्ती है। किसी आवर्ती गति का F = −kx का पालन करना आवश्यक नहीं, इसलिए उसका सरल आवर्त गति होना आवश्यक नहीं।
Given below are two statements: Statement I: Every periodic motion is simple harmonic motion. Statement II: Every simple harmonic motion is a periodic motion.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
सेकंड लोलक के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं? 1. इसका आवर्तकाल 2 s होता है। 2. जहाँ g = 9.8 m s⁻² है वहाँ इसकी लंबाई लगभग 0.99 m होती है। 3. इसकी आवृत्ति 2 Hz होती है।
1. 1 और 2 केवल
2. 1 और 3 केवल
3. 2 और 3 केवल
4. 1, 2 और 3
उत्तर
A. 1 और 2 केवल
T = 2 s, अतः f = 0.5 Hz (3 असत्य)। l = gT²/4π² = g/π² ≈ 0.99 m (2 सत्य)।
Which of the following statements are correct about a seconds pendulum? 1. Its time period is 2 s. 2. Its length is about 0.99 m where g = 9.8 m s⁻². 3. Its frequency is 2 Hz.
1. 1 and 2 only
2. 1 and 3 only
3. 2 and 3 only
4. 1, 2 and 3
नीचे दो कथन दिए गए हैं: कथन I: अवमंदित दोलन में दोलक की यांत्रिक ऊर्जा समय के साथ घटती है। कथन II: अल्प अवमंदन के लिए अवमंदित दोलन का आवर्तकाल अनवमंदित दोलन के आवर्तकाल से थोड़ा अधिक होता है।
1. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
2. कथन I और कथन II दोनों गलत हैं
3. कथन I सही है लेकिन कथन II गलत है
4. कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है
उत्तर
A. कथन I और कथन II दोनों सही हैं
ऊर्जा परिवेश में क्षय हो जाती है। ω′ = √(k/m − b²/4m²), ω से थोड़ी कम है, इसलिए T′ थोड़ा अधिक है।
Given below are two statements: Statement I: In a damped oscillation the mechanical energy of the oscillator decreases with time. Statement II: For small damping, the time period of the damped oscillation is slightly longer than that of the undamped oscillation.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं? 1. एकसमान वृत्तीय गति का व्यास पर प्रक्षेप सरल आवर्त गति है। 2. सरल आवर्त गति की कोणीय आवृत्ति वृत्तीय गति की कोणीय चाल के बराबर होती है। 3. सरल आवर्त गति का आयाम वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है।
1. 1 और 2 केवल
2. 1 और 3 केवल
3. 2 और 3 केवल
4. 1, 2 और 3
उत्तर
D. 1, 2 और 3
तीनों सही हैं: व्यास पर छाया सरल आवर्त गति है, जिसमें ω कोणीय चाल के बराबर और A त्रिज्या के बराबर है।
Which of the following statements are correct? 1. The projection of uniform circular motion on a diameter is SHM. 2. The angular frequency of the SHM equals the angular speed of the circular motion. 3. The amplitude of the SHM equals the radius of the circle.
1. 1 and 2 only
2. 1 and 3 only
3. 2 and 3 only
4. 1, 2 and 3
अभिकथन (A): सरल आवर्त गति कर रहे कण का त्वरण माध्य स्थिति पर शून्य होता है। कारण (R): सरल आवर्त गति में त्वरण माध्य स्थिति से विस्थापन के अनुक्रमानुपाती होता है।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
A. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
a = −ω²x, x के अनुक्रमानुपाती होने के कारण x = 0 पर शून्य हो जाता है।
Assertion (A): The acceleration of a particle in SHM is zero at the mean position. Reason (R): The acceleration in SHM is directly proportional to the displacement from the mean position.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
अभिकथन (A): सरल आवर्त गति कर रहे कण की कुल ऊर्जा उसकी स्थिति के साथ बदलती है। कारण (R): सरल आवर्त गति के दौरान गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा एक-दूसरे में परिवर्तित होती रहती हैं।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
D. A असत्य है लेकिन R सत्य है
कुल ऊर्जा नियत है। R सत्य है: K और U आपस में बदलती हैं पर उनका योग ½kA² ही रहता है।
Assertion (A): The total energy of a particle in SHM changes with its position. Reason (R): During SHM the kinetic energy and potential energy are converted into each other.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
अभिकथन (A): कमानी पर दोलन करते गुटके का आवर्तकाल चंद्रमा पर वही होता है जो पृथ्वी पर। कारण (R): चंद्रमा पर g का मान पृथ्वी के g से भिन्न है।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
B. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
T = 2π√(m/k) में g नहीं है, इसलिए A सत्य है। R भी सत्य है पर A की व्याख्या नहीं करता (सूत्र में g है ही नहीं)।
Assertion (A): A block oscillating on a spring has the same time period on the Moon as on the Earth. Reason (R): The value of g on the Moon is different from that on the Earth.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
अभिकथन (A): यदि कमानी पर लगे गुटके का द्रव्यमान चार गुना कर दिया जाए, तो उसका आवर्तकाल दुगुना हो जाता है। कारण (R): कमानी-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल द्रव्यमान के अनुक्रमानुपाती होता है।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
C. A सत्य है लेकिन R असत्य है
T ∝ √m, अतः चार गुने द्रव्यमान से आवर्तकाल दुगुना होता है (A सत्य)। R असत्य है क्योंकि T, m के अनुक्रमानुपाती नहीं है।
Assertion (A): If the mass of a block on a spring is made four times, its time period doubles. Reason (R): The time period of a spring-mass system is directly proportional to the mass.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
अभिकथन (A): सरल आवर्त गति कर रहे कण की गतिज ऊर्जा उसके विस्थापन की आवृत्ति से दुगुनी आवृत्ति पर दोलन करती है। कारण (R): सरल आवर्त गति कर रहे कण की कुल ऊर्जा नियत होती है।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
B. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
K ∝ sin²(ωt + φ), जो 2f पर दोहराती है। R सत्य है पर आवृत्ति के दुगुने होने की व्याख्या नहीं करता।
Assertion (A): The kinetic energy of a particle in SHM oscillates at twice the frequency of its displacement. Reason (R): The total energy of a particle in SHM is constant.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
अभिकथन (A): अवमंदित दोलक का आयाम समय के साथ चरघातांकी रूप से घटता है। कारण (R): वेग के अनुक्रमानुपाती अवमंदन बल दोलक से यांत्रिक ऊर्जा बाहर ले जाता है।
1. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
2. A और R दोनों सत्य हैं लेकिन R, A की सही व्याख्या नहीं है
3. A सत्य है लेकिन R असत्य है
4. A असत्य है लेकिन R सत्य है
उत्तर
A. A और R दोनों सत्य हैं और R, A की सही व्याख्या है
x = A e^(−bt/2m) cos(ω′t + φ); अवमंदन बल ऊर्जा का क्षय करता है, जिससे आयाम घटता है।
Assertion (A): The amplitude of a damped oscillator decreases exponentially with time. Reason (R): The damping force, proportional to velocity, takes mechanical energy out of the oscillator.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
सूची I का सूची II से मिलान कीजिए। सूची I: a. कमानी-द्रव्यमान निकाय की कोणीय आवृत्ति b. सरल लोलक की कोणीय आवृत्ति c. सरल आवर्त गति में अधिकतम चाल d. सरल आवर्त गति में अधिकतम त्वरण। सूची II: i. √(g/l) ii. √(k/m) iii. Aω iv. Aω²।
1. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
2. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
3. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
4. a-iii, b-iv, c-i, d-ii
उत्तर
B. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
कमानी के लिए ω = √(k/m), लोलक के लिए √(g/l); v_max = Aω; a_max = Aω²।
Match List I with List II. List I: a. Angular frequency of a spring-mass system b. Angular frequency of a simple pendulum c. Maximum speed in SHM d. Maximum acceleration in SHM. List II: i. √(g/l) ii. √(k/m) iii. Aω iv. Aω².
1. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
2. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
3. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
4. a-iii, b-iv, c-i, d-ii
सूची I का सूची II से मिलान कीजिए। सूची I: a. माध्य स्थिति b. चरम स्थिति c. विस्थापन x = A/√2 d. विस्थापन x = A/2। सूची II: i. गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा के बराबर ii. चाल शून्य और स्थितिज ऊर्जा अधिकतम iii. गतिज ऊर्जा अधिकतम iv. गतिज ऊर्जा कुल ऊर्जा की 3/4।
1. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
2. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
3. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
4. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
उत्तर
B. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
x = 0: K अधिकतम। x = ±A: v = 0, U अधिकतम। x = A/√2: K = U। x = A/2: U = E/4, K = 3E/4।
Match List I with List II. List I: a. Mean position b. Extreme position c. Displacement x = A/√2 d. Displacement x = A/2. List II: i. Kinetic energy equals potential energy ii. Speed zero and potential energy maximum iii. Kinetic energy maximum iv. Kinetic energy is 3/4 of the total energy.
1. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
2. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
3. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
4. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
सूची I का सूची II से मिलान कीजिए। सूची I: a. x = cos(πt) b. x = cos(2πt) c. x = cos(4πt) d. x = cos(πt/2) (x m में, t s में)। सूची II: i. आवर्तकाल 0.5 s ii. आवर्तकाल 1 s iii. आवर्तकाल 2 s iv. आवर्तकाल 4 s।
1. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
2. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
3. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
4. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
उत्तर
D. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
T = 2π/ω: ω = π से 2 s; 2π से 1 s; 4π से 0.5 s; π/2 से 4 s।
Match List I with List II. List I: a. x = cos(πt) b. x = cos(2πt) c. x = cos(4πt) d. x = cos(πt/2) (x in m, t in s). List II: i. Period 0.5 s ii. Period 1 s iii. Period 2 s iv. Period 4 s.
1. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
2. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
3. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
4. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
सूची I का सूची II से मिलान कीजिए। सूची I: a. k स्थिरांक की दो कमानियाँ श्रेणी में b. k स्थिरांक की दो कमानियाँ समांतर में c. k और 3k की कमानियाँ श्रेणी में d. k और 3k की कमानियाँ समांतर में। सूची II: i. 2k ii. 3k/4 iii. 4k iv. k/2।
1. a-ii, b-iii, c-iv, d-i
2. a-i, b-iv, c-iii, d-ii
3. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
4. a-iv, b-i, c-iii, d-ii
उत्तर
C. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
श्रेणी: k·k/2k = k/2; समांतर: 2k; k और 3k श्रेणी में: 3k²/4k = 3k/4; समांतर: 4k।
Match List I with List II. List I: a. Two springs, each of constant k, in series b. Two springs, each of constant k, in parallel c. Springs k and 3k in series d. Springs k and 3k in parallel. List II: i. 2k ii. 3k/4 iii. 4k iv. k/2.
1. a-ii, b-iii, c-iv, d-i
2. a-i, b-iv, c-iii, d-ii
3. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
4. a-iv, b-i, c-iii, d-ii
सूची I का सूची II से मिलान कीजिए। सूची I: a. मुक्त दोलन b. अवमंदित दोलन c. प्रणोदित दोलन d. अनुनाद। सूची II: i. आयाम समय के साथ क्षीण होता है ii. बाह्य आवर्ती बल के बिना प्राकृतिक आवृत्ति पर दोलन iii. बाह्य आवर्ती बल के अंतर्गत दोलन iv. चालक आवृत्ति के प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर होने पर अधिकतम आयाम।
1. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
2. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
3. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
4. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
उत्तर
C. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
मुक्त: प्राकृतिक आवृत्ति, कोई बाह्य बल नहीं। अवमंदित: आयाम घटता है। प्रणोदित: आवर्ती बाह्य बल। अनुनाद: ω_d = ω पर अधिकतम आयाम।
Match List I with List II. List I: a. Free oscillation b. Damped oscillation c. Forced oscillation d. Resonance. List II: i. Amplitude decays with time ii. Oscillation at natural frequency without external periodic force iii. Oscillation under an external periodic force iv. Maximum amplitude when driving frequency equals natural frequency.
1. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
2. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
3. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
4. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
सूची I का सूची II से मिलान कीजिए। सूची I: a. x के सापेक्ष K b. x के सापेक्ष U c. x के सापेक्ष E d. x के सापेक्ष a। सूची II: i. ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय जिसका न्यूनतम x = 0 पर है ii. मूल बिंदु से गुजरने वाली ऋणात्मक प्रवणता की सरल रेखा iii. क्षैतिज सरल रेखा iv. नीचे की ओर खुलने वाला परवलय जिसका अधिकतम x = 0 पर है।
1. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
2. a-iv, b-i, c-iii, d-ii
3. a-i, b-iv, c-iii, d-ii
4. a-iii, b-iv, c-i, d-ii
उत्तर
B. a-iv, b-i, c-iii, d-ii
K = ½k(A² − x²) नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है; U = ½kx² ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है; E नियत है; a = −ω²x ऋणात्मक प्रवणता की रेखा है।
Match List I with List II. List I: a. K against x b. U against x c. E against x d. a against x. List II: i. Parabola opening upward with minimum at x = 0 ii. Straight line through the origin with negative slope iii. Horizontal straight line iv. Parabola opening downward with maximum at x = 0.
1. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
2. a-iv, b-i, c-iii, d-ii
3. a-i, b-iv, c-iii, d-ii
4. a-iii, b-iv, c-i, d-ii
100 N m⁻¹ बल-स्थिरांक की कमानी से जुड़ा 1 kg द्रव्यमान का गुटका 0.1 m आयाम से दोलन करता है। दोलक की कुल यांत्रिक ऊर्जा क्या है?
1. 0.5 J
2. 5 J
3. 1 J
4. 0.05 J
उत्तर
A. 0.5 J
E = ½kA² = ½ × 100 × 0.01 = 0.5 J। जाँच: v_max = Aω = 1 m s⁻¹, अतः ½mv_max² = 0.5 J।
A block of mass 1 kg attached to a spring of force constant 100 N m⁻¹ oscillates with amplitude 0.1 m. What is the total mechanical energy of the oscillator?
1. 0.5 J
2. 5 J
3. 1 J
4. 0.05 J
40 N m⁻¹ बल-स्थिरांक की कमानी पर 0.4 kg द्रव्यमान का गुटका 0.05 m आयाम से दोलन करता है। इसकी अधिकतम चाल क्या है?
1. 0.25 m s⁻¹
2. 0.05 m s⁻¹
3. 5 m s⁻¹
4. 0.5 m s⁻¹
उत्तर
D. 0.5 m s⁻¹
ω = √(40/0.4) = 10 rad s⁻¹; v_max = Aω = 0.5 m s⁻¹। ऊर्जा से जाँच: ½mv² = ½kA² से v = A√(k/m) = 0.5।
A block of mass 0.4 kg on a spring of force constant 40 N m⁻¹ oscillates with amplitude 0.05 m. What is its maximum speed?
1. 0.25 m s⁻¹
2. 0.05 m s⁻¹
3. 5 m s⁻¹
4. 0.5 m s⁻¹
एक सरल लोलक की लंबाई 44% बढ़ा दी जाती है। इसका आवर्तकाल कितने प्रतिशत बढ़ता है?
1. 20%
2. 12%
3. 44%
4. 22%
उत्तर
A. 20%
T ∝ √l, अतः T′/T = √1.44 = 1.2, अर्थात 20% की वृद्धि।
The length of a simple pendulum is increased by 44%. By what percentage does its time period increase?
1. 20%
2. 12%
3. 44%
4. 22%
1 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था में ऊर्ध्वाधर कमानी को 0.1 m खींचता है। g = 10 m s⁻² लीजिए। इस द्रव्यमान के अल्प ऊर्ध्वाधर दोलनों का आवर्तकाल क्या है?
1. 2π/5 s
2. π/5 s
3. π/10 s
4. π s
उत्तर
B. π/5 s
k = mg/Δl = 100 N m⁻¹; T = 2π√(1/100) = π/5 s। जाँच: T = 2π√(Δl/g) = 2π√(0.01) = π/5 s।
A mass of 1 kg stretches a vertical spring by 0.1 m in equilibrium. Take g = 10 m s⁻². What is the time period of small vertical oscillations of this mass?
1. 2π/5 s
2. π/5 s
3. π/10 s
4. π s
सरल आवर्त गति कर रहे कण की चाल x = 3 cm पर 8 cm s⁻¹ और x = 4 cm पर 6 cm s⁻¹ है। इसका आवर्तकाल क्या है?
1. 4π s
2. π/2 s
3. 2π s
4. π s
उत्तर
D. π s
64 = ω²(A² − 9) और 36 = ω²(A² − 16)। घटाने पर: 28 = 7ω², अतः ω = 2 rad s⁻¹ (A = 5 cm)। T = 2π/2 = π s।
A particle in SHM has a speed of 8 cm s⁻¹ at x = 3 cm and 6 cm s⁻¹ at x = 4 cm. What is its time period?
1. 4π s
2. π/2 s
3. 2π s
4. π s
एक कमानी-द्रव्यमान दोलक की कुल ऊर्जा 8 J है। विस्थापन आयाम का आधा होने पर इसकी स्थितिज ऊर्जा क्या है?
1. 6 J
2. 1 J
3. 2 J
4. 4 J
उत्तर
C. 2 J
U = ½k(A/2)² = E/4 = 2 J; तब K = 6 J।
The total energy of a spring-mass oscillator is 8 J. What is its potential energy when the displacement is half of the amplitude?
1. 6 J
2. 1 J
3. 2 J
4. 4 J
0.25 kg द्रव्यमान का एक गुटका 100π² N m⁻¹ बल-स्थिरांक की कमानी से जुड़ा है। बाह्य आवर्ती बल की किस आवृत्ति पर गुटका अनुनाद दर्शाएगा?
1. 10 Hz
2. 10π Hz
3. 20 Hz
4. 5 Hz
उत्तर
A. 10 Hz
ω = √(k/m) = √(400π²) = 20π rad s⁻¹, अतः f = ω/2π = 10 Hz। अनुनाद तब होता है जब चालक आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर होती है।
A block of mass 0.25 kg is attached to a spring of force constant 100π² N m⁻¹. At what frequency of an external periodic force will the block show resonance?
1. 10 Hz
2. 10π Hz
3. 20 Hz
4. 5 Hz

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