NEET భౌతిక శాస్త్రం: డోలనాలు మరియు తరంగాలు · Chapter 1

డోలనాలు (Oscillations)

గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

సరళహరాత్మక చలనంలో (simple harmonic motion, SHM) ప్రత్యానయన బలం (restoring force), త్వరణం స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండి మధ్యమ స్థానం వైపు ఉంటాయి: F = −kx, a = −ω²x, ω = √(k/m).
స్థానభ్రంశం, వేగం, త్వరణం: x = A cos(ωt + φ), v = −Aω sin(ωt + φ), a = −Aω² cos(ωt + φ); స్థానభ్రంశం x వద్ద వడి v = ω√(A² − x²).
సరళహరాత్మక చలనం యొక్క మొత్తం శక్తి స్థిరం: E = ½kA² = ½mω²A². గతిజ శక్తి ½k(A² − x²), స్థితిజ శక్తి ½kx².
భారం వేసిన స్ప్రింగ్‌కు T = 2π√(m/k), సరళ లోలకానికి T = 2π√(l/g). స్ప్రింగ్ ఆవర్తన కాలం g పై ఆధారపడదు; లోలకం ఆవర్తన కాలం గుండు (bob) ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడదు.

ఆవర్తన మరియు డోలన చలనం

సమాన కాల వ్యవధుల తర్వాత తనను తాను పునరావృతం చేసుకునే చలనాన్ని ఆవర్తన చలనం (periodic motion) అంటారు. చలనం పునరావృతమయ్యే కనిష్ఠ వ్యవధిని ఆవర్తన కాలం (period) T అంటారు (ప్రమాణం: సెకను, s). ఒక సెకనులో జరిగే పునరావృత్తుల సంఖ్య పౌనఃపున్యం (frequency) f = 1/T (ప్రమాణం: హెర్ట్జ్, Hz = s⁻¹). కోణీయ పౌనఃపున్యం (angular frequency) ω = 2πf = 2π/T (ప్రమాణం: rad s⁻¹).

ఒక స్థిర బిందువు చుట్టూ, అంటే మధ్యమ (సమతాస్థితి) స్థానం చుట్టూ, వస్తువు ముందుకూ వెనుకకూ కదిలే ఆవర్తన చలనాన్ని డోలన చలనం (oscillatory motion) అంటారు. ప్రతి డోలన చలనం ఆవర్తనమే, కానీ ప్రతి ఆవర్తన చలనం డోలనం కాదు. ఉదాహరణకు, సూర్యుని చుట్టూ భూమి చలనం ఆవర్తనమే కానీ డోలనం కాదు.

డోలనం చేసే కణం స్థానభ్రంశాన్ని (displacement) కాలం యొక్క ప్రమేయంగా రాయవచ్చు. సరళమైన రూపం కాలానికి సంబంధించిన సైన్ లేదా కొసైన్ ప్రమేయం. ఏ ఆవర్తన ప్రమేయాన్నైనా వేర్వేరు పౌనఃపున్యాల సైన్, కొసైన్ ప్రమేయాలతో నిర్మించవచ్చు; అందుకే సైన్, కొసైన్ ప్రమేయాలు అంత ముఖ్యమైనవి.

సరళహరాత్మక చలనం మరియు దాని సమీకరణం

మధ్యమ స్థానం నుండి కణం స్థానభ్రంశం కాలంతో పాటు

x(t) = A cos(ωt + φ)

గా మారితే ఆ కణం సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్నట్లు.

గుర్తు	పేరు	అర్థం	ప్రమాణం
x	స్థానభ్రంశం	కాలం t వద్ద మధ్యమ స్థానం నుండి దూరం	m
A	కంపన పరిమితి (amplitude)	స్థానభ్రంశం యొక్క గరిష్ఠ పరిమాణం	m
ω	కోణీయ పౌనఃపున్యం	2π/T = 2πf	rad s⁻¹
(ωt + φ)	దశ (phase)	కాలం t వద్ద చలన స్థితిని నిర్ణయిస్తుంది	rad
φ	దశా స్థిరాంకం (ప్రారంభ దశ)	t = 0 వద్ద దశ	rad

కంపన పరిమితి A, దశా స్థిరాంకం φ లను ప్రారంభ స్థానం, ప్రారంభ వేగం నిర్ణయిస్తాయి. ఆవర్తన కాలం T = 2π/ω. దశ 2π పెరిగినప్పుడు x విలువ పునరావృతమవుతుంది. ఒకే ω, వేర్వేరు φ ఉన్న రెండు కణాల మధ్య దశా భేదం వాటి దశా స్థిరాంకాల భేదానికి సమానం.

సరళహరాత్మక చలనం మరియు ఏకరీతి వృత్తాకార చలనం

A వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తంపై స్థిర కోణీయ వడి ω తో కదులుతున్న కణాన్ని తీసుకోండి. ఏ వ్యాసంపైనైనా దాని ప్రక్షేపం (నీడ) సరళహరాత్మక చలనం చేస్తుంది. వ్యాసార్ధ సదిశ x-అక్షంతో (ωt + φ) కోణం చేస్తే, x-అక్షంపై ప్రక్షేపం x = A cos(ωt + φ). కాబట్టి సరళహరాత్మక చలనం కంపన పరిమితి వృత్తం వ్యాసార్ధం, సరళహరాత్మక చలనం కోణీయ పౌనఃపున్యం వృత్తాకార చలనం కోణీయ వడి. వృత్తాకార చలనం వడి Aω, ఇదే సరళహరాత్మక చలనం గరిష్ఠ వడి.

సరళహరాత్మక చలనంలో వేగం మరియు త్వరణం

x = A cos(ωt + φ) ను అవకలనం చేయగా:

వేగం: v = −Aω sin(ωt + φ).
త్వరణం: a = −Aω² cos(ωt + φ) = −ω²x.
స్థానభ్రంశం x వద్ద వడి: v = ω√(A² − x²).

స్థానం	x	వడి	త్వరణం	బలం
మధ్యమ స్థానం	0	గరిష్ఠం, Aω	సున్నా	సున్నా
అంత్య స్థానం	±A	సున్నా	గరిష్ఠం, Aω²	గరిష్ఠం, kA
ఏదైనా x	x	ω√(A² − x²)	−ω²x	−kx

వేగం స్థానభ్రంశం కంటే π/2 దశ ముందు ఉంటుంది. త్వరణం వేగం కంటే π/2 ముందు ఉండి, స్థానభ్రంశానికి వ్యతిరేక దశలో (π) ఉంటుంది. స్థానభ్రంశానికి వ్యతిరేకంగా త్వరణం గ్రాఫ్ మూలబిందువు గుండా పోయే రుణ వాలు −ω² గల సరళరేఖ.

సరళహరాత్మక చలనానికి బల నియమం

F = ma = −mω²x నుండి F = −kx వస్తుంది; ఇక్కడ k = mω² బల స్థిరాంకం (force constant) (ప్రమాణం: N m⁻¹). బలం x కు రేఖీయంగా ఉండి ఎల్లప్పుడూ మధ్యమ స్థానం వైపు ఉంటుంది, కాబట్టి ఇది ప్రత్యానయన బలం. దీని నుండి ω = √(k/m), T = 2π√(m/k) వస్తాయి. ప్రత్యానయన బలం స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటేనే, ఉన్నప్పుడు మాత్రమే వస్తువు సరళహరాత్మక చలనాన్ని పాటిస్తుంది.

సరళహరాత్మక చలనంలో శక్తి

ద్రవ్యరాశి m గల కణం సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్నప్పుడు:

గతిజ శక్తి (kinetic energy): K = ½mv² = ½mω²A² sin²(ωt + φ) = ½k(A² − x²).
స్థితిజ శక్తి (potential energy): U = ½kx² = ½mω²A² cos²(ωt + φ).
మొత్తం శక్తి: E = K + U = ½kA², ఇది కాలంపై గానీ స్థానంపై గానీ ఆధారపడని స్థిరరాశి.

గ్రాఫ్‌ల వివరణ:

x కు వ్యతిరేకంగా U పైకి తెరుచుకున్న పరావలయం; x = 0 వద్ద కనిష్ఠం (సున్నా), x = ±A వద్ద విలువ ½kA².
x కు వ్యతిరేకంగా K కిందికి తెరుచుకున్న పరావలయం; x = 0 వద్ద గరిష్ఠం ½kA², x = ±A వద్ద సున్నా.
x కు వ్యతిరేకంగా E ½kA² ఎత్తులో ఉన్న సమాంతర సరళరేఖ. K + U = E అయ్యే బిందువుల వద్ద K, U వక్రాలు ఈ రేఖను ఖండిస్తాయి.
K, U రెండూ 2f పౌనఃపున్యంతో, అంటే స్థానభ్రంశం పౌనఃపున్యానికి రెట్టింపుతో, డోలనం చేస్తాయి. ఒక ఆవర్తన కాలంలో ప్రతిదాని కాల సగటు E/2.

స్థానం	K	U
x = 0	E (గరిష్ఠం)	0
x = ±A/2	3E/4	E/4
x = ±A/√2	E/2	E/2
x = ±A	0	E (గరిష్ఠం)

భారం వేసిన స్ప్రింగ్ డోలనాలు

బల స్థిరాంకం k గల స్ప్రింగ్‌కు కట్టిన ద్రవ్యరాశి m ను నున్నని క్షితిజ సమాంతర తలంపై లాగి వదిలితే, స్ప్రింగ్ బలం F = −kx ఆ చలనాన్ని సరళహరాత్మక చలనంగా చేస్తుంది:

ω = √(k/m), T = 2π√(m/k), f = (1/2π)√(k/m).

ద్రవ్యరాశి ఎక్కువైతే ఆవర్తన కాలం ఎక్కువ; స్ప్రింగ్ గట్టిదైతే ఆవర్తన కాలం తక్కువ. నిలువు స్ప్రింగ్‌కు వేలాడదీసిన ద్రవ్యరాశికి కూడా T = 2π√(m/k), ఎందుకంటే గురుత్వాకర్షణ సమతాస్థితి స్థానాన్ని మాత్రమే మారుస్తుంది. బరువు వల్ల స్థిర విస్తరణ Δl అయితే k = mg/Δl, T = 2π√(Δl/g).

స్ప్రింగ్‌ల సంయోజనం

అమరిక	ఫలిత బల స్థిరాంకం	ఫలితం
రెండు స్ప్రింగ్‌లు సమాంతరంగా (ఒకే విస్తరణ)	k = k₁ + k₂	ఏ ఒక్క స్ప్రింగ్ కంటే గట్టిది
రెండు స్ప్రింగ్‌లు శ్రేణిలో (ఒకే బలం)	1/k = 1/k₁ + 1/k₂, కాబట్టి k = k₁k₂/(k₁ + k₂)	ఏ ఒక్క స్ప్రింగ్ కంటే మెత్తనిది

k స్థిరాంకం గల రెండు సర్వసమాన స్ప్రింగ్‌లకు: సమాంతరంగా 2k, శ్రేణిలో k/2.

సరళ లోలకం

సరళ లోలకం (simple pendulum) అంటే l పొడవు గల తేలికైన, సాగని దారంతో స్థిర బిందువు నుండి వేలాడదీసిన బిందు ద్రవ్యరాశి (గుండు). నిలువు నుండి చిన్న కోణం θ (రేడియన్లలో) వద్ద ప్రత్యానయన స్పర్శీయ బలం mg sin θ ≈ mgθ. చాప స్థానభ్రంశం s = lθ, కాబట్టి బలం F = −(mg/l)s. ఇది F = −ks రూపంలో ఉంది, k = mg/l, కాబట్టి

ω = √(g/l), T = 2π√(l/g).

ఆవర్తన కాలం పొడవు l పై, g పై ఆధారపడుతుంది. ఇది గుండు ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడదు, చిన్న కంపన పరిమితులకు కంపన పరిమితిపై కూడా ఆధారపడదు. పొడవు l ను వేలాడదీసిన బిందువు నుండి గుండు కేంద్రం వరకు కొలుస్తారు. సెకన్ల లోలకం (seconds pendulum) ఆవర్తన కాలం 2 s (ప్రతి ఊపుకు ఒక సెకను). g = 9.8 m s⁻² వద్ద దాని పొడవు l = gT²/4π² = g/π², ఇది సుమారు 0.99 m, దాదాపు 1 m. T ∝ √l కాబట్టి పొడవు కొద్దిగా పెరిగితే లోలక గడియారం నెమ్మదిగా నడుస్తుంది.

అవమందిత మరియు బలాత్కృత డోలనాలు, అనునాదం

ఆచరణలో స్వేచ్ఛా డోలనం ఘర్షణ, గాలి నిరోధం వల్ల క్రమంగా ఆగిపోతుంది. ఇవి అవమందన బలాలు (damping forces). అవమందన బలం F_d = −bv అయితే (b అవమందన స్థిరాంకం), కంపన పరిమితి కాలంతో పాటు ఘాతాంకంగా తగ్గుతుంది:

x(t) = A e^(−bt/2m) cos(ω′t + φ), ఇక్కడ ω′ = √(k/m − b²/4m²).

యాంత్రిక శక్తి పరిసరాలకు నష్టపోవడం వల్ల కాలంతో పాటు తగ్గుతుంది. చిన్న అవమందనానికి అవమందిత కోణీయ పౌనఃపున్యం ω′, ω = √(k/m) కంటే కొద్దిగా తక్కువ, కాబట్టి ఆవర్తన కాలం కొద్దిగా ఎక్కువ.

స్వేచ్ఛా (సహజ) డోలనం బాహ్య ఆవర్తన బలం లేకుండా సహజ కోణీయ పౌనఃపున్యం ω వద్ద జరుగుతుంది. బలాత్కృత డోలనం (forced oscillation) అంటే కోణీయ పౌనఃపున్యం ω_d గల బాహ్య ఆవర్తన బలం కింద వ్యవస్థ చేసే డోలనం. ప్రారంభ తాత్కాలిక దశ ముగిశాక వ్యవస్థ తన సహజ పౌనఃపున్యంతో కాక, చోదక పౌనఃపున్యం ω_d తో డోలనం చేస్తుంది. ω_d, ω కు దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు బలాత్కృత డోలనం కంపన పరిమితి ఎక్కువ. ω_d = ω అయినప్పుడు అనునాదం (resonance) జరుగుతుంది; అప్పుడు కంపన పరిమితి గరిష్ఠం. అవమందనం ఉన్నప్పుడు గరిష్ఠ కంపన పరిమితి పరిమితంగానే ఉంటుంది; అవమందనం తక్కువైతే అనునాద శిఖరం మరింత సూటిగా, ఎత్తుగా ఉంటుంది.

సూత్రాల సారాంశం

రాశి	సూత్రం	ప్రమాణం
పౌనఃపున్యం, ఆవర్తన కాలం	f = 1/T, ω = 2π/T	Hz, s, rad s⁻¹
స్థానభ్రంశం	x = A cos(ωt + φ)	m
వేగం	v = −Aω sin(ωt + φ); v = ω√(A² − x²)	m s⁻¹
గరిష్ఠ వడి	v_max = Aω	m s⁻¹
త్వరణం	a = −ω²x; a_max = Aω²	m s⁻²
బల నియమం	F = −kx	N
గతిజ శక్తి	½k(A² − x²)	J
స్థితిజ శక్తి	½kx²	J
మొత్తం శక్తి	½kA² = ½mω²A²	J
స్ప్రింగ్–ద్రవ్యరాశి వ్యవస్థ	T = 2π√(m/k)	s
స్ప్రింగ్‌లు	సమాంతరం k₁ + k₂; శ్రేణి k₁k₂/(k₁ + k₂)	N m⁻¹
సరళ లోలకం	T = 2π√(l/g)	s
సెకన్ల లోలకం	T = 2 s, l ≈ 0.99 m	s, m

సాధించిన ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1. 0.2 kg ద్రవ్యరాశి గల దిమ్మను 80 N m⁻¹ స్థిరాంకం గల స్ప్రింగ్‌కు కట్టారు. ω, T లను కనుగొనండి.

ω = √(k/m) = √(80/0.2) = √400 = 20 rad s⁻¹. T = 2π/ω = 2π/20 = π/10 s, సుమారు 0.31 s.

ఉదాహరణ 2. ఒక కణం కంపన పరిమితి 0.05 m, ω = 10 rad s⁻¹. x = 0.03 m వద్ద దాని వడిని, గరిష్ఠ త్వరణాన్ని కనుగొనండి.

v = ω√(A² − x²) = 10 × √(0.0025 − 0.0009) = 10 × 0.04 = 0.4 m s⁻¹. a_max = Aω² = 0.05 × 100 = 5 m s⁻².

ఉదాహరణ 3. g = 10 m s⁻² ఉన్న చోట 2.5 m పొడవు గల సరళ లోలకం డోలనం చేస్తోంది. దాని ఆవర్తన కాలాన్ని కనుగొనండి.

T = 2π√(l/g) = 2π√(2.5/10) = 2π × 0.5 = π s, సుమారు 3.14 s.

ఉదాహరణ 4. ఒక స్ప్రింగ్ మొత్తం శక్తి 8 J. స్థానభ్రంశం కంపన పరిమితిలో సగం ఉన్నప్పుడు K, U లను కనుగొనండి.

U = ½k(A/2)² = E/4 = 2 J. K = E − U = 6 J.

NEET లో పడే ఉచ్చులు

1. ప్రతి డోలన చలనం ఆవర్తనమే, కానీ ప్రతి ఆవర్తన చలనం సరళహరాత్మక చలనం కాదు. సరళహరాత్మక చలనానికి స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో ఉన్న బలం కావాలి.
2. మధ్యమ స్థానంలో వేగం గరిష్ఠం; అంత్య స్థానంలో త్వరణం గరిష్ఠం. x = 0 వద్ద త్వరణం సున్నా; x = ±A వద్ద వడి సున్నా.
3. సరళహరాత్మక చలనంలో కణం వేగం ఎల్లప్పుడూ మధ్యమ స్థానం వైపు ఉండదు; త్వరణం మాత్రమే ఉంటుంది.
4. స్ప్రింగ్–ద్రవ్యరాశి వ్యవస్థ ఆవర్తన కాలం m, k లపై ఆధారపడుతుంది; g పై గానీ కంపన పరిమితిపై గానీ ఆధారపడదు. సరళ లోలకం ఆవర్తన కాలం ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడదు.
5. గతిజ, స్థితిజ శక్తులు ప్రతి ఒక్కటి f తో కాదు, 2f పౌనఃపున్యంతో డోలనం చేస్తాయి. మొత్తం శక్తి అసలు డోలనం చేయదు.
6. గతిజ శక్తి స్థితిజ శక్తికి సమానమయ్యేది x = ±A/√2 వద్ద, x = ±A/2 వద్ద కాదు. x = A/2 వద్ద గతిజ శక్తి 3E/4.
7. సమాంతర స్ప్రింగ్‌లు స్థిరాంకాలను కూడతాయి; శ్రేణి స్ప్రింగ్‌లు వ్యుత్క్రమాలను కూడతాయి. శ్రేణి వ్యవస్థను మెత్తగా చేస్తుంది.
8. లోలకం ప్రభావ పొడవును గుండు కేంద్రం వరకు కొలుస్తారు. T ∝ √l, కాబట్టి పొడవు నాలుగు రెట్లయితే ఆవర్తన కాలం రెండు రెట్లు.
9. అనునాదం వద్ద కంపన పరిమితి గరిష్ఠం, అవమందనం ఉంటే అది పరిమితమే; అనంతం కాదు.
10. అవమందిత సందర్భంలో కంపన పరిమితి తగ్గుతుంది, కానీ ఆవర్తన కాలం అవమందనం లేని దాని కంటే కొద్దిగా ఎక్కువ, తక్కువ కాదు.

ఒక్క వాక్య సూత్రాలు

1. ఆవర్తన కాలం T = 1/f మరియు ω = 2π/T.
2. x = A cos(ωt + φ) లో (ωt + φ) దశ, φ దశా స్థిరాంకం.
3. ఏకరీతి వృత్తాకార చలనం యొక్క వ్యాసంపై ప్రక్షేపం సరళహరాత్మక చలనం.
4. సరళహరాత్మక చలనంలో గరిష్ఠ వడి Aω; గరిష్ఠ త్వరణం Aω².
5. a = −ω²x: త్వరణం స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండి దానికి వ్యతిరేక దిశలో ఉంటుంది.
6. x కు వ్యతిరేకంగా a గ్రాఫ్ రుణ వాలు గల, మూలబిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ.
7. మొత్తం శక్తి E = ½kA² = ½mω²A² స్థిరం మరియు A² కు అనులోమానుపాతం.
8. గతిజ శక్తి మధ్యమ స్థానంలో గరిష్ఠం; స్థితిజ శక్తి అంత్య స్థానంలో గరిష్ఠం.
9. x = ±A/√2 వద్ద K = U.
10. కాల సగటు గతిజ శక్తి కాల సగటు స్థితిజ శక్తికి సమానం, ప్రతిదీ E/2.
11. స్ప్రింగ్–ద్రవ్యరాశి ఆవర్తన కాలం T = 2π√(m/k).
12. సమాంతర స్ప్రింగ్‌లు: k = k₁ + k₂. శ్రేణి స్ప్రింగ్‌లు: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
13. సరళ లోలకం ఆవర్తన కాలం T = 2π√(l/g), చిన్న కోణాలకు మాత్రమే చెల్లుతుంది.
14. సెకన్ల లోలకం T = 2 s, పొడవు సుమారు 0.99 m.
15. చోదక పౌనఃపున్యం డోలకం సహజ పౌనఃపున్యానికి సమానమైనప్పుడు అనునాదం జరుగుతుంది.

సాధన ప్రశ్నలు

ఒక కణం 5 Hz పౌనఃపున్యంతో సరళహరాత్మక చలనం (SHM) చేస్తోంది. దాని ఆవర్తన కాలం ఎంత?
1. 5 s
2. 0.5 s
3. 10π s
4. 0.2 s
సమాధానం
D. 0.2 s
T = 1/f = 1/5 = 0.2 s.
A particle executes SHM with a frequency of 5 Hz. What is its time period?
1. 5 s
2. 0.5 s
3. 10π s
4. 0.2 s
సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం స్థానభ్రంశం x = 0.1 cos(4πt + π/3); x మీటర్లలో, t సెకన్లలో ఉంది. దాని ఆవర్తన కాలం ఎంత?
1. 0.5 s
2. 4π s
3. 2 s
4. 0.25 s
సమాధానం
A. 0.5 s
ω = 4π rad s⁻¹, కాబట్టి T = 2π/ω = 2π/4π = 0.5 s. (సరిచూపు: f = 2 Hz, T = 1/2 s.)
The displacement of a particle in SHM is x = 0.1 cos(4πt + π/3), with x in metre and t in second. What is its time period?
1. 0.5 s
2. 4π s
3. 2 s
4. 0.25 s
0.5 kg ద్రవ్యరాశి గల దిమ్మను బల స్థిరాంకం 200 N m⁻¹ గల క్షితిజ సమాంతర స్ప్రింగ్‌కు కట్టి, నున్నని తలంపై డోలనం చేయిస్తున్నారు. దాని ఆవర్తన కాలం ఎంత?
1. π/20 s
2. π/10 s
3. π/5 s
4. 10π s
సమాధానం
B. π/10 s
T = 2π√(m/k) = 2π√(0.5/200) = 2π × 0.05 = π/10 s. సరిచూపు: ω = √(200/0.5) = 20 rad s⁻¹ మరియు T = 2π/20.
A block of mass 0.5 kg is attached to a horizontal spring of force constant 200 N m⁻¹ and oscillates on a smooth surface. What is its time period?
1. π/20 s
2. π/10 s
3. π/5 s
4. 10π s
సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం కంపన పరిమితి 0.2 m, కోణీయ పౌనఃపున్యం 5 rad s⁻¹. దాని గరిష్ఠ త్వరణం పరిమాణం ఎంత?
1. 0.04 m s⁻²
2. 1 m s⁻²
3. 5 m s⁻²
4. 25 m s⁻²
సమాధానం
C. 5 m s⁻²
a_max = Aω² = 0.2 × 25 = 5 m s⁻². సరిచూపు: v_max = Aω = 1 m s⁻¹ మరియు a_max = v_max × ω = 5.
A particle in SHM has amplitude 0.2 m and angular frequency 5 rad s⁻¹. What is the magnitude of its maximum acceleration?
1. 0.04 m s⁻²
2. 1 m s⁻²
3. 5 m s⁻²
4. 25 m s⁻²
సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం కంపన పరిమితి 0.13 m, కోణీయ పౌనఃపున్యం 10 rad s⁻¹. స్థానభ్రంశం 0.05 m ఉన్నప్పుడు దాని వడి ఎంత?
1. 1.3 m s⁻¹
2. 1.8 m s⁻¹
3. 1.2 m s⁻¹
4. 0.5 m s⁻¹
సమాధానం
C. 1.2 m s⁻¹
v = ω√(A² − x²) = 10 × √(0.0169 − 0.0025) = 10 × 0.12 = 1.2 m s⁻¹.
A particle in SHM has amplitude 0.13 m and angular frequency 10 rad s⁻¹. What is its speed when the displacement is 0.05 m?
1. 1.3 m s⁻¹
2. 1.8 m s⁻¹
3. 1.2 m s⁻¹
4. 0.5 m s⁻¹
బల స్థిరాంకం 100 N m⁻¹ చొప్పున గల రెండు సర్వసమాన స్ప్రింగ్‌లను శ్రేణిలో కలిపారు. ఆ సంయోజనానికి 2 kg ద్రవ్యరాశిని కట్టారు. నిలువు లేదా క్షితిజ సమాంతర డోలనం ఆవర్తన కాలం ఎంత?
1. 4π/5 s
2. π/10 s
3. π/5 s
4. 2π/5 s
సమాధానం
D. 2π/5 s
శ్రేణి: k = 100 × 100/200 = 50 N m⁻¹. T = 2π√(2/50) = 2π/5 s. (సమాంతరంగా k = 200 అయితే π/5 s వచ్చేది.)
Two identical springs, each of force constant 100 N m⁻¹, are connected in series. A mass of 2 kg is attached to the combination. What is the time period of vertical or horizontal oscillation?
1. 4π/5 s
2. π/10 s
3. π/5 s
4. 2π/5 s
సెకన్ల లోలకం (seconds pendulum) ఆవర్తన కాలం ఎంత?
1. 2 s
2. π s
3. 1 s
4. 0.5 s
సమాధానం
A. 2 s
సెకన్ల లోలకం ప్రతి ఊపుకు 1 s తీసుకుంటుంది, కాబట్టి దాని పూర్తి ఆవర్తన కాలం 2 s.
What is the time period of a seconds pendulum?
1. 2 s
2. π s
3. 1 s
4. 0.5 s
g = π² m s⁻² ఉన్న చోట 1 m పొడవు గల సరళ లోలకం డోలనం చేస్తోంది. దాని ఆవర్తన కాలం ఎంత?
1. 2π s
2. 2 s
3. 1 s
4. π s
సమాధానం
B. 2 s
T = 2π√(l/g) = 2π√(1/π²) = 2 s.
A simple pendulum of length 1 m oscillates at a place where g = π² m s⁻². What is its time period?
1. 2π s
2. 2 s
3. 1 s
4. π s
సరళహరాత్మక చలనంలో కణం వేగం సున్నా అయ్యేది
1. మధ్యమ స్థానంలో
2. అంత్య స్థానాల్లో
3. A/2 స్థానభ్రంశం వద్ద మాత్రమే
4. అన్ని స్థానాల్లో
సమాధానం
B. అంత్య స్థానాల్లో
v = ω√(A² − x²) అనేది x = ±A వద్ద, అంటే అంత్య స్థానాల్లో, సున్నా; x = 0 వద్ద గరిష్ఠం.
In SHM the velocity of the particle is zero at
1. the mean position
2. the extreme positions
3. a displacement of A/2 only
4. all positions
సరళహరాత్మక చలనం చేసే కణం పౌనఃపున్యం f. దాని గతిజ శక్తి డోలనం చేసే పౌనఃపున్యం
1. f/2
2. f
3. 4f
4. 2f
సమాధానం
D. 2f
K = ½mω²A² sin²(ωt + φ) అర్ధ ఆవర్తన కాలానికి ఒకసారి పునరావృతమవుతుంది, కాబట్టి దాని పౌనఃపున్యం 2f.
A particle executes SHM with frequency f. The frequency with which its kinetic energy oscillates is
1. f/2
2. f
3. 4f
4. 2f
సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణానికి స్థానభ్రంశానికి వ్యతిరేకంగా త్వరణం గ్రాఫ్
1. మూలబిందువు గుండా పోయే రుణ వాలు గల సరళరేఖ
2. సమాంతర సరళరేఖ
3. పైకి తెరుచుకున్న పరావలయం
4. మూలబిందువు గుండా పోయే ధన వాలు గల సరళరేఖ
సమాధానం
A. మూలబిందువు గుండా పోయే రుణ వాలు గల సరళరేఖ
a = −ω²x అనేది x కు రేఖీయం, మూలబిందువు గుండా పోతుంది, వాలు −ω².
The graph of acceleration against displacement for a particle in SHM is
1. a straight line through the origin with negative slope
2. a horizontal straight line
3. a parabola opening upward
4. a straight line through the origin with positive slope
సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణానికి (కంపన పరిమితి A) మధ్యమ స్థానం నుండి ఏ స్థానభ్రంశం వద్ద గతిజ శక్తి, స్థితిజ శక్తి సమానం?
1. A/2
2. A/4
3. A/√2
4. A/3
సమాధానం
C. A/√2
½k(A² − x²) = ½kx² నుండి x² = A²/2, కాబట్టి x = A/√2.
At what displacement from the mean position are the kinetic energy and the potential energy of a particle in SHM (amplitude A) equal?
1. A/2
2. A/4
3. A/√2
4. A/3
సరళ లోలకం పొడవును నాలుగు రెట్లు చేశారు. దాని ఆవర్తన కాలం అవుతుంది
1. అసలు దానికి 2 రెట్లు
2. అసలు దానికి 4 రెట్లు
3. అసలు దానిలో 1/2
4. అసలు దానికి 16 రెట్లు
సమాధానం
A. అసలు దానికి 2 రెట్లు
T ∝ √l, కాబట్టి T′/T = √4 = 2.
The length of a simple pendulum is made four times. Its time period becomes
1. 2 times the original
2. 4 times the original
3. 1/2 of the original
4. 16 times the original
అవమందన బలం వేగానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండే అవమందిత డోలనంలో, డోలనం కంపన పరిమితి
1. కాలంతో రేఖీయంగా తగ్గుతుంది
2. కాలంతో ఘాతాంకంగా పెరుగుతుంది
3. కాలంతో ఘాతాంకంగా తగ్గుతుంది
4. స్థిరంగా ఉంటుంది
సమాధానం
C. కాలంతో ఘాతాంకంగా తగ్గుతుంది
కంపన పరిమితి A e^(−bt/2m), ఇది ఘాతాంక క్షయం.
In a damped oscillation where the damping force is proportional to velocity, the amplitude of the oscillation
1. decreases linearly with time
2. increases exponentially with time
3. decreases exponentially with time
4. remains constant
బలాత్కృత డోలనంలో అనునాదం (resonance) జరిగేది
1. చోదక పౌనఃపున్యం సహజ పౌనఃపున్యానికి రెట్టింపు అయినప్పుడు
2. చోదక బలం సున్నా అయినప్పుడు
3. అవమందనం గరిష్ఠం అయినప్పుడు
4. చోదక పౌనఃపున్యం సహజ పౌనఃపున్యానికి సమానమైనప్పుడు
సమాధానం
D. చోదక పౌనఃపున్యం సహజ పౌనఃపున్యానికి సమానమైనప్పుడు
చోదక బల కోణీయ పౌనఃపున్యం సహజ కోణీయ పౌనఃపున్యానికి సమానమైనప్పుడు కంపన పరిమితి గరిష్ఠం.
Resonance occurs in a forced oscillation when
1. the driving frequency is double the natural frequency
2. the driving force is zero
3. the damping is maximum
4. the driving frequency equals the natural frequency
ఒక కణం మధ్యమ స్థానం నుండి ప్రారంభించి 12 s ఆవర్తన కాలంతో సరళహరాత్మక చలనం చేస్తోంది. కంపన పరిమితిలో సగం చేరడానికి పట్టే కాలం ఎంత?
1. 1.5 s
2. 1 s
3. 3 s
4. 2 s
సమాధానం
B. 1 s
x = A sin ωt = A/2 నుండి ωt = π/6, కాబట్టి t = T/12 = 1 s. సరిచూపు: దశ π/6 అనేది 2π లో 1/12 వంతు.
A particle starts from the mean position and executes SHM of time period 12 s. What is the time taken to reach half of its amplitude?
1. 1.5 s
2. 1 s
3. 3 s
4. 2 s
క్రింద రెండు ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి: ప్రవచనం I: సరళహరాత్మక చలనంలో కణం త్వరణం ఎల్లప్పుడూ మధ్యమ స్థానం వైపు ఉంటుంది. ప్రవచనం II: సరళహరాత్మక చలనంలో కణం వేగం ఎల్లప్పుడూ మధ్యమ స్థానం వైపు ఉంటుంది.
1. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
2. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరికావు
3. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
4. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
సమాధానం
C. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
a = −ω²x ఎల్లప్పుడూ x = 0 వైపే ఉంటుంది. చలనం బయటి వైపు సగభాగంలో వేగం మధ్యమ స్థానం నుండి దూరంగా ఉంటుంది.
Given below are two statements: Statement I: In SHM the acceleration of the particle is always directed towards the mean position. Statement II: In SHM the velocity of the particle is always directed towards the mean position.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
క్రింద రెండు ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి: ప్రవచనం I: సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం మొత్తం శక్తి దాని స్థానభ్రంశంపై ఆధారపడదు. ప్రవచనం II: సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం మొత్తం శక్తి కంపన పరిమితి వర్గానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
1. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
2. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరికావు
3. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
4. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
సమాధానం
A. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
E = ½kA² స్థిరం మరియు A² కు అనులోమానుపాతం.
Given below are two statements: Statement I: The total energy of a particle in SHM does not depend on its displacement. Statement II: The total energy of a particle in SHM is proportional to the square of the amplitude.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
క్రింద రెండు ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి: ప్రవచనం I: చిన్న డోలనాలకు సరళ లోలకం ఆవర్తన కాలం దాని గుండు (bob) ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడుతుంది. ప్రవచనం II: నిలువు స్ప్రింగ్‌పై డోలనం చేసే ద్రవ్యరాశి ఆవర్తన కాలం g విలువపై ఆధారపడదు.
1. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
2. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరికావు
3. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
4. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
సమాధానం
D. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
T = 2π√(l/g) లో ద్రవ్యరాశి లేదు; T = 2π√(m/k) లో g లేదు. ప్రవచనం I సరికాదు, ప్రవచనం II సరైనది.
Given below are two statements: Statement I: The time period of a simple pendulum, for small oscillations, depends on the mass of its bob. Statement II: The time period of a mass oscillating on a vertical spring does not depend on the value of g.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణానికి కింది ప్రవచనాలలో సరైనవి ఏవి? 1. మధ్యమ స్థానంలో త్వరణం సున్నా. 2. అంత్య స్థానంలో వడి గరిష్ఠం. 3. అంత్య స్థానంలో స్థితిజ శక్తి గరిష్ఠం.
1. 1 మరియు 2 మాత్రమే
2. 1 మరియు 3 మాత్రమే
3. 2 మరియు 3 మాత్రమే
4. 1, 2 మరియు 3
సమాధానం
B. 1 మరియు 3 మాత్రమే
a = −ω²x అనేది x = 0 వద్ద సున్నా (1 సరైనది). అంత్య స్థానాల్లో వడి సున్నా (2 సరికాదు). U = ½kx² అనేది x = ±A వద్ద గరిష్ఠం (3 సరైనది).
Which of the following statements are correct for a particle in SHM? 1. The acceleration is zero at the mean position. 2. The speed is maximum at the extreme position. 3. The potential energy is maximum at the extreme position.
1. 1 and 2 only
2. 1 and 3 only
3. 2 and 3 only
4. 1, 2 and 3
క్రింద రెండు ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి: ప్రవచనం I: k₁, k₂ స్థిరాంకాలు గల రెండు స్ప్రింగ్‌లను సమాంతరంగా కలిపినప్పుడు ఫలిత బల స్థిరాంకం k₁ + k₂. ప్రవచనం II: రెండు స్ప్రింగ్‌లను శ్రేణిలో కలిపినప్పుడు ఫలిత బల స్థిరాంకం రెండు స్థిరాంకాలలో పెద్దదాని కంటే ఎక్కువ.
1. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
2. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరికావు
3. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
4. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
సమాధానం
C. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
సమాంతరంగా k₁ + k₂ వస్తుంది. శ్రేణిలో k₁k₂/(k₁ + k₂) వస్తుంది, ఇది ఏ స్థిరాంకం కంటే అయినా తక్కువ.
Given below are two statements: Statement I: When two springs of constants k₁ and k₂ are connected in parallel, the effective force constant is k₁ + k₂. Statement II: When two springs are connected in series, the effective force constant is greater than the larger of the two constants.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
క్రింద రెండు ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి: ప్రవచనం I: అనునాదం వద్ద బలాత్కృత డోలనం కంపన పరిమితి గరిష్ఠం. ప్రవచనం II: అవమందనం ఎంత ఉన్నా అనునాదం వద్ద కంపన పరిమితి అనంతం అవుతుంది.
1. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
2. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరికావు
3. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
4. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
సమాధానం
C. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
అనునాదం గరిష్ఠ కంపన పరిమితిని ఇస్తుంది, కానీ అవమందనం దానిని పరిమితంగా ఉంచుతుంది.
Given below are two statements: Statement I: At resonance the amplitude of a forced oscillation is maximum. Statement II: At resonance the amplitude becomes infinite whatever the damping.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
క్రింద రెండు ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి: ప్రవచనం I: ప్రతి ఆవర్తన చలనం సరళహరాత్మక చలనమే. ప్రవచనం II: ప్రతి సరళహరాత్మక చలనం ఆవర్తన చలనమే.
1. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
2. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరికావు
3. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
4. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
సమాధానం
D. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
సరళహరాత్మక చలనం స్థిర ఆవర్తన కాలం తర్వాత పునరావృతమవుతుంది, కాబట్టి అది ఆవర్తనం. ఆవర్తన చలనం F = −kx ను పాటించనవసరం లేదు, కాబట్టి అది సరళహరాత్మకం కానవసరం లేదు.
Given below are two statements: Statement I: Every periodic motion is simple harmonic motion. Statement II: Every simple harmonic motion is a periodic motion.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
సెకన్ల లోలకం గురించి కింది ప్రవచనాలలో సరైనవి ఏవి? 1. దాని ఆవర్తన కాలం 2 s. 2. g = 9.8 m s⁻² ఉన్న చోట దాని పొడవు సుమారు 0.99 m. 3. దాని పౌనఃపున్యం 2 Hz.
1. 1 మరియు 2 మాత్రమే
2. 1 మరియు 3 మాత్రమే
3. 2 మరియు 3 మాత్రమే
4. 1, 2 మరియు 3
సమాధానం
A. 1 మరియు 2 మాత్రమే
T = 2 s, కాబట్టి f = 0.5 Hz (3 సరికాదు). l = gT²/4π² = g/π² ≈ 0.99 m (2 సరైనది).
Which of the following statements are correct about a seconds pendulum? 1. Its time period is 2 s. 2. Its length is about 0.99 m where g = 9.8 m s⁻². 3. Its frequency is 2 Hz.
1. 1 and 2 only
2. 1 and 3 only
3. 2 and 3 only
4. 1, 2 and 3
క్రింద రెండు ప్రవచనాలు ఇవ్వబడ్డాయి: ప్రవచనం I: అవమందిత డోలనంలో డోలకం యాంత్రిక శక్తి కాలంతో పాటు తగ్గుతుంది. ప్రవచనం II: చిన్న అవమందనానికి అవమందిత డోలనం ఆవర్తన కాలం అవమందనం లేని డోలనం కంటే కొద్దిగా ఎక్కువ.
1. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
2. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరికావు
3. ప్రవచనం I సరైనది కానీ ప్రవచనం II సరికాదు
4. ప్రవచనం I సరికాదు కానీ ప్రవచనం II సరైనది
సమాధానం
A. ప్రవచనం I మరియు ప్రవచనం II రెండూ సరైనవి
శక్తి పరిసరాలకు నష్టమవుతుంది. ω′ = √(k/m − b²/4m²) అనేది ω కంటే కొద్దిగా తక్కువ, కాబట్టి T′ కొద్దిగా ఎక్కువ.
Given below are two statements: Statement I: In a damped oscillation the mechanical energy of the oscillator decreases with time. Statement II: For small damping, the time period of the damped oscillation is slightly longer than that of the undamped oscillation.
1. Both Statement I and Statement II are correct
2. Both Statement I and Statement II are incorrect
3. Statement I is correct but Statement II is incorrect
4. Statement I is incorrect but Statement II is correct
కింది ప్రవచనాలలో సరైనవి ఏవి? 1. ఏకరీతి వృత్తాకార చలనం యొక్క వ్యాసంపై ప్రక్షేపం సరళహరాత్మక చలనం. 2. సరళహరాత్మక చలనం కోణీయ పౌనఃపున్యం వృత్తాకార చలనం కోణీయ వడికి సమానం. 3. సరళహరాత్మక చలనం కంపన పరిమితి వృత్తం వ్యాసార్ధానికి సమానం.
1. 1 మరియు 2 మాత్రమే
2. 1 మరియు 3 మాత్రమే
3. 2 మరియు 3 మాత్రమే
4. 1, 2 మరియు 3
సమాధానం
D. 1, 2 మరియు 3
మూడూ సరైనవే: వ్యాసంపై నీడ సరళహరాత్మక చలనం, దాని ω కోణీయ వడికి సమానం, A వ్యాసార్ధానికి సమానం.
Which of the following statements are correct? 1. The projection of uniform circular motion on a diameter is SHM. 2. The angular frequency of the SHM equals the angular speed of the circular motion. 3. The amplitude of the SHM equals the radius of the circle.
1. 1 and 2 only
2. 1 and 3 only
3. 2 and 3 only
4. 1, 2 and 3
నిశ్చితవాక్యం (A): సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం త్వరణం మధ్యమ స్థానంలో సున్నా. కారణం (R): సరళహరాత్మక చలనంలో త్వరణం మధ్యమ స్థానం నుండి స్థానభ్రంశానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
1. A మరియు R రెండూ సత్యం, R అనేది A కి సరైన వివరణ
2. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
3. A సత్యం కానీ R అసత్యం
4. A అసత్యం కానీ R సత్యం
సమాధానం
A. A మరియు R రెండూ సత్యం, R అనేది A కి సరైన వివరణ
a = −ω²x అనేది x కు అనులోమానుపాతం కాబట్టి x = 0 వద్ద సున్నా అవుతుంది.
Assertion (A): The acceleration of a particle in SHM is zero at the mean position. Reason (R): The acceleration in SHM is directly proportional to the displacement from the mean position.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
నిశ్చితవాక్యం (A): సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం మొత్తం శక్తి దాని స్థానంతో పాటు మారుతుంది. కారణం (R): సరళహరాత్మక చలనంలో గతిజ శక్తి, స్థితిజ శక్తి ఒకదానిలోకి ఒకటి మారుతూ ఉంటాయి.
1. A మరియు R రెండూ సత్యం, R అనేది A కి సరైన వివరణ
2. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
3. A సత్యం కానీ R అసత్యం
4. A అసత్యం కానీ R సత్యం
సమాధానం
D. A అసత్యం కానీ R సత్యం
మొత్తం శక్తి స్థిరం. R సత్యం: K, U పరస్పరం మారుతాయి కానీ వాటి మొత్తం ½kA² గానే ఉంటుంది.
Assertion (A): The total energy of a particle in SHM changes with its position. Reason (R): During SHM the kinetic energy and potential energy are converted into each other.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
నిశ్చితవాక్యం (A): స్ప్రింగ్‌పై డోలనం చేసే దిమ్మకు భూమిపై ఉన్న ఆవర్తన కాలమే చంద్రునిపై కూడా ఉంటుంది. కారణం (R): చంద్రునిపై g విలువ భూమిపై విలువకు భిన్నం.
1. A మరియు R రెండూ సత్యం, R అనేది A కి సరైన వివరణ
2. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
3. A సత్యం కానీ R అసత్యం
4. A అసత్యం కానీ R సత్యం
సమాధానం
B. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
T = 2π√(m/k) లో g లేదు, కాబట్టి A సత్యం. R కూడా సత్యమే కానీ A ని వివరించదు (సూత్రంలో g లేదు అంతే).
Assertion (A): A block oscillating on a spring has the same time period on the Moon as on the Earth. Reason (R): The value of g on the Moon is different from that on the Earth.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
నిశ్చితవాక్యం (A): స్ప్రింగ్‌పై ఉన్న దిమ్మ ద్రవ్యరాశిని నాలుగు రెట్లు చేస్తే దాని ఆవర్తన కాలం రెట్టింపు అవుతుంది. కారణం (R): స్ప్రింగ్–ద్రవ్యరాశి వ్యవస్థ ఆవర్తన కాలం ద్రవ్యరాశికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
1. A మరియు R రెండూ సత్యం, R అనేది A కి సరైన వివరణ
2. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
3. A సత్యం కానీ R అసత్యం
4. A అసత్యం కానీ R సత్యం
సమాధానం
C. A సత్యం కానీ R అసత్యం
T ∝ √m, కాబట్టి ద్రవ్యరాశి నాలుగు రెట్లయితే ఆవర్తన కాలం రెట్టింపు (A సత్యం). T ద్రవ్యరాశికి అనులోమానుపాతం కాదు కాబట్టి R అసత్యం.
Assertion (A): If the mass of a block on a spring is made four times, its time period doubles. Reason (R): The time period of a spring-mass system is directly proportional to the mass.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
నిశ్చితవాక్యం (A): సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం గతిజ శక్తి దాని స్థానభ్రంశం పౌనఃపున్యానికి రెట్టింపు పౌనఃపున్యంతో డోలనం చేస్తుంది. కారణం (R): సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం మొత్తం శక్తి స్థిరం.
1. A మరియు R రెండూ సత్యం, R అనేది A కి సరైన వివరణ
2. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
3. A సత్యం కానీ R అసత్యం
4. A అసత్యం కానీ R సత్యం
సమాధానం
B. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
K ∝ sin²(ωt + φ), ఇది 2f వద్ద పునరావృతమవుతుంది. R సత్యం కానీ పౌనఃపున్యం రెట్టింపు కావడాన్ని వివరించదు.
Assertion (A): The kinetic energy of a particle in SHM oscillates at twice the frequency of its displacement. Reason (R): The total energy of a particle in SHM is constant.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
నిశ్చితవాక్యం (A): అవమందిత డోలకం కంపన పరిమితి కాలంతో ఘాతాంకంగా తగ్గుతుంది. కారణం (R): వేగానికి అనులోమానుపాతంలో ఉన్న అవమందన బలం డోలకం నుండి యాంత్రిక శక్తిని తీసివేస్తుంది.
1. A మరియు R రెండూ సత్యం, R అనేది A కి సరైన వివరణ
2. A మరియు R రెండూ సత్యం, కానీ R అనేది A కి సరైన వివరణ కాదు
3. A సత్యం కానీ R అసత్యం
4. A అసత్యం కానీ R సత్యం
సమాధానం
A. A మరియు R రెండూ సత్యం, R అనేది A కి సరైన వివరణ
x = A e^(−bt/2m) cos(ω′t + φ); అవమందన బలం శక్తిని వెదజల్లుతుంది, దానివల్ల కంపన పరిమితి తగ్గుతుంది.
Assertion (A): The amplitude of a damped oscillator decreases exponentially with time. Reason (R): The damping force, proportional to velocity, takes mechanical energy out of the oscillator.
1. Both A and R are true and R is the correct explanation of A
2. Both A and R are true but R is not the correct explanation of A
3. A is true but R is false
4. A is false but R is true
జాబితా I ను జాబితా II తో జతపరచండి. జాబితా I: a. స్ప్రింగ్–ద్రవ్యరాశి వ్యవస్థ కోణీయ పౌనఃపున్యం b. సరళ లోలకం కోణీయ పౌనఃపున్యం c. సరళహరాత్మక చలనంలో గరిష్ఠ వడి d. సరళహరాత్మక చలనంలో గరిష్ఠ త్వరణం. జాబితా II: i. √(g/l) ii. √(k/m) iii. Aω iv. Aω².
1. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
2. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
3. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
4. a-iii, b-iv, c-i, d-ii
సమాధానం
B. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
స్ప్రింగ్‌కు ω = √(k/m), లోలకానికి √(g/l); v_max = Aω; a_max = Aω².
Match List I with List II. List I: a. Angular frequency of a spring-mass system b. Angular frequency of a simple pendulum c. Maximum speed in SHM d. Maximum acceleration in SHM. List II: i. √(g/l) ii. √(k/m) iii. Aω iv. Aω².
1. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
2. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
3. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
4. a-iii, b-iv, c-i, d-ii
జాబితా I ను జాబితా II తో జతపరచండి. జాబితా I: a. మధ్యమ స్థానం b. అంత్య స్థానం c. స్థానభ్రంశం x = A/√2 d. స్థానభ్రంశం x = A/2. జాబితా II: i. గతిజ శక్తి స్థితిజ శక్తికి సమానం ii. వడి సున్నా, స్థితిజ శక్తి గరిష్ఠం iii. గతిజ శక్తి గరిష్ఠం iv. గతిజ శక్తి మొత్తం శక్తిలో 3/4 వంతు.
1. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
2. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
3. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
4. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
సమాధానం
B. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
x = 0: K గరిష్ఠం. x = ±A: v = 0, U గరిష్ఠం. x = A/√2: K = U. x = A/2: U = E/4, K = 3E/4.
Match List I with List II. List I: a. Mean position b. Extreme position c. Displacement x = A/√2 d. Displacement x = A/2. List II: i. Kinetic energy equals potential energy ii. Speed zero and potential energy maximum iii. Kinetic energy maximum iv. Kinetic energy is 3/4 of the total energy.
1. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
2. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
3. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
4. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
జాబితా I ను జాబితా II తో జతపరచండి. జాబితా I: a. x = cos(πt) b. x = cos(2πt) c. x = cos(4πt) d. x = cos(πt/2) (x మీటర్లలో, t సెకన్లలో). జాబితా II: i. ఆవర్తన కాలం 0.5 s ii. ఆవర్తన కాలం 1 s iii. ఆవర్తన కాలం 2 s iv. ఆవర్తన కాలం 4 s.
1. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
2. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
3. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
4. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
సమాధానం
D. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
T = 2π/ω: ω = π అయితే 2 s; 2π అయితే 1 s; 4π అయితే 0.5 s; π/2 అయితే 4 s.
Match List I with List II. List I: a. x = cos(πt) b. x = cos(2πt) c. x = cos(4πt) d. x = cos(πt/2) (x in m, t in s). List II: i. Period 0.5 s ii. Period 1 s iii. Period 2 s iv. Period 4 s.
1. a-ii, b-iii, c-i, d-iv
2. a-iii, b-ii, c-iv, d-i
3. a-iv, b-iii, c-ii, d-i
4. a-iii, b-ii, c-i, d-iv
జాబితా I ను జాబితా II తో జతపరచండి. జాబితా I: a. k స్థిరాంకం గల రెండు స్ప్రింగ్‌లు శ్రేణిలో b. k స్థిరాంకం గల రెండు స్ప్రింగ్‌లు సమాంతరంగా c. k, 3k స్ప్రింగ్‌లు శ్రేణిలో d. k, 3k స్ప్రింగ్‌లు సమాంతరంగా. జాబితా II: i. 2k ii. 3k/4 iii. 4k iv. k/2.
1. a-ii, b-iii, c-iv, d-i
2. a-i, b-iv, c-iii, d-ii
3. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
4. a-iv, b-i, c-iii, d-ii
సమాధానం
C. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
శ్రేణి: k·k/2k = k/2; సమాంతరం: 2k; k, 3k శ్రేణి: 3k²/4k = 3k/4; సమాంతరం: 4k.
Match List I with List II. List I: a. Two springs, each of constant k, in series b. Two springs, each of constant k, in parallel c. Springs k and 3k in series d. Springs k and 3k in parallel. List II: i. 2k ii. 3k/4 iii. 4k iv. k/2.
1. a-ii, b-iii, c-iv, d-i
2. a-i, b-iv, c-iii, d-ii
3. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
4. a-iv, b-i, c-iii, d-ii
జాబితా I ను జాబితా II తో జతపరచండి. జాబితా I: a. స్వేచ్ఛా డోలనం b. అవమందిత డోలనం c. బలాత్కృత డోలనం d. అనునాదం. జాబితా II: i. కంపన పరిమితి కాలంతో క్షీణిస్తుంది ii. బాహ్య ఆవర్తన బలం లేకుండా సహజ పౌనఃపున్యంతో డోలనం iii. బాహ్య ఆవర్తన బలం కింద డోలనం iv. చోదక పౌనఃపున్యం సహజ పౌనఃపున్యానికి సమానమైనప్పుడు గరిష్ఠ కంపన పరిమితి.
1. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
2. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
3. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
4. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
సమాధానం
C. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
స్వేచ్ఛా: సహజ పౌనఃపున్యం, బాహ్య బలం లేదు. అవమందిత: కంపన పరిమితి తగ్గుతుంది. బలాత్కృత: ఆవర్తన బాహ్య బలం. అనునాదం: ω_d = ω అయితే గరిష్ఠ కంపన పరిమితి.
Match List I with List II. List I: a. Free oscillation b. Damped oscillation c. Forced oscillation d. Resonance. List II: i. Amplitude decays with time ii. Oscillation at natural frequency without external periodic force iii. Oscillation under an external periodic force iv. Maximum amplitude when driving frequency equals natural frequency.
1. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
2. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
3. a-ii, b-i, c-iii, d-iv
4. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
జాబితా I ను జాబితా II తో జతపరచండి. జాబితా I: a. x కు వ్యతిరేకంగా K b. x కు వ్యతిరేకంగా U c. x కు వ్యతిరేకంగా E d. x కు వ్యతిరేకంగా a. జాబితా II: i. x = 0 వద్ద కనిష్ఠం గల, పైకి తెరుచుకున్న పరావలయం ii. మూలబిందువు గుండా పోయే రుణ వాలు గల సరళరేఖ iii. సమాంతర సరళరేఖ iv. x = 0 వద్ద గరిష్ఠం గల, కిందికి తెరుచుకున్న పరావలయం.
1. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
2. a-iv, b-i, c-iii, d-ii
3. a-i, b-iv, c-iii, d-ii
4. a-iii, b-iv, c-i, d-ii
సమాధానం
B. a-iv, b-i, c-iii, d-ii
K = ½k(A² − x²) కిందికి తెరుచుకున్న పరావలయం; U = ½kx² పైకి తెరుచుకున్న పరావలయం; E స్థిరం; a = −ω²x రుణ వాలు గల రేఖ.
Match List I with List II. List I: a. K against x b. U against x c. E against x d. a against x. List II: i. Parabola opening upward with minimum at x = 0 ii. Straight line through the origin with negative slope iii. Horizontal straight line iv. Parabola opening downward with maximum at x = 0.
1. a-iv, b-i, c-ii, d-iii
2. a-iv, b-i, c-iii, d-ii
3. a-i, b-iv, c-iii, d-ii
4. a-iii, b-iv, c-i, d-ii
1 kg ద్రవ్యరాశి గల దిమ్మను బల స్థిరాంకం 100 N m⁻¹ గల స్ప్రింగ్‌కు కట్టి 0.1 m కంపన పరిమితితో డోలనం చేయిస్తున్నారు. డోలకం మొత్తం యాంత్రిక శక్తి ఎంత?
1. 0.5 J
2. 5 J
3. 1 J
4. 0.05 J
సమాధానం
A. 0.5 J
E = ½kA² = ½ × 100 × 0.01 = 0.5 J. సరిచూపు: v_max = Aω = 1 m s⁻¹, కాబట్టి ½mv_max² = 0.5 J.
A block of mass 1 kg attached to a spring of force constant 100 N m⁻¹ oscillates with amplitude 0.1 m. What is the total mechanical energy of the oscillator?
1. 0.5 J
2. 5 J
3. 1 J
4. 0.05 J
0.4 kg ద్రవ్యరాశి గల దిమ్మ బల స్థిరాంకం 40 N m⁻¹ గల స్ప్రింగ్‌పై 0.05 m కంపన పరిమితితో డోలనం చేస్తోంది. దాని గరిష్ఠ వడి ఎంత?
1. 0.25 m s⁻¹
2. 0.05 m s⁻¹
3. 5 m s⁻¹
4. 0.5 m s⁻¹
సమాధానం
D. 0.5 m s⁻¹
ω = √(40/0.4) = 10 rad s⁻¹; v_max = Aω = 0.5 m s⁻¹. శక్తి సరిచూపు: ½mv² = ½kA² నుండి v = A√(k/m) = 0.5.
A block of mass 0.4 kg on a spring of force constant 40 N m⁻¹ oscillates with amplitude 0.05 m. What is its maximum speed?
1. 0.25 m s⁻¹
2. 0.05 m s⁻¹
3. 5 m s⁻¹
4. 0.5 m s⁻¹
సరళ లోలకం పొడవును 44% పెంచారు. దాని ఆవర్తన కాలం ఎంత శాతం పెరుగుతుంది?
1. 20%
2. 12%
3. 44%
4. 22%
సమాధానం
A. 20%
T ∝ √l, కాబట్టి T′/T = √1.44 = 1.2, అంటే 20% పెరుగుదల.
The length of a simple pendulum is increased by 44%. By what percentage does its time period increase?
1. 20%
2. 12%
3. 44%
4. 22%
1 kg ద్రవ్యరాశి సమతాస్థితిలో నిలువు స్ప్రింగ్‌ను 0.1 m సాగదీసింది. g = 10 m s⁻² తీసుకోండి. ఈ ద్రవ్యరాశి చిన్న నిలువు డోలనాల ఆవర్తన కాలం ఎంత?
1. 2π/5 s
2. π/5 s
3. π/10 s
4. π s
సమాధానం
B. π/5 s
k = mg/Δl = 100 N m⁻¹; T = 2π√(1/100) = π/5 s. సరిచూపు: T = 2π√(Δl/g) = 2π√(0.01) = π/5 s.
A mass of 1 kg stretches a vertical spring by 0.1 m in equilibrium. Take g = 10 m s⁻². What is the time period of small vertical oscillations of this mass?
1. 2π/5 s
2. π/5 s
3. π/10 s
4. π s
సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం x = 3 cm వద్ద వడి 8 cm s⁻¹, x = 4 cm వద్ద వడి 6 cm s⁻¹. దాని ఆవర్తన కాలం ఎంత?
1. 4π s
2. π/2 s
3. 2π s
4. π s
సమాధానం
D. π s
64 = ω²(A² − 9) మరియు 36 = ω²(A² − 16). తీసివేయగా: 28 = 7ω², కాబట్టి ω = 2 rad s⁻¹ (A = 5 cm). T = 2π/2 = π s.
A particle in SHM has a speed of 8 cm s⁻¹ at x = 3 cm and 6 cm s⁻¹ at x = 4 cm. What is its time period?
1. 4π s
2. π/2 s
3. 2π s
4. π s
స్ప్రింగ్–ద్రవ్యరాశి డోలకం మొత్తం శక్తి 8 J. స్థానభ్రంశం కంపన పరిమితిలో సగం ఉన్నప్పుడు దాని స్థితిజ శక్తి ఎంత?
1. 6 J
2. 1 J
3. 2 J
4. 4 J
సమాధానం
C. 2 J
U = ½k(A/2)² = E/4 = 2 J; అప్పుడు K = 6 J.
The total energy of a spring-mass oscillator is 8 J. What is its potential energy when the displacement is half of the amplitude?
1. 6 J
2. 1 J
3. 2 J
4. 4 J
0.25 kg ద్రవ్యరాశి గల దిమ్మను బల స్థిరాంకం 100π² N m⁻¹ గల స్ప్రింగ్‌కు కట్టారు. బాహ్య ఆవర్తన బలం ఏ పౌనఃపున్యం వద్ద దిమ్మ అనునాదం చూపుతుంది?
1. 10 Hz
2. 10π Hz
3. 20 Hz
4. 5 Hz
సమాధానం
A. 10 Hz
ω = √(k/m) = √(400π²) = 20π rad s⁻¹, కాబట్టి f = ω/2π = 10 Hz. చోదక పౌనఃపున్యం సహజ పౌనఃపున్యానికి సమానమైనప్పుడు అనునాదం జరుగుతుంది.
A block of mass 0.25 kg is attached to a spring of force constant 100π² N m⁻¹. At what frequency of an external periodic force will the block show resonance?
1. 10 Hz
2. 10π Hz
3. 20 Hz
4. 5 Hz

Page 1 of 1

Finished reading?

Test yourself in 10 minutes

A free 10-question mini-mock on your exam's real pattern, with negative marking and an instant score. अपनी तैयारी 10 मिनट में जाँचें।

Take a free mini-mock →Topic-wise practice