అధ్యాయం 10. క్షేత్రమితి (Mensuration)
ఎలా సాధన చేయాలి ముందుగా మీరే సమాధానం రాయడానికి ప్రయత్నించండి. తర్వాత మాత్రమే క్రింద ఇచ్చిన పరిష్కారం చూడండి. తప్పైతే, ఎక్కడ తప్పు జరిగిందో గుర్తించి నోట్ చేసుకోండి. |
ప్రశ్న 117
3 సెం.మీ. వ్యాసార్థం గల 8 ఒకేలాంటి లోహపు బంతులను కరిగించి ఒకే ఘన గోళంగా తయారు చేశారు. కొత్త గోళం వ్యాసార్థం ఎంత?
A. 3 సెం.మీ
B. 6 సెం.మీ
C. 9 సెం.మీ
D. 12 సెం.మీ
సరైన సమాధానం: B
పరిష్కారం ప్రతి చిన్న బంతి ఘనపరిమాణం = (4/3)π(3)³. 8 బంతుల మొత్తం ఘనపరిమాణం = 8×(4/3)π(3)³. కొత్త గోళం వ్యాసార్థం R అనుకుంటే: (4/3)πR³ = 8×(4/3)π(3)³ ⇒ R³ = 8×27 = 216 = 6³ ⇒ R = 6 సెం.మీ. |
ప్రశ్న 118
ఒక తోటమాలి వద్ద 80 మీ. కంచె తీగ ఉంది. దీనితో ఒక వృత్తాకార పచ్చిక లేదా చతురస్రాకార పచ్చిక ఏదైనా ఒకటి చుట్టవచ్చు. మొత్తం తీగను ఉపయోగిస్తే, వృత్తాకార పచ్చిక వైశాల్యానికి చతురస్రాకార పచ్చిక వైశాల్యానికి మధ్య సుమారు నిష్పత్తి ఎంత?
A. 1 : 1
B. 1.21 : 1
C. 1.27 : 1
D. 1.57 : 1
సరైన సమాధానం: C
పరిష్కారం వృత్తం: చుట్టుకొలత=80 ⇒ వ్యాసార్థం r=40/π, వైశాల్యం=πr²=1600/π. చతురస్రం: చుట్టుకొలత=80 ⇒ భుజం=20, వైశాల్యం=400. నిష్పత్తి = (1600/π)/400 = 4/π ≈ 1.27 : 1. |
ప్రశ్న 119
ఒక దీర్ఘఘనం (rectangular prism) అడుగు వైశాల్యం 36 చ.సెం.మీ. దాని ఎత్తు, మొదటి ఎత్తు 12 సెం.మీ. నుండి 25% పెరిగితే, కొత్త ఘనపరిమాణం ఎంత?
A. 432 ఘ.సెం.మీ
B. 486 ఘ.సెం.మీ
C. 504 ఘ.సెం.మీ
D. 540 ఘ.సెం.మీ
సరైన సమాధానం: D
పరిష్కారం కొత్త ఎత్తు = 12×1.25 = 15 సెం.మీ. కొత్త ఘనపరిమాణం = అడుగు వైశాల్యం×కొత్త ఎత్తు = 36×15 = 540 ఘ.సెం.మీ. |
ప్రశ్న 120
21 సెం.మీ. వ్యాసార్థం గల ఒక అర్ధగోళాకార (hemispherical) గిన్నెను నీటితో పూర్తిగా నింపారు. గిన్నె సామర్థ్యం లీటర్లలో ఎంత? (π = 22/7, 1 లీటరు = 1000 ఘ.సెం.మీ. వాడండి)
A. 19.404 లీటర్లు
B. 9.702 లీటర్లు
C. 38.808 లీటర్లు
D. 21.404 లీటర్లు
సరైన సమాధానం: A
పరిష్కారం సామర్థ్యం = అర్ధగోళ ఘనపరిమాణం = (2/3)πr³ = (2/3)×(22/7)×21³ = 19,404 ఘ.సెం.మీ = 19.404 లీటర్లు. |
ప్రశ్న 121
ఒక దీర్ఘచతురస్రం పొడవు, దాని వెడల్పు కన్నా 3 మీ ఎక్కువ. దాని చుట్టుకొలత 54 మీ. దీర్ఘచతురస్రం వైశాల్యం ఎంత?
A. 180 చ.మీ
B. 162 చ.మీ
C. 196 చ.మీ
D. 154 చ.మీ
సరైన సమాధానం: A
పరిష్కారం వెడల్పు w, పొడవు w+3 అనుకుందాం. చుట్టుకొలత: 2(l+w)=54 ⇒ l+w=27. (w+3)+w=27 ⇒ w=12, l=15. వైశాల్యం = 15×12 = 180 చ.మీ. |
ప్రశ్న 122
ఒక ఘన అర్ధగోళాకార పేపర్‌వెయిట్ వ్యాసం 42 సెం.మీ. దాని మొత్తం తలవైశాల్యం (total surface area) ఎంత? (π = 22/7 వాడండి)
A. 2,772 చ.సెం.మీ
B. 4,158 చ.సెం.మీ
C. 2,079 చ.సెం.మీ
D. 5,544 చ.సెం.మీ
సరైన సమాధానం: B
పరిష్కారం వ్యాసార్థం r = 42/2 = 21 సెం.మీ. మొత్తం తలవైశాల్యం = 3πr² = 3×(22/7)×21² = 4,158 చ.సెం.మీ. |
ప్రశ్న 123
ఒక కారు చక్రం వ్యాసార్థం 42 సెం.మీ. అర్ధ భ్రమణంలో దాని చుట్టుకొలతలో ఎంత శాతం కవర్ అవుతుంది?
A. 25%
B. 40%
C. 50%
D. 60%
సరైన సమాధానం: C
పరిష్కారం అర్ధ భ్రమణంలో, వ్యాసార్థం విలువతో సంబంధం లేకుండా, ఎప్పుడూ సరిగ్గా చుట్టుకొలతలో సగం భాగమే కవర్ అవుతుంది — అంటే 50%. |
ప్రశ్న 124
7 సెం.మీ. వ్యాసార్థం గల వృత్తంలో ఒక జ్యా కేంద్రం వద్ద లంబకోణం (90°) చేస్తుంది. ఆ జ్యా వల్ల ఏర్పడే చిన్న భాగం (minor segment) వైశాల్యం ఎంత? (π = 22/7 వాడండి)
A. 14 చ.సెం.మీ
B. 38.5 చ.సెం.మీ
C. 24.5 చ.సెం.మీ
D. 28 చ.సెం.మీ
సరైన సమాధానం: A
పరిష్కారం సెక్టార్ వైశాల్యం = (90/360)×πr² = (1/4)×(22/7)×7² = 38.5 చ.సెం.మీ. రెండు వ్యాసార్థాలు, జ్యాతో ఏర్పడే త్రిభుజం లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం, దాని వైశాల్యం = (1/2)×7×7 = 24.5 చ.సెం.మీ. సెగ్మెంట్ వైశాల్యం = 38.5−24.5 = 14 చ.సెం.మీ. |
ప్రశ్న 125
ఒక వృత్తాకార తోట వ్యాసార్థం 28 సెం.మీ. దాంట్లో 80% సాగు చేస్తే, సాగు చేయని భాగం వైశాల్యం ఎంత?
A. 193.6 చ.సెం.మీ
B. 246.4 చ.సెం.మీ
C. 492.8 చ.సెం.మీ
D. 615.4 చ.సెం.మీ
సరైన సమాధానం: C
పరిష్కారం తోట వైశాల్యం = πr² = (22/7)×28×28 = 2464 చ.సెం.మీ. సాగు చేయని భాగం = 20%×2464 = 492.8 చ.సెం.మీ. |
ప్రశ్న 126
ఒక శంకువు (cone) అడుగు వ్యాసార్థం 3 సెం.మీ, వాలు ఎత్తు (slant height) 5 సెం.మీ. దాని వక్రతల వైశాల్యం (curved surface area) ఎంత? (π = 22/7 వాడండి)
A. 47.14 చ.సెం.మీ
B. 37.71 చ.సెం.మీ
C. 42.86 చ.సెం.మీ
D. 52.30 చ.సెం.మీ
సరైన సమాధానం: A
పరిష్కారం శంకువు వక్రతల వైశాల్యం = πrl = (22/7)×3×5 = 330/7 ≈ 47.14 చ.సెం.మీ. |
ప్రశ్న 127
12 సెం.మీ × 8 సెం.మీ × 6 సెం.మీ కొలతలు గల ఒక దీర్ఘఘనాన్ని దాని ఎత్తుకు సమాంతరంగా, ఎత్తును సరిగ్గా సగానికి కత్తిరిస్తూ, రెండు సమాన చిన్న దీర్ఘఘనాలుగా కత్తిరించారు. చిన్న దీర్ఘఘనాల్లో ఒకదాని మొత్తం తలవైశాల్యం ఎంత?
A. 432 చ.సెం.మీ
B. 352 చ.సెం.మీ
C. 282 చ.సెం.మీ
D. 312 చ.సెం.మీ
సరైన సమాధానం: D
పరిష్కారం ఎత్తును సగానికి కత్తిరిస్తే చిన్న దీర్ఘఘనం కొలతలు 12×8×3 సెం.మీ. దాని మొత్తం తలవైశాల్యం = 2(lb+bh+hl) = 2(12×8+8×3+3×12) = 2(96+24+36) = 2×156 = 312 చ.సెం.మీ. |
ప్రశ్న 128
6 సెం.మీ. వ్యాసార్థం, 15 సెం.మీ. ఎత్తు గల నీటితో నిండిన స్థూపాకార పాత్ర నుండి నీటిని అదే అడుగు వ్యాసార్థం (6 సెం.మీ) గల ఖాళీ శంకువు ఆకార పాత్రలో పోశారు. నీరు శంకువులో ఎంత ఎత్తుకు చేరుతుంది (మొత్తం నీరు పడుతుందని అనుకుందాం)?
A. 30 సెం.మీ
B. 45 సెం.మీ
C. 35 సెం.మీ
D. 40 సెం.మీ
సరైన సమాధానం: B
పరిష్కారం స్థూపం ఘనపరిమాణం = πr²h1 = π×36×15. అదే వ్యాసార్థం గల శంకువు ఘనపరిమాణం = (1/3)πr²h2. సమీకరిస్తే: 36×15 = (1/3)×36×h2 ⇒ h2 = 15×3 = 45 సెం.మీ. |
ప్రశ్న 129
21 మీ అడుగు వ్యాసార్థం, 10 మీ ఎత్తు గల ఒక స్థూపాకార నీటి తొట్టిలోకి నిమిషానికి 27720 లీటర్ల చొప్పున నీరు పంపుతారు. తొట్టి పూర్తిగా నిండటానికి ఎంత సమయం పడుతుంది? (π = 22/7; 1 ఘ.మీ = 1000 లీటర్లు)
A. 420 నిమిషాలు
B. 608 నిమిషాలు
C. 340 నిమిషాలు
D. 500 నిమిషాలు
సరైన సమాధానం: D
పరిష్కారం తొట్టి ఘనపరిమాణం = πr²h = (22/7)×21×21×10 = 13860 ఘ.మీ = 1,38,60,000 లీటర్లు. సమయం = 1,38,60,000÷27,720 = 500 నిమిషాలు. |