అధ్యాయం 12. క్షేత్రగణితం (Geometry)
ఎలా సాధన చేయాలి ముందుగా మీరే సమాధానం రాయడానికి ప్రయత్నించండి. తర్వాత మాత్రమే క్రింద ఇచ్చిన పరిష్కారం చూడండి. తప్పైతే, ఎక్కడ తప్పు జరిగిందో గుర్తించి నోట్ చేసుకోండి. |
ప్రశ్న 143
13 మీ. పొడవున్న నిచ్చెనను గోడకు ఆనించారు, దాని అడుగు గోడ నుండి 5 మీ. దూరంలో ఉంది. నిచ్చెన గోడపై ఎంత ఎత్తుకు చేరుతుంది?
A. 10 మీ
B. 12 మీ
C. 11 మీ
D. 14 మీ
సరైన సమాధానం: B
పరిష్కారం ఎత్తు h అనుకుందాం. పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం: h² = 13²−5² = 169−25 = 144, కాబట్టి h = √144 = 12 మీ. |
ప్రశ్న 144
కేంద్రం O గల ఒక వృత్తంలో జ్యా (chord) UV కేంద్రం వద్ద 124° కోణాన్ని చేస్తుంది. UV, పెద్ద చాపం (major arc)పై ఉన్న బిందువు Wవద్ద చేసే కోణం ఎంత?
A. 124°
B. 31°
C. 62°
D. 28°
సరైన సమాధానం: C
పరిష్కారం ఒక జ్యా (లేదా చాపం) వృత్త కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం, అదే జ్యా మిగిలిన (పెద్ద) చాపంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా చేసే కోణానికి రెట్టింపు ఉంటుంది. ఇక్కడ ∠UOV=124°, కాబట్టి ∠UWV = 124°/2 = 62°. |
ప్రశ్న 145
AC ఒక వృత్తానికి వ్యాసం. B మరియు D, AC యొక్క వ్యతిరేక వైపులలో వృత్తంపై ఉన్న బిందువులు (A,B,C,D ఈ క్రమంలో వృత్తం చుట్టూ ఉంటాయి). ∠BAC = 35°, ∠CAD = 45° అయితే, ∠BCD ఎంత?
A. 110°
B. 115°
C. 100°
D. 80°
సరైన సమాధానం: C
పరిష్కారం AC వ్యాసం కాబట్టి, ∠ABC=90°, ∠ADC=90° (అర్ధవృత్తంలో కోణం సిద్ధాంతం). త్రిభుజం ABCలో ∠BCA = 90°−35° = 55°. త్రిభుజం ADCలో ∠DCA = 90°−45° = 45°. B, D, ACకు వ్యతిరేక వైపులలో ఉన్నందున, ∠BCD = ∠BCA+∠DCA = 55°+45° = 100°. |
ప్రశ్న 146
AB ఒక వృత్తానికి వ్యాసం. C వృత్తంపై ఒక బిందువు, CD, ABకు లంబంగా D వద్ద (D, A మరియు B మధ్య) కలుస్తుంది. ∠BAC = 25° అయితే, ∠BCD మరియు ∠ACD కనుగొనండి.
A. ∠BCD=90°, ∠ACD=65°
B. ∠BCD=25°, ∠ACD=65°
C. ∠BCD=65°, ∠ACD=25°
D. ∠BCD=25°, ∠ACD=25°
సరైన సమాధానం: B
పరిష్కారం AB వ్యాసం కాబట్టి ∠ACB=90°; కనుక త్రిభుజం ACB, Cవద్ద లంబకోణం కలిగి ఉంటుంది, CD ఆ లంబకోణం నుండి కర్ణం ABపైకి ఎత్తు. దీనివల్ల ఏర్పడే త్రిభుజం BCD, త్రిభుజం BACకు సరూపంగా ఉంటుంది: ∠BCD=∠BAC=25°. అలాగే త్రిభుజం ACD, త్రిభుజం ABCకు సరూపం: ∠ACD=∠ABC=90°−25°=65°. |
ప్రశ్న 147
3 సెం.మీ, 4 సెం.మీ, 5 సెం.మీ భుజాలున్న లంబకోణ త్రిభుజాన్ని 3 సెం.మీ. భుజం చుట్టూ తిప్పితే ఒక శంకువు (cone) ఏర్పడుతుంది. ఏర్పడిన శంకువు ఘనపరిమాణం ఎంత?
A. 25π ఘ.సెం.మీ
B. 28π ఘ.సెం.మీ
C. 20π ఘ.సెం.మీ
D. 16π ఘ.సెం.మీ
సరైన సమాధానం: D
పరిష్కారం 3 సెం.మీ. భుజం చుట్టూ తిప్పినప్పుడు, ఆ భుజం శంకువు ఎత్తుగా, మరో భుజం 4 సెం.మీ. వ్యాసార్థంగా మారుతుంది. ఘనపరిమాణం = (1/3)πr²h = (1/3)×π×4²×3 = 16π ఘ.సెం.మీ. |
ప్రశ్న 148
5 సెం.మీ, 6 సెం.మీ, 9 సెం.మీ భుజాలతో త్రిభుజం ఏర్పడుతుందా? అయితే, పొడవైన భుజం వర్గాన్ని మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తంతో పోల్చి, అది అల్పకోణ (acute), లంబకోణ (right) లేదా అధికకోణ (obtuse) త్రిభుజమో నిర్ధారించండి.
A. చెల్లుబాటు అయ్యే త్రిభుజం — అల్పకోణం
B. చెల్లుబాటు అయ్యే త్రిభుజం — లంబకోణం
C. చెల్లదు (త్రిభుజ అసమానతను తీర్చదు)
D. చెల్లుబాటు అయ్యే త్రిభుజం — అధికకోణం
సరైన సమాధానం: D
పరిష్కారం ముందుగా త్రిభుజ అసమానత తనిఖీ చేయాలి: 5+6=11 > 9, కాబట్టి ఇది చెల్లుబాటు అయ్యే త్రిభుజం. ఇప్పుడు పొడవైన భుజం వర్గాన్ని మిగిలిన రెండింటి వర్గాల మొత్తంతో పోల్చాలి: 9²=81, 5²+6²=25+36=61. 81>61 కాబట్టి, పొడవైన భుజానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణం 90° కన్నా ఎక్కువ — ఇది అధికకోణ (obtuse) త్రిభుజం. |
ప్రశ్న 149
ఒక వృత్తంలో జ్యా దాని వ్యాసార్థానికి సమానం. ఈ జ్యా కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం ఎంత?
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
సరైన సమాధానం: B
పరిష్కారం జ్యా వ్యాసార్థానికి సమానమైనప్పుడు, రెండు వ్యాసార్థాలు, జ్యాతో సమబాహు త్రిభుజం ఏర్పడుతుంది, కాబట్టి కేంద్రం వద్ద కోణం 60°. |
ప్రశ్న 150
10 సెం.మీ. వ్యాసార్థం గల వృత్తంలో 16 సెం.మీ. పొడవున్న జ్యా గీశారు. కేంద్రం నుండి జ్యాకు దూరం ఎంత?
A. 4 సెం.మీ
B. 5 సెం.మీ
C. 6 సెం.మీ
D. 8 సెం.మీ
సరైన సమాధానం: C
పరిష్కారం కేంద్రం నుండి లంబం జ్యాను రెండు సమాన భాగాలుగా చేస్తుంది, కర్ణం=వ్యాసార్థం=10, సగం జ్యా=8 గల లంబకోణ త్రిభుజం ఏర్పడుతుంది. కేంద్రం నుండి దూరం = √(10²−8²) = √(100−64) = √36 = 6 సెం.మీ. |
ప్రశ్న 151
ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార ప్రాంగణం 4మీ 95సెం.మీ పొడవు, 16మీ 65సెం.మీ వెడల్పు ఉంది. దీన్ని ఒకే సైజు చతురస్రాకార టైల్స్‌తో పరచాలి. అవసరమైన కనిష్ఠ టైల్స్ సంఖ్య ఎంత?
A. 407
B. 388
C. 877
D. 944
సరైన సమాధానం: A
పరిష్కారం పొడవు = 4మీ 95సెం.మీ = 495 సెం.మీ, వెడల్పు = 16మీ 65సెం.మీ = 1665 సెం.మీ. కనిష్ఠ టైల్స్ సంఖ్య కోసం, టైల్ భుజం 495, 1665ల గ.సా.భా. కావాలి, అది 45 సెం.మీ. టైల్స్ సంఖ్య = (495/45)×(1665/45) = 11×37 = 407. |
ప్రశ్న 152
ఒక త్రిభుజం వైశాల్యం 84 చ.సెం.మీ, అర్ధపరిధి (semi-perimeter) 14 సెం.మీ. దాని అంతర్వృత్త వ్యాసార్థం (inradius) ఎంత?
A. 4 సెం.మీ
B. 5 సెం.మీ
C. 7 సెం.మీ
D. 6 సెం.మీ
సరైన సమాధానం: D
పరిష్కారం అంతర్వృత్త వ్యాసార్థం (r) = వైశాల్యం/అర్ధపరిధి = 84/14 = 6 సెం.మీ. |
ప్రశ్న 153
ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం (వరుస క్రమంలో శీర్షాలు). CD భుజాన్ని G వరకు పొడిగిస్తే, బాహ్య కోణం ∠ADG = (6x+22)° ఏర్పడుతుంది. దీనికి ఎదురుగా ఉన్న అంతర కోణం ∠B = (2x+54)° అయితే, x విలువ కనుగొనండి.
A. 12
B. 8
C. 10
D. 5
సరైన సమాధానం: B
పరిష్కారం చక్రీయ చతుర్భుజం యొక్క బాహ్య కోణం, దానికి ఎదురుగా ఉన్న అంతర కోణానికి సమానం. కాబట్టి (6x+22) = (2x+54). పరిష్కరిస్తే: 4x=32, x=8. |
ప్రశ్న 154
ABCD ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం (వరుస క్రమంలో శీర్షాలు). ∠D = (2x+30)°, ∠B = (1x+90)° అయితే, x విలువ కనుగొనండి.
A. 20
B. 22
C. 17
D. 25
సరైన సమాధానం: A
పరిష్కారం ABCD చక్రీయం కాబట్టి, ఎదురెదురు కోణాలు D, B కలిపి 180° అవుతాయి: (2x+30)+(1x+90)=180. దీన్ని పరిష్కరిస్తే: 3x=60, x=20. |
ప్రశ్న 155
ABCD ఒక ట్రెపీజియం, AB, CDకు సమాంతరం. కర్ణాలు AC, BD బిందువు Oవద్ద కలుస్తాయి. AB=12 సెం.మీ, CD=8 సెం.మీ, AO=9 సెం.మీ అయితే, OC పొడవు ఎంత?
A. 9 సెం.మీ
B. 3 సెం.మీ
C. 10 సెం.మీ
D. 6 సెం.మీ
సరైన సమాధానం: D
పరిష్కారం AB∥CD కాబట్టి, త్రిభుజం AOB ~ త్రిభుజం COD (AA సరూపత). కాబట్టి AO/OC = AB/CD, OC = AO×CD/AB = 9×8/12 = 6 సెం.మీ. |