స్కూల్ అసిస్టెంట్లు మరియు TET పేపర్ 2A కోసం గణితం (VI-X తరగతులు) · Chapter 13

పునశ్చరణ పట్టికలు: సూత్రాలు మరియు సిద్ధాంతాలు (6 నుండి 10 తరగతులు)

గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

బీజగణితం మరియు సంఖ్యలు: (a + b)² = a² + 2ab + b²; వర్గ సమీకరణ మూలాలు x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a; AP: aₙ = a + (n − 1)d మరియు Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d].
జ్యామితి: పైథాగరస్ సిద్ధాంతం (a² + b² = c²), ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం, త్రిభుజ కోణాల మొత్తం = 180°, అర్ధవృత్తంలో కోణం = 90°, స్పర్శరేఖ ⟂ వ్యాసార్థం.
క్షేత్రగణితం, త్రికోణమితి మరియు నిరూపకాలు: ప్రామాణిక ఘనాకృతుల వైశాల్య, ఘనపరిమాణ సూత్రాలు; sin²θ + cos²θ = 1; దూర సూత్రం √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].

పట్టిక 1: సంఖ్యలు, ఘాతాలు, శాతాలు

రెండు సంఖ్యల గసాభా × క.సా.గు = ఆ రెండు సంఖ్యల లబ్ధం.
యూక్లిడ్ భాగహార లెమ్మా: a = bq + r, 0 ≤ r < b.
ఘాత నియమాలు: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; a⁰ = 1; a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
శాతం: y లో x% = xy/100. శాతం మార్పు = (మార్పు / అసలు) × 100.
లాభం = అమ్మకం ధర − కొన్న ధర; లాభ % = (లాభం / కొన్న ధర) × 100; నష్ట % = (నష్టం / కొన్న ధర) × 100. అమ్మకం ధర = కొన్న ధర × (100 + లాభ %)/100.
సాధారణ వడ్డీ SI = PRT/100. మొత్తం A = P + SI.
చక్రవడ్డీ (సంవత్సరానికి): A = P (1 + R/100)ⁿ; CI = A − P.
నిష్పత్తి మరియు అనుపాతం: a : b = c : d అయితే ad = bc. ప్రత్యక్ష విమరణం: y/x స్థిరం. విలోమ విమరణం: xy స్థిరం.
సమాన దూరాలకు u మరియు v వేగాలతో సగటు వేగం = 2uv/(u + v).
వేగం = దూరం / కాలం. 1 km/h = 5/18 m/s.

పట్టిక 2: బీజగణితం

అంశం	సూత్రం
మొత్తం వర్గం	(a + b)² = a² + 2ab + b²
భేదం వర్గం	(a − b)² = a² − 2ab + b²
వర్గాల భేదం	a² − b² = (a + b)(a − b)
ద్విపద లబ్ధం	(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
మొత్తం ఘనం	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
ఘనాల మొత్తం	a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
ఘనాల భేదం	a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). విచక్షణి D = b² − 4ac. D > 0 అయితే రెండు భిన్న వాస్తవ మూలాలు; D = 0 అయితే రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు; D < 0 అయితే వాస్తవ మూలాలు ఉండవు.
మూలాల మొత్తం = −b/a. మూలాల లబ్ధం = c/a.
రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణ జత a₁x + b₁y + c₁ = 0 మరియు a₂x + b₂y + c₂ = 0: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ అయితే ఏకైక సాధన; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ అయితే సాధన లేదు; మూడు నిష్పత్తులూ సమానమైతే అనంత సాధనలు.
అంకశ్రేణి: aₙ = a + (n − 1)d. Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] = n/2 (a + l). మొదటి n సహజ సంఖ్యల మొత్తం = n(n + 1)/2.
బహుపది: అత్యధిక ఘాతం దాని పరిమాణం (డిగ్రీ). n పరిమాణం ఉన్న బహుపదికి గరిష్ఠంగా n శూన్యాలు ఉంటాయి. శేష సిద్ధాంతం: p(x) ÷ (x − a) శేషం p(a). కారణాంక సిద్ధాంతం: p(a) = 0 అయితే (x − a) ఒక కారణాంకం.

పట్టిక 3: సమితులు మరియు సాంఖ్యకశాస్త్రం

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). n మూలకాలు ఉన్న సమితికి 2ⁿ ఉపసమితులు ఉంటాయి.
సగటు = Σfx / Σf. మధ్యగతం = l + [(n/2 − cf)/f] × h. బహుళకం = l + [(f1 − f0)/(2f1 − f0 − f2)] × h.
బహుళకం = 3 మధ్యగతం − 2 సగటు.
సంభావ్యత P(E) = అనుకూల / మొత్తం. P(E కాదు) = 1 − P(E). 0 ≤ P(E) ≤ 1.

పట్టిక 4: జ్యామితి సిద్ధాంతాలు

సిద్ధాంతం	ప్రవచనం
కోణాల మొత్తం ధర్మం	త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం 180°.
బాహ్య కోణ ధర్మం	బాహ్య కోణం దాని ఎదుటి రెండు అంతర కోణాల మొత్తానికి సమానం.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం	లంబకోణ త్రిభుజంలో (కర్ణం)² = మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తం.
పైథాగరస్ విపర్యయం	త్రిభుజంలో a² + b² = c² అయితే, c కి ఎదురుగా ఉన్న కోణం లంబకోణం.
ప్రాథమిక అనుపాత (థేల్స్) సిద్ధాంతం	త్రిభుజంలో ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
సరూప త్రిభుజాలు	వైశాల్యాల నిష్పత్తి = సదృశ భుజాల నిష్పత్తి వర్గం.
జ్యా మరియు కేంద్రం	కేంద్రం నుండి జ్యాకు గీసిన లంబం జ్యాను సమద్విఖండన చేస్తుంది.
కేంద్రం వద్ద కోణం	ఒక చాపం కేంద్రం వద్ద ఏర్పరిచే కోణం, మిగిలిన వృత్తంపై ఏ బిందువు వద్దనైనా ఏర్పరిచే కోణానికి రెట్టింపు.
ఒకే ఖండంలోని కోణాలు	అవి సమానం.
అర్ధవృత్తం	అర్ధవృత్తంలోని కోణం 90°.
చక్రీయ చతుర్భుజం	ఎదుటి కోణాల మొత్తం 180°.
స్పర్శరేఖ	ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ ఆ బిందువు గుండా పోయే వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటుంది.
బాహ్య బిందువు నుండి రెండు స్పర్శరేఖలు	వాటి పొడవులు సమానం.

త్రిభుజాల సర్వసమానత్వ నియమాలు: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS.
సరూపత నియమాలు: AAA (లేదా AA), SSS (భుజాలు అనుపాతంలో), SAS (ఒక కోణం సమానం మరియు దానిని ఏర్పరిచే భుజాలు అనుపాతంలో).
n భుజాలు ఉన్న బహుభుజి అంతర కోణాల మొత్తం = (n − 2) × 180°. క్రమ బహుభుజిలో ప్రతి బాహ్య కోణం = 360°/n.
సమాంతర చతుర్భుజంలో ఎదుటి భుజాలు సమానం, కర్ణాలు ఒకదానినొకటి సమద్విఖండన చేస్తాయి. రాంబస్‌లో భుజాలు సమానం, కర్ణాలు పరస్పర లంబంగా ఉంటాయి. దీర్ఘచతురస్రంలో కర్ణాలు సమానం.
మధ్య బిందు సిద్ధాంతం: రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖ మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉండి, దానిలో సగం ఉంటుంది.
యూక్లిడ్ యొక్క ఐదు స్వీకృతాలు మరియు సూత్రాలు (axioms) సాంప్రదాయ జ్యామితికి పునాది. సూత్రం: "ఒకే వస్తువుకు సమానమైనవి ఒకదానికొకటి సమానం."

పట్టిక 5: క్షేత్రగణితం

ఆకృతి	వైశాల్యం / ఉపరితల వైశాల్యం	ఘనపరిమాణం
దీర్ఘచతురస్రం	l × b	–
త్రిభుజం	½ × భూమి × ఎత్తు	–
సమబాహు త్రిభుజం	(√3/4) a²	–
సమాంతర చతుర్భుజం	భూమి × ఎత్తు	–
సమలంబ చతుర్భుజం	½ (a + b) h	–
రాంబస్	½ d₁ d₂	–
వృత్తం	πr²; చుట్టుకొలత 2πr	–
ఘనం (క్యూబ్)	TSA 6a²; LSA 4a²	a³
దీర్ఘఘనం (క్యూబాయిడ్)	TSA 2(lb + bh + hl); LSA 2h(l + b)	lbh
స్థూపం	CSA 2πrh; TSA 2πr(r + h)	πr²h
శంఖువు	CSA πrl; TSA πr(r + l); l² = r² + h²	⅓ πr²h
గోళం	4πr²	4/3 πr³
అర్ధగోళం	CSA 2πr²; TSA 3πr²	2/3 πr³

హెరాన్ సూత్రం: వైశాల్యం = √[s(s − a)(s − b)(s − c)], s = (a + b + c)/2.
θ కోణం గల వృత్త సెక్టారు: చాప పొడవు = (θ/360) × 2πr; వైశాల్యం = (θ/360) × πr².
శంఖు ఛిన్నకం (Frustum): ఘనపరిమాణం = (πh/3)(r₁² + r₁r₂ + r₂²). ఘనాన్ని కరిగించి మళ్లీ పోతపోసినప్పుడు ఘనపరిమాణం మారదు.

పట్టిక 6: త్రికోణమితి

sin θ = ఎదుటి భుజం/కర్ణం; cos θ = ఆసన్న భుజం/కర్ణం; tan θ = ఎదుటి భుజం/ఆసన్న భుజం. cosec, sec, cot లు వరుసగా sin, cos, tan ల విలోమాలు.
tan θ = sin θ / cos θ.
సర్వసమీకరణాలు: sin²θ + cos²θ = 1; 1 + tan²θ = sec²θ; 1 + cot²θ = cosec²θ.
పూరక కోణాలు: sin(90° − θ) = cos θ; tan(90° − θ) = cot θ; sec(90° − θ) = cosec θ.

θ	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1/2	1/√2	√3/2	1
cos	1	√3/2	1/√2	1/2	0
tan	0	1/√3	1	√3	నిర్వచించబడలేదు

ఊర్ధ్వకోణం (Angle of elevation): క్షితిజ సమాంతరానికి మరియు పైకి చూసే దృష్టి రేఖకు మధ్య కోణం. అవరోహణ కోణం (Angle of depression): క్షితిజ సమాంతరానికి మరియు కిందికి చూసే దృష్టి రేఖకు మధ్య కోణం.
ఎత్తు సమస్య: ఎత్తు = దూరం × tan(ఊర్ధ్వకోణం).

పట్టిక 7: నిరూపక జ్యామితి

(x₁, y₁) మరియు (x₂, y₂) మధ్య దూరం = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]. మూలబిందువు నుండి దూరం = √(x² + y²).
మధ్య బిందువు = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
విభజన సూత్రం (అంతర్విభజన, నిష్పత్తి m : n) = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n)).
త్రిభుజ వైశాల్యం = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|. ఈ వైశాల్యం సున్నా అయితే మూడు బిందువులు సరేఖీయాలు.
కేంద్రక బిందువు (Centroid) = ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3).
రెండు బిందువుల గుండా పోయే రేఖ వాలు = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). సమాంతర రేఖలకు సమాన వాలులు ఉంటాయి.
పాదాలు (Quadrants): I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −).

పరీక్షలో పొరపాట్లు

(a + b)² అనేది a² + b² కాదు. మధ్య పదం 2ab ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది.
విచక్షణి b² − 4ac, b² + 4ac కాదు.
AP లో Sₙ కు n/2 వాడతాం, n వ పదానికి (n − 1)d వాడతాం, nd కాదు.
త్రిభుజ వైశాల్యంలో ½ ఉంటుంది; శంఖు ఘనపరిమాణంలో ⅓; గోళ ఘనపరిమాణంలో 4/3.
sec 60° = 2, కానీ cos 60° = 1/2. విలోమాలను కలిపేయడం సులభం.
తిర్యక్ ఎత్తు (slant height) l = √(r² + h²), r + h కాదు.
సరూప త్రిభుజాలు: వైశాల్యాలు భుజాల వర్గాల నిష్పత్తిలో ఉంటాయి; చుట్టుకొలతలు భుజాల నిష్పత్తిలో ఉంటాయి.
tan 90° మరియు cot 0° నిర్వచించబడలేదు.

ఒక్క వాక్య సారాంశాలు

1. గసాభా × క.సా.గు = రెండు సంఖ్యల లబ్ధం.
2. SI = PRT/100.
3. వర్గ సమీకరణ మూలాలు: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a.
4. AP యొక్క n పదాల మొత్తం = n/2 [2a + (n − 1)d].
5. n భుజాల బహుభుజి అంతర కోణాల మొత్తం (n − 2) × 180°.
6. అర్ధవృత్తంలోని కోణం 90°.
7. బాహ్య బిందువు నుండి స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానం.
8. శంఖు ఘనపరిమాణం, అదే భూమి మరియు ఎత్తు గల స్థూప ఘనపరిమాణంలో మూడో వంతు.
9. sin²θ + cos²θ = 1.
10. sin 30° = cos 60° = 1/2.
11. (x₁, y₁), (x₂, y₂) ల మధ్య బిందువు నిరూపకాల సగటు.
12. బహుళకం = 3 మధ్యగతం − 2 సగటు.

సాధన ప్రశ్నలు

a, b అనే రెండు ధన పూర్ణాంకాలకు HCF × LCM విలువ
1. a / b
2. a × b
3. a + b
4. a² + b²
సమాధానం
B. a × b
For two positive integers a and b, HCF × LCM equals
1. a / b
2. a × b
3. a + b
4. a² + b²
ax² + bx + c = 0 అనే వర్గ సమీకరణం విచక్షణి (discriminant)
1. b² + 4ac
2. 2b - 4ac
3. b² - 4ac
4. 4ac - b
సమాధానం
C. b² - 4ac
The discriminant of the quadratic equation ax² + bx + c = 0 is
1. b² + 4ac
2. 2b - 4ac
3. b² - 4ac
4. 4ac - b
ఒక వర్గ సమీకరణం విచక్షణి రుణాత్మకమైతే, ఆ సమీకరణానికి
1. సరిగ్గా ఒక వాస్తవ మూలం ఉంటుంది
2. రెండు భిన్న వాస్తవ మూలాలు ఉంటాయి
3. రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు ఉంటాయి
4. వాస్తవ మూలాలు ఉండవు
సమాధానం
D. వాస్తవ మూలాలు ఉండవు
If the discriminant of a quadratic equation is negative, then the equation has
1. exactly one real root
2. two distinct real roots
3. two equal real roots
4. no real roots
మొదటి పదం a, సామాన్య భేదం d గల అంకశ్రేఢి (AP) యొక్క nవ పదం
1. (n - 1)(a + d)
2. a + (n - 1)d
3. a + nd
4. a - (n - 1)d
సమాధానం
B. a + (n - 1)d
The nth term of an AP with first term a and common difference d is
1. (n - 1)(a + d)
2. a + (n - 1)d
3. a + nd
4. a - (n - 1)d
n భుజాలు గల బహుభుజి అంతర కోణాల మొత్తం
1. (n - 2) × 180°
2. (n - 1) × 180°
3. (n + 2) × 90°
4. n × 180°
సమాధానం
A. (n - 2) × 180°
The sum of the interior angles of a polygon with n sides is
1. (n - 2) × 180°
2. (n - 1) × 180°
3. (n + 2) × 90°
4. n × 180°
అర్ధవృత్తంలోని కోణం
1. 180°
2. 45°
3. 90°
4. 60°
సమాధానం
C. 90°
The angle in a semicircle is
1. 180°
2. 45°
3. 90°
4. 60°
చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు కోణాలు
1. సమానంగా ఉంటాయి
2. సంపూరకాలు (మొత్తం 180°)
3. పూరకాలు (మొత్తం 90°)
4. ప్రతి ఒక్కటి 90°
సమాధానం
B. సంపూరకాలు (మొత్తం 180°)
In a cyclic quadrilateral the opposite angles are
1. equal
2. supplementary (sum 180°)
3. complementary (sum 90°)
4. each 90°
భూ వ్యాసార్ధం r, ఎత్తు h గల శంఖువు ఘనపరిమాణం
1. ½ πr²h
2. πr²h
3. ⅔ πr²h
4. ⅓ πr²h
సమాధానం
D. ⅓ πr²h
The volume of a cone of base radius r and height h is
1. ½ πr²h
2. πr²h
3. ⅔ πr²h
4. ⅓ πr²h
వ్యాసార్ధం r గల గోళం ఉపరితల వైశాల్యం
1. 4πr²
2. 2πr²
3. 4/3 πr³
4. 3πr²
సమాధానం
A. 4πr²
The surface area of a sphere of radius r is
1. 4πr²
2. 2πr²
3. 4/3 πr³
4. 3πr²
వ్యాసార్ధం r, ఎత్తు h గల స్థూపం వక్రతల వైశాల్యం
1. πr²h
2. 2πr(r + h)
3. πrh
4. 2πrh
సమాధానం
D. 2πrh
The curved surface area of a cylinder of radius r and height h is
1. πr²h
2. 2πr(r + h)
3. πrh
4. 2πrh
1 + tan²θ కు సమానమైన సర్వసమీకరణం
1. sec²θ
2. cot²θ
3. cosec²θ
4. sin²θ
సమాధానం
A. sec²θ
The identity 1 + tan²θ equals
1. sec²θ
2. cot²θ
3. cosec²θ
4. sin²θ
త్రిభుజాల సర్వసమానత్వ నియమం కానిది ఏది?
1. SAS
2. SSS
3. SSA (రెండు భుజాలు, వాటి మధ్యలో లేని కోణం)
4. RHS
సమాధానం
C. SSA (రెండు భుజాలు, వాటి మధ్యలో లేని కోణం)
Which is NOT a criterion for congruence of triangles?
1. SAS
2. SSS
3. SSA (two sides and a non-included angle)
4. RHS
ax² + bx + c = 0 యొక్క మూలాల మొత్తం
1. c/a
2. -b/a
3. -c/a
4. b/a
సమాధానం
B. -b/a
The sum of the roots of ax² + bx + c = 0 is
1. c/a
2. -b/a
3. -c/a
4. b/a
వృత్తంపై ఒక బిందువు వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ, ఆ బిందువు గుండా పోయే వ్యాసార్ధానికి ___
1. సమాంతరంగా ఉంటుంది
2. లంబంగా ఉంటుంది
3. 45° వాలుతో ఉంటుంది
4. సమానం
సమాధానం
B. లంబంగా ఉంటుంది
A tangent to a circle at a point is ___ to the radius through that point.
1. parallel
2. perpendicular
3. inclined at 45°
4. equal
త్రిభుజ వైశాల్యానికి హెరాన్ సూత్రంలో వాడే s విలువ
1. abc/2
2. a + b + c
3. (a + b + c)/2
4. (a + b + c)/3
సమాధానం
C. (a + b + c)/2
Heron's formula for the area of a triangle uses s, which equals
1. abc/2
2. a + b + c
3. (a + b + c)/2
4. (a + b + c)/3
cos 60° విలువ
1. √3/2
2. 1/√2
3. 1
4. 1/2
సమాధానం
D. 1/2
The value of cos 60° is
1. √3/2
2. 1/√2
3. 1
4. 1/2
త్రిభుజంలో రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖ మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది, దాని పొడవు మూడవ భుజానికి
1. దానిలో సగం
2. దానికి రెండింతలు
3. దానికి సమానం
4. దానిలో మూడో వంతు
సమాధానం
A. దానిలో సగం
The line joining the mid-points of two sides of a triangle is parallel to the third side and equal to
1. half of it
2. twice of it
3. equal to it
4. one-third of it
యూక్లిడ్ భాగహార లెమ్మా ప్రకారం, ధన పూర్ణాంకాలు a, b లకు ఈ క్రింది విధంగా ఏకైక పూర్ణాంకాలు q, r ఉంటాయి
1. a = bq + r, 0 ≤ r < b
2. a = bq - r, 0 < r ≤ b
3. a = b + q + r
4. b = aq + r, r > a
సమాధానం
A. a = bq + r, 0 ≤ r < b
Euclid's division lemma states that for positive integers a and b there exist unique integers q and r such that
1. a = bq + r, 0 ≤ r < b
2. a = bq - r, 0 < r ≤ b
3. a = b + q + r
4. b = aq + r, r > a
రెండు సంఖ్యల HCF 12, LCM 180. ఒక సంఖ్య 36 అయితే, రెండవ సంఖ్య
1. 72
2. 45
3. 30
4. 60
సమాధానం
D. 60
The HCF of two numbers is 12 and their LCM is 180. If one number is 36, the other is
1. 72
2. 45
3. 30
4. 60
2000 పై సంవత్సరానికి 5% చొప్పున 4 సంవత్సరాలకు సాధారణ వడ్డీ
1. 500
2. 440
3. 400
4. 200
సమాధానం
C. 400
Simple interest on 2000 at 5% per year for 4 years is
1. 500
2. 440
3. 400
4. 200
5000 పై సంవత్సరానికి 10% చొప్పున 2 సంవత్సరాలకు చక్రవడ్డీ
1. 1210
2. 1050
3. 1100
4. 1000
సమాధానం
B. 1050
Compound interest on 5000 at 10% per year for 2 years is
1. 1210
2. 1050
3. 1100
4. 1000
AP 5, 9, 13, … లో 12వ పదం
1. 53
2. 48
3. 45
4. 49
సమాధానం
D. 49
The 12th term of the AP 5, 9, 13, … is
1. 53
2. 48
3. 45
4. 49
మొదటి 20 సహజ సంఖ్యల మొత్తం
1. 210
2. 200
3. 420
4. 220
సమాధానం
A. 210
The sum of the first 20 natural numbers is
1. 210
2. 200
3. 420
4. 220
2x² - 6x + 1 = 0 యొక్క మూలాల మొత్తం
1. -3
2. 6
3. 1/2
4. 3
సమాధానం
D. 3
The sum of the roots of 2x² - 6x + 1 = 0 is
1. -3
2. 6
3. 1/2
4. 3
x² - 4x + 4 = 0 సమీకరణానికి
1. వాస్తవ మూలాలు లేవు
2. రెండు భిన్న వాస్తవ మూలాలు ఉన్నాయి
3. రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు ఉన్నాయి
4. మూడు మూలాలు ఉన్నాయి
సమాధానం
C. రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు ఉన్నాయి
The equation x² - 4x + 4 = 0 has
1. no real roots
2. two distinct real roots
3. two equal real roots
4. three roots
అష్టభుజి అంతర కోణాల మొత్తం
1. 720°
2. 1080°
3. 1440°
4. 900°
సమాధానం
B. 1080°
The sum of the interior angles of an octagon is
1. 720°
2. 1080°
3. 1440°
4. 900°
క్రమ బహుభుజిలో ప్రతి బాహ్య కోణం 45°. భుజాల సంఖ్య
1. 10
2. 8
3. 9
4. 6
సమాధానం
B. 8
Each exterior angle of a regular polygon is 45°. The number of sides is
1. 10
2. 8
3. 9
4. 6
లంబకోణ త్రిభుజంలో లంబ భుజాలు 9 సెం.మీ., 12 సెం.మీ. కర్ణం
1. 14 సెం.మీ.
2. 21 సెం.మీ.
3. 15 సెం.మీ.
4. 13 సెం.మీ.
సమాధానం
C. 15 సెం.మీ.
The legs of a right triangle are 9 cm and 12 cm. The hypotenuse is
1. 14 cm
2. 21 cm
3. 15 cm
4. 13 cm
వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ., ఎత్తు 10 సెం.మీ. గల స్థూపం వక్రతల వైశాల్యం (π = 22/7)
1. 440 సెం.మీ.²
2. 1540 సెం.మీ.²
3. 880 సెం.మీ.²
4. 220 సెం.మీ.²
సమాధానం
A. 440 సెం.మీ.²
The curved surface area of a cylinder of radius 7 cm and height 10 cm (π = 22/7) is
1. 440 cm²
2. 1540 cm²
3. 880 cm²
4. 220 cm²
వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ., ఏటవాలు ఎత్తు 25 సెం.మీ. గల శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం (π = 22/7)
1. 550 సెం.మీ.²
2. 1100 సెం.మీ.²
3. 175 సెం.మీ.²
4. 1925 సెం.మీ.²
సమాధానం
A. 550 సెం.మీ.²
The curved surface area of a cone of radius 7 cm and slant height 25 cm (π = 22/7) is
1. 550 cm²
2. 1100 cm²
3. 175 cm²
4. 1925 cm²
వ్యాసార్ధం 7 సెం.మీ. గల ఘన అర్ధగోళం సంపూర్ణతల వైశాల్యం (π = 22/7)
1. 308 సెం.మీ.²
2. 462 సెం.మీ.²
3. 154 సెం.మీ.²
4. 616 సెం.మీ.²
సమాధానం
B. 462 సెం.మీ.²
The total surface area of a solid hemisphere of radius 7 cm (π = 22/7) is
1. 308 cm²
2. 462 cm²
3. 154 cm²
4. 616 cm²
భుజం 4 సెం.మీ. గల ఘనం సంపూర్ణతల వైశాల్యం
1. 48 సెం.మీ.²
2. 64 సెం.మీ.²
3. 96 సెం.మీ.²
4. 16 సెం.మీ.²
సమాధానం
C. 96 సెం.మీ.²
The total surface area of a cube of side 4 cm is
1. 48 cm²
2. 64 cm²
3. 96 cm²
4. 16 cm²
4 sin 30° + 2 cos 60° విలువ
1. 3
2. 2
3. 4
4. 5
సమాధానం
A. 3
The value of 4 sin 30° + 2 cos 60° is
1. 3
2. 2
3. 4
4. 5
బిందువు (3, 4) మూలబిందువు నుండి ఉన్న దూరం
1. 7
2. 5
3. 1
4. 25
సమాధానం
B. 5
The distance of the point (3, 4) from the origin is
1. 7
2. 5
3. 1
4. 25
(2, -4), (6, 8) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండ మధ్య బిందువు
1. (4, 6)
2. (8, 4)
3. (2, 2)
4. (4, 2)
సమాధానం
D. (4, 2)
The mid-point of the segment joining (2, -4) and (6, 8) is
1. (4, 6)
2. (8, 4)
3. (2, 2)
4. (4, 2)
శీర్షాలు (0, 0), (6, 0), (0, 8) గల త్రిభుజ వైశాల్యం
1. 14 చదరపు యూనిట్లు
2. 12 చదరపు యూనిట్లు
3. 48 చదరపు యూనిట్లు
4. 24 చదరపు యూనిట్లు
సమాధానం
D. 24 చదరపు యూనిట్లు
The area of the triangle with vertices (0, 0), (6, 0) and (0, 8) is
1. 14 square units
2. 12 square units
3. 48 square units
4. 24 square units
రెండు సరూప త్రిభుజాల భుజాల నిష్పత్తి 3 : 4. వాటి వైశాల్యాల నిష్పత్తి
1. 27 : 64
2. 3 : 4
3. 9 : 16
4. 6 : 8
సమాధానం
C. 9 : 16
Two similar triangles have sides in the ratio 3 : 4. The ratio of their areas is
1. 27 : 64
2. 3 : 4
3. 9 : 16
4. 6 : 8
భుజాలు 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ. గల త్రిభుజ వైశాల్యం హెరాన్ సూత్రం ప్రకారం
1. 7.5 సెం.మీ.²
2. 12 సెం.మీ.²
3. 5 సెం.మీ.²
4. 6 సెం.మీ.²
సమాధానం
D. 6 సెం.మీ.²
The area of a triangle with sides 3 cm, 4 cm and 5 cm by Heron's formula is
1. 7.5 cm²
2. 12 cm²
3. 5 cm²
4. 6 cm²
ఈ క్రింది వాక్యాలను పరిశీలించండి. 1. పైథాగరస్ సిద్ధాంతం లంబకోణ త్రిభుజాలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది. 2. ఏ కుంభాకార బహుభుజి బాహ్య కోణాల మొత్తమైనా 360°. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Consider the statements. 1. The Pythagoras theorem applies only to right-angled triangles. 2. The sum of the exterior angles of any convex polygon is 360°. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ఈ క్రింది వాక్యాలను పరిశీలించండి. 1. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²). 2. a³ - b³ = (a - b)(a² - ab + b²). ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 2 మాత్రమే
2. 1 మరియు 2 రెండూ
3. 1 లేదా 2 కాదు
4. 1 మాత్రమే
సమాధానం
D. 1 మాత్రమే
Consider the statements. 1. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²). 2. a³ - b³ = (a - b)(a² - ab + b²). Which is/are correct?
1. 2 only
2. Both 1 and 2
3. Neither 1 nor 2
4. 1 only
ఈ క్రింది వాక్యాలను పరిశీలించండి. 1. అర్ధవృత్తంలోని కోణం 60°. 2. చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు కోణాల మొత్తం 180°. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 2 మాత్రమే
2. 1 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 2 మాత్రమే
Consider the statements. 1. The angle in a semicircle is 60°. 2. Opposite angles of a cyclic quadrilateral add to 180°. Which is/are correct?
1. 2 only
2. 1 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ఈ క్రింది వాక్యాలను పరిశీలించండి. 1. tan 90° = 1. 2. cos 0° = 0. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 1 లేదా 2 కాదు
3. 2 మాత్రమే
4. 1 మరియు 2 రెండూ
సమాధానం
B. 1 లేదా 2 కాదు
Consider the statements. 1. tan 90° = 1. 2. cos 0° = 0. Which is/are correct?
1. 1 only
2. Neither 1 nor 2
3. 2 only
4. Both 1 and 2
ఘనాకృతిని దాని ఘనపరిమాణంతో జతపరచండి. P. శంఖువు Q. గోళం R. స్థూపం 1. πr²h 2. 4/3 πr³ 3. ⅓ πr²h
1. P-3, Q-2, R-1
2. P-2, Q-3, R-1
3. P-1, Q-2, R-3
4. P-3, Q-1, R-2
సమాధానం
A. P-3, Q-2, R-1
Match the solid with its volume. P. Cone Q. Sphere R. Cylinder 1. πr²h 2. 4/3 πr³ 3. ⅓ πr²h
1. P-3, Q-2, R-1
2. P-2, Q-3, R-1
3. P-1, Q-2, R-3
4. P-3, Q-1, R-2
కోణాన్ని దాని విలువతో జతపరచండి. P. sin 60° Q. cos 60° R. tan 45° 1. 1/2 2. 1 3. √3/2
1. P-1, Q-3, R-2
2. P-3, Q-1, R-2
3. P-3, Q-2, R-1
4. P-2, Q-1, R-3
సమాధానం
B. P-3, Q-1, R-2
Match the angle with its value. P. sin 60° Q. cos 60° R. tan 45° 1. 1/2 2. 1 3. √3/2
1. P-1, Q-3, R-2
2. P-3, Q-1, R-2
3. P-3, Q-2, R-1
4. P-2, Q-1, R-3
ఫలితాన్ని దాని పేరుతో జతపరచండి. P. ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది Q. a = bq + r R. కర్ణం² = లంబ భుజాల వర్గాల మొత్తం 1. పైథాగరస్ సిద్ధాంతం 2. ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం 3. యూక్లిడ్ భాగహార లెమ్మా
1. P-1, Q-3, R-2
2. P-2, Q-1, R-3
3. P-2, Q-3, R-1
4. P-3, Q-2, R-1
సమాధానం
C. P-2, Q-3, R-1
Match the result with its name. P. Parallel line divides two sides in the same ratio Q. a = bq + r R. Square of hypotenuse = sum of squares of sides 1. Pythagoras theorem 2. Basic Proportionality Theorem 3. Euclid's division lemma
1. P-1, Q-3, R-2
2. P-2, Q-1, R-3
3. P-2, Q-3, R-1
4. P-3, Q-2, R-1

Page 1 of 1

Finished reading?

Test yourself in 10 minutes

A free 10-question mini-mock on your exam's real pattern, with negative marking and an instant score. अपनी तैयारी 10 मिनट में जाँचें।

Take a free mini-mock →Topic-wise practice