SGT మరియు TET పేపర్ 1A కోసం గణితం (III-VIII తరగతులు) · Chapter 11

కారణాంకీకరణ, బహుపదుల భాగహారం మరియు రేఖీయ గ్రాఫ్‌లు

గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

కారణాంకీకరణ అంటే ఒక సమాసాన్ని కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయడం. పద్ధతులు: ఉమ్మడి కారణాంకం, సమూహ పద్ధతి, సర్వసమానతలు, మధ్య పదాన్ని విభజించడం.
భాజ్యం = భాజకం × భాగఫలం + శేషం. శేష సిద్ధాంతం ప్రకారం p(x) ÷ (x − a) శేషం p(a). p(a) = 0 అయితే (x − a) ఒక కారణాంకం.
రేఖీయ సమీకరణం ax + by + c = 0 గ్రాఫ్ ఒక సరళరేఖ. y = mx + c లో m వాలు, c y-అంతరఖండం.

కారణాంకీకరణ

ఒక సమాసాన్ని పూర్తిగా భాగించేది కారణాంకం. కారణాంకీకరణ అనేది గుణకారానికి వ్యతిరేక ప్రక్రియ: 3x(x + 2) = 3x² + 6x, కాబట్టి 3x² + 6x ను కారణాంకీకరిస్తే 3x(x + 2) వస్తుంది. ఎల్లప్పుడూ తిరిగి గుణించి సరిచూడండి.

పద్ధతి 1: ఉమ్మడి కారణాంకం. అన్ని పదాల కారణాంక గరిష్ఠ ఉమ్మడి భాజకం (HCF) ను బయటకు తీయండి.

6x² + 9x = 3x(2x + 3).
12a²b − 18ab² = 6ab(2a − 3b).

పద్ధతి 2: సమూహ పద్ధతి. ఉమ్మడి కారణాంకం ఉన్న పదాలను కలిపి సమూహాలుగా చేయండి.

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y).
2xy + 3x − 2y − 3 = x(2y + 3) − 1(2y + 3) = (x − 1)(2y + 3).

పద్ధతి 3: సర్వసమానతలు.

రూపం	కారణాంకాలు
a² + 2ab + b²	(a + b)²
a² − 2ab + b²	(a − b)²
a² − b²	(a + b)(a − b)
a³ + b³	(a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³	(a − b)(a² + ab + b²)

x² + 10x + 25 = (x + 5)².
49x² − 36 = (7x + 6)(7x − 6).
4x² − 12x + 9 = (2x − 3)².
x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4).

పద్ధతి 4: మధ్య పదాన్ని విభజించడం (x² + bx + c కోసం). మొత్తం b, లబ్ధం c అయ్యే రెండు సంఖ్యలను కనుగొనండి.

x² + 7x + 12: సంఖ్యలు 3 మరియు 4 (మొత్తం 7, లబ్ధం 12), కాబట్టి (x + 3)(x + 4).
x² − 5x + 6: సంఖ్యలు −2 మరియు −3, కాబట్టి (x − 2)(x − 3).
x² + x − 12: సంఖ్యలు 4 మరియు −3, కాబట్టి (x + 4)(x − 3).
x² − 2x − 15: సంఖ్యలు −5 మరియు 3, కాబట్టి (x − 5)(x + 3).

ax² + bx + c (a ≠ 1) కోసం, మొత్తం b, లబ్ధం a × c అయ్యే రెండు సంఖ్యలను కనుగొనండి. 6x² + 17x + 5 కోసం: a × c = 30, సంఖ్యలు 15 మరియు 2. కాబట్టి 6x² + 15x + 2x + 5 = 3x(2x + 5) + 1(2x + 5) = (3x + 1)(2x + 5).

పూర్తిగా కారణాంకీకరించండి: ఇంకా కారణాంకీకరించలేని వరకు కొనసాగించండి. 2x² − 8 = 2(x² − 4) = 2(x + 2)(x − 2).

బహుపదుల భాగహారం

ఏకపది ÷ ఏకపది: సంఖ్యలను భాగించి, ఘాతాలను తీసివేయండి: 24x⁵ ÷ 6x² = 4x³.

బహుపది ÷ ఏకపది: ప్రతి పదాన్ని భాగించండి. (6x³ + 9x² − 3x) ÷ 3x = 2x² + 3x − 1.

బహుపది ÷ బహుపది కారణాంకీకరణ ద్వారా: (x² − 9) ÷ (x + 3) = (x + 3)(x − 3) ÷ (x + 3) = x − 3.

దీర్ఘ భాగహార పద్ధతి (ప్రతిసారి మొదటి పదాన్ని భాగించండి):

x² + 5x + 6 ను x + 2 చే భాగించండి.

1. x² ÷ x = x. గుణించండి: x(x + 2) = x² + 2x. తీసివేయండి: 3x + 6.
2. 3x ÷ x = 3. గుణించండి: 3(x + 2) = 3x + 6. తీసివేయండి: 0.

భాగఫలం = x + 3, శేషం = 0.

2x² + 3x + 5 ను x + 1 చే భాగించండి.

1. 2x² ÷ x = 2x. 2x² + 2x ను తీసివేయండి: మిగిలినది x + 5.
2. x ÷ x = 1. x + 1 ను తీసివేయండి: మిగిలినది 4.

భాగఫలం = 2x + 1, శేషం = 4. సరిచూడండి: (x + 1)(2x + 1) + 4 = 2x² + 3x + 1 + 4 = 2x² + 3x + 5.

భాగహార నియమం: భాజ్యం = భాజకం × భాగఫలం + శేషం. శేషం యొక్క డిగ్రీ భాజకం యొక్క డిగ్రీ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. పదాలను అవరోహణ ఘాతాల క్రమంలో రాయండి, లేని ఘాతానికి గుణకంగా సున్నా వేయండి.

శేష సిద్ధాంతం: p(x) ను (x − a) చే భాగించినప్పుడు శేషం p(a).

p(x) = x² + 3x + 5 ను (x − 1) చే భాగించినప్పుడు: శేషం = 1 + 3 + 5 = 9.
p(x) ను (x + 2) చే భాగించినప్పుడు: x = −2 ప్రతిక్షేపించండి.

కారణాంక సిద్ధాంతం: p(a) = 0 అయినప్పుడు మాత్రమే (x − a) అనేది p(x) కు కారణాంకం.

x³ − 6x² + 11x − 6: p(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0, కాబట్టి (x − 1) ఒక కారణాంకం.
x² + kx − 10 కు (x − 2) కారణాంకం అయితే 4 + 2k − 10 = 0, కాబట్టి k = 3.

రేఖీయ గ్రాఫ్‌లు

కార్టీజియన్ తలం: లంబంగా ఉన్న రెండు సంఖ్యా రేఖలు మూలబిందువు O(0, 0) వద్ద కలుస్తాయి. క్షితిజ సమాంతర రేఖ x-అక్షం, నిలువు రేఖ y-అక్షం. తలంలో నాలుగు పాదాలు (quadrants) ఉంటాయి.

పాదం	(x, y) గుర్తులు
I	(+, +)
II	(−, +)
III	(−, −)
IV	(+, −)

బిందువును (x, y) గా రాస్తారు. x అనేది ప్రథమ నిరూపకం (abscissa) (y-అక్షం నుంచి దూరం), y అనేది ద్వితీయ నిరూపకం (ordinate) (x-అక్షం నుంచి దూరం). x-అక్షంపై ఉన్న బిందువుకు y = 0, ఉదా. (4, 0). y-అక్షంపై ఉన్న బిందువుకు x = 0, ఉదా. (0, −3). బిందువు (3, 5) వేరు, (5, 3) వేరు, కాబట్టి క్రమం ముఖ్యం.

రేఖీయ సమీకరణ గ్రాఫ్: ax + by + c = 0 (a, b రెండూ సున్నా కావు) సమీకరణం గ్రాఫ్ ఒక సరళరేఖ. రేఖపై ఉన్న ప్రతి బిందువు సమీకరణాన్ని తృప్తిపరుస్తుంది.

గీయడానికి దశలు:

1. కనీసం 2 బిందువులతో పట్టిక తయారు చేయండి (సరిచూసుకోవడానికి 3 తీసుకోండి).
2. తగిన స్కేలుతో గ్రాఫ్ పేపర్‌పై బిందువులను గుర్తించండి.
3. స్కేలుతో వాటిని కలిపి, రెండు వైపులా పొడిగించండి.

ఉదాహరణ: y = 2x + 1. x = 0 అయితే y = 1; x = 1 అయితే y = 3; x = 2 అయితే y = 5. బిందువులు (0, 1), (1, 3), (2, 5) ఒకే సరళరేఖపై ఉంటాయి.

ప్రత్యేక రేఖలు:

సమీకరణం	గ్రాఫ్
y = 0	x-అక్షం
x = 0	y-అక్షం
x = a	y-అక్షానికి a దూరంలో సమాంతరంగా ఉండే నిలువు రేఖ
y = b	x-అక్షానికి b దూరంలో సమాంతరంగా ఉండే క్షితిజ సమాంతర రేఖ
y = mx	మూలబిందువు గుండా పోయే రేఖ

వాలు-అంతరఖండ రూపం: y = mx + c. m = వాలు (ఏటవాలు) = ఎత్తు ÷ పొడవు = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). c = y-అంతరఖండం, అంటే రేఖ y-అక్షాన్ని ఖండించే చోటు. y = 3x − 2 కు వాలు 3, y-అంతరఖండం −2.

x-అంతరఖండం కనుగొనడానికి y = 0 ప్రతిక్షేపించండి. 2x + 3y = 6 కు: x = 3, y-అంతరఖండం (x = 0 ప్రతిక్షేపించగా) y = 2.
సమాంతర రేఖల వాలులు సమానం.
క్షితిజ సమాంతర రేఖ వాలు 0.

రెండు బిందువుల మధ్య దూరం (ఐచ్ఛిక అదనపు అంశం): (x₁, y₁), (x₂, y₂) మధ్య దూరం √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]. మూలబిందువు నుంచి (3, 4) కు దూరం 5.

దైనందిన జీవితంలో రేఖా గ్రాఫ్‌లు: స్థిర వేగంతో దూరం-కాలం గ్రాఫ్ ఒక సరళరేఖ, దాని వాలు వేగం. స్థిర ధర ఉన్న n పెన్నుల వెల గ్రాఫ్ కూడా మూలబిందువు గుండా పోయే సరళరేఖ.

తరగతి గది కోణం

నిరూపకాలను అర్థం చేసుకోవడానికి పిల్లలు తమ కూర్చునే స్థానాలను నేలపై గీసిన గ్రిడ్‌లో బిందువులుగా గుర్తించనివ్వండి. (x, y) జతలతో "నిధి పటం" ఆట ఆడించండి. కారణాంకీకరణ కోసం వైశాల్య నమూనాలను వాడండి: భుజాలు x + 3, x + 4 ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాలు x² + 7x + 12 ఎందుకు కారణాంకీకరించబడుతుందో చూపుతాయి. ప్రతి కారణాంకీకరణను సరిచూడటానికి తిరిగి గుణించమని పిల్లలను అడగండి. గ్రాఫ్‌లను కొన్న నోటుపుస్తకాల సంఖ్యకు వాటి వెల వంటి నిజజీవిత ఉదాహరణలతో అనుసంధానించండి.

పరీక్షలో పొరపాట్లు

ఏదైనా పదం ఉమ్మడి కారణాంకానికి సమానమైనప్పుడు, ఉమ్మడి కారణాంకం తీసివేశాక మిగిలేది 0 కాదు, 1: 4x + 4 = 4(x + 1).
x² + 9 ను వాస్తవ సంఖ్యలతో కారణాంకీకరించలేం, ఎందుకంటే రెండు వర్గాల మొత్తానికి వాస్తవ కారణాంకాలు ఉండవు.
x² − x − 6 లో సంఖ్యల లబ్ధం −6, మొత్తం −1 కావాలి; అవి −3 మరియు 2.
(x − a) కు కారణాంక సిద్ధాంతంలో p(a) వాడతాం, కాబట్టి (x + 3) కు p(−3) వాడాలి.
శేషం యొక్క డిగ్రీ భాజకం కంటే తక్కువగా ఉండాలి.
బిందువు (x, y) లో x మొదట వస్తుంది. (3, 5) అంటే (5, 3) కాదు.
బిందువు (0, 5) y-అక్షంపై ఉంటుంది, x-అక్షంపై కాదు.
రేఖ y = 2x + 1 లో y-అంతరఖండం 1; వాలు 2.

ఒక్క వాక్యంలో

కారణాంకీకరణ గుణకారానికి వ్యతిరేక ప్రక్రియ.
a² − b² = (a + b)(a − b).
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
భాజ్యం = భాజకం × భాగఫలం + శేషం.
శేష సిద్ధాంతం: p(x) ÷ (x − a) శేషం p(a).
కారణాంక సిద్ధాంతం: p(a) = 0 అయితే (x − a) ఒక కారణాంకం.
మూలబిందువు (0, 0).
ప్రథమ నిరూపకం (abscissa) అంటే x-నిరూపకం; ద్వితీయ నిరూపకం (ordinate) అంటే y-నిరూపకం.
రేఖీయ సమీకరణ గ్రాఫ్ ఒక సరళరేఖ.
y = mx + c: m వాలు, c y-అంతరఖండం.
x = a నిలువు రేఖ; y = b క్షితిజ సమాంతర రేఖ.
బిందువు (−2, 3) II పాదంలో ఉంటుంది.

సాధన ప్రశ్నలు

6x² + 9x ను కారణాంకాలుగా విడదీస్తే
1. 6x(x + 9)
2. 3x(2x + 3)
3. x(6x + 9)
4. 3(2x² + 3x)
సమాధానం
B. 3x(2x + 3)
Factorising 6x² + 9x gives
1. 6x(x + 9)
2. 3x(2x + 3)
3. x(6x + 9)
4. 3(2x² + 3x)
x² − 49 ను కారణాంకాలుగా విడదీస్తే
1. (x + 7)²
2. (x − 7)²
3. (x − 49)(x + 1)
4. (x + 7)(x − 7)
సమాధానం
D. (x + 7)(x − 7)
x² − 49 factorises as
1. (x + 7)²
2. (x − 7)²
3. (x − 49)(x + 1)
4. (x + 7)(x − 7)
x² + 10x + 25 విలువ
1. (x − 5)²
2. (x + 5)²
3. (x + 5)(x − 5)
4. (x + 25)²
సమాధానం
B. (x + 5)²
x² + 10x + 25 equals
1. (x − 5)²
2. (x + 5)²
3. (x + 5)(x − 5)
4. (x + 25)²
x² + 7x + 12 ను కారణాంకాలుగా విడదీస్తే
1. (x + 3)(x + 4)
2. (x + 2)(x + 6)
3. (x + 1)(x + 12)
4. (x − 3)(x − 4)
సమాధానం
A. (x + 3)(x + 4)
x² + 7x + 12 factorises as
1. (x + 3)(x + 4)
2. (x + 2)(x + 6)
3. (x + 1)(x + 12)
4. (x − 3)(x − 4)
x² − 5x + 6 ను కారణాంకాలుగా విడదీస్తే
1. (x + 2)(x + 3)
2. (x − 1)(x − 6)
3. (x − 2)(x − 3)
4. (x + 2)(x − 3)
సమాధానం
C. (x − 2)(x − 3)
x² − 5x + 6 factorises as
1. (x + 2)(x + 3)
2. (x − 1)(x − 6)
3. (x − 2)(x − 3)
4. (x + 2)(x − 3)
x² + x − 12 ను కారణాంకాలుగా విడదీస్తే
1. (x − 4)(x + 3)
2. (x + 12)(x − 1)
3. (x + 6)(x − 2)
4. (x + 4)(x − 3)
సమాధానం
D. (x + 4)(x − 3)
x² + x − 12 factorises as
1. (x − 4)(x + 3)
2. (x + 12)(x − 1)
3. (x + 6)(x − 2)
4. (x + 4)(x − 3)
x² − 2x − 15 ను కారణాంకాలుగా విడదీస్తే
1. (x − 5)(x − 3)
2. (x − 15)(x + 1)
3. (x − 5)(x + 3)
4. (x + 5)(x − 3)
సమాధానం
C. (x − 5)(x + 3)
x² − 2x − 15 factorises as
1. (x − 5)(x − 3)
2. (x − 15)(x + 1)
3. (x − 5)(x + 3)
4. (x + 5)(x − 3)
6x² + 17x + 5 ను కారణాంకాలుగా విడదీస్తే
1. (3x + 1)(2x + 5)
2. (3x + 5)(2x + 1)
3. (6x + 1)(x + 5)
4. (2x + 1)(3x − 5)
సమాధానం
A. (3x + 1)(2x + 5)
6x² + 17x + 5 factorises as
1. (3x + 1)(2x + 5)
2. (3x + 5)(2x + 1)
3. (6x + 1)(x + 5)
4. (2x + 1)(3x − 5)
2x² − 8 యొక్క కారణాంకాలు
1. 2(x² − 4)
2. 2(x + 2)(x − 2)
3. 2(x − 2)²
4. (2x + 4)(x − 2)
సమాధానం
B. 2(x + 2)(x − 2)
The factors of 2x² − 8 are
1. 2(x² − 4)
2. 2(x + 2)(x − 2)
3. 2(x − 2)²
4. (2x + 4)(x − 2)
4x² − 12x + 9 విలువ
1. (4x − 3)²
2. (2x + 3)²
3. (2x − 3)(2x + 3)
4. (2x − 3)²
సమాధానం
D. (2x − 3)²
4x² − 12x + 9 equals
1. (4x − 3)²
2. (2x + 3)²
3. (2x − 3)(2x + 3)
4. (2x − 3)²
x³ + 8 యొక్క కారణాంకాలు
1. (x + 2)³
2. (x + 2)(x² + 2x + 4)
3. (x − 2)(x² + 2x + 4)
4. (x + 2)(x² − 2x + 4)
సమాధానం
D. (x + 2)(x² − 2x + 4)
The factors of x³ + 8 are
1. (x + 2)³
2. (x + 2)(x² + 2x + 4)
3. (x − 2)(x² + 2x + 4)
4. (x + 2)(x² − 2x + 4)
ax + ay + bx + by ను కారణాంకాలుగా విడదీస్తే
1. (a + b)(x − y)
2. (a + b)(x + y)
3. ab(x + y)
4. (a − b)(x + y)
సమాధానం
B. (a + b)(x + y)
ax + ay + bx + by factorises as
1. (a + b)(x − y)
2. (a + b)(x + y)
3. ab(x + y)
4. (a − b)(x + y)
(6x³ + 9x² − 3x) ÷ 3x విలువ
1. 2x² + 3x − 1
2. 2x³ + 3x² − 1
3. 2x² + 3x
4. 2x² + 3 − x
సమాధానం
A. 2x² + 3x − 1
(6x³ + 9x² − 3x) ÷ 3x equals
1. 2x² + 3x − 1
2. 2x³ + 3x² − 1
3. 2x² + 3x
4. 2x² + 3 − x
x² + 5x + 6 ను x + 2 చే భాగించినప్పుడు వచ్చే భాగఫలం
1. x + 2
2. x − 3
3. x + 3
4. x + 6
సమాధానం
C. x + 3
The quotient when x² + 5x + 6 is divided by x + 2 is
1. x + 2
2. x − 3
3. x + 3
4. x + 6
2x² + 3x + 5 ను x + 1 చే భాగించినప్పుడు శేషం
1. 0
2. 2
3. 5
4. 4
సమాధానం
D. 4
When 2x² + 3x + 5 is divided by x + 1, the remainder is
1. 0
2. 2
3. 5
4. 4
బహుపదుల భాగహార నియమం
1. భాజ్యం = భాగఫలం ÷ భాజకం + శేషం
2. భాజ్యం = భాజకం × భాగఫలం + శేషం
3. భాజకం = భాజ్యం × భాగఫలం + శేషం
4. భాజ్యం = భాజకం + భాగఫలం × శేషం
సమాధానం
B. భాజ్యం = భాజకం × భాగఫలం + శేషం
The division rule for polynomials is
1. Dividend = Quotient ÷ Divisor + Remainder
2. Dividend = Divisor × Quotient + Remainder
3. Divisor = Dividend × Quotient + Remainder
4. Dividend = Divisor + Quotient × Remainder
x² + 3x + 5 ను (x − 1) చే భాగించినప్పుడు శేషం
1. 9
2. 10
3. 5
4. 8
సమాధానం
A. 9
The remainder when x² + 3x + 5 is divided by (x − 1) is
1. 9
2. 10
3. 5
4. 8
(x − 2) అనేది x² + kx − 10 యొక్క కారణాంకం అయితే k విలువ
1. −3
2. 2
3. 3
4. 5
సమాధానం
C. 3
If (x − 2) is a factor of x² + kx − 10, then k equals
1. −3
2. 2
3. 3
4. 5
x³ − 6x² + 11x − 6 యొక్క కారణాంకం ఏది?
1. x − 4
2. x + 1
3. x + 6
4. x − 1
సమాధానం
D. x − 1
Which is a factor of x³ − 6x² + 11x − 6?
1. x − 4
2. x + 1
3. x + 6
4. x − 1
x-అక్షం, y-అక్షం కలిసే బిందువు
1. (0, 0)
2. (1, 0)
3. (1, 1)
4. (0, 1)
సమాధానం
A. (0, 0)
The point where the x-axis and y-axis meet is
1. (0, 0)
2. (1, 0)
3. (1, 1)
4. (0, 1)
(−2, 3) బిందువు ఏ పాదంలో ఉంటుంది?
1. I
2. II
3. IV
4. III
సమాధానం
B. II
The point (−2, 3) lies in which quadrant?
1. I
2. II
3. IV
4. III
ఒక బిందువు x-నిరూపకాన్ని ఏమంటారు?
1. పాదం (క్వాడ్రంట్)
2. మూలబిందువు
3. ప్రథమ నిరూపకం (abscissa)
4. ద్వితీయ నిరూపకం (ordinate)
సమాధానం
C. ప్రథమ నిరూపకం (abscissa)
The x-coordinate of a point is called its
1. quadrant
2. origin
3. abscissa
4. ordinate
రెండు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణ గ్రాఫ్
1. ఒక సరళరేఖ
2. ఒక వృత్తం
3. ఒక పరావలయం
4. ఒక త్రిభుజం
సమాధానం
A. ఒక సరళరేఖ
The graph of a linear equation in two variables is
1. a straight line
2. a circle
3. a parabola
4. a triangle
y = 0 గ్రాఫ్
1. y-అక్షం
2. x-అక్షం
3. (1, 1) గుండా పోయే రేఖ
4. మూలబిందువు మాత్రమే
సమాధానం
B. x-అక్షం
The graph of y = 0 is the
1. y-axis
2. x-axis
3. line through (1, 1)
4. origin only
x = 3 గ్రాఫ్
1. y-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే నిలువు రేఖ
2. x-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే అడ్డు రేఖ
3. మూలబిందువు గుండా పోయే రేఖ
4. రెండు అక్షాలను ఖండించే రేఖ
సమాధానం
A. y-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే నిలువు రేఖ
The graph of x = 3 is a
1. vertical line parallel to the y-axis
2. horizontal line parallel to the x-axis
3. line through the origin
4. line cutting both axes
y = 3x − 2 లో వాలు
1. −2
2. 2
3. 3
4. 1
సమాధానం
C. 3
In y = 3x − 2, the slope is
1. −2
2. 2
3. 3
4. 1
y = 3x − 2 లో y-అంతర ఖండం
1. 3
2. −2
3. 2
4. −3
సమాధానం
B. −2
In y = 3x − 2, the y-intercept is
1. 3
2. −2
3. 2
4. −3
2x + 3y = 6 రేఖ y-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు
1. (3, 0)
2. (0, 6)
3. (0, 3)
4. (0, 2)
సమాధానం
D. (0, 2)
The line 2x + 3y = 6 cuts the y-axis at
1. (3, 0)
2. (0, 6)
3. (0, 3)
4. (0, 2)
2x + 3y = 6 రేఖ x-అక్షాన్ని ఖండించే బిందువు
1. (6, 0)
2. (0, 3)
3. (3, 0)
4. (2, 0)
సమాధానం
C. (3, 0)
The line 2x + 3y = 6 cuts the x-axis at
1. (6, 0)
2. (0, 3)
3. (3, 0)
4. (2, 0)
y = 2x + 1 రేఖపై ఉండే బిందువు ఏది?
1. (3, 6)
2. (1, 2)
3. (2, 4)
4. (2, 5)
సమాధానం
D. (2, 5)
Which point lies on the line y = 2x + 1?
1. (3, 6)
2. (1, 2)
3. (2, 4)
4. (2, 5)
(1, 3), (3, 7) బిందువుల గుండా పోయే రేఖ వాలు
1. 1/2
2. 4
3. 3
4. 2
సమాధానం
D. 2
The slope of the line through (1, 3) and (3, 7) is
1. 1/2
2. 4
3. 3
4. 2
మూలబిందువు గుండా పోయే సరళరేఖగా ఉన్న దూరం-కాలం గ్రాఫ్‌లో వాలు దేనిని సూచిస్తుంది?
1. స్థిర వడి
2. త్వరణం
3. మొత్తం దూరం
4. మొత్తం కాలం
సమాధానం
A. స్థిర వడి
In a distance-time graph that is a straight line through the origin, the slope shows
1. the constant speed
2. the acceleration
3. the total distance
4. the total time
VIII తరగతిలో నిరూపకాలను బోధించడానికి ఏ కృత్యం ఉపయోగకరం?
1. నియమాలను బిగ్గరగా చదవడం
2. బోర్డుపై గ్రాఫ్‌లను కాపీ చేయడం
3. గ్రిడ్‌పై విద్యార్థుల స్థానాలను గుర్తించడం
4. పాదాలను బట్టీపట్టడం
సమాధానం
C. గ్రిడ్‌పై విద్యార్థుల స్థానాలను గుర్తించడం
Which activity is useful for teaching coordinates in Class VIII?
1. Reading rules aloud
2. Copying the graphs from the board
3. Plotting positions of students on a grid
4. Memorising the quadrants
ప్రకటనలు: 1. x² + 9 ను (x + 3)² గా రాయవచ్చు. 2. x² − 9 = (x + 3)(x − 3). ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 లేదా 2 కాదు
2. 1 మాత్రమే
3. 2 మాత్రమే
4. 1 మరియు 2 రెండూ
సమాధానం
C. 2 మాత్రమే
Statements: 1. x² + 9 can be written as (x + 3)². 2. x² − 9 = (x + 3)(x − 3). Which is/are correct?
1. Neither 1 nor 2
2. 1 only
3. 2 only
4. Both 1 and 2
ప్రకటనలు: 1. p(a) = 0 అయితే, (x − a) అనేది p(x) కారణాంకం. 2. p(x) ను (x − a) చే భాగించినప్పుడు శేషం p(a). ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మరియు 2 రెండూ
2. 1 లేదా 2 కాదు
3. 1 మాత్రమే
4. 2 మాత్రమే
సమాధానం
A. 1 మరియు 2 రెండూ
Statements: 1. If p(a) = 0, then (x − a) is a factor of p(x). 2. The remainder when p(x) is divided by (x − a) is p(a). Which is/are correct?
1. Both 1 and 2
2. Neither 1 nor 2
3. 1 only
4. 2 only
ప్రకటనలు: 1. (3, 5) బిందువు, (5, 3) బిందువు ఒకటే. 2. (0, 5) బిందువు y-అక్షంపై ఉంటుంది. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 2 మాత్రమే
2. 1 మరియు 2 రెండూ
3. 1 లేదా 2 కాదు
4. 1 మాత్రమే
సమాధానం
A. 2 మాత్రమే
Statements: 1. The point (3, 5) is the same as (5, 3). 2. The point (0, 5) lies on the y-axis. Which is/are correct?
1. 2 only
2. Both 1 and 2
3. Neither 1 nor 2
4. 1 only
ప్రకటనలు: 1. బహుపది భాగహారంలో శేషం పరిమాణం భాజకం పరిమాణం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. 2. భాజ్యంలో లేని ఘాతాన్ని సున్నా గుణకంతో రాయాలి. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Statements: 1. The remainder in polynomial division has a degree less than that of the divisor. 2. A missing power in the dividend should be written with a zero coefficient. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ప్రకటనలు: 1. సమాంతర రేఖల వాలులు సమానం. 2. అడ్డు రేఖ వాలు 0. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 లేదా 2 కాదు
2. 1 మాత్రమే
3. 2 మాత్రమే
4. 1 మరియు 2 రెండూ
సమాధానం
D. 1 మరియు 2 రెండూ
Statements: 1. Parallel lines have equal slopes. 2. A horizontal line has slope 0. Which is/are correct?
1. Neither 1 nor 2
2. 1 only
3. 2 only
4. Both 1 and 2
ప్రకటనలు: 1. 4x + 4 = 4x. 2. 12a²b − 18ab² = 6ab(2a − 3b). ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మరియు 2 రెండూ
2. 1 లేదా 2 కాదు
3. 1 మాత్రమే
4. 2 మాత్రమే
సమాధానం
D. 2 మాత్రమే
Statements: 1. 4x + 4 = 4x. 2. 12a²b − 18ab² = 6ab(2a − 3b). Which is/are correct?
1. Both 1 and 2
2. Neither 1 nor 2
3. 1 only
4. 2 only
పాదాన్ని (x, y) గుర్తులతో జతపరచండి: P. I Q. II R. III S. IV 1. (−, +) 2. (+, +) 3. (+, −) 4. (−, −)
1. P-1, Q-2, R-4, S-3
2. P-2, Q-1, R-4, S-3
3. P-2, Q-1, R-3, S-4
4. P-2, Q-4, R-1, S-3
సమాధానం
B. P-2, Q-1, R-4, S-3
Match the quadrant with the signs of (x, y): P. I Q. II R. III S. IV 1. (−, +) 2. (+, +) 3. (+, −) 4. (−, −)
1. P-1, Q-2, R-4, S-3
2. P-2, Q-1, R-4, S-3
3. P-2, Q-1, R-3, S-4
4. P-2, Q-4, R-1, S-3
సమీకరణాన్ని దాని గ్రాఫ్‌తో జతపరచండి: P. y = 0 Q. x = 0 R. y = 4 S. x = 4 1. y-అక్షం 2. x-అక్షం 3. 4 ఎత్తులో అడ్డు రేఖ 4. 4 దూరంలో నిలువు రేఖ
1. P-1, Q-2, R-3, S-4
2. P-2, Q-1, R-3, S-4
3. P-2, Q-3, R-1, S-4
4. P-2, Q-1, R-4, S-3
సమాధానం
B. P-2, Q-1, R-3, S-4
Match the equation with its graph: P. y = 0 Q. x = 0 R. y = 4 S. x = 4 1. y-axis 2. x-axis 3. Horizontal line at height 4 4. Vertical line at distance 4
1. P-1, Q-2, R-3, S-4
2. P-2, Q-1, R-3, S-4
3. P-2, Q-3, R-1, S-4
4. P-2, Q-1, R-4, S-3
సమాసాన్ని దాని కారణాంకాలతో జతపరచండి: P. x² − 16 Q. x² + 8x + 16 R. x² − 8x + 16 S. x² + 5x + 6 1. (x − 4)² 2. (x + 2)(x + 3) 3. (x + 4)(x − 4) 4. (x + 4)²
1. P-3, Q-4, R-2, S-1
2. P-3, Q-4, R-1, S-2
3. P-4, Q-3, R-1, S-2
4. P-3, Q-1, R-4, S-2
సమాధానం
B. P-3, Q-4, R-1, S-2
Match the expression with its factors: P. x² − 16 Q. x² + 8x + 16 R. x² − 8x + 16 S. x² + 5x + 6 1. (x − 4)² 2. (x + 2)(x + 3) 3. (x + 4)(x − 4) 4. (x + 4)²
1. P-3, Q-4, R-2, S-1
2. P-3, Q-4, R-1, S-2
3. P-4, Q-3, R-1, S-2
4. P-3, Q-1, R-4, S-2
ప్రతి బిందువును దాని స్థానంతో జతపరచండి: P. (0, −3) Q. (4, 0) R. (−1, −1) S. (2, 6) 1. x-అక్షం 2. y-అక్షం 3. III పాదం 4. I పాదం
1. P-2, Q-1, R-3, S-4
2. P-2, Q-1, R-4, S-3
3. P-2, Q-3, R-1, S-4
4. P-1, Q-2, R-3, S-4
సమాధానం
A. P-2, Q-1, R-3, S-4
Match each point with its position: P. (0, −3) Q. (4, 0) R. (−1, −1) S. (2, 6) 1. x-axis 2. y-axis 3. Quadrant III 4. Quadrant I
1. P-2, Q-1, R-3, S-4
2. P-2, Q-1, R-4, S-3
3. P-2, Q-3, R-1, S-4
4. P-1, Q-2, R-3, S-4
(3, 4) బిందువు మూలబిందువు నుండి దూరం
1. 7
2. 1
3. 25
4. 5
సమాధానం
D. 5
The distance of the point (3, 4) from the origin is
1. 7
2. 1
3. 25
4. 5
వీటిలో వాస్తవ సంఖ్యలతో కారణాంకాలుగా విడదీయలేనిది ఏది?
1. x² − 9
2. x² − 6x + 9
3. x² + 9
4. x² + 6x + 9
సమాధానం
C. x² + 9
Which of these can NOT be factorised using real numbers?
1. x² − 9
2. x² − 6x + 9
3. x² + 9
4. x² + 6x + 9

Page 1 of 1

Finished reading?

Test yourself in 10 minutes

A free 10-question mini-mock on your exam's real pattern, with negative marking and an instant score. अपनी तैयारी 10 मिनट में जाँचें।

Take a free mini-mock →Topic-wise practice