SGT మరియు TET పేపర్ 1A కోసం గణితం (III-VIII తరగతులు) · Chapter 3

వర్గాలు, ఘనాలు మరియు వాటి మూలాలు; సంఖ్యలతో ఆట

గుర్తుంచుకోవలసినవి

పరిపూర్ణ వర్గం 0, 1, 4, 5, 6 లేదా 9తో మాత్రమే ముగుస్తుంది, దాని చివర సున్నాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ సరి సంఖ్య; n యొక్క వర్గం మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తానికి సమానం.
ఘనం తన సంఖ్య యొక్క "సరి-బేసి" లక్షణాన్ని నిలుపుకుంటుంది (బేసి సంఖ్య ఘనం బేసి, సరి సంఖ్య ఘనం సరి), ఘనం యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె దాని ఘనమూలం యొక్క ఒకట్ల అంకెను తెలియజేస్తుంది.
ప్రధాన కారణాంక విభజన ప్రధాన సాధనం: సమాన కారణాంకాల జతలు వర్గాన్ని, త్రయాలు ఘనాన్ని ఇస్తాయి, కారణాంకాల జాబితా గ.సా.భా., క.సా.గు., కారణాంకాల సంఖ్యను కూడా ఇస్తుంది.

వర్గాలు మరియు వర్గమూలాలు

వర్గ సంఖ్య అంటే ఒక సంఖ్యను అదే సంఖ్యతో గుణించగా వచ్చే లబ్ధం. n యొక్క వర్గాన్ని n² అని రాస్తాం. కంఠస్థం చేయవలసిన మొదటి వర్గాలు 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625.

వర్గాల ధర్మాలు

వర్గం యొక్క ఒకట్ల అంకె 0, 1, 4, 5, 6 లేదా 9 అవుతుంది. 2, 3, 7 లేదా 8తో ముగిసే సంఖ్య ఎప్పుడూ పరిపూర్ణ వర్గం కాదు.
చివరన బేసి సంఖ్యలో సున్నాలు ఉన్న సంఖ్య (ఒక సున్నా, మూడు సున్నాలు) పరిపూర్ణ వర్గం కాదు.
సరి సంఖ్య వర్గం సరి, బేసి సంఖ్య వర్గం బేసి.
1 లేదా 9తో ముగిసే సంఖ్య వర్గం 1తో ముగుస్తుంది; 4 లేదా 6తో ముగిసే సంఖ్య వర్గం 6తో ముగుస్తుంది; 5తో ముగిసే సంఖ్య వర్గం 25తో ముగుస్తుంది.
n² మరియు (n+1)² మధ్య పరిపూర్ణ వర్గాలు కాని 2n సంఖ్యలు ఉంటాయి. ఉదాహరణ: 12², 13² మధ్య అలాంటి 24 సంఖ్యలు ఉన్నాయి.
(n+1)² − n² = 2n + 1. కాబట్టి ప్రతి వర్గం, దాని ముందు వర్గానికి తర్వాతి బేసి సంఖ్యను కలిపితే వస్తుంది.
మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం n². ఉదాహరణ: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5².
పైథాగరస్ త్రికం (Pythagorean triplet): 1 కంటే పెద్ద ఏ సహజ సంఖ్య m కైనా (2m, m² − 1, m² + 1) ఒక త్రికం. m = 4 అయితే 8, 15, 17 వస్తాయి. m = 5 అయితే 10, 24, 26 వస్తాయి.
పరిపూర్ణ వర్గమైన n అంకెల సంఖ్య మూలం n/2 అంకెలు (n సరి) లేదా (n+1)/2 అంకెలు (n బేసి) కలిగి ఉంటుంది.

సులభ పద్ధతులు

5తో ముగిసే సంఖ్య వర్గం: పదుల భాగం a ను తీసుకొని, a ను (a+1)తో గుణించి, దాని వెనుక 25 రాయాలి. 35²: 3 × 4 = 12, కాబట్టి 1225. 85²: 8 × 9 = 72, కాబట్టి 7225.
100 దగ్గరి సంఖ్యల వర్గం: 99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801.
సర్వసమీకరణాలు: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; a² − b² = (a + b)(a − b).

వర్గమూలం కనుగొనడం

1. ప్రధాన కారణాంక విభజన: కారణాంకాలను జతలుగా రాసి, ప్రతి జత నుంచి ఒకటి తీసుకోవాలి. 1764 = 2² × 3² × 7², కాబట్టి √1764 = 2 × 3 × 7 = 42.
2. భాగహార పద్ధతి: కుడివైపు నుంచి అంకెలను జతలుగా చేయాలి (దశాంశాలకు దశాంశ బిందువు నుంచి రెండు వైపులా), దశలవారీగా భాగించాలి. కారణాంకాలుగా విభజించడం సులభం కాని సంఖ్యలకు ఇది పనిచేస్తుంది.
3. అంచనా: ఒక సంఖ్య రెండు తెలిసిన వర్గాల మధ్య ఉంటే, దాని మూలం వాటి మూలాల మధ్య ఉంటుంది. 500, 22² = 484 మరియు 23² = 529 ల మధ్య ఉంది, కాబట్టి √500, 22 మరియు 23 మధ్య ఉంటుంది.
భిన్నం వర్గమూలం: √(a/b) = √a / √b. √(196/361) = 14/19.
దశాంశం వర్గమూలం: మూలంలోని దశాంశ స్థానాలు సంఖ్యలోని దశాంశ స్థానాలలో సగం. √0.0169 = 0.13.
ఉపయోగకరమైన సుమారు విలువలు: √2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732, √5 ≈ 2.236.

పరిపూర్ణ వర్గంగా చేయడం

కారణాంక విభజన చేసి, ఘాతం బేసి ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యలను కనుగొని, ఆ ప్రధాన సంఖ్యలతో గుణించాలి (లేదా భాగించాలి).

72 = 2³ × 3². ప్రధాన సంఖ్య 2 జత లేకుండా ఉంది, కాబట్టి 2తో గుణిస్తే 144 = 12² వస్తుంది.
6, 8 మరియు 12 లతో భాగింపబడే అతి చిన్న వర్గాన్ని కనుగొనడానికి, క.సా.గు. = 24 = 2³ × 3 తీసుకొని, 2 × 3 = 6తో గుణిస్తే 144 వస్తుంది.

ఘనాలు మరియు ఘనమూలాలు

ఘనం అంటే n × n × n. మొదటి ఘనాలు: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331 (11³), 1728 (12³).

ధర్మాలు

బేసి సంఖ్య ఘనం బేసి; సరి సంఖ్య ఘనం సరి.
రుణ సంఖ్య ఘనం రుణాత్మకం: (−4)³ = −64, కాబట్టి ∛(−343) = −7.
జత లేని త్రయం ఉన్న సంఖ్య పరిపూర్ణ ఘనం కాదు. పరిపూర్ణ ఘనం ప్రధాన కారణాంకాలు మూడు చొప్పున సమూహాలుగా ఉంటాయి.
మొదటి n సహజ సంఖ్యల ఘనాల మొత్తం (n(n+1)/2)² కు సమానం. ఉదాహరణ: 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100 = 10².
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).

ఘనాల ఒకట్ల అంకెలు

సంఖ్య ముగింపు	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
ఘనం ముగింపు	0	1	8	7	4	5	6	3	2	9

గమనించండి: 2 ↔ 8, 3 ↔ 7 మాత్రమే మారతాయి; మిగతావి అదే అంకెతో ముగుస్తాయి.

ప్రధాన కారణాంక విభజనతో ఘనమూలం: కారణాంకాలను త్రయాలుగా సమూహపరచాలి. 2744 = 2³ × 7³, కాబట్టి ∛2744 = 14.

అంచనాతో ఘనమూలం (6 అంకెల వరకు ఉన్న పరిపూర్ణ ఘనాలకు): చివరి మూడు అంకెలను తీసుకొని, పట్టిక ద్వారా మూలం యొక్క ఒకట్ల అంకెను కనుగొనాలి. మిగిలిన భాగాన్ని తీసుకొని, దాని కంటే తక్కువగా ఉన్న అతి పెద్ద ఘనాన్ని కనుగొని పదుల అంకెను పొందాలి. 17576 కొరకు: చివరి అంకె 6, కాబట్టి ఒకట్ల అంకె 6; మిగిలిన భాగం 17, ఇది 8 (2³), 27 (3³) ల మధ్య ఉంది, కాబట్టి పదుల అంకె 2. సమాధానం: 26.

పరిపూర్ణ ఘనంగా చేయడం: 108 = 2² × 3³. ప్రధాన సంఖ్య 2 రెండు సార్లు ఉంది, కాబట్టి 2తో గుణిస్తే 216 = 6³ వస్తుంది. 1250 = 2 × 5⁴ కొరకు, 2 × 5 = 10తో భాగిస్తే 125 వస్తుంది.

దశాంశాలకు, సంఖ్యలోని ప్రతి మూడు స్థానాలకు మూలంలో ఒక దశాంశ స్థానం ఉంటుంది: ∛0.001728 = 0.12.

సంఖ్యలతో ఆట

భాజ్యతా నియమాలు

భాజకం	నియమం
2	చివరి అంకె 0, 2, 4, 6 లేదా 8
3	అంకెల మొత్తం 3తో భాగింపబడుతుంది
4	చివరి రెండు అంకెలు 4తో భాగింపబడతాయి
5	చివరి అంకె 0 లేదా 5
6	2 మరియు 3 రెండింటితో భాగింపబడుతుంది
8	చివరి మూడు అంకెలు 8తో భాగింపబడతాయి
9	అంకెల మొత్తం 9తో భాగింపబడుతుంది
10	చివరి అంకె 0
11	బేసి స్థానాల అంకెల మొత్తానికి, సరి స్థానాల అంకెల మొత్తానికి మధ్య భేదం 0 లేదా 11 గుణిజం

ఉదాహరణలు: 2728: (2 + 2) − (7 + 8) = −11, కాబట్టి ఇది 11తో భాగింపబడుతుంది. 52x4 సంఖ్య 9తో భాగింపబడాలంటే 5 + 2 + x + 4 = 11 + x ఒక 9 గుణిజం కావాలి, కాబట్టి x = 7. 7512 సంఖ్య 8తో భాగింపబడుతుంది ఎందుకంటే 512 = 8 × 64.

ప్రధాన సంఖ్యలు మరియు సంయుక్త సంఖ్యలు

ప్రధాన సంఖ్యకు సరిగ్గా రెండు కారణాంకాలు, 1 మరియు ఆ సంఖ్యే, ఉంటాయి. 2 మాత్రమే సరి ప్రధాన సంఖ్య. 1 ప్రధాన సంఖ్య కాదు, సంయుక్త సంఖ్య కాదు.
20 కంటే తక్కువగా 8 ప్రధాన సంఖ్యలు (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19), 100 కంటే తక్కువగా 25 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి.
కవల ప్రధాన సంఖ్యలు (Twin primes) 2 తేడాతో ఉంటాయి: (3, 5), (11, 13), (17, 19), (41, 43).
సాపేక్ష ప్రధాన (co-prime) సంఖ్యల గ.సా.భా. 1. అవి స్వయంగా ప్రధాన సంఖ్యలు కావలసిన అవసరం లేదు: 21 మరియు 22 సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు.
పరిపూర్ణ సంఖ్యలు తమ అసలు కారణాంకాల మొత్తానికి సమానం: 6 = 1 + 2 + 3 మరియు 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
ఎరాటోస్థనీస్ జల్లెడ (Sieve of Eratosthenes) గుణిజాలను కొట్టివేసి ప్రధాన సంఖ్యలను కనుగొంటుంది. వంద సంఖ్యల చార్టుపై ఇది మంచి తరగతి కృత్యం.

కారణాంకాలు, గ.సా.భా. మరియు క.సా.గు.

N = p^a × q^b అయితే, కారణాంకాల సంఖ్య (a + 1)(b + 1). 36 = 2² × 3² కు 9 కారణాంకాలు; 72 = 2³ × 3² కు 12 కారణాంకాలు.
గ.సా.భా. అంటే ఉమ్మడి ప్రధాన సంఖ్యల అతి తక్కువ ఘాతాల లబ్ధం; క.సా.గు. అంటే అన్ని ప్రధాన సంఖ్యల అత్యధిక ఘాతాల లబ్ధం.
రెండు సంఖ్యలకు: గ.సా.భా. × క.సా.గు. = సంఖ్యల లబ్ధం. లబ్ధం 2160, గ.సా.భా. 12 అయితే, క.సా.గు. 180.
36 మరియు 48 ల గ.సా.భా. 12; క.సా.గు. 144.

సంఖ్యల విశేషాలు

1729 హార్డీ–రామానుజన్ సంఖ్య: రెండు ఘనాల మొత్తంగా రెండు విధాలుగా రాయగల అతి చిన్న సంఖ్య (1³ + 12³ = 9³ + 10³).
మొదటి n సహజ సంఖ్యల మొత్తం = n(n+1)/2; మొదటి n సరి సంఖ్యలు = n(n+1); మొదటి n బేసి సంఖ్యలు = n².
పాలిండ్రోమ్ అంటే రెండు వైపుల నుంచి ఒకేలా చదివే సంఖ్య (1331, 2552).

తరగతి గది కోణం: n² ఒక చతురస్రాకార అమరిక అని చూపడానికి, 2n + 1 టైల్స్ గల L-ఆకార అంచును కలిపితే తర్వాతి వర్గం వస్తుందని చూపడానికి చతురస్రాకార టైల్స్, చుక్కల నమూనాలను వాడండి. భుజం 3 గల 1 సెం.మీ. ఘన నమూనా 27 ప్రమాణ ఘనాలను చూపుతుంది.

పోలిక పట్టిక

లక్షణం	వర్గం	ఘనం
ప్రధాన కారణాంకాల సమూహం	జతలు	త్రయాలు
సాధ్యమయ్యే ఒకట్ల అంకెలు	0, 1, 4, 5, 6, 9	0 నుంచి 9 వరకు ఏ అంకె అయినా
రుణ ఆధారం ఇచ్చేది	ధనాత్మకం	రుణాత్మకం
రుణ సంఖ్య మూలం	వాస్తవ సంఖ్య కాదు	వాస్తవం, రుణాత్మకం
చివర సున్నాలు	సరి సంఖ్య	3 గుణిజం
రేఖాగణిత అర్థం	చతురస్రం వైశాల్యం	ఘనం ఘనపరిమాణం

పరీక్షలో పొరపాట్లు

1 ప్రధాన సంఖ్య కాదు, 2 మాత్రమే సరి ప్రధాన సంఖ్య.
5తో ముగిసే సంఖ్య 5తో భాగింపబడుతుంది, కానీ దాని వర్గం కేవలం 5తో కాకుండా 25తో ముగుస్తుంది.
పరిపూర్ణ వర్గం చివర బేసి సంఖ్యలో సున్నాలు ఉండవు, కానీ 1600 (రెండు సున్నాలు) వంటి సంఖ్య వర్గం కావచ్చు.
n² మరియు (n+1)² మధ్య 2n వర్గేతర సంఖ్యలు ఉంటాయి, 2n + 1 లేదా n కాదు.
4 మరియు 6 రెండింటితో భాగింపబడే సంఖ్య 24తో భాగింపబడవలసిన అవసరం లేదు; అది క.సా.గు. 12తో భాగింపబడాలి.
సాపేక్ష ప్రధాన అంటే ప్రధాన అని కాదు: 8 మరియు 9 సాపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు.
2తో ముగిసే సంఖ్య ఘనం యొక్క ఒకట్ల అంకె 8, 4 కాదు; 3 కు అది 7, 9 కాదు.
9తో భాజ్యతకు చివరి అంకె కాదు, అన్ని అంకెల మొత్తం కావాలి.

ఒక్క వాక్యంలో

√1764 = 42 మరియు ∛2744 = 14.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6².
35² = 1225 మరియు 99² = 9801.
72ను వర్గంగా చేయడానికి గుణించవలసిన అతి చిన్న సంఖ్య 2.
108ను ఘనంగా చేయడానికి గుణించవలసిన అతి చిన్న సంఖ్య 2.
17576 అనేది 26 యొక్క ఘనం.
28 పరిపూర్ణ సంఖ్య.
1729 హార్డీ–రామానుజన్ (టాక్సీక్యాబ్) సంఖ్య.
72 కారణాంకాల సంఖ్య 12.
m = 5 కు పైథాగరస్ త్రికం 10, 24, 26.
1 + 2 + 3 + ... + 20 = 210.
101 అతి చిన్న మూడంకెల ప్రధాన సంఖ్య.

సాధన ప్రశ్నలు

1764 వర్గమూలం ఎంత?
1. 48
2. 44
3. 46
4. 42
సమాధానం
D. 42
What is the square root of 1764?
1. 48
2. 44
3. 46
4. 42
2744 ఘనమూలం ఎంత?
1. 12
2. 16
3. 14
4. 18
సమాధానం
C. 14
What is the cube root of 2744?
1. 12
2. 16
3. 14
4. 18
ఈ సంఖ్యలలో పరిపూర్ణ వర్గం కానిది ఏది?
1. 1450
2. 1296
3. 1156
4. 1369
సమాధానం
A. 1450
Which of these numbers is NOT a perfect square?
1. 1450
2. 1296
3. 1156
4. 1369
మొదటి 15 బేసి సహజ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?
1. 255
2. 235
3. 215
4. 225
సమాధానం
D. 225
What is the sum of the first 15 odd natural numbers?
1. 255
2. 235
3. 215
4. 225
12² మరియు 13² ల మధ్య (ఈ రెండూ కాకుండా) ఎన్ని సహజ సంఖ్యలు ఉన్నాయి?
1. 23
2. 25
3. 24
4. 12
సమాధానం
C. 24
How many natural numbers lie between 12² and 13² (both excluded)?
1. 23
2. 25
3. 24
4. 12
త్రికం (2m, m² − 1, m² + 1) లో m = 5 తీసుకుంటే పైథాగరస్ త్రికం
1. 12, 24, 26
2. 10, 24, 26
3. 10, 24, 25
4. 10, 25, 26
సమాధానం
B. 10, 24, 26
Using the triplet (2m, m² − 1, m² + 1) with m = 5, the Pythagorean triplet is
1. 12, 24, 26
2. 10, 24, 26
3. 10, 24, 25
4. 10, 25, 26
27³ యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె ఎంత?
1. 7
2. 9
3. 3
4. 1
సమాధానం
C. 3
What is the units digit of 27³?
1. 7
2. 9
3. 3
4. 1
72 ను ఏ అతి చిన్న సంఖ్యతో గుణిస్తే పరిపూర్ణ వర్గం వస్తుంది?
1. 2
2. 3
3. 6
4. 8
సమాధానం
A. 2
What is the smallest number by which 72 must be multiplied to get a perfect square?
1. 2
2. 3
3. 6
4. 8
108 ను ఏ అతి చిన్న సంఖ్యతో గుణిస్తే పరిపూర్ణ ఘనం వస్తుంది?
1. 3
2. 2
3. 4
4. 6
సమాధానం
B. 2
What is the smallest number by which 108 must be multiplied to get a perfect cube?
1. 3
2. 2
3. 4
4. 6
1250 ను ఏ అతి చిన్న సంఖ్యతో భాగిస్తే పరిపూర్ణ ఘనం వస్తుంది?
1. 2
2. 5
3. 25
4. 10
సమాధానం
D. 10
What is the smallest number by which 1250 must be divided to get a perfect cube?
1. 2
2. 5
3. 25
4. 10
0.0169 వర్గమూలం ఎంత?
1. 0.13
2. 1.3
3. 0.17
4. 0.013
సమాధానం
A. 0.13
What is the square root of 0.0169?
1. 0.13
2. 1.3
3. 0.17
4. 0.013
196/361 వర్గమూలం ఎంత?
1. 13/19
2. 16/19
3. 14/17
4. 14/19
సమాధానం
D. 14/19
What is the square root of 196/361?
1. 13/19
2. 16/19
3. 14/17
4. 14/19
6, 8 మరియు 12 లచే భాగించబడే అతి చిన్న పరిపూర్ణ వర్గం ఏది?
1. 576
2. 64
3. 144
4. 36
సమాధానం
C. 144
What is the smallest perfect square that is divisible by 6, 8 and 12?
1. 576
2. 64
3. 144
4. 36
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ విలువ ఎంత?
1. 325
2. 225
3. 200
4. 125
సమాధానం
B. 225
What is the value of 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³?
1. 325
2. 225
3. 200
4. 125
0.001728 ఘనమూలం ఎంత?
1. 1.2
2. 0.012
3. 0.12
4. 0.14
సమాధానం
C. 0.12
What is the cube root of 0.001728?
1. 1.2
2. 0.012
3. 0.12
4. 0.14
ఒక పరిపూర్ణ వర్గ సంఖ్యకు 6 అంకెలు ఉన్నాయి. దాని వర్గమూలానికి ఎన్ని అంకెలు ఉంటాయి?
1. 2
2. 4
3. 6
4. 3
సమాధానం
D. 3
A perfect-square number has 6 digits. How many digits does its square root have?
1. 2
2. 4
3. 6
4. 3
35² విలువ ఎంత?
1. 1225
2. 1125
3. 1325
4. 1235
సమాధానం
A. 1225
What is the value of 35²?
1. 1225
2. 1125
3. 1325
4. 1235
99² విలువ ఎంత?
1. 9701
2. 9801
3. 9899
4. 9901
సమాధానం
B. 9801
What is the value of 99²?
1. 9701
2. 9801
3. 9899
4. 9901
హార్డీ-రామానుజన్ సంఖ్యగా పిలిచే 1729, దేనిగా రాయగల అతి చిన్న సంఖ్య?
1. రెండు ఘనాల మొత్తంగా రెండు విధాలుగా రాయగల సంఖ్య
2. దాని క్రమ కారణాంకాల మొత్తం
3. ఘనం కూడా అయిన పరిపూర్ణ వర్గం
4. నాలుగు అంకెల ప్రధాన సంఖ్య
సమాధానం
A. రెండు ఘనాల మొత్తంగా రెండు విధాలుగా రాయగల సంఖ్య
The number 1729, known as the Hardy–Ramanujan number, is the smallest number that can be written as
1. the sum of two cubes in two different ways
2. the sum of its proper factors
3. a perfect square that is also a cube
4. a prime number of four digits
అతి చిన్న మూడు అంకెల ప్రధాన సంఖ్య ఏది?
1. 111
2. 107
3. 101
4. 103
సమాధానం
C. 101
Which is the smallest three-digit prime number?
1. 111
2. 107
3. 101
4. 103
1 నుండి 20 మధ్య ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి?
1. 7
2. 8
3. 9
4. 10
సమాధానం
B. 8
How many prime numbers are there between 1 and 20?
1. 7
2. 8
3. 9
4. 10
ఈ సంఖ్యలలో 11 చే భాగించబడేది ఏది?
1. 4523
2. 5612
3. 3147
4. 2728
సమాధానం
D. 2728
Which of these numbers is divisible by 11?
1. 4523
2. 5612
3. 3147
4. 2728
52x4 అనే సంఖ్య 9 చే భాగించబడితే, అంకె x ఎంత?
1. 7
2. 2
3. 5
4. 9
సమాధానం
A. 7
If the number 52x4 is divisible by 9, what is the digit x?
1. 7
2. 2
3. 5
4. 9
ఈ సంఖ్యలలో 8 చే భాగించబడేది ఏది?
1. 7514
2. 7512
3. 7516
4. 7518
సమాధానం
B. 7512
Which of these numbers is divisible by 8?
1. 7514
2. 7512
3. 7516
4. 7518
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 2160, వాటి గ.సా.భా. 12. వాటి క.సా.గు. ఎంత?
1. 144
2. 240
3. 180
4. 360
సమాధానం
C. 180
The product of two numbers is 2160 and their HCF is 12. What is their LCM?
1. 144
2. 240
3. 180
4. 360
36 కు ఎన్ని కారణాంకాలు ఉన్నాయి?
1. 12
2. 6
3. 8
4. 9
సమాధానం
D. 9
How many factors does 36 have?
1. 12
2. 6
3. 8
4. 9
72 కు ఎన్ని కారణాంకాలు ఉన్నాయి?
1. 10
2. 12
3. 18
4. 9
సమాధానం
B. 12
How many factors does 72 have?
1. 10
2. 12
3. 18
4. 9
ఏకైక సరి ప్రధాన సంఖ్య ఏది?
1. 1
2. 4
3. 6
4. 2
సమాధానం
D. 2
Which is the only even prime number?
1. 1
2. 4
3. 6
4. 2
వీటిలో పరిపూర్ణ సంఖ్య ఏది?
1. 28
2. 30
3. 36
4. 24
సమాధానం
A. 28
Which of these is a perfect number?
1. 28
2. 30
3. 36
4. 24
ఈ క్రింది వాటిలో కవల ప్రధాన సంఖ్యల జత ఏది?
1. 19 మరియు 23
2. 9 మరియు 11
3. 17 మరియు 19
4. 13 మరియు 17
సమాధానం
C. 17 మరియు 19
Which of the following pairs is a pair of twin primes?
1. 19 and 23
2. 9 and 11
3. 17 and 19
4. 13 and 17
ఈ క్రింది వాటిలో సహ-ప్రధాన సంఖ్యల జత ఏది?
1. 21 మరియు 22
2. 15 మరియు 25
3. 18 మరియు 27
4. 14 మరియు 21
సమాధానం
A. 21 మరియు 22
Which of the following is a pair of co-prime numbers?
1. 21 and 22
2. 15 and 25
3. 18 and 27
4. 14 and 21
√500 ఏ రెండు వరుస పూర్ణ సంఖ్యల మధ్య ఉంటుంది?
1. 21 మరియు 22
2. 24 మరియు 25
3. 23 మరియు 24
4. 22 మరియు 23
సమాధానం
D. 22 మరియు 23
Between which two consecutive whole numbers does √500 lie?
1. 21 and 22
2. 24 and 25
3. 23 and 24
4. 22 and 23
17576 ఘనమూలం ఎంత?
1. 28
2. 26
3. 34
4. 24
సమాధానం
B. 26
What is the cube root of 17576?
1. 28
2. 26
3. 34
4. 24
∛(−343) విలువ ఎంత?
1. 7
2. −14
3. −7
4. −49
సమాధానం
C. −7
What is the value of ∛(−343)?
1. 7
2. −14
3. −7
4. −49
ఈ క్రింది ప్రవచనాలను పరిగణించండి. 1. బేసి సంఖ్య ఘనం బేసి సంఖ్య. 2. ఋణ సంఖ్య ఘనం ధన సంఖ్య. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider these statements. 1. The cube of an odd number is odd. 2. The cube of a negative number is positive. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ఈ క్రింది ప్రవచనాలను పరిగణించండి. 1. పరిపూర్ణ వర్గం అంకె 7 తో అంతం కావచ్చు. 2. 5 తో అంతమయ్యే సంఖ్య వర్గం 25 తో అంతమవుతుంది. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Consider these statements. 1. A perfect square can end in the digit 7. 2. The square of a number ending in 5 ends in 25. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ఈ క్రింది ప్రవచనాలను పరిగణించండి. 1. పరిపూర్ణ వర్గం చివర సరి సంఖ్యలో సున్నాలు ఉంటాయి. 2. బేసి సంఖ్య వర్గం బేసి సంఖ్య. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Consider these statements. 1. A perfect square has an even number of zeros at the end. 2. The square of an odd number is odd. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ఈ క్రింది ప్రవచనాలను పరిగణించండి. 1. ప్రతి ప్రధాన సంఖ్య బేసి సంఖ్య. 2. సంఖ్య 1 ఒక ప్రధాన సంఖ్య. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
D. 1 లేదా 2 కాదు
Consider these statements. 1. Every prime number is odd. 2. The number 1 is a prime number. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ఈ క్రింది ప్రవచనాలను పరిగణించండి. 1. రెండు బేసి ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తం బేసి సంఖ్య. 2. సరి సంఖ్య ఘనం సరి సంఖ్య. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Consider these statements. 1. The sum of two odd primes is odd. 2. The cube of an even number is even. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
అంశాలను జతపరచండి: (1) పరిపూర్ణ సంఖ్య (2) కవల ప్రధాన సంఖ్యలు (3) టాక్సీక్యాబ్ సంఖ్య (4) అతి చిన్న సంయుక్త సంఖ్య; వీటితో (a) 1729 (b) 4 (c) 28 (d) 5 మరియు 7. సరైన జతను ఎంచుకోండి.
1. 1-a, 2-d, 3-c, 4-b
2. 1-c, 2-b, 3-a, 4-d
3. 1-d, 2-c, 3-b, 4-a
4. 1-c, 2-d, 3-a, 4-b
సమాధానం
D. 1-c, 2-d, 3-a, 4-b
Match the items: (1) Perfect number (2) Twin primes (3) Taxicab number (4) Smallest composite number with (a) 1729 (b) 4 (c) 28 (d) 5 and 7. Choose the correct matching.
1. 1-a, 2-d, 3-c, 4-b
2. 1-c, 2-b, 3-a, 4-d
3. 1-d, 2-c, 3-b, 4-a
4. 1-c, 2-d, 3-a, 4-b
ఒక ఉపాధ్యాయుడు 169 మంది విద్యార్థులను సమాన వరుసలు, నిలువు వరుసలతో చతురస్రాకారంలో నిలబెడతాడు. ప్రతి వరుసలో ఎంతమంది విద్యార్థులు నిలుస్తారు?
1. 13
2. 14
3. 12
4. 16
సమాధానం
A. 13
A teacher arranges 169 students in a square formation with equal rows and columns. How many students stand in each row?
1. 13
2. 14
3. 12
4. 16
ఒక చతురస్రాకార తోట వైశాల్యం 1296 చదరపు మీటర్లు. దాని చుట్టుకొలత ఎంత?
1. 108 మీ.
2. 36 మీ.
3. 144 మీ.
4. 72 మీ.
సమాధానం
C. 144 మీ.
The area of a square garden is 1296 square metres. What is its perimeter?
1. 108 m
2. 36 m
3. 144 m
4. 72 m
ఒక ఘనం ఘనపరిమాణం 3375 ఘన సెంటీమీటర్లు. దాని అంచు పొడవు ఎంత?
1. 25 సెం.మీ.
2. 13 సెం.మీ.
3. 17 సెం.మీ.
4. 15 సెం.మీ.
సమాధానం
D. 15 సెం.మీ.
A cube has a volume of 3375 cubic centimetres. What is the length of its edge?
1. 25 cm
2. 13 cm
3. 17 cm
4. 15 cm
1000 కు కనీసం ఏ సంఖ్యను కలిపితే పరిపూర్ణ వర్గం అవుతుంది?
1. 31
2. 36
3. 24
4. 21
సమాధానం
C. 24
What is the least number that must be added to 1000 to make it a perfect square?
1. 31
2. 36
3. 24
4. 21
2000 నుండి కనీసం ఏ సంఖ్యను తీసివేస్తే పరిపూర్ణ వర్గం అవుతుంది?
1. 64
2. 56
3. 44
4. 84
సమాధానం
A. 64
What is the least number that must be subtracted from 2000 to make it a perfect square?
1. 64
2. 56
3. 44
4. 84

Page 1 of 1

Finished reading?

Test yourself in 10 minutes

A free 10-question mini-mock on your exam's real pattern, with negative marking and an instant score. अपनी तैयारी 10 मिनट में जाँचें।

Take a free mini-mock →Topic-wise practice