బీజగణితం I: బహుపదులు, శేష సిద్ధాంతం మరియు ఘాతాంకాలు
గుర్తుంచుకోవలసినవి
- శేష సిద్ధాంతం (Remainder theorem): బహుపది p(x) ని (x − a) చేత భాగిస్తే శేషం p(a). కారణాంక సిద్ధాంతం (Factor theorem): p(a) = 0 అయినప్పుడు, అప్పుడు మాత్రమే (x − a) అనేది p(x) కు కారణాంకం.
- సర్వసమానతలు సమయాన్ని ఆదా చేస్తాయి: (a + b)² = a² + 2ab + b², a² − b² = (a + b)(a − b), a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), మరియు a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca).
- ఘాతాంక నియమాలు: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
1. బహుపదులు: ప్రాథమిక పదాలు
x లో బహుపది (polynomial) అనేది c·xⁿ రూపంలోని పదాల మొత్తం; ఇక్కడ n ఒక పూర్ణ సంఖ్య. ఉదాహరణ: 3x³ − 5x² + 2x − 7.
- పరిమాణం (Degree): x యొక్క అత్యధిక ఘాతం (ఇక్కడ 3). పరిమాణం 1 అయితే రేఖీయ, 2 అయితే వర్గ, 3 అయితే ఘన బహుపది.
- గుణకం (Coefficient): x యొక్క ఘాతాన్ని గుణించే సంఖ్య. స్థిరపదం (Constant term): x లేని పదం.
- p(x) యొక్క శూన్యం (మూలం): p(a) = 0 అయ్యే విలువ a.
- సున్నా కాని స్థిర సంఖ్య పరిమాణం 0. శూన్య బహుపది పరిమాణం నిర్వచించబడలేదు.
- పరిమాణం n ఉన్న బహుపదికి గరిష్ఠంగా n వాస్తవ శూన్యాలు ఉంటాయి.
| రకం | ఉదాహరణ |
|---|---|
| ఏకపది (Monomial) | 5x² |
| ద్విపది (Binomial) | x + 3 |
| త్రిపది (Trinomial) | x² − 4x + 4 |
| x + 1/x వంటి సమాసం | బహుపది కాదు (రుణ ఘాతం) |
| √x + 2 వంటి సమాసం | బహుపది కాదు (భిన్న ఘాతం) |
బహుపది విలువ. p(x) = x³ − 3x + 1 కు p(2) కనుగొనడానికి x = 2 ఉంచండి: 8 − 6 + 1 = 3.
వర్గ సమీకరణ శూన్యాలు. ax² + bx + c = 0 కు: మూలాల మొత్తం = −b/a; మూలాల లబ్ధం = c/a. సూత్రం ద్వారా మూలాలు: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a. b² − 4ac అనే సమాసాన్ని విచక్షణి (discriminant) అంటారు: ధనాత్మకం అయితే రెండు విభిన్న వాస్తవ మూలాలు, సున్నా అయితే సమాన మూలాలు, రుణాత్మకం అయితే వాస్తవ మూలాలు లేవు.
ఉదాహరణ: x² − 5x + 6 = 0 కు మూలాలు 2 మరియు 3: మొత్తం 5, లబ్ధం 6.
2. శేష సిద్ధాంతం మరియు కారణాంక సిద్ధాంతం
శేష సిద్ధాంతం. p(x) ని (x − a) చేత భాగిస్తే శేషం p(a). (ax − b) చేత భాగిస్తే శేషం p(b/a).
సాధించిన ఉదాహరణలు:
- 1. x³ − 2x² + x − 5 ని (x − 2) చేత భాగిస్తే శేషం: p(2) = 8 − 8 + 2 − 5 = −3.
- 2. x² + 3x + 2 ని (x + 1) చేత భాగిస్తే శేషం: p(−1) = 1 − 3 + 2 = 0, కాబట్టి (x + 1) ఒక కారణాంకం.
- 3. 2x³ + x² − 5 ని (x + 2) చేత భాగిస్తే శేషం: p(−2) = −16 + 4 − 5 = −17.
- 4. x⁴ + 1 ని (x − 1) చేత భాగిస్తే శేషం: p(1) = 2.
కారణాంక సిద్ధాంతం. p(a) = 0 అయినప్పుడు మాత్రమే (x − a) అనేది p(x) కు కారణాంకం.
సాధించిన ఉదాహరణలు:
- 5. (x − 2) అనేది x² + kx − 10 కు కారణాంకం అయితే 4 + 2k − 10 = 0, కాబట్టి k = 3.
- 6. x³ − kx² + 2x + 6 ని (x + 1) చేత భాగించగలిగితే k కనుగొనండి: p(−1) = −1 − k − 2 + 6 = 0, కాబట్టి k = 3.
- 7. x³ − 6x² + 11x − 6 ని కారణాంకాలుగా విడగొట్టండి. x = 1 పరీక్షించండి: 1 − 6 + 11 − 6 = 0, కాబట్టి (x − 1) ఒక కారణాంకం. భాగిస్తే x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) వస్తుంది. కాబట్టి కారణాంకాలు (x − 1)(x − 2)(x − 3).
అకరణీయ మూలాలను కనుగొనడానికి చిట్కా. మొదటి గుణకం 1 అయితే, స్థిరపదం యొక్క కారణాంకాలను (± విలువలు) ప్రయత్నించండి. గుణకాలన్నీ కూడండి: మొత్తం 0 అయితే x = 1 ఒక మూలం; సరి ఘాతాల గుణకాల మొత్తం బేసి ఘాతాల గుణకాల మొత్తానికి సమానమైతే x = −1 ఒక మూలం.
రెండు భాజకాలతో శేషం. p(x) ని (x − 1) చేత భాగిస్తే శేషం 5, (x − 2) చేత భాగిస్తే 7 అయితే, p(1) = 5 మరియు p(2) = 7 అని రాసి, తెలియని గుణకాలకు సమీకరణాలు ఏర్పరచండి.
3. బీజీయ సర్వసమానతలు
| సర్వసమానత | ఫలితం |
|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² |
| a² − b² | (a + b)(a − b) |
| (a + b)³ | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) |
| (a − b)³ | a³ − 3a²b + 3ab² − b³ = a³ − b³ − 3ab(a − b) |
| a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) |
| a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) |
| (a + b + c)² | a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) |
| a³ + b³ + c³ − 3abc | (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) |
| (x + a)(x + b) | x² + (a + b)x + ab |
ప్రత్యేక ఫలితాలు:
- a + b + c = 0 అయితే a³ + b³ + c³ = 3abc.
- x + 1/x = k అయితే x² + 1/x² = k² − 2 మరియు x³ + 1/x³ = k³ − 3k.
- x − 1/x = k అయితే x² + 1/x² = k² + 2.
- (a + b)² − (a − b)² = 4ab; (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²).
సాధించిన ఉదాహరణలు:
- 1. x + 1/x = 5 అయితే x² + 1/x² = 25 − 2 = 23 మరియు x³ + 1/x³ = 125 − 15 = 110.
- 2. a + b = 7 మరియు ab = 12 అయితే a² + b² = 49 − 24 = 25 మరియు a³ + b³ = 343 − 3 × 12 × 7 = 343 − 252 = 91.
- 3. 103² = (100 + 3)² = 10,000 + 600 + 9 = 10,609.
- 4. 97 × 103 = (100 − 3)(100 + 3) = 10,000 − 9 = 9,991.
- 5. a = 4, b = 3, c = −7 అయితే a + b + c = 0, కాబట్టి a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 4 × 3 × (−7) = −252.
- 6. x² − 9x + 20 = (x − 4)(x − 5) గా విడగొట్టండి. 2x² + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) గా విడగొట్టండి.
4. ఘాతాంకాలు (Indices)
| నియమం | ప్రవచనం |
|---|---|
| లబ్ధం | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ |
| భాగఫలం | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ |
| ఘాతానికి ఘాతం | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ |
| లబ్ధానికి ఘాతం | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ |
| భాగఫలానికి ఘాతం | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ |
| సున్నా ఘాతం | a⁰ = 1 (a ≠ 0) |
| రుణ ఘాతం | a⁻ⁿ = 1/aⁿ |
| భిన్న ఘాతం | a^(1/n) = a యొక్క n వ మూలం; a^(m/n) = (a యొక్క n వ మూలం)ᵐ |
గమనిక: (aᵐ)ⁿ అంటే a యొక్క (m × n) ఘాతం, కానీ a^(mⁿ) వేరు. (2²)³ = 2⁶ = 64 మరియు 2^(2³) = 2⁸ = 256 పోల్చండి.
సాధించిన ఉదాహరణలు:
- 1. 2⁵ × 2³ = 2⁸ = 256.
- 2. 3⁷ / 3⁴ = 3³ = 27.
- 3. (5²)³ = 5⁶ = 15,625.
- 4. 4⁻² = 1/16.
- 5. 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. 27^(−1/3) = 1/3. 16^(3/4) = 8.
- 6. 2^(x+1) = 32 అయితే x + 1 = 5 మరియు x = 4.
- 7. 3^(2x) = 81 అయితే 2x = 4 మరియు x = 2.
- 8. (2ˣ⁺² − 2ˣ)/2ˣ ను సరళీకరించండి = 2² − 1 = 3.
- 9. aˣ = aʸ మరియు a ≠ 0, 1, −1 అయితే x = y.
- 10. (x^(a−b))^(a+b) = x^(a²−b²), ఎందుకంటే ఘాతాలు గుణించబడతాయి.
కరణులు (Surds). √a × √b = √(ab); √a / √b = √(a/b). 1/(√a + √b) ను అకరణీయం చేయడానికి (√a − √b)/(√a − √b) తో గుణించండి: ఫలితం (√a − √b)/(a − b). ఉదాహరణ: 1/(√3 + √2) = √3 − √2. ఉపయోగకరమైన ఫలితం: (√3 + √2)(√3 − √2) = 1.
ప్రామాణిక విలువలు: 2¹⁰ = 1,024; 3⁴ = 81; 5³ = 125; 7² = 49; 11² = 121; 2⁷ = 128; 2⁸ = 256.
5. బీజగణితంతో సరళ సమీకరణాలు
- రేఖీయ సమీకరణం: 3x + 5 = 20 నుండి x = 5.
- కారణాంకాల ద్వారా వర్గ సమీకరణం: x² − 7x + 12 = 0 నుండి (x − 3)(x − 4) = 0, కాబట్టి x = 3 లేదా 4.
- సమీకరణ జంట: x + y = 10, x − y = 2 నుండి x = 6, y = 4.
- ప్రతి సమాధానాన్ని ప్రతిక్షేపణ (substitution) ద్వారా సరిచూడండి.
పరీక్షలో ఉచ్చులు
- (x + a) కు శేషం p(−a), p(a) కాదు.
- (ax − b) కు x = b/a ఉంచండి.
- బహుపదిలో 1/x లేదా √x పదాలు ఉండకూడదు.
- ax² + bx + c మూలాల మొత్తం −b/a (రుణ గుర్తుతో).
- a³ + b³ + c³ = 3abc అనేది a + b + c = 0 అయినప్పుడు మాత్రమే.
- సున్నా కాని ప్రతి a కు a⁰ = 1.
- (a + b)² అంటే a² + b² కాదు.
- 2^(2³) (= 256) అనేది (2²)³ (= 64) కంటే భిన్నమైనది.
ఒక్క వాక్య సూత్రాలు
- 1. శేష సిద్ధాంతం: p(x) ÷ (x − a) శేషం p(a).
- 2. కారణాంక సిద్ధాంతం: p(a) = 0 అయితే (x − a) కారణాంకం.
- 3. a² − b² = (a + b)(a − b).
- 4. a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
- 5. x + 1/x = k అయితే x² + 1/x² = k² − 2.
- 6. మూలాల మొత్తం = −b/a; లబ్ధం = c/a.
- 7. విచక్షణి = b² − 4ac.
- 8. aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
- 9. a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
- 10. 8^(2/3) = 4.
- 11. a + b + c = 0 అయితే a³ + b³ + c³ = 3abc.
- 12. 1/(√3 + √2) = √3 − √2.
సాధన ప్రశ్నలు
3x^3 - 5x^2 + 2x - 7 బహుపది (polynomial) పరిమాణం (degree) :
- 2
- 4
- 3
- 7
సమాధానం
C. 3
The degree of the polynomial 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7 is:
- 2
- 4
- 3
- 7
కింది వాటిలో బహుపది ఏది?
- x యొక్క వర్గమూలం + 2
- x^2 + 3x + 1
- x + 1/x
- x^-2 + 1
సమాధానం
B. x^2 + 3x + 1
Which of the following is a polynomial?
- square root of x + 2
- x^2 + 3x + 1
- x + 1/x
- x^-2 + 1
x^3 - 2x^2 + x - 5 ను (x - 2) తో భాగించగా వచ్చే శేషం :
- 3
- -5
- 5
- -3
సమాధానం
D. -3
The remainder when x^3 - 2x^2 + x - 5 is divided by (x - 2) is:
- 3
- -5
- 5
- -3
2x^3 + x^2 - 5 ను (x + 2) తో భాగించగా వచ్చే శేషం :
- -7
- -17
- -5
- 17
సమాధానం
B. -17
The remainder when 2x^3 + x^2 - 5 is divided by (x + 2) is:
- -7
- -17
- -5
- 17
x^4 + 1 ను (x - 1) తో భాగించగా వచ్చే శేషం :
- 0
- 2
- 1
- 4
సమాధానం
B. 2
The remainder when x^4 + 1 is divided by (x - 1) is:
- 0
- 2
- 1
- 4
x^3 - 3x^2 + 4x - 7 ను (x - 3) తో భాగించగా వచ్చే శేషం :
- 12
- 0
- -7
- 5
సమాధానం
D. 5
The remainder when x^3 - 3x^2 + 4x - 7 is divided by (x - 3) is:
- 12
- 0
- -7
- 5
2x^2 - 3x + 1 ను (2x - 1) తో భాగించగా వచ్చే శేషం :
- 0
- 1
- -1
- 1/2
సమాధానం
A. 0
The remainder when 2x^2 - 3x + 1 is divided by (2x - 1) is:
- 0
- 1
- -1
- 1/2
x^51 + 51 ను (x + 1) తో భాగించగా వచ్చే శేషం :
- 52
- 51
- 50
- 0
సమాధానం
C. 50
The remainder when x^51 + 51 is divided by (x + 1) is:
- 52
- 51
- 50
- 0
(x - 2) అనేది x^2 + kx - 10 కి కారణాంకం (factor) అయితే k విలువ :
- -3
- 5
- 3
- -5
సమాధానం
C. 3
If (x - 2) is a factor of x^2 + kx - 10, then k is:
- -3
- 5
- 3
- -5
x^3 - kx^2 + 2x + 6 ను (x + 1) భాగిస్తే k విలువ :
- 3
- -3
- 2
- 6
సమాధానం
A. 3
If x^3 - kx^2 + 2x + 6 is divisible by (x + 1), then k is:
- 3
- -3
- 2
- 6
కింది వాటిలో x^3 - 6x^2 + 11x - 6 కి కారణాంకం ఏది?
- x - 6
- x + 3
- x + 1
- x - 3
సమాధానం
D. x - 3
Which of the following is a factor of x^3 - 6x^2 + 11x - 6?
- x - 6
- x + 3
- x + 1
- x - 3
x = 2 వద్ద x^3 - 3x + 1 విలువ :
- 1
- 3
- 5
- 7
సమాధానం
B. 3
The value of x^3 - 3x + 1 at x = 2 is:
- 1
- 3
- 5
- 7
2x^2 - 8x + 6 = 0 మూలాల మొత్తం :
- -4
- 4
- 3
- 8
సమాధానం
B. 4
The sum of the roots of 2x^2 - 8x + 6 = 0 is:
- -4
- 4
- 3
- 8
3x^2 - 7x + 12 = 0 మూలాల లబ్ధం :
- 7/3
- -4
- -7/3
- 4
సమాధానం
D. 4
The product of the roots of 3x^2 - 7x + 12 = 0 is:
- 7/3
- -4
- -7/3
- 4
వర్గ సమీకరణం x^2 - 6x + 9 = 0 కి ఉండేవి :
- రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు
- రెండు భిన్న వాస్తవ మూలాలు
- వాస్తవ మూలాలు లేవు
- రెండు కల్పిత మూలాలు మాత్రమే
సమాధానం
A. రెండు సమాన వాస్తవ మూలాలు
The quadratic x^2 - 6x + 9 = 0 has:
- Two equal real roots
- Two distinct real roots
- No real roots
- Two imaginary roots only
a + b = 7 మరియు ab = 12 అయితే a^2 + b^2 విలువ :
- 37
- 19
- 25
- 49
సమాధానం
C. 25
If a + b = 7 and ab = 12, then a^2 + b^2 is:
- 37
- 19
- 25
- 49
a + b = 7 మరియు ab = 12 అయితే a^3 + b^3 విలువ :
- 91
- 127
- 169
- 343
సమాధానం
A. 91
If a + b = 7 and ab = 12, then a^3 + b^3 is:
- 91
- 127
- 169
- 343
a + b = 10 మరియు a - b = 2 అయితే ab విలువ :
- 20
- 48
- 12
- 24
సమాధానం
D. 24
If a + b = 10 and a - b = 2, then ab is:
- 20
- 48
- 12
- 24
x + 1/x = 5 అయితే x^2 + 1/x^2 విలువ :
- 27
- 25
- 23
- 21
సమాధానం
C. 23
If x + 1/x = 5, then x^2 + 1/x^2 is:
- 27
- 25
- 23
- 21
x + 1/x = 3 అయితే x^3 + 1/x^3 విలువ :
- 18
- 27
- 9
- 24
సమాధానం
A. 18
If x + 1/x = 3, then x^3 + 1/x^3 is:
- 18
- 27
- 9
- 24
x - 1/x = 4 అయితే x^2 + 1/x^2 విలువ :
- 16
- 18
- 14
- 20
సమాధానం
B. 18
If x - 1/x = 4, then x^2 + 1/x^2 is:
- 16
- 18
- 14
- 20
103 వర్గం విలువ :
- 10,069
- 10,906
- 10,309
- 10,609
సమాధానం
D. 10,609
The value of 103 squared is:
- 10,069
- 10,906
- 10,309
- 10,609
97 x 103 విలువ :
- 10,009
- 9,999
- 9,991
- 9,901
సమాధానం
C. 9,991
The value of 97 x 103 is:
- 10,009
- 9,999
- 9,991
- 9,901
99 వర్గం నుండి 98 వర్గాన్ని తీసివేయగా వచ్చే విలువ :
- 1
- 99
- 197
- 196
సమాధానం
C. 197
The value of 99 squared minus 98 squared is:
- 1
- 99
- 197
- 196
a = 4, b = 3, c = -7 అయితే a^3 + b^3 + c^3 విలువ :
- -252
- 252
- 0
- -84
సమాధానం
A. -252
If a = 4, b = 3 and c = -7, then a^3 + b^3 + c^3 equals:
- -252
- 252
- 0
- -84
2^5 x 2^3 విలువ :
- 512
- 256
- 128
- 64
సమాధానం
B. 256
The value of 2^5 x 2^3 is:
- 512
- 256
- 128
- 64
3^7 / 3^4 విలువ :
- 9
- 81
- 3
- 27
సమాధానం
D. 27
The value of 3^7 / 3^4 is:
- 9
- 81
- 3
- 27
(5^2)^3 విలువ :
- 3,125
- 390,625
- 625
- 15,625
సమాధానం
D. 15,625
The value of (5^2)^3 is:
- 3,125
- 390,625
- 625
- 15,625
4^-2 విలువ :
- 1/16
- 1/8
- -8
- -16
సమాధానం
A. 1/16
The value of 4^-2 is:
- 1/16
- 1/8
- -8
- -16
8^(2/3) విలువ :
- 16
- 2
- 8/3
- 4
సమాధానం
D. 4
The value of 8^(2/3) is:
- 16
- 2
- 8/3
- 4
27^(-1/3) విలువ :
- 1/3
- 3
- -3
- 1/9
సమాధానం
A. 1/3
The value of 27^(-1/3) is:
- 1/3
- 3
- -3
- 1/9
16^(3/4) విలువ :
- 12
- 4
- 8
- 64
సమాధానం
C. 8
The value of 16^(3/4) is:
- 12
- 4
- 8
- 64
2^(x+1) = 32 అయితే x విలువ :
- 5
- 3
- 4
- 16
సమాధానం
C. 4
If 2^(x+1) = 32, then x is:
- 5
- 3
- 4
- 16
3^(2x) = 81 అయితే x విలువ :
- 2
- 4
- 3
- 9
సమాధానం
A. 2
If 3^(2x) = 81, then x is:
- 2
- 4
- 3
- 9
(2^(x+2) - 2^x) / 2^x విలువ :
- 2
- 4
- 1
- 3
సమాధానం
D. 3
The value of (2^(x+2) - 2^x) / 2^x is:
- 2
- 4
- 1
- 3
5^(x-1) = 1/125 అయితే x విలువ :
- -3
- -2
- 4
- 2
సమాధానం
B. -2
If 5^(x-1) = 1/125, then x is:
- -3
- -2
- 4
- 2
2^(2^3) విలువ :
- 64
- 256
- 16
- 32
సమాధానం
B. 256
The value of 2^(2^3) is:
- 64
- 256
- 16
- 32
1/(sqrt3 + sqrt2) ని కరణీయ రహితంగా (rationalising) మార్చగా వచ్చే విలువ :
- sqrt3 + sqrt2
- 1/(sqrt3 - sqrt2)
- sqrt3 - sqrt2
- sqrt3 x sqrt2
సమాధానం
C. sqrt3 - sqrt2
The value of 1/(sqrt3 + sqrt2) after rationalising is:
- sqrt3 + sqrt2
- 1/(sqrt3 - sqrt2)
- sqrt3 - sqrt2
- sqrt3 x sqrt2
(sqrt3 + sqrt2)(sqrt3 - sqrt2) విలువ :
- 1
- 5
- sqrt6
- 2 sqrt3
సమాధానం
A. 1
The value of (sqrt3 + sqrt2)(sqrt3 - sqrt2) is:
- 1
- 5
- sqrt6
- 2 sqrt3
sqrt12 x sqrt3 విలువ :
- 36
- 6
- sqrt15
- 3 sqrt3
సమాధానం
B. 6
The value of sqrt12 x sqrt3 is:
- 36
- 6
- sqrt15
- 3 sqrt3
x^2 - 7x + 12 = 0 మూలాలు :
- 2 మరియు 6
- -3 మరియు -4
- 3 మరియు 4
- 1 మరియు 12
సమాధానం
C. 3 మరియు 4
The roots of x^2 - 7x + 12 = 0 are:
- 2 and 6
- -3 and -4
- 3 and 4
- 1 and 12
కింది ప్రవచనాలను పరిశీలించండి: 1. p(x) ను (x + a) తో భాగించగా వచ్చే శేషం p(-a). 2. p(x) ను (x + a) తో భాగించగా వచ్చే శేషం p(a). ఏది/ఏవి సరైనవి?
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements: 1. The remainder when p(x) is divided by (x + a) is p(-a). 2. The remainder when p(x) is divided by (x + a) is p(a). Which is/are correct?
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలను పరిశీలించండి: 1. a, b, c అన్ని విలువలకు a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. 2. a + b + c = 0 అయితే a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. ఏది/ఏవి సరైనవి?
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Consider the statements: 1. a^3 + b^3 + c^3 = 3abc for all values of a, b and c. 2. If a + b + c = 0, then a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. Which is/are correct?
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలను పరిశీలించండి: 1. సున్నా కాని ప్రతి a కు a^0 = 1. 2. a^-n = 1/a^n. ఏది/ఏవి సరైనవి?
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Consider the statements: 1. a^0 = 1 for every non-zero a. 2. a^-n = 1/a^n. Which is/are correct?
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలను పరిశీలించండి: 1. (a + b)^2 = a^2 + b^2. 2. 2^(2^3) విలువ (2^2)^3 కి సమానం. ఏది/ఏవి సరైనవి?
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
D. 1 లేదా 2 కాదు
Consider the statements: 1. (a + b)^2 = a^2 + b^2. 2. 2^(2^3) equals (2^2)^3. Which is/are correct?
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2