అటవీ పోస్టుల కోసం SSC స్థాయి గణితం · Chapter 3

బీజగణితం II: వర్గ సమీకరణాలు, సహ సమీకరణాలు, అసమానతలు మరియు సమితులు

గుర్తుంచుకోవలసినవి

వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0, ఇక్కడ a ≠ 0. దాని మూలాలు x = (−b ± √D) / 2a, ఇక్కడ D = b² − 4ac విచక్షణి (discriminant).
α, β మూలాలకు: మొత్తం = −b/a, లబ్ధం = c/a. సమీకరణాన్ని సాధించకుండానే D గుర్తు మూలాల స్వభావాన్ని తెలుపుతుంది.
రెండు చరరాశులలోని రెండు రేఖీయ సమీకరణాలకు, గుణకాల నిష్పత్తులను బట్టి ఒక సాధన, సాధన లేకపోవడం, లేదా అనంత సాధనలు ఉంటాయి. n మూలకాలు ఉన్న సమితికి 2ⁿ ఉపసమితులు ఉంటాయి, మరియు n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).

వర్గ సమీకరణాలు మరియు వాటి మూలాలు

వర్గ సమీకరణం పరిమాణం (degree) 2. a = 0 అయితే అది రేఖీయ సమీకరణం అవుతుంది, కాబట్టి ఎల్లప్పుడూ a ≠ 0 కావాలి. దీనిని సాధించడానికి మూడు ప్రామాణిక పద్ధతులు ఉన్నాయి.

1. కారణాంక విభజన. మధ్య పదాన్ని విడగొట్టండి. x² − 5x + 6 = 0 కు, లబ్ధం 6, మొత్తం −5 అయ్యే రెండు సంఖ్యలు కనుగొనండి. అవి −2 మరియు −3, కాబట్టి (x − 2)(x − 3) = 0 మరియు x = 2 లేదా x = 3.
2. వర్గ సమీకరణ సూత్రం. x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. ఇది ప్రతి వర్గ సమీకరణానికి పనిచేస్తుంది.
3. వర్గం పూర్తి చేయడం (Completing the square). x² + bx ను (x + b/2)² − b²/4 గా రాయండి. వర్గ సమీకరణ సూత్రం ఈ పద్ధతి నుండే వచ్చింది.

మూలాల మొత్తం మరియు లబ్ధం. α, β లు ax² + bx + c = 0 కు మూలాలైతే:

α + β = −b/a
αβ = c/a
ఇచ్చిన మూలాలతో వర్గ సమీకరణం x² − (మొత్తం)x + (లబ్ధం) = 0. మూలాలు 3 మరియు −2 అయితే x² − x − 6 = 0.

మొత్తం S మరియు లబ్ధం P నుండి ఏర్పడే ఉపయోగకరమైన ఫలితాలు:

α² + β² = S² − 2P
1/α + 1/β = S/P
(α − β)² = S² − 4P

సాధించిన ఉదాహరణ 1. x² − 5x + 6 = 0 కు S = 5 మరియు P = 6. అప్పుడు α² + β² = 25 − 12 = 13.

సాధించిన ఉదాహరణ 2. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 25, లబ్ధం 144. అవి x² − 25x + 144 = 0 యొక్క మూలాలు. ఇక్కడ D = 625 − 576 = 49, కాబట్టి x = (25 ± 7)/2 = 16 లేదా 9.

మూలాల స్వభావం

విచక్షణి D = b² − 4ac మూలాల స్వభావాన్ని నిర్ణయిస్తుంది (a, b, c వాస్తవ సంఖ్యలు).

D విలువ	మూలాల స్వభావం	గ్రాఫ్ (పరావలయం)
D > 0	రెండు వాస్తవ, విభిన్న మూలాలు	x-అక్షాన్ని రెండు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది
D = 0	రెండు వాస్తవ, సమాన మూలాలు, x = −b/2a	x-అక్షాన్ని ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది
D < 0	వాస్తవ మూలాలు లేవు (రెండు సంకీర్ణ మూలాలు)	x-అక్షాన్ని కలవదు

D పరిపూర్ణ వర్గం అయి, a, b, c అకరణీయ సంఖ్యలైతే మూలాలు అకరణీయాలు. D > 0 అయి పరిపూర్ణ వర్గం కాకపోతే మూలాలు కరణీయాలు.

సాధించిన ఉదాహరణ. x² + kx + 16 = 0 కు సమాన మూలాలు ఉండాలంటే, D = k² − 64 = 0, కాబట్టి k = ±8.

పద సమస్యలు. సమీకరణాన్ని ఏర్పరచి, సాధించి, అర్థం లేని మూలాన్ని (రుణాత్మక పొడవు లేదా వయసు) తిరస్కరించండి. చుట్టుకొలత 34, వైశాల్యం 60 ఉన్న దీర్ఘచతురస్రం భుజాలు x² − 17x + 60 = 0 మూలాలు, అంటే 12 మరియు 5. రెండు ధనాత్మక సంఖ్యల భేదం 3, వాటి వర్గాల మొత్తం 117 అయితే, x² + (x + 3)² = 117, కాబట్టి x² + 3x − 54 = 0 మరియు x = 6. ఆ సంఖ్యలు 6 మరియు 9.

సహ రేఖీయ సమీకరణాలు (Simultaneous linear equations)

రెండు సమీకరణాలు a₁x + b₁y = c₁ మరియు a₂x + b₂y = c₂ లను ప్రతిక్షేపణ, తొలగింపు లేదా అడ్డగుణకార పద్ధతుల ద్వారా సాధించవచ్చు.

నియమం	రేఖలు	సాధనల సంఖ్య
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂	ఖండించుకుంటాయి	సరిగ్గా ఒకటి (ఏకైక)
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂	సమాంతరం	లేవు (అసంగత)
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂	ఏకీభవిస్తాయి	అనంతం

సాధించిన ఉదాహరణ (తొలగింపు). x + y = 10 మరియు x − y = 4. కూడితే 2x = 14, కాబట్టి x = 7 మరియు y = 3.

సాధించిన ఉదాహరణ (ప్రతిక్షేపణ). 2x + 3y = 12 మరియు 3x − y = 7. రెండవ దాని నుండి y = 3x − 7. అప్పుడు 2x + 9x − 21 = 12, కాబట్టి 11x = 33, x = 3 మరియు y = 2.

సాధించిన ఉదాహరణ (ధర). 5 పెన్సిళ్లు, 7 పెన్నులు ధర 50; 7 పెన్సిళ్లు, 5 పెన్నులు ధర 46 (రూపాయల్లో). కూడితే 12(p + q) = 96, కాబట్టి p + q = 8. తీసివేస్తే p − q = −2. కాబట్టి పెన్సిల్ = 3 మరియు పెన్ = 5.

అంకెల సమస్య. రెండంకెల సంఖ్య 10x + y. అంకెల మొత్తం 9 అయి, అంకెలను తిప్పితే 27 పెరిగితే, y − x = 3. కాబట్టి x = 3, y = 6 మరియు సంఖ్య 36.

అసమానతలు (Inequalities)

రేఖీయ అసమానతను సమీకరణంలాగే సాధించండి, ఒక ముఖ్యమైన నియమంతో: రుణ సంఖ్యతో గుణిస్తే లేదా భాగిస్తే అసమానత గుర్తు తిరగబడుతుంది.

3x − 7 > 8 నుండి 3x > 15, కాబట్టి x > 5.
−2x > 6 నుండి x < −3.

మాడ్యులస్ (పరమ విలువ) అసమానతలు (a > 0):

|x| < a అంటే −a < x < a.
|x| > a అంటే x < −a లేదా x > a.
|x − c| ≤ a అంటే c − a ≤ x ≤ c + a. ఉదాహరణకు, |x − 1| ≤ 3 నుండి −2 ≤ x ≤ 4.
|2x − 1| = 5 నుండి 2x − 1 = 5 లేదా 2x − 1 = −5, కాబట్టి x = 3 లేదా x = −2.

వర్గ అసమానతలు. కారణాంకాలుగా విడగొట్టి, మూలాలను సంఖ్యా రేఖపై గుర్తించి, అంతరాలను పరీక్షించండి. a < b అయిన (x − a)(x − b) < 0 కు, సమాధానం మూలాల మధ్య ఉంటుంది. (x − a)(x − b) > 0 కు, సమాధానం వాటి బయట ఉంటుంది.

x² − 5x + 6 < 0 నుండి 2 < x < 3.
x² − 9 ≥ 0 నుండి x ≤ −3 లేదా x ≥ 3.
x² < 0 కు వాస్తవ సాధన లేదు, ఎందుకంటే వర్గం ఎన్నడూ రుణాత్మకం కాదు.

సమితులు (Sets)

సమితి అనేది చక్కగా నిర్వచించిన వస్తువుల సముదాయం. ప్రామాణిక పదాలు:

శూన్య సమితి (∅): మూలకాలు లేనిది. ఇది ప్రతి సమితికి ఉపసమితి.
ఉపసమితి (A ⊆ B): A లోని ప్రతి మూలకం B లో ఉంటుంది. ప్రామాణిక ఉపసమితి (proper subset) అంటే ఆ సమితికి సమానం కాని ఉపసమితి.
సార్వత్రిక సమితి (U): చర్చలో ఉన్న అన్ని వస్తువులను కలిగి ఉండే సమితి.
సంయోగం (A ∪ B): A లో లేదా B లో లేదా రెండింటిలో ఉన్న మూలకాలు. ఛేదనం (A ∩ B): రెండింటిలో ఉన్న మూలకాలు.
భేదం (A − B): A లో ఉండి B లో లేని మూలకాలు. పూరక సమితి (A′): U − A.

ఫలితం	అర్థం
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)	రెండు సమితులకు లెక్కింపు సూత్రం
ఉపసమితుల సంఖ్య = 2ⁿ	n = మూలకాల సంఖ్య
ప్రామాణిక ఉపసమితుల సంఖ్య = 2ⁿ − 1	ఆ సమితిని మినహాయిస్తుంది
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′	డి మోర్గాన్ మొదటి నియమం
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′	డి మోర్గాన్ రెండవ నియమం
A ∪ A′ = U మరియు A ∩ A′ = ∅	పూరక నియమాలు

సాధించిన ఉదాహరణ. 50 మంది ఉన్న తరగతిలో, 30 మంది క్రికెట్, 25 మంది ఫుట్‌బాల్ ఆడతారు, అందరూ కనీసం ఒక ఆట ఆడతారు. అప్పుడు 50 = 30 + 25 − n(రెండూ), కాబట్టి n(రెండూ) = 5.

సమితులు A = {1, 2, 3, 4} మరియు B = {3, 4, 5, 6} అయితే A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A ∩ B = {3, 4} మరియు A − B = {1, 2}.

పరీక్షలో ఉచ్చులు

ఒక సమీకరణం వర్గ సమీకరణమో కాదో నిర్ణయించేటప్పుడు a ≠ 0 ను మరచిపోవడం.
మూలాల మొత్తం (−b/a) ను లబ్ధం (c/a) తో కలగలపడం, లేదా −b/a లో రుణ గుర్తును వదిలేయడం.
D = 0 అయినప్పుడు మూలాలు "వాస్తవం కావు" అనడం. D = 0 అయితే మూలాలు వాస్తవ, సమాన మూలాలు.
రుణ సంఖ్యతో భాగించేటప్పుడు అసమానత గుర్తును తిప్పకపోవడం.
|x| > a ను −a < x < a అని రాయడం. అది |x| < a కు సమాధానం.
సమితిని దానికే ప్రామాణిక ఉపసమితిగా లెక్కించడం. ప్రామాణిక ఉపసమితుల సంఖ్య 2ⁿ − 1.
శూన్య సమితికి ఉపసమితులు లేవని భావించడం. దానికి సరిగ్గా ఒక ఉపసమితి ఉంది, అది దానికదే.
సంయోగ సూత్రంలో n(A ∩ B) ను తీసివేయడం మరచిపోవడం; అప్పుడు ఉమ్మడి మూలకాలు రెండుసార్లు లెక్కించబడతాయి.

ఒక్క వాక్య సూత్రాలు

1. ax² + bx + c = 0 లో, వర్గ సమీకరణానికి షరతు a ≠ 0.
2. విచక్షణి D = b² − 4ac.
3. మూలాల మొత్తం = −b/a; మూలాల లబ్ధం = c/a.
4. D > 0: వాస్తవ, విభిన్న మూలాలు; D = 0: వాస్తవ, సమాన మూలాలు; D < 0: వాస్తవ మూలాలు లేవు.
5. α² + β² = (α + β)² − 2αβ.
6. α, β మూలాలుగా ఉన్న వర్గ సమీకరణం x² − (α + β)x + αβ = 0.
7. a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ అయితే ఏకైక సాధన; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ అయితే సాధన లేదు.
8. a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ అయితే అనంత సాధనలు.
9. అసమానతను రుణ సంఖ్యతో గుణిస్తే గుర్తు తిరగబడుతుంది.
10. |x| < a అంటే −a < x < a.
11. n మూలకాలు ఉన్న సమితికి 2ⁿ ఉపసమితులు.
12. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).

సాధన ప్రశ్నలు

ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం కావడానికి అవసరమైన నియమం ఏది?
1. b ≠ 0
2. c ≠ 0
3. a = b
4. a ≠ 0
సమాధానం
D. a ≠ 0
Which condition is necessary for ax² + bx + c = 0 to be a quadratic equation?
1. b ≠ 0
2. c ≠ 0
3. a = b
4. a ≠ 0
వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = 0 యొక్క విచక్షణి (discriminant)
1. a² − 4bc
2. b² − 4ac
3. b² + 4ac
4. 4ac − b
సమాధానం
B. b² − 4ac
The discriminant of the quadratic ax² + bx + c = 0 is
1. a² − 4bc
2. b² − 4ac
3. b² + 4ac
4. 4ac − b
x² − 5x + 6 = 0 మూలాలు
1. 2 మరియు 3
2. −2 మరియు −3
3. 1 మరియు 6
4. −1 మరియు 6
సమాధానం
A. 2 మరియు 3
The roots of x² − 5x + 6 = 0 are
1. 2 and 3
2. −2 and −3
3. 1 and 6
4. −1 and 6
2x² − 7x + 3 = 0 మూలాల మొత్తం
1. 3/2
2. 7/2
3. −3/2
4. −7/2
సమాధానం
B. 7/2
The sum of the roots of 2x² − 7x + 3 = 0 is
1. 3/2
2. 7/2
3. −3/2
4. −7/2
3x² + 5x − 12 = 0 మూలాల లబ్ధం
1. 4
2. −5/3
3. −4
4. 12
సమాధానం
C. −4
The product of the roots of 3x² + 5x − 12 = 0 is
1. 4
2. −5/3
3. −4
4. 12
x² − 6x + 9 = 0 మూలాల స్వభావం
1. వాస్తవ మరియు భిన్నమైనవి
2. వాస్తవం కానివి
3. కరణీయ (irrational) మరియు అసమానమైనవి
4. వాస్తవ మరియు సమానమైనవి
సమాధానం
D. వాస్తవ మరియు సమానమైనవి
The nature of the roots of x² − 6x + 9 = 0 is
1. real and distinct
2. not real
3. irrational and unequal
4. real and equal
2x² − 3x + 5 = 0 మూలాలు
1. వాస్తవ మరియు భిన్నమైనవి
2. అకరణీయ సంఖ్యలు (rational)
3. వాస్తవ మరియు సమానమైనవి
4. వాస్తవం కానివి
సమాధానం
D. వాస్తవం కానివి
The roots of 2x² − 3x + 5 = 0 are
1. real and distinct
2. rational
3. real and equal
4. not real
k ఏ విలువకు x² + kx + 16 = 0 కి సమాన మూలాలు ఉంటాయి (k > 0)?
1. 4
2. 8
3. 16
4. 32
సమాధానం
B. 8
For what value of k does x² + kx + 16 = 0 have equal roots (k > 0)?
1. 4
2. 8
3. 16
4. 32
3 మరియు −2 లను మూలాలుగా కలిగిన వర్గ సమీకరణం
1. x² − x − 6 = 0
2. x² − x + 6 = 0
3. x² + x − 6 = 0
4. x² − 5x − 6 = 0
సమాధానం
A. x² − x − 6 = 0
The quadratic equation whose roots are 3 and −2 is
1. x² − x − 6 = 0
2. x² − x + 6 = 0
3. x² + x − 6 = 0
4. x² − 5x − 6 = 0
x² − 7x + k = 0 యొక్క ఒక మూలం 3. k విలువ
1. 10
2. 21
3. 4
4. 12
సమాధానం
D. 12
One root of x² − 7x + k = 0 is 3. The value of k is
1. 10
2. 21
3. 4
4. 12
α, β లు x² − 5x + 6 = 0 మూలాలు అయితే α² + β² విలువ
1. 25
2. 37
3. 13
4. 11
సమాధానం
C. 13
If α and β are the roots of x² − 5x + 6 = 0, then α² + β² equals
1. 25
2. 37
3. 13
4. 11
x + y = 10 మరియు x − y = 4 అయితే xy విలువ
1. 21
2. 16
3. 40
4. 24
సమాధానం
A. 21
If x + y = 10 and x − y = 4, the value of xy is
1. 21
2. 16
3. 40
4. 24
2x + 3y = 12 మరియు 3x − y = 7 ల సాధనలో x విలువ
1. 2
2. 4
3. 3
4. 5
సమాధానం
C. 3
The solution of 2x + 3y = 12 and 3x − y = 7 gives x equal to
1. 2
2. 4
3. 3
4. 5
k ఏ విలువకు 2x + 3y = 5 మరియు 4x + 6y = k లకు అనంతమైన సాధనలు ఉంటాయి?
1. 5
2. 10
3. 6
4. 12
సమాధానం
B. 10
For what value of k do 2x + 3y = 5 and 4x + 6y = k have infinitely many solutions?
1. 5
2. 10
3. 6
4. 12
k ఏ విలువకు 3x + ky = 7 మరియు 6x + 4y = 11 లకు సాధన ఉండదు?
1. 4
2. 6
3. 3
4. 2
సమాధానం
D. 2
For what value of k do 3x + ky = 7 and 6x + 4y = 11 have no solution?
1. 4
2. 6
3. 3
4. 2
3x − 7 > 8 సాధన
1. x > 15
2. x > 5
3. x < 5
4. x < 3
సమాధానం
B. x > 5
The solution of 3x − 7 > 8 is
1. x > 15
2. x > 5
3. x < 5
4. x < 3
−2x > 6 సాధన
1. x > 3
2. x < 3
3. x < −3
4. x > −3
సమాధానం
C. x < −3
The solution of −2x > 6 is
1. x > 3
2. x < 3
3. x < −3
4. x > −3
|x| < 3 సాధన
1. x < −3 లేదా x > 3
2. x < 3 మాత్రమే
3. x > −3 మాత్రమే
4. −3 < x < 3
సమాధానం
D. −3 < x < 3
The solution of |x| < 3 is
1. x < −3 or x > 3
2. x < 3 only
3. x > −3 only
4. −3 < x < 3
|2x − 1| = 5 సాధనల మొత్తం
1. 1
2. 5
3. −1
4. 3
సమాధానం
A. 1
The sum of the solutions of |2x − 1| = 5 is
1. 1
2. 5
3. −1
4. 3
x² − 5x + 6 < 0 సాధన
1. 2 < x < 3
2. x > 3
3. x < 2
4. x < 2 లేదా x > 3
సమాధానం
A. 2 < x < 3
The solution of x² − 5x + 6 < 0 is
1. 2 < x < 3
2. x > 3
3. x < 2
4. x < 2 or x > 3
−2 < x ≤ 3 ను తృప్తిపరిచే పూర్ణాంకాల సంఖ్య
1. 4
2. 6
3. 5
4. 3
సమాధానం
C. 5
The number of integers satisfying −2 < x ≤ 3 is
1. 4
2. 6
3. 5
4. 3
n(A) = 20, n(B) = 15 మరియు n(A ∩ B) = 5 అయితే n(A ∪ B) విలువ
1. 40
2. 30
3. 35
4. 25
సమాధానం
B. 30
If n(A) = 20, n(B) = 15 and n(A ∩ B) = 5, then n(A ∪ B) is
1. 40
2. 30
3. 35
4. 25
4 మూలకాలు ఉన్న సమితికి ఉండే ఉపసమితుల సంఖ్య
1. 8
2. 4
3. 15
4. 16
సమాధానం
D. 16
The number of subsets of a set with 4 elements is
1. 8
2. 4
3. 15
4. 16
3 మూలకాలు ఉన్న సమితికి ఉండే ప్రాపర్ ఉపసమితుల (proper subsets) సంఖ్య
1. 8
2. 7
3. 6
4. 3
సమాధానం
B. 7
The number of proper subsets of a set with 3 elements is
1. 8
2. 7
3. 6
4. 3
A = {1, 2, 3, 4} మరియు B = {3, 4, 5, 6} అయితే A − B
1. {1, 2}
2. {5, 6}
3. {3, 4}
4. {1, 2, 5, 6}
సమాధానం
A. {1, 2}
If A = {1, 2, 3, 4} and B = {3, 4, 5, 6}, then A − B is
1. {1, 2}
2. {5, 6}
3. {3, 4}
4. {1, 2, 5, 6}
50 మంది విద్యార్థులున్న తరగతిలో 30 మంది క్రికెట్, 25 మంది ఫుట్‌బాల్ ఆడతారు. ప్రతి విద్యార్థి కనీసం ఒక ఆట ఆడితే, రెండూ ఆడేవారు ఎంతమంది?
1. 20
2. 10
3. 5
4. 15
సమాధానం
C. 5
In a class of 50 students, 30 play cricket and 25 play football. If every student plays at least one game, how many play both?
1. 20
2. 10
3. 5
4. 15
డి మోర్గాన్ నియమం (De Morgan's law) ప్రకారం (A ∪ B)′ కి సమానం
1. A′ ∩ B′
2. A ∪ B′
3. A′ ∪ B′
4. A ∩ B
సమాధానం
A. A′ ∩ B′
According to De Morgan's law, (A ∪ B)′ equals
1. A′ ∩ B′
2. A ∪ B′
3. A′ ∪ B′
4. A ∩ B
రెండు ధన సంఖ్యల మొత్తం 25, లబ్ధం 144. వాటిలో పెద్ద సంఖ్య
1. 12
2. 18
3. 9
4. 16
సమాధానం
D. 16
Two positive numbers have sum 25 and product 144. The larger number is
1. 12
2. 18
3. 9
4. 16
ఒక దీర్ఘచతురస్రం చుట్టుకొలత 34, వైశాల్యం 60. దాని పొడవైన భుజం పొడవు
1. 15
2. 12
3. 6
4. 10
సమాధానం
B. 12
A rectangle has perimeter 34 and area 60. The length of its longer side is
1. 15
2. 12
3. 6
4. 10
రెండు ధన సంఖ్యల భేదం 3 మరియు వాటి వర్గాల మొత్తం 117. వాటి లబ్ధం
1. 60
2. 40
3. 54
4. 36
సమాధానం
C. 54
Two positive numbers differ by 3 and the sum of their squares is 117. Their product is
1. 60
2. 40
3. 54
4. 36
ఒక రెండంకెల సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9, అంకెలను తారుమారు చేస్తే సంఖ్య 27 పెరుగుతుంది. ఆ సంఖ్య
1. 18
2. 27
3. 36
4. 45
సమాధానం
C. 36
The digits of a two-digit number add up to 9, and reversing the digits increases the number by 27. The number is
1. 18
2. 27
3. 36
4. 45
5 పెన్సిళ్లు, 7 పెన్నులు ₹50; 7 పెన్సిళ్లు, 5 పెన్నులు ₹46. ఒక పెన్సిల్ ధర
1. ₹3
2. ₹4
3. ₹5
4. ₹6
సమాధానం
A. ₹3
5 pencils and 7 pens cost ₹50, and 7 pencils and 5 pens cost ₹46. The price of one pencil is
1. ₹3
2. ₹4
3. ₹5
4. ₹6
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. ax² + bx + c = 0 మూలాల మొత్తం −b/a. 2. మూలాల లబ్ధం c/a.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Which of the statements is/are correct? 1. The sum of the roots of ax² + bx + c = 0 is −b/a. 2. The product of the roots is c/a.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. D < 0 అయితే మూలాలు వాస్తవ మరియు భిన్నమైనవి. 2. D = 0 అయితే మూలాలు వాస్తవ మరియు సమానమైనవి.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. If D < 0, the roots are real and distinct. 2. If D = 0, the roots are real and equal.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. అసమానతను ఋణ సంఖ్యతో గుణిస్తే దాని గుర్తు తారుమారవుతుంది. 2. x² < 0 అసమానతకు వాస్తవ సాధనలు ఉన్నాయి.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. Multiplying an inequality by a negative number reverses its sign. 2. The inequality x² < 0 has real solutions.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. శూన్య సమితి ప్రతి సమితికి ఉపసమితి. 2. శూన్య సమితి తనకు తానే ప్రాపర్ ఉపసమితి.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. The empty set is a subset of every set. 2. The empty set is a proper subset of itself.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. A ∩ B అనేది A కి ఉపసమితి. 2. A అనేది A ∪ B కి ఉపసమితి.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Which of the statements is/are correct? 1. A ∩ B is a subset of A. 2. A is a subset of A ∪ B.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. సమాంతరంగా ఉన్న, వేర్వేరు రెండు రేఖలు సాధన లేని సమీకరణ జతను ఇస్తాయి. 2. ఏకీభవించే రెండు రేఖలు అనంతమైన సాధనలను ఇస్తాయి.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Which of the statements is/are correct? 1. Two lines that are parallel and distinct give a pair of equations with no solution. 2. Two coincident lines give infinitely many solutions.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. D > 0 అయితే మూలాలు ఎల్లప్పుడూ అకరణీయ సంఖ్యలు (rational). 2. x² − 2 = 0 మూలాలు అకరణీయ సంఖ్యలు (rational).
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
D. 1 లేదా 2 కాదు
Which of the statements is/are correct? 1. If D > 0, the roots are always rational. 2. The roots of x² − 2 = 0 are rational.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. |x| > 2 అంటే −2 < x < 2. 2. |x − 1| ≤ 3 అంటే −2 ≤ x ≤ 4.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. |x| > 2 means −2 < x < 2. 2. |x − 1| ≤ 3 means −2 ≤ x ≤ 4.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. A ∪ A′ = U. 2. A ∩ A′ = ∅.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Which of the statements is/are correct? 1. A ∪ A′ = U. 2. A ∩ A′ = ∅.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. x² − 5x + 6 < 0 కి సాధన 2 < x < 3. 2. 2 మరియు 3 మధ్య ఉన్న అన్ని x లకు x² − 5x + 6 > 0.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. x² − 5x + 6 < 0 has the solution 2 < x < 3. 2. x² − 5x + 6 > 0 for all x between 2 and 3.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. వర్గ సమీకరణానికి గరిష్ఠంగా రెండు వాస్తవ మూలాలు ఉండవచ్చు. 2. వర్గ సమీకరణానికి ఎల్లప్పుడూ కనీసం ఒక వాస్తవ మూలం ఉంటుంది.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. A quadratic equation can have at most two real roots. 2. A quadratic equation always has at least one real root.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
విచక్షణిని మూలాలతో జతపరచండి: (a) D > 0, (b) D = 0, (c) D < 0 లను (i) వాస్తవ మూలాలు లేవు, (ii) వాస్తవ మరియు సమానం, (iii) వాస్తవ మరియు భిన్నం లతో. సరైన జత
1. a-i, b-ii, c-iii
2. a-iii, b-i, c-ii
3. a-ii, b-iii, c-i
4. a-iii, b-ii, c-i
సమాధానం
D. a-iii, b-ii, c-i
Match the discriminant with the roots: (a) D > 0, (b) D = 0, (c) D < 0 with (i) no real roots, (ii) real and equal, (iii) real and distinct. The correct matching is
1. a-i, b-ii, c-iii
2. a-iii, b-i, c-ii
3. a-ii, b-iii, c-i
4. a-iii, b-ii, c-i
x² − 5x + 6 = 0 మూలాల వ్యుత్క్రమాల (reciprocals) మొత్తం
1. 1/6
2. −5/6
3. 6/5
4. 5/6
సమాధానం
D. 5/6
The sum of the reciprocals of the roots of x² − 5x + 6 = 0 is
1. 1/6
2. −5/6
3. 6/5
4. 5/6

Page 1 of 1

Finished reading?

Test yourself in 10 minutes

A free 10-question mini-mock on your exam's real pattern, with negative marking and an instant score. अपनी तैयारी 10 मिनट में जाँचें।

Take a free mini-mock →Topic-wise practice