త్రికోణమితి మరియు ఎత్తులు, దూరాలు
గుర్తుంచుకోవలసినవి
- లంబకోణ త్రిభుజంలో sin θ = ఎదుటి భుజం/కర్ణం, cos θ = ఆసన్న భుజం/కర్ణం, tan θ = ఎదుటి భుజం/ఆసన్న భుజం. వీటి వ్యుత్క్రమాలు cosec, sec, cot.
- 0°, 30°, 45°, 60°, 90° వద్ద ప్రామాణిక విలువలను, మూడు సర్వసమానతలను నేర్చుకోండి: sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = cosec²θ.
- ఎత్తులు, దూరాల సమస్యలలో లంబకోణ త్రిభుజాన్ని గీసి, క్షితిజ సమాంతరం నుండి ఊర్ధ్వ కోణం (angle of elevation) లేదా నిమ్న కోణం (angle of depression) ను గుర్తించి, tan θ = ఎత్తు/దూరం వాడండి.
త్రికోణమితి నిష్పత్తులు
అల్పకోణం θ ఉన్న లంబకోణ త్రిభుజాన్ని తీసుకోండి. θ కి ఎదురుగా ఉన్న భుజం ఎదుటి భుజం (లంబం), θ ప్రక్కనే ఉన్న భుజం ఆసన్న భుజం (భూమి), అతి పొడవైన భుజం కర్ణం.
| నిష్పత్తి | నిర్వచనం | వ్యుత్క్రమం |
|---|---|---|
| sin θ | ఎదుటి భుజం / కర్ణం | cosec θ = 1 / sin θ |
| cos θ | ఆసన్న భుజం / కర్ణం | sec θ = 1 / cos θ |
| tan θ | ఎదుటి భుజం / ఆసన్న భుజం = sin θ / cos θ | cot θ = 1 / tan θ |
అల్పకోణానికి sin θ, cos θ విలువలు 0 మరియు 1 మధ్య ఉంటాయి. sec θ, cosec θ విలువలు కనీసం 1. tan θ విలువ ఏదైనా ధనాత్మక సంఖ్య కావచ్చు.
సాధించిన ఉదాహరణ. sin θ = 3/5 అయితే, ఎదుటి భుజం 3, కర్ణం 5. ఆసన్న భుజం √(25 − 9) = 4. కాబట్టి cos θ = 4/5 మరియు tan θ = 3/4.
మరో ఉదాహరణ. tan θ = 5/12 అయితే, కర్ణం √(25 + 144) = 13, కాబట్టి sin θ = 5/13. sec θ = 5/3 అయితే tan θ = √(25/9 − 1) = 4/3. cos θ = 5/13 అయితే sin θ = 12/13 మరియు cosec θ = 13/12.
ప్రామాణిక విలువలు
ఈ పట్టికను నేర్చుకోండి. θ 0° నుండి 90° వరకు పెరిగేటప్పుడు sin θ 0 నుండి 1 కి పెరుగుతుంది, cos θ 1 నుండి 0 కి తగ్గుతుంది.
| θ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos θ | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan θ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | నిర్వచించబడలేదు |
sin వరుసను గుర్తుంచుకోవడానికి ఒక చిట్కా: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. cos వరుస అదే జాబితా వెనుక నుండి ముందుకు.
సాధించిన ఉదాహరణలు.
- sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = 1/4 + 3/4 = 1.
- cos²30° − sin²30° = 3/4 − 1/4 = 1/2.
- 4 sin 30° cos 60° = 4 × 1/2 × 1/2 = 1.
పూరక కోణాలు మరియు సర్వసమానతలు
అల్పకోణం θ కు:
- sin(90° − θ) = cos θ మరియు cos(90° − θ) = sin θ
- tan(90° − θ) = cot θ మరియు cot(90° − θ) = tan θ
- sec(90° − θ) = cosec θ మరియు cosec(90° − θ) = sec θ
కాబట్టి cos 65° = sin 25° కనుక sin 25° / cos 65° = 1. అలాగే tan 10° × tan 80° = tan 10° × cot 10° = 1.
సమాసాలు నిర్వచించబడిన ప్రతి కోణానికి ఈ మూడు ప్రాథమిక సర్వసమానతలు సత్యం.
| సర్వసమానత | ఇతర రూపాలు |
|---|---|
| sin²θ + cos²θ = 1 | sin²θ = 1 − cos²θ; cos²θ = 1 − sin²θ |
| 1 + tan²θ = sec²θ | sec²θ − tan²θ = 1 |
| 1 + cot²θ = cosec²θ | cosec²θ − cot²θ = 1 |
ఇతర ఉపయోగకరమైన ఫలితాలు: sin θ × cosec θ = 1, cos θ × sec θ = 1 మరియు tan θ × cot θ = 1. అలాగే (1 − cos²θ) / sin²θ = 1. sin θ = cos θ అయితే θ = 45°. tan θ = √3 అయితే θ = 60°.
సరళీకరణ. సర్వసమానతను నిరూపించడానికి, ఎక్కువ సంక్లిష్టమైన వైపు నుండి ప్రారంభించండి. అన్నింటినీ sin, cos లోకి మార్చి, తర్వాత sin²θ + cos²θ = 1 వాడండి.
ఎత్తులు మరియు దూరాలు
కొన్ని పదాలు స్పష్టంగా తెలియాలి.
- దృష్టి రేఖ (Line of sight): పరిశీలకుని కన్ను నుండి వస్తువు వరకు గీసిన రేఖ.
- ఊర్ధ్వ కోణం (Angle of elevation): వస్తువు క్షితిజ సమాంతర రేఖకు పైన ఉన్నప్పుడు, క్షితిజ సమాంతర రేఖకు, దృష్టి రేఖకు మధ్య కోణం. పరిశీలకుడు పైకి చూస్తాడు.
- నిమ్న కోణం (Angle of depression): వస్తువు క్షితిజ సమాంతర రేఖకు కింద ఉన్నప్పుడు, క్షితిజ సమాంతర రేఖకు, దృష్టి రేఖకు మధ్య కోణం. పరిశీలకుడు కిందికి చూస్తాడు.
- ఒక బిందువు నుండి ఒక వస్తువుకు నిమ్న కోణం, ఆ వస్తువు నుండి ఆ బిందువుకు ఊర్ధ్వ కోణానికి సమానం. అవి సమాంతర రేఖల మధ్య ఏకాంతర కోణాలు.
పద్ధతి.
- 1. నిలువు ఎత్తు, అడ్డంగా నేల రేఖ ఉన్న స్పష్టమైన పటం గీయండి.
- 2. క్షితిజ సమాంతరం నుండి తెలిసిన కోణాన్ని, తెలిసిన పొడవును గుర్తించండి.
- 3. తెలిసిన, తెలియని భుజాలను కలిపే నిష్పత్తిని ఎంచుకోండి. ఎత్తు h, దూరం d అయితే tan θ = h/d. వాలుగా ఉన్న పొడవు l (నిచ్చెన, దారం, తాడు) అయితే sin θ = h/l మరియు cos θ = d/l.
ఉపయోగకరమైన ప్రామాణిక త్రిభుజాలు.
- 45°–45°–90° త్రిభుజం: భుజాల నిష్పత్తి 1 : 1 : √2.
- 30°–60°–90° త్రిభుజం: భుజాల నిష్పత్తి 1 : √3 : 2 (వరుసగా 30°, 60°, 90° లకు ఎదురుగా).
ఎత్తులు, దూరాలలో సాధించిన ఉదాహరణలు
| సందర్భం | సాధన | సమాధానం |
|---|---|---|
| 10 మీ. పొడవైన నిచ్చెన, నేలతో 60° కోణంలో వాలి ఉంది | ఎత్తు = 10 sin 60° = 10 × √3/2 | 5√3 మీ. ఎత్తు; పాదం గోడ నుండి 5 మీ. |
| 30 మీ. దూరంలో ఊర్ధ్వ కోణం 45° | h = 30 × tan 45° | 30 మీ. |
| 20√3 మీ. వద్ద ఊర్ధ్వ కోణం 30° | h = 20√3 × 1/√3 | 20 మీ. |
| గాలిపటం దారం 100 మీ., ఊర్ధ్వ కోణం 30° | h = 100 × sin 30° | 50 మీ. |
| 75 మీ. లైట్‌హౌస్, ఓడకు నిమ్న కోణం 30° | d = 75 / tan 30° = 75√3 | 75√3 మీ. |
| 10 మీ. స్తంభం, నీడ 10√3 మీ. | tan θ = 10/(10√3) = 1/√3 | సూర్యుడు 30° వద్ద |
తుఫానుకు విరిగిన చెట్టు. చెట్టు కొన నేలను పాదం నుండి 10√3 మీ. దూరంలో తాకి, నేలతో 30° కోణం చేస్తుంది. నిలిచి ఉన్న భాగం h = 10√3 × tan 30° = 10 మీ. విరిగిన భాగం కర్ణం, 10 / sin 30° = 20 మీ. అసలు ఎత్తు 10 + 20 = 30 మీ.
ఒకే రేఖపై రెండు బిందువులు. ఒక టవర్ పాదం గుండా వెళ్లే ఒకే రేఖపై, పాదం నుండి a మరియు b దూరాల వద్ద ఉన్న రెండు బిందువుల నుండి టవర్ శిఖరానికి ఊర్ధ్వ కోణాలు పూరక కోణాలనుకోండి. అప్పుడు tan θ = h/a మరియు tan(90° − θ) = h/b. గుణిస్తే 1 = h²/(ab), కాబట్టి h = √(ab). a = 4 మీ., b = 9 మీ. అయితే h = 6 మీ.
టవర్‌పై పరిశీలకుడు. ఎత్తు h ఉన్న టవర్‌ను d దూరంలోని బిందువు నుండి చూస్తే, శిఖరానికి ఊర్ధ్వ కోణం tan θ = h/d ను తృప్తిపరుస్తుంది. ఒకే వైపున ఉన్న రెండు పరిశీలన బిందువులకు, తెలియని ఎత్తు కనుగొనడానికి దూరాలను తీసివేయండి.
సమస్య సాధన చిట్కాలు
- పద సమస్యను ముందుగా లంబకోణ త్రిభుజంగా మార్చండి. నిలువు భుజాన్ని ఎత్తుగా, అడ్డ భుజాన్ని దూరంగా గుర్తించండి.
- టవర్ పాదంతో ఒకే రేఖపై రెండు పరిశీలన బిందువులు ఉన్నప్పుడు, ప్రతి బిందువుకు ఒక సమీకరణం రాయండి. రెండు సమీకరణాల్లో ఎత్తు h ఒకటే, కాబట్టి వాటిని సమం చేసి తెలియని దూరాన్ని కనుగొనండి.
- పరిశీలకుని కన్ను నేల నుండి పైన ఉంటే (ఉదాహరణకు 1.5 మీ.), త్రిభుజం నుండి వచ్చిన ఎత్తుకు ఆ కంటి ఎత్తును కలపండి.
- కరణులను (√3, 1/√3) చివరి దశ వరకు అలాగే ఉంచండి, ఎందుకంటే అప్పుడు ప్రామాణిక విలువలు చక్కగా కొట్టుకుపోతాయి.
- నీడ ఉన్న సమస్యలో, సూర్యుని ఊర్ధ్వ కోణం అంటే కాంతి కిరణానికి, నేలకు మధ్య కోణం. ఎత్తు h, నీడ పొడవు s ఉన్న స్తంభానికి tan θ = h/s. సూర్య ఊర్ధ్వ కోణం 60°, నీడ 30 మీ. ఉన్న టవర్ ఎత్తు 30 tan 60° = 30√3 మీ.
- భవనానికి 40 మీ. దూరంలో ఉన్న వ్యక్తి 45° ఊర్ధ్వ కోణంతో దాని శిఖరాన్ని తన కంటికి 40 మీ. పైన చూస్తాడు. అతని కంటి ఎత్తు 1.5 మీ. అయితే భవనం ఎత్తు 41.5 మీ.
పరీక్షలో ఉచ్చులు
- ఊర్ధ్వ కోణాన్ని క్షితిజ సమాంతరం నుండి కాకుండా నిలువు నుండి కొలవడం.
- ప్రశ్నలో భూమి, ఎత్తు ఇచ్చినప్పుడు sin వాడటం (సరైన నిష్పత్తి tan).
- sin 30° (1/2), sin 60° (√3/2) విలువలను, లేదా cos 30°, cos 60° లను తారుమారు చేయడం.
- tan 90° కు విలువ ఉందని అనుకోవడం. అది నిర్వచించబడలేదు.
- sin θ + cos θ = 1 అని నమ్మడం. sin²θ + cos²θ = 1 మాత్రమే సర్వసమానత.
- అల్పకోణానికి sec θ విలువ 1 కంటే తక్కువ ఉండవచ్చని చెప్పడం. sec, cosec ఎల్లప్పుడూ కనీసం 1.
- sin(90° − θ) = sin θ అని రాయడం. సరైన ఫలితం cos θ.
- నిమ్న కోణాన్ని నేల నుండి కొలిచినట్లు వాడటం. అది పరిశీలకుని కన్ను వద్ద క్షితిజ సమాంతరం నుండి కొలుస్తారు.
ఒక్క వాక్య సూత్రాలు
- 1. sin θ = ఎదుటి భుజం/కర్ణం; cos θ = ఆసన్న భుజం/కర్ణం; tan θ = ఎదుటి భుజం/ఆసన్న భుజం.
- 2. sin 30° = 1/2; cos 60° = 1/2; tan 45° = 1.
- 3. sin 60° = cos 30° = √3/2; tan 60° = √3; tan 30° = 1/√3.
- 4. sin²θ + cos²θ = 1.
- 5. 1 + tan²θ = sec²θ మరియు 1 + cot²θ = cosec²θ.
- 6. sin(90° − θ) = cos θ మరియు tan(90° − θ) = cot θ.
- 7. అల్పకోణం యొక్క sin θ, cos θ ఎప్పుడూ 1 ను మించవు.
- 8. tan 0° = 0 మరియు sin 0° = 0; cos 0° = 1; sin 90° = 1.
- 9. ఊర్ధ్వ కోణం క్షితిజ సమాంతరానికి పైన కొలుస్తారు; నిమ్న కోణం దాని కింద కొలుస్తారు.
- 10. A నుండి B కి నిమ్న కోణం, B నుండి A కి ఊర్ధ్వ కోణానికి సమానం.
- 11. 45° ఊర్ధ్వ కోణం అయితే ఎత్తు, పాదం నుండి దూరానికి సమానం.
- 12. a, b దూరాల వద్ద పూరక ఊర్ధ్వ కోణాలకు, ఎత్తు = √(ab).
సాధన ప్రశ్నలు
sin 30° విలువ
- √3/2
- 1/√2
- 1/2
- 1
సమాధానం
C. 1/2
The value of sin 30° is
- √3/2
- 1/√2
- 1/2
- 1
tan 45° విలువ
- 0
- √3
- 1
- 1/√3
సమాధానం
C. 1
The value of tan 45° is
- 0
- √3
- 1
- 1/√3
cos 60° విలువ
- 0
- 1/2
- √3/2
- 1/√2
సమాధానం
B. 1/2
The value of cos 60° is
- 0
- 1/2
- √3/2
- 1/√2
tan 60° విలువ
- 1/√3
- 1
- 2
- √3
సమాధానం
D. √3
The value of tan 60° is
- 1/√3
- 1
- 2
- √3
ప్రతి కోణానికీ సత్యమయ్యే సర్వసమీకరణం (identity) ఏది?
- sin θ cos θ = 1
- sin²θ + cos²θ = 1
- sin θ + cos θ = 1
- sin²θ − cos²θ = 1
సమాధానం
B. sin²θ + cos²θ = 1
Which identity is true for every angle?
- sin θ cos θ = 1
- sin²θ + cos²θ = 1
- sin θ + cos θ = 1
- sin²θ − cos²θ = 1
1 + tan²θ కి సమానం
- cosec²θ
- cot²θ
- sin²θ
- sec²θ
సమాధానం
D. sec²θ
1 + tan²θ equals
- cosec²θ
- cot²θ
- sin²θ
- sec²θ
cosec²θ − cot²θ కి సమానం
- 0
- tan²θ
- sec²θ
- 1
సమాధానం
D. 1
cosec²θ − cot²θ equals
- 0
- tan²θ
- sec²θ
- 1
sin(90° − θ) కి సమానం
- sec θ
- cos θ
- tan θ
- sin θ
సమాధానం
B. cos θ
sin(90° − θ) equals
- sec θ
- cos θ
- tan θ
- sin θ
sin θ = 3/5 (θ అల్పకోణం) అయితే tan θ విలువ
- 3/4
- 5/3
- 4/5
- 4/3
సమాధానం
A. 3/4
If sin θ = 3/5 (θ acute), tan θ equals
- 3/4
- 5/3
- 4/5
- 4/3
tan θ = 5/12 (θ అల్పకోణం) అయితే sin θ విలువ
- 5/12
- 5/13
- 13/5
- 12/13
సమాధానం
B. 5/13
If tan θ = 5/12 (θ acute), sin θ equals
- 5/12
- 5/13
- 13/5
- 12/13
sec θ = 5/3 (θ అల్పకోణం) అయితే tan θ విలువ
- 4/3
- 5/4
- 3/5
- 3/4
సమాధానం
A. 4/3
If sec θ = 5/3 (θ acute), tan θ equals
- 4/3
- 5/4
- 3/5
- 3/4
cos θ = 5/13 (θ అల్పకోణం) అయితే cosec θ విలువ
- 5/12
- 12/13
- 13/5
- 13/12
సమాధానం
D. 13/12
If cos θ = 5/13 (θ acute), cosec θ equals
- 5/12
- 12/13
- 13/5
- 13/12
sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° విలువ
- 1/2
- 1
- √3/2
- 3/4
సమాధానం
B. 1
The value of sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° is
- 1/2
- 1
- √3/2
- 3/4
cos²30° − sin²30° విలువ
- 1
- 1/2
- √3/2
- 0
సమాధానం
B. 1/2
The value of cos²30° − sin²30° is
- 1
- 1/2
- √3/2
- 0
tan 10° × tan 80° విలువ
- 0
- √3
- 1/2
- 1
సమాధానం
D. 1
The value of tan 10° × tan 80° is
- 0
- √3
- 1/2
- 1
sin 25° / cos 65° విలువ
- 1
- 0
- 1/2
- tan 40°
సమాధానం
A. 1
The value of sin 25° / cos 65° is
- 1
- 0
- 1/2
- tan 40°
ఒక అల్పకోణం θ కి sin θ = cos θ అయితే θ విలువ
- 60°
- 30°
- 45°
- 90°
సమాధానం
C. 45°
If sin θ = cos θ for an acute angle θ, then θ equals
- 60°
- 30°
- 45°
- 90°
ఒక అల్పకోణానికి tan θ = √3 అయితే θ విలువ
- 90°
- 30°
- 60°
- 45°
సమాధానం
C. 60°
If tan θ = √3 for an acute angle, θ equals
- 90°
- 30°
- 60°
- 45°
sin θ కి సాధ్యమయ్యే గరిష్ఠ విలువ
- 1
- 1/2
- √2
- పరిమితి లేదు
సమాధానం
A. 1
The maximum possible value of sin θ is
- 1
- 1/2
- √2
- Not bounded
10 మీ. పొడవైన నిచ్చెన నేలతో 60° కోణం చేస్తూ గోడకు ఆనించి ఉంది. అది గోడపై చేరే ఎత్తు
- 5 m
- 5√3 m
- 10/√3 m
- 10√3 m
సమాధానం
B. 5√3 m
A 10 m ladder leans against a wall making 60° with the ground. The height reached on the wall is
- 5 m
- 5√3 m
- 10/√3 m
- 10√3 m
నేలతో 60° కోణం చేస్తున్న 10 మీ. నిచ్చెన అడుగు భాగం గోడ నుండి ఎంత దూరంలో ఉంటుంది?
- 10 m
- 5√3 m
- 20/√3 m
- 5 m
సమాధానం
D. 5 m
The foot of a 10 m ladder making 60° with the ground is at what distance from the wall?
- 10 m
- 5√3 m
- 20/√3 m
- 5 m
ఒక స్తంభం (టవర్) అడుగు నుండి 30 మీ. దూరంలోని బిందువు నుండి దాని శిఖరం ఉన్నతి కోణం (angle of elevation) 45°. స్తంభం ఎత్తు
- 30√3 m
- 30 m
- 15 m
- 60 m
సమాధానం
B. 30 m
From a point 30 m from the foot of a tower, the angle of elevation of the top is 45°. The height of the tower is
- 30√3 m
- 30 m
- 15 m
- 60 m
ఒక స్తంభం అడుగు నుండి 20√3 మీ. దూరంలోని బిందువు నుండి దాని శిఖరం ఉన్నతి కోణం 30°. స్తంభం ఎత్తు ఎంత?
- 60 m
- 20√3 m
- 20 m
- 10 m
సమాధానం
C. 20 m
From a point 20√3 m from the foot of a tower, the angle of elevation of the top is 30°. The tower is how high?
- 60 m
- 20√3 m
- 20 m
- 10 m
100 మీ. పొడవైన గాలిపటం దారం నేలతో 30° కోణం చేస్తోంది (దారం బిగుతుగా, తిన్నగా ఉంది). గాలిపటం ఎత్తు
- 50 m
- 100/√3 m
- 50√3 m
- 100 m
సమాధానం
A. 50 m
A kite string 100 m long makes an angle of 30° with the ground (string taut and straight). The height of the kite is
- 50 m
- 100/√3 m
- 50√3 m
- 100 m
75 మీ. ఎత్తున్న లైట్‌హౌస్ పై నుండి ఒక ఓడ నిమ్న కోణం (angle of depression) 30°. లైట్‌హౌస్ అడుగు నుండి ఓడ దూరం
- 150 m
- 25√3 m
- 75 m
- 75√3 m
సమాధానం
D. 75√3 m
From the top of a lighthouse 75 m high, the angle of depression of a ship is 30°. The distance of the ship from the foot of the lighthouse is
- 150 m
- 25√3 m
- 75 m
- 75√3 m
10 మీ. స్తంభం నీడ పొడవు 10√3 మీ. సూర్యుని ఉన్నతి కోణం
- 60°
- 30°
- 15°
- 45°
సమాధానం
B. 30°
A 10 m pole casts a shadow of 10√3 m. The angle of elevation of the sun is
- 60°
- 30°
- 15°
- 45°
ఒక స్తంభం అడుగు గుండా పోయే రేఖపై అడుగు నుండి 4 మీ., 9 మీ. దూరంలోని రెండు బిందువుల నుండి స్తంభం శిఖరం ఉన్నతి కోణాలు పరస్పర పూరక కోణాలు (complementary). స్తంభం ఎత్తు
- 6 m
- 13 m
- 36 m
- 5 m
సమాధానం
A. 6 m
The angle of elevation of the top of a tower from two points on a line through its foot, 4 m and 9 m from the foot, are complementary. The height of the tower is
- 6 m
- 13 m
- 36 m
- 5 m
తుపానుకు ఒక చెట్టు విరిగి, దాని పై భాగం అడుగు నుండి 10√3 మీ. దూరంలో నేలను తాకి, నేలతో 30° కోణం చేస్తోంది. చెట్టు అసలు ఎత్తు
- 10 m
- 20√3 m
- 30 m
- 20 m
సమాధానం
C. 30 m
A tree is broken by a storm and its top touches the ground 10√3 m from the foot, making 30° with the ground. The original height of the tree is
- 10 m
- 20√3 m
- 30 m
- 20 m
పరిశీలకుని నుండి వస్తువు నిమ్న కోణం, వస్తువు నుండి పరిశీలకుని ఉన్నతి కోణానికి సమానం, ఎందుకంటే అవి
- శీర్షాభిముఖ కోణాలు
- పూరక కోణాలు
- సహ అంతర కోణాలు
- ఏకాంతర కోణాలు
సమాధానం
D. ఏకాంతర కోణాలు
The angle of depression of an object from an observer equals the angle of elevation of the observer from the object because they are
- vertically opposite angles
- complementary angles
- co-interior angles
- alternate angles
ఉన్నతి కోణాన్ని ఏ రేఖ నుండి కొలుస్తారు?
- వస్తువు వద్ద నేల
- కంటి గుండా పోయే క్షితిజ సమాంతర రేఖ
- వస్తువును అడుగుతో కలిపే రేఖ
- కంటి గుండా పోయే లంబ రేఖ
సమాధానం
B. కంటి గుండా పోయే క్షితిజ సమాంతర రేఖ
The angle of elevation is measured from the
- ground at the object
- horizontal line through the eye
- line joining the object to the base
- vertical line through the eye
4 sin 30° cos 60° విలువ
- 2
- 1/4
- 4
- 1
సమాధానం
D. 1
The value of 4 sin 30° cos 60° is
- 2
- 1/4
- 4
- 1
(1 − cos²θ)/sin²θ విలువ
- 1
- 0
- tan²θ
- cos²θ
సమాధానం
A. 1
The value of (1 − cos²θ)/sin²θ is
- 1
- 0
- tan²θ
- cos²θ
కింది వాటిలో నిర్వచించబడనిది ఏది?
- tan 45°
- cos 90°
- tan 90°
- sin 90°
సమాధానం
C. tan 90°
Which of the following is NOT defined?
- tan 45°
- cos 90°
- tan 90°
- sin 90°
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. అల్పకోణం యొక్క sin θ, cos θ విలువలు ఎప్పుడూ 1 కంటే ఎక్కువ కావు. 2. అల్పకోణం యొక్క sec θ విలువ 1 కంటే తక్కువ కావచ్చు.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. The values of sin θ and cos θ of an acute angle never exceed 1. 2. The value of sec θ of an acute angle can be less than 1.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. cos(90° − θ) = sin θ. 2. cosec(90° − θ) = sec θ.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Which of the statements is/are correct? 1. cos(90° − θ) = sin θ. 2. cosec(90° − θ) = sec θ.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. అల్పకోణానికి tan θ ఎల్లప్పుడూ 1 కంటే తక్కువ. 2. θ = 30° కి sin θ = cos θ.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
D. 1 లేదా 2 కాదు
Which of the statements is/are correct? 1. tan θ is always less than 1 for an acute angle. 2. sin θ = cos θ for θ = 30°.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. sin θ + cos θ = 1 ఒక సర్వసమీకరణం. 2. sin²θ + cos²θ = 1 ఒక సర్వసమీకరణం.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. sin θ + cos θ = 1 is an identity. 2. sin²θ + cos²θ = 1 is an identity.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. ఉన్నతి కోణాన్ని క్షితిజ సమాంతర రేఖకు పైన కొలుస్తారు. 2. నిమ్న కోణాన్ని లంబ రేఖ నుండి కొలుస్తారు.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. The angle of elevation is measured above the horizontal. 2. The angle of depression is measured from the vertical.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. tan 30° = 1/√3. 2. sin 60° = cos 30°.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Which of the statements is/are correct? 1. tan 30° = 1/√3. 2. sin 60° = cos 30°.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. θ విలువ 0° నుండి 90° వరకు పెరిగేకొద్దీ sin θ పెరుగుతుంది. 2. θ విలువ 0° నుండి 90° వరకు పెరిగేకొద్దీ cos θ పెరుగుతుంది.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. sin θ increases as θ goes from 0° to 90°. 2. cos θ increases as θ goes from 0° to 90°.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. 45°–45°–90° త్రిభుజంలో భుజాల నిష్పత్తి 1 : 1 : √2. 2. 30°–60°–90° త్రిభుజంలో భుజాల నిష్పత్తి 1 : √3 : 2.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Which of the statements is/are correct? 1. In a 45°–45°–90° triangle the sides are in the ratio 1 : 1 : √2. 2. In a 30°–60°–90° triangle the sides are in the ratio 1 : √3 : 2.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కోణాలను వాటి నిష్పత్తులతో జతపరచండి: (a) sin 60°, (b) cos 45°, (c) tan 30°. క్రమంలో సరైన విలువలు
- 1/2, 1/√2, √3
- √3/2, 1/√2, 1/√3
- √3/2, 1/2, √3
- 1/√2, √3/2, 1/√3
సమాధానం
B. √3/2, 1/√2, 1/√3
Match the angles with their ratios: (a) sin 60°, (b) cos 45°, (c) tan 30°. The correct values in order are
- 1/2, 1/√2, √3
- √3/2, 1/√2, 1/√3
- √3/2, 1/2, √3
- 1/√2, √3/2, 1/√3
జతపరచండి: (a) sec θ, (b) cosec θ, (c) cot θ. క్రమంలో సరైన నిర్వచనాలు
- 1/cos θ, 1/tan θ, sin θ/cos θ
- 1/sin θ, 1/cos θ, sin θ/cos θ
- cos θ, sin θ, tan θ
- 1/cos θ, 1/sin θ, cos θ/sin θ
సమాధానం
D. 1/cos θ, 1/sin θ, cos θ/sin θ
Match: (a) sec θ, (b) cosec θ, (c) cot θ. The correct definitions in order are
- 1/cos θ, 1/tan θ, sin θ/cos θ
- 1/sin θ, 1/cos θ, sin θ/cos θ
- cos θ, sin θ, tan θ
- 1/cos θ, 1/sin θ, cos θ/sin θ
ఒక భవనం నుండి 40 మీ. దూరంలో నిలబడిన వ్యక్తి దాని శిఖరాన్ని 45° ఉన్నతి కోణంలో చూస్తున్నాడు. అతని కంటి ఎత్తు నేల నుండి 1.5 మీ. భవనం ఎత్తు
- 38.5 m
- 43 m
- 40 m
- 41.5 m
సమాధానం
D. 41.5 m
A man standing 40 m from a building sees its top at an angle of elevation of 45°. His eye level is 1.5 m above the ground. The height of the building is
- 38.5 m
- 43 m
- 40 m
- 41.5 m
సూర్యుని ఉన్నతి 60° ఉన్నప్పుడు ఒక స్తంభం నీడ పొడవు 30 మీ. స్తంభం ఎత్తు
- 60 m
- 30√3 m
- 30 m
- 10√3 m
సమాధానం
B. 30√3 m
The shadow of a tower is 30 m long when the sun's elevation is 60°. The height of the tower is
- 60 m
- 30√3 m
- 30 m
- 10√3 m