అటవీ పోస్టుల కోసం SSC స్థాయి గణితం · Chapter 5

జ్యామితి I: రేఖలు, కోణాలు, త్రిభుజాలు మరియు సరూపత

గుర్తుంచుకోవలసినవి

త్రిభుజం మూడు కోణాల మొత్తం 180°. బాహ్య కోణం రెండు అంతర ఎదుటి కోణాల మొత్తానికి సమానం. ఏ రెండు భుజాల మొత్తమైనా మూడవ భుజం కంటే ఎక్కువ.
త్రిభుజాలు SSS, SAS, ASA, AAS లేదా RHS ద్వారా సర్వసమానాలు (congruent). AA, SSS (భుజాలు అనుపాతంలో) లేదా SAS (అనుపాత భుజాల మధ్య ఒక సమాన కోణం) ద్వారా సరూపాలు (similar). SSA, AAA సర్వసమానతను నిరూపించవు.
సరూప త్రిభుజాలలో వైశాల్యాల నిష్పత్తి, సంబంధిత భుజాల నిష్పత్తి వర్గానికి సమానం. ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం (BPT), పైథాగరస్ సిద్ధాంతం మరియు త్రిభుజ నాలుగు కేంద్రాలు ఎక్కువగా అడిగే అంశాలు.

రేఖలు మరియు కోణాలు

రెండు కోణాల మొత్తం 90° అయితే అవి పూరక కోణాలు (complementary), 180° అయితే సంపూరక కోణాలు (supplementary). 35° కు పూరక కోణం 55°. 110° కు సంపూరక కోణం 70°.
సరళరేఖపై కోణాల మొత్తం 180°. ఒక బిందువు చుట్టూ కోణాల మొత్తం 360°.
శీర్షాభిముఖ కోణాలు (Vertically opposite angles) (రెండు రేఖలు ఖండించుకున్నప్పుడు ఏర్పడతాయి) సమానాలు.
రేఖీయ ద్వయం (Linear pair) కోణాలు సంపూరకాలు.

ఒక తిర్యగ్రేఖ రెండు రేఖలను ఖండించినప్పుడు, ఆ రెండు రేఖలు సమాంతరమైతేనే కింది సంబంధాలు నిజం.

కోణాల జంట	సంబంధం (సమాంతర రేఖలకు)
అనురూప కోణాలు (Corresponding)	సమానం
ఏకాంతర అంతర కోణాలు (Alternate interior)	సమానం
ఏకాంతర బాహ్య కోణాలు (Alternate exterior)	సమానం
సహ-అంతర కోణాలు (Co-interior, same-side interior)	సంపూరకాలు (మొత్తం 180°)

సాధించిన ఉదాహరణ. ఏకాంతర అంతర కోణాలు (x + 20)° మరియు (2x − 30)° అయితే x + 20 = 2x − 30 మరియు x = 50. ప్రతి కోణం 70°.

సాధించిన ఉదాహరణ. రెండు కోణాలు సంపూరకాలు, ఒకటి మరొకదానికి మూడు రెట్లు. అప్పుడు 4x = 180, కాబట్టి చిన్న కోణం 45°.

త్రిభుజాలు: కోణాలు మరియు భుజాలు

కోణాల మొత్తం ధర్మం. A + B + C = 180°.

కోణాల నిష్పత్తి 2 : 3 : 4 అయితే, కోణాలు 40°, 60°, 80°.
శీర్ష కోణం 40° ఉన్న సమద్విబాహు త్రిభుజంలో, ప్రతి భూకోణం (180° − 40°)/2 = 70°.
సమబాహు త్రిభుజంలో ప్రతి కోణం 60°.

బాహ్య కోణ ధర్మం. బాహ్య కోణం రెండు అంతర ఎదుటి కోణాల మొత్తానికి సమానం. బాహ్య కోణం 120° అయి, ఒక అంతర ఎదుటి కోణం 50° అయితే, రెండవది 70°. మూడు బాహ్య కోణాల (ప్రతి శీర్షం వద్ద ఒకటి) మొత్తం 360°.

భుజాల ధర్మాలు.

ఏ రెండు భుజాల మొత్తమైనా మూడవ భుజం కంటే ఎక్కువ. ఏ రెండు భుజాల భేదమైనా మూడవ భుజం కంటే తక్కువ. భుజాలు 7, 10 అయితే, మూడవ భుజం x కు 3 < x < 17.
అతి పెద్ద భుజం అతి పెద్ద కోణానికి ఎదురుగా ఉంటుంది, అతి చిన్న భుజం అతి చిన్న కోణానికి ఎదురుగా ఉంటుంది.
కోణం A = 70° అయితే, కోణాలు B, C ల సమద్విఖండన రేఖలు అంతర్వృత్త కేంద్రం (incentre) I వద్ద కలుస్తాయి, మరియు ∠BIC = 90° + A/2 = 125°.

భుజాల ఆధారంగా రకాలు: సమబాహు (అన్నీ సమానం), సమద్విబాహు (రెండు సమానం), విషమబాహు (ఏవీ సమానం కావు). కోణాల ఆధారంగా: అల్పకోణ, లంబకోణ, అధికకోణ.

సర్వసమానత మరియు సరూపత

పరీక్ష	సర్వసమాన త్రిభుజాలు	సరూప త్రిభుజాలు
భుజాలు	SSS	భుజాలు అనుపాతంలో (SSS సరూపత)
కోణాలు	ASA, AAS	AA (రెండు కోణాలు సమానం; మూడవది దానంతటదే)
మిశ్రమం	SAS (రెండు భుజాల మధ్య కోణం), RHS (లంబకోణం, కర్ణం, ఒక భుజం)	SAS సరూపత (అనుపాత భుజాల మధ్య ఒక సమాన కోణం)
చెల్లనివి	SSA (RHS తప్ప) మరియు AAA	AAA అనేది AA తో సమానం, సరూపతకు మాత్రమే పనిచేస్తుంది

అన్ని సర్వసమాన త్రిభుజాలు సరూపాలే. సరూప త్రిభుజాలు సర్వసమానం కానవసరం లేదు. ఏ రెండు సమబాహు త్రిభుజాలైనా సరూపాలే, కానీ ఏ రెండు సమద్విబాహు త్రిభుజాలైనా సరూపాలు కానవసరం లేదు.

సరూప త్రిభుజాలలో నిష్పత్తులు.

సంబంధిత భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో ఉంటాయి. చుట్టుకొలతలు భుజాల నిష్పత్తిలోనే ఉంటాయి. మధ్యగత రేఖలు, ఎత్తులు (altitudes), కోణ సమద్విఖండన రేఖలు కూడా అదే నిష్పత్తిలో ఉంటాయి.
వైశాల్యాల నిష్పత్తి = (భుజాల నిష్పత్తి)². భుజాలు 3 : 5 నిష్పత్తిలో ఉంటే, వైశాల్యాలు 9 : 25 నిష్పత్తిలో ఉంటాయి. వైశాల్యాలు 36, 81 అయితే, భుజాలు 6 : 9 నిష్పత్తిలో ఉంటాయి. మొదటి త్రిభుజంలో 8 భుజానికి రెండవ దానిలో 8 × 9/6 = 12 సంబంధిత భుజం.
చుట్టుకొలతలు 24, 36 ఉన్న రెండు త్రిభుజాల భుజాల నిష్పత్తి 2 : 3.

ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం మరియు మధ్యబిందు సిద్ధాంతం

BPT (థేల్స్). త్రిభుజంలో ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగతా రెండు భుజాలను ఖండిస్తే, అది వాటిని ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. త్రిభుజం ABC లో DE ∥ BC అయితే AD/DB = AE/EC. దీని విపర్యయం కూడా నిజం.

సాధించిన ఉదాహరణ. AD = 4, DB = 6, AE = 6. అప్పుడు 4/6 = 6/EC, కాబట్టి EC = 9.

మధ్యబిందు సిద్ధాంతం. రెండు భుజాల మధ్యబిందువులను కలిపే రేఖ మూడవ భుజానికి సమాంతరంగా ఉండి, దానిలో సగం ఉంటుంది. మూడవ భుజం 12 అయితే, కలిపే రేఖ 6.

కోణ సమద్విఖండన సిద్ధాంతం. త్రిభుజంలో ఒక కోణం యొక్క సమద్విఖండన రేఖ ఎదుటి భుజాన్ని మిగతా రెండు భుజాల నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. AB = 6, AC = 9, BC = 10 అయితే, A యొక్క సమద్విఖండన రేఖ BC ని D వద్ద కలుస్తుంది, BD/DC = 6/9. కాబట్టి BD = 4 మరియు DC = 6.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం మరియు త్రిభుజ కేంద్రాలు

పైథాగరస్. లంబకోణ త్రిభుజంలో (కర్ణం)² = (భూమి)² + (లంబం)². విపర్యయం కూడా నిజం: a² + b² = c² అయితే త్రిభుజం లంబకోణమైనది.

సాధారణ త్రయాలు: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) మరియు వాటి గుణిజాలు.

భుజాలు 8, 15 అయితే కర్ణం 17.
13 మీ. నిచ్చెన పాదం గోడ నుండి 5 మీ. దూరంలో ఉంటే అది 12 మీ. ఎత్తు చేరుతుంది.
ఒక వ్యక్తి తూర్పుకు 9 మీ., ఉత్తరానికి 12 మీ. నడిస్తే, ప్రారంభ స్థానం నుండి 15 మీ. దూరంలో ఉంటాడు.
భుజాలు 6, 8 ఉన్న లంబకోణ త్రిభుజంలో, కర్ణంపైకి గీసిన ఎత్తు (6 × 8)/10 = 4.8.

త్రిభుజ నాలుగు కేంద్రాలు.

కేంద్రం	దేని వల్ల ఏర్పడుతుంది	ప్రత్యేక వాస్తవాలు
గురుత్వ కేంద్రం (Centroid)	మధ్యగత రేఖలు	ఎల్లప్పుడూ లోపల ఉంటుంది; ప్రతి మధ్యగత రేఖను శీర్షం నుండి 2 : 1 లో విభజిస్తుంది
అంతర్వృత్త కేంద్రం (Incentre)	కోణ సమద్విఖండన రేఖలు	ఎల్లప్పుడూ లోపల ఉంటుంది; అంతర్వృత్త కేంద్రం
పరివృత్త కేంద్రం (Circumcentre)	భుజాల లంబ సమద్విఖండన రేఖలు	అల్పకోణ త్రిభుజానికి లోపల, లంబకోణ త్రిభుజానికి కర్ణ మధ్యబిందువు వద్ద, అధికకోణ త్రిభుజానికి బయట
లంబ కేంద్రం (Orthocentre)	ఎత్తులు (altitudes)	అల్పకోణ త్రిభుజానికి లోపల, లంబకోణ త్రిభుజానికి లంబకోణ శీర్షం వద్ద, అధికకోణ త్రిభుజానికి బయట

15 పొడవు గల మధ్యగత రేఖకు, గురుత్వ కేంద్రం శీర్షం నుండి 10, భుజం నుండి 5 దూరంలో ఉంటుంది.
6, 8, 10 లంబకోణ త్రిభుజానికి, పరివృత్త వ్యాసార్థం కర్ణంలో సగం, 5. అంతర్వృత్త వ్యాసార్థం (a + b − c)/2 = (6 + 8 − 10)/2 = 2. 3, 4, 5 త్రిభుజానికి అంతర్వృత్త వ్యాసార్థం 1.
భుజం a ఉన్న సమబాహు త్రిభుజంలో గురుత్వ కేంద్రం, అంతర్వృత్త కేంద్రం, పరివృత్త కేంద్రం, లంబ కేంద్రం ఏకీభవిస్తాయి. ఎత్తు (√3/2)a, కాబట్టి a = 10 కు అది 5√3.

వైశాల్యాలు. మధ్యగత రేఖ త్రిభుజాన్ని సమాన వైశాల్యం గల రెండు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది. ఒకే భూమిపై, ఒకే సమాంతర రేఖల మధ్య ఉన్న త్రిభుజాల వైశాల్యాలు సమానం.

లంబకోణ త్రిభుజాలలో ఉపయోగకరమైన సంబంధాలు

లంబకోణ శీర్షం నుండి కర్ణంపైకి ఎత్తు గీస్తే, అది త్రిభుజాన్ని రెండు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది. ప్రతి ఒక్కటి మొత్తం త్రిభుజానికి, ఒకదానికొకటి సరూపం. దీని నుండి (ఎత్తు)² = కర్ణం యొక్క (భాగం 1) × (భాగం 2), మరియు (భుజం)² = (కర్ణం) × (ఆసన్న భాగం).
భుజాలు 6, 8 ఉన్న లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం 10. భుజం 6 కు 6² = 10 × x, కాబట్టి కర్ణం యొక్క ఆసన్న భాగం 3.6.
లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణానికి గీసిన మధ్యగత రేఖ కర్ణంలో సగం.
అతి పొడవైన భుజం c ఉన్న త్రిభుజానికి: c² < a² + b² అయితే త్రిభుజం అల్పకోణమైనది, c² = a² + b² అయితే లంబకోణమైనది, c² > a² + b² అయితే అధికకోణమైనది.

పరీక్షలో ఉచ్చులు

SSA లేదా AAA సర్వసమానతను నిరూపిస్తాయని నమ్మడం. RHS మాత్రమే ప్రత్యేక SSA సందర్భం.
సరూప త్రిభుజాలు ఎల్లప్పుడూ సర్వసమానాలు అని చెప్పడం. దాని విపర్యయమే నిజం.
వైశాల్యాల నిష్పత్తికి భుజాల నిష్పత్తిని వాడటం. వైశాల్యాలు భుజాల నిష్పత్తి వర్గాన్ని అనుసరిస్తాయి.
BPT నిష్పత్తిని తారుమారు చేయడం. అది AD/DB = AE/EC (భాగం నుండి భాగం), AD/AB కాదు.
అధికకోణ త్రిభుజంలో లంబ కేంద్రాన్ని లేదా పరివృత్త కేంద్రాన్ని లోపల ఉంచడం. రెండూ బయట ఉంటాయి.
గురుత్వ కేంద్రం మధ్యగత రేఖను శీర్షం నుండి 2 : 1 లో విభజిస్తుందని, భుజం నుండి కాదని మరచిపోవడం.
సహ-అంతర కోణాలను సమానంగా భావించడం. అవి కలిపితే 180°.
a² + b² = c² ను తప్పు భుజాన్ని కర్ణంగా తీసుకుని వాడటం. కర్ణం ఎల్లప్పుడూ అతి పొడవైన భుజం.

ఒక్క వాక్య సూత్రాలు

1. త్రిభుజం కోణాల మొత్తం 180°; θ కు పూరక కోణం 90° − θ.
2. శీర్షాభిముఖ కోణాలు సమానం.
3. సమాంతర రేఖలకు, అనురూప కోణాలు, ఏకాంతర కోణాలు సమానం; సహ-అంతర కోణాల మొత్తం 180°.
4. బాహ్య కోణం రెండు అంతర ఎదుటి కోణాల మొత్తానికి సమానం.
5. SSS, SAS, ASA, AAS మరియు RHS సర్వసమానతను నిరూపిస్తాయి.
6. రెండు త్రిభుజాలు సరూపమని నిరూపించడానికి AA చాలు.
7. సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి = (సంబంధిత భుజాల నిష్పత్తి)².
8. BPT: ఒక భుజానికి సమాంతర రేఖ మిగతా రెండు భుజాలను ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
9. రెండు భుజాల మధ్యబిందువులను కలిపే రేఖ మూడవ భుజానికి సమాంతరం, దానిలో సగం పొడవు.
10. గురుత్వ కేంద్రం మధ్యగత రేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
11. లంబకోణ త్రిభుజం పరివృత్త కేంద్రం దాని కర్ణ మధ్యబిందువు.
12. లంబకోణ త్రిభుజం లంబ కేంద్రం లంబకోణ శీర్షం వద్ద ఉంటుంది.

సాధన ప్రశ్నలు

35° యొక్క పూరక కోణం
1. 145°
2. 35°
3. 55°
4. 65°
సమాధానం
C. 55°
The complement of 35° is
1. 145°
2. 35°
3. 55°
4. 65°
110° యొక్క సంపూరక కోణం
1. 70°
2. 250°
3. 80°
4. 20°
సమాధానం
A. 70°
The supplement of 110° is
1. 70°
2. 250°
3. 80°
4. 20°
త్రిభుజ కోణాల మొత్తం
1. 90°
2. 270°
3. 360°
4. 180°
సమాధానం
D. 180°
The sum of the angles of a triangle is
1. 90°
2. 270°
3. 360°
4. 180°
ఒక త్రిభుజ బాహ్య కోణం 120°, దాని అంతర అభిముఖ కోణాలలో ఒకటి 50°. రెండవ అంతర అభిముఖ కోణం
1. 60°
2. 70°
3. 80°
4. 130°
సమాధానం
B. 70°
An exterior angle of a triangle is 120° and one interior opposite angle is 50°. The other interior opposite angle is
1. 60°
2. 70°
3. 80°
4. 130°
ఒక త్రిభుజ కోణాల నిష్పత్తి 2 : 3 : 4. అతి పెద్ద కోణం
1. 100°
2. 90°
3. 80°
4. 60°
సమాధానం
C. 80°
The angles of a triangle are in the ratio 2 : 3 : 4. The largest angle is
1. 100°
2. 90°
3. 80°
4. 60°
రెండు సమాంతర రేఖలను ఒక తిర్యక్ రేఖ ఖండించింది. ఒక సహ అంతర కోణం 65° అయితే రెండవది
1. 115°
2. 25°
3. 65°
4. 105°
సమాధానం
A. 115°
Two parallel lines are cut by a transversal. If one co-interior angle is 65°, the other is
1. 115°
2. 25°
3. 65°
4. 105°
శీర్షాభిముఖ కోణాలు ఎల్లప్పుడూ
1. సంపూరకాలు
2. సమానాలు
3. అసమానాలు
4. పూరకాలు
సమాధానం
B. సమానాలు
Vertically opposite angles are always
1. supplementary
2. equal
3. unequal
4. complementary
భుజాలు 8, 15 గల లంబకోణ త్రిభుజ కర్ణం
1. 23
2. 13
3. 16
4. 17
సమాధానం
D. 17
The hypotenuse of a right triangle with legs 8 and 15 is
1. 23
2. 13
3. 16
4. 17
ఒక త్రిభుజంలో రెండు భుజాలు 7, 10. మూడవ భుజానికి సాధ్యమయ్యే అతి పెద్ద పూర్ణ సంఖ్య విలువ
1. 18
2. 16
3. 17
4. 15
సమాధానం
B. 16
Two sides of a triangle are 7 and 10. The largest whole number value of the third side is
1. 18
2. 16
3. 17
4. 15
కింది వాటిలో త్రిభుజాల సర్వసమానత్వ నియమం (test of congruence) కానిది ఏది?
1. RHS
2. SSS
3. ASA
4. SSA
సమాధానం
D. SSA
Which of the following is NOT a test of congruence of triangles?
1. RHS
2. SSS
3. ASA
4. SSA
రెండు కోణాలు సమానంగా ఉన్న రెండు త్రిభుజాలు
1. సరూపాలు
2. సర్వసమానాలు
3. సమబాహు త్రిభుజాలు
4. సమాన వైశాల్యం గలవి
సమాధానం
A. సరూపాలు
Two triangles with two angles equal are
1. similar
2. congruent
3. equilateral
4. equal in area
త్రిభుజం ABC లో DE ∥ BC; D, AB పై; E, AC పై ఉన్నాయి. AD = 4, DB = 6, AE = 6 అయితే EC విలువ
1. 4
2. 9
3. 8
4. 10
సమాధానం
B. 9
In triangle ABC, DE ∥ BC with D on AB and E on AC. If AD = 4, DB = 6 and AE = 6, then EC is
1. 4
2. 9
3. 8
4. 10
రెండు సరూప త్రిభుజాల భుజాల నిష్పత్తి 3 : 5. వాటి వైశాల్యాల నిష్పత్తి
1. 6 : 10
2. 3 : 5
3. 9 : 25
4. 27 : 125
సమాధానం
C. 9 : 25
The sides of two similar triangles are in the ratio 3 : 5. Their areas are in the ratio
1. 6 : 10
2. 3 : 5
3. 9 : 25
4. 27 : 125
రెండు సరూప త్రిభుజాల వైశాల్యాలు 36 సెం.మీ.², 81 సెం.మీ.². చిన్న త్రిభుజం ఒక భుజం 8 సెం.మీ. అయితే పెద్ద త్రిభుజంలోని అనురూప భుజం
1. 9 సెం.మీ.
2. 10 సెం.మీ.
3. 12 సెం.మీ.
4. 18 సెం.మీ.
సమాధానం
C. 12 సెం.మీ.
Two similar triangles have areas 36 cm² and 81 cm². A side of the smaller triangle is 8 cm. The corresponding side of the larger one is
1. 9 cm
2. 10 cm
3. 12 cm
4. 18 cm
ఒక త్రిభుజంలో రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖ మూడవ భుజానికి సమాంతరం. మూడవ భుజం 12 సెం.మీ. అయితే ఆ రేఖ పొడవు
1. 12 సెం.మీ.
2. 24 సెం.మీ.
3. 3 సెం.మీ.
4. 6 సెం.మీ.
సమాధానం
D. 6 సెం.మీ.
In a triangle, the line joining the midpoints of two sides is parallel to the third side. If the third side is 12 cm, the line is
1. 12 cm
2. 24 cm
3. 3 cm
4. 6 cm
ఒక త్రిభుజ మధ్యగతరేఖ (median) 15 సెం.మీ. అయితే కేంద్రాభాసం (centroid) శీర్షం నుండి ఎంత దూరంలో ఉంటుంది?
1. 10 సెం.మీ.
2. 12 సెం.మీ.
3. 7.5 సెం.మీ.
4. 5 సెం.మీ.
సమాధానం
A. 10 సెం.మీ.
A median of a triangle is 15 cm. The centroid is at what distance from the vertex?
1. 10 cm
2. 12 cm
3. 7.5 cm
4. 5 cm
లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క లంబ కేంద్రం (orthocentre) ఉండేది
1. త్రిభుజం వెలుపల
2. లంబకోణ శీర్షం వద్ద
3. కేంద్రాభాసం వద్ద
4. కర్ణం మధ్య బిందువు వద్ద
సమాధానం
B. లంబకోణ శీర్షం వద్ద
The orthocentre of a right-angled triangle lies
1. outside the triangle
2. at the vertex of the right angle
3. at the centroid
4. at the midpoint of the hypotenuse
భుజాలు 6, 8, 10 గల లంబకోణ త్రిభుజ పరివృత్త వ్యాసార్థం (circumradius)
1. 4
2. 6
3. 10
4. 5
సమాధానం
D. 5
The circumradius of a right triangle with sides 6, 8 and 10 is
1. 4
2. 6
3. 10
4. 5
భుజాలు 3, 4, 5 గల లంబకోణ త్రిభుజ అంతర్వృత్త వ్యాసార్థం (inradius)
1. 2
2. 1
3. 1.5
4. 1/2
సమాధానం
B. 1
The inradius of a right triangle with sides 3, 4 and 5 is
1. 2
2. 1
3. 1.5
4. 1/2
త్రిభుజ అంతఃకేంద్రం (incentre) దేని ఖండన బిందువు?
1. ఎత్తు రేఖలు (altitudes)
2. లంబ సమద్విఖండన రేఖలు
3. కోణ సమద్విఖండన రేఖలు
4. మధ్యగత రేఖలు
సమాధానం
C. కోణ సమద్విఖండన రేఖలు
The incentre of a triangle is the meeting point of its
1. altitudes
2. perpendicular bisectors
3. angle bisectors
4. medians
భుజం 10 సెం.మీ. గల సమబాహు త్రిభుజ ఎత్తు
1. 5√3 cm
2. 10√3 cm
3. 5 cm
4. 10/√3 cm
సమాధానం
A. 5√3 cm
The altitude of an equilateral triangle of side 10 cm is
1. 5√3 cm
2. 10√3 cm
3. 5 cm
4. 10/√3 cm
ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజ శీర్ష కోణం 40°. ప్రతి భూకోణం
1. 40°
2. 80°
3. 70°
4. 140°
సమాధానం
C. 70°
The vertex angle of an isosceles triangle is 40°. Each base angle is
1. 40°
2. 80°
3. 70°
4. 140°
త్రిభుజం ABC లో AB = 6, AC = 9, BC = 10. కోణం A యొక్క సమద్విఖండన రేఖ BC ని D వద్ద కలుస్తుంది. అప్పుడు BD విలువ
1. 5
2. 6
3. 4
4. 3.75
సమాధానం
C. 4
In triangle ABC, AB = 6, AC = 9 and BC = 10. The bisector of angle A meets BC at D. Then BD is
1. 5
2. 6
3. 4
4. 3.75
13 మీ. నిచ్చెన అడుగు గోడ నుండి 5 మీ. దూరంలో ఉంది. అది చేరే ఎత్తు
1. 18 m
2. 10 m
3. 8 m
4. 12 m
సమాధానం
D. 12 m
A 13 m ladder has its foot 5 m from a wall. It reaches a height of
1. 18 m
2. 10 m
3. 8 m
4. 12 m
ఒక వ్యక్తి తూర్పుగా 9 మీ., ఆపై ఉత్తరంగా 12 మీ. నడిచాడు. ప్రారంభ స్థానం నుండి అతని దూరం
1. 15 m
2. 3 m
3. 17 m
4. 21 m
సమాధానం
A. 15 m
A person walks 9 m east and then 12 m north. The distance from the starting point is
1. 15 m
2. 3 m
3. 17 m
4. 21 m
రెండు సరూప త్రిభుజాల చుట్టుకొలతలు 24 సెం.మీ., 36 సెం.మీ. వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తి
1. 1 : 12
2. 2 : 3
3. 3 : 2
4. 4 : 9
సమాధానం
B. 2 : 3
The perimeters of two similar triangles are 24 cm and 36 cm. The ratio of their corresponding sides is
1. 1 : 12
2. 2 : 3
3. 3 : 2
4. 4 : 9
భుజాలు 6, 8 గల లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణంపైకి గీసిన లంబం పొడవు
1. 5
2. 4.8
3. 4
4. 6.4
సమాధానం
B. 4.8
In a right triangle with legs 6 and 8, the altitude drawn to the hypotenuse is
1. 5
2. 4.8
3. 4
4. 6.4
త్రిభుజం ABC లో ∠A = 70°. ∠B, ∠C ల సమద్విఖండన రేఖలు I వద్ద కలుస్తాయి. అప్పుడు ∠BIC విలువ
1. 140°
2. 110°
3. 55°
4. 125°
సమాధానం
D. 125°
In triangle ABC, ∠A = 70°. The bisectors of ∠B and ∠C meet at I. Then ∠BIC is
1. 140°
2. 110°
3. 55°
4. 125°
ఒక త్రిభుజం యొక్క మూడు బాహ్య కోణాల మొత్తం (ప్రతి శీర్షం వద్ద ఒకటి)
1. 360°
2. 270°
3. 180°
4. 540°
సమాధానం
A. 360°
The sum of the three exterior angles of a triangle (one at each vertex) is
1. 360°
2. 270°
3. 180°
4. 540°
రెండు సమాంతర రేఖలను ఒక తిర్యక్ రేఖ ఖండించింది. ఏకాంతర అంతర కోణాలు (x + 20)°, (2x − 30)°. ప్రతి కోణం
1. 70°
2. 110°
3. 50°
4. 60°
సమాధానం
A. 70°
Two parallel lines are cut by a transversal. Alternate interior angles are (x + 20)° and (2x − 30)°. Each angle is
1. 70°
2. 110°
3. 50°
4. 60°
రెండు సంపూరక కోణాలలో ఒకటి రెండవదానికి మూడు రెట్లు. చిన్న కోణం
1. 135°
2. 60°
3. 30°
4. 45°
సమాధానం
D. 45°
Two supplementary angles are such that one is three times the other. The smaller angle is
1. 135°
2. 60°
3. 30°
4. 45°
త్రిభుజ కేంద్రాభాసం (centroid) దేని ఖండన బిందువు?
1. కోణ సమద్విఖండన రేఖలు
2. ఎత్తు రేఖలు
3. మధ్యగత రేఖలు
4. భుజాల లంబ సమద్విఖండన రేఖలు
సమాధానం
C. మధ్యగత రేఖలు
The centroid of a triangle is the meeting point of its
1. angle bisectors
2. altitudes
3. medians
4. perpendicular bisectors of sides
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. సర్వసమాన త్రిభుజాలు సరూపాలు. 2. సరూప త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. Congruent triangles are similar. 2. Similar triangles are congruent.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. అధిక కోణ త్రిభుజం యొక్క పరికేంద్రం (circumcentre) దాని లోపల ఉంటుంది. 2. అధిక కోణ త్రిభుజం యొక్క లంబ కేంద్రం (orthocentre) దాని వెలుపల ఉంటుంది.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. The circumcentre of an obtuse triangle lies inside it. 2. The orthocentre of an obtuse triangle lies outside it.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. త్రిభుజంలో ఏ రెండు భుజాల మొత్తమైనా మూడవ భుజం కంటే ఎక్కువ. 2. ఏ రెండు భుజాల భేదమైనా మూడవ భుజం కంటే తక్కువ.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Which of the statements is/are correct? 1. The sum of any two sides of a triangle is greater than the third side. 2. The difference of any two sides is less than the third side.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. SSA అన్ని సందర్భాలలో సర్వసమానత్వానికి చెల్లుబాటయ్యే నియమం. 2. AAA సర్వసమానత్వానికి చెల్లుబాటయ్యే నియమం.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
D. 1 లేదా 2 కాదు
Which of the statements is/are correct? 1. SSA is a valid test of congruence in every case. 2. AAA is a valid test of congruence.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. ఏ రెండు సమబాహు త్రిభుజాలైనా సరూపాలు. 2. ఏ రెండు సమద్విబాహు త్రిభుజాలైనా సరూపాలు.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. Any two equilateral triangles are similar. 2. Any two isosceles triangles are similar.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. కేంద్రాభాసం ఎల్లప్పుడూ త్రిభుజం లోపలే ఉంటుంది. 2. కేంద్రాభాసం ప్రతి మధ్యగత రేఖను శీర్షం నుండి 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. The centroid always lies inside the triangle. 2. The centroid divides each median in the ratio 1 : 2 from the vertex.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. సమాంతర రేఖలకు ఏకాంతర అంతర కోణాలు సమానం. 2. సమాంతర రేఖలకు సహ అంతర కోణాలు సమానం.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. For parallel lines, alternate interior angles are equal. 2. For parallel lines, co-interior angles are equal.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. మధ్యగత రేఖ త్రిభుజాన్ని సమాన వైశాల్యం గల రెండు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది. 2. ఒకే భూమిపై, ఒకే జత సమాంతర రేఖల మధ్య ఉన్న త్రిభుజాల వైశాల్యాలు సమానం.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Which of the statements is/are correct? 1. A median divides a triangle into two triangles of equal area. 2. Triangles on the same base and between the same parallels have equal areas.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కేంద్రాలను వాటి నిర్మాణంతో జతపరచండి: (a) కేంద్రాభాసం, (b) అంతఃకేంద్రం, (c) పరికేంద్రం, (d) లంబ కేంద్రం లను (i) కోణ సమద్విఖండన రేఖలు, (ii) మధ్యగత రేఖలు, (iii) ఎత్తు రేఖలు, (iv) భుజాల లంబ సమద్విఖండన రేఖలు లతో. సరైన జత
1. a-ii, b-iv, c-i, d-iii
2. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
3. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
4. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
సమాధానం
D. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
Match the centre with its construction: (a) centroid, (b) incentre, (c) circumcentre, (d) orthocentre with (i) angle bisectors, (ii) medians, (iii) altitudes, (iv) perpendicular bisectors of sides. The correct matching is
1. a-ii, b-iv, c-i, d-iii
2. a-i, b-ii, c-iii, d-iv
3. a-iii, b-i, c-ii, d-iv
4. a-ii, b-i, c-iv, d-iii
ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజానికి సమాంతరంగా గీసిన రేఖ మిగిలిన రెండు భుజాలను ఖండిస్తే, అది వాటిని ఒకే నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. దీనిని ఇలా అంటారు
1. కోణ సమద్విఖండన సిద్ధాంతం
2. ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం (Basic Proportionality Theorem)
3. మధ్య బిందు సిద్ధాంతం
4. హెరాన్ సూత్రం
సమాధానం
B. ప్రాథమిక అనుపాత సిద్ధాంతం (Basic Proportionality Theorem)
If a line drawn parallel to one side of a triangle meets the other two sides, it divides them in the same ratio. This is known as
1. the angle bisector theorem
2. the basic proportionality theorem
3. the midpoint theorem
4. Heron's theorem
లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం వర్గం దీనికి సమానం
1. మిగిలిన రెండు భుజాల మొత్తం
2. మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల భేదం
3. మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తం
4. మిగిలిన రెండు భుజాల లబ్ధానికి రెట్టింపు
సమాధానం
C. మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తం
In a right triangle, the square of the hypotenuse equals
1. the sum of the other two sides
2. the difference of the squares of the other two sides
3. the sum of the squares of the other two sides
4. twice the product of the other two sides
కింది వాటిలో త్రిభుజ భుజాలు కాగలవి ఏవి?
1. 3, 4, 8
2. 5, 7, 10
3. 5, 7, 13
4. 2, 3, 6
సమాధానం
B. 5, 7, 10
Which of the following can be the sides of a triangle?
1. 3, 4, 8
2. 5, 7, 10
3. 5, 7, 13
4. 2, 3, 6
ఒక త్రిభుజ భుజాలు 9 సెం.మీ., 12 సెం.మీ., 15 సెం.మీ. అది
1. అధిక కోణ త్రిభుజం
2. సమబాహు త్రిభుజం
3. సమద్విబాహు త్రిభుజం
4. లంబకోణ త్రిభుజం
సమాధానం
D. లంబకోణ త్రిభుజం
A triangle has sides 9 cm, 12 cm and 15 cm. It is
1. obtuse-angled
2. equilateral
3. isosceles
4. right-angled

Page 1 of 1

Finished reading?

Test yourself in 10 minutes

A free 10-question mini-mock on your exam's real pattern, with negative marking and an instant score. अपनी तैयारी 10 मिनट में जाँचें।

Take a free mini-mock →Topic-wise practice