అటవీ పోస్టుల కోసం SSC స్థాయి గణితం · Chapter 6

జ్యామితి II: చతుర్భుజాలు, వృత్తాలు, స్పర్శరేఖలు, బిందుపథాలు

గుర్తుంచుకోవలసినవి

చతుర్భుజంలోని నాలుగు కోణాల మొత్తం 360°. n భుజాలు గల బహుభుజి అంతర కోణాల మొత్తం (n − 2) × 180°; ఏ కుంభాకార బహుభుజికైనా బాహ్య కోణాల మొత్తం 360°.
వృత్త కేంద్రం వద్ద కోణం, అదే చాపంపై పరిధి వద్ద కోణానికి రెండు రెట్లు. చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు కోణాలు సంపూరకాలు. స్పర్శరేఖ, స్పర్శ బిందువు వద్ద వ్యాసార్ధానికి లంబంగా ఉంటుంది.
బాహ్య బిందువు నుంచి గీసిన రెండు స్పర్శరేఖలు సమానం. ఖండించుకునే జ్యాలకు PA × PB = PC × PD; స్పర్శరేఖ, ఛేదనరేఖలకు PT² = PA × PB.

చతుర్భుజాలు

చతుర్భుజానికి నాలుగు భుజాలు, నాలుగు కోణాలు ఉంటాయి; ఆ కోణాల మొత్తం 360°.

ఆకృతి	ముఖ్య లక్షణాలు
సమాంతర చతుర్భుజం	ఎదురెదురు భుజాలు సమాంతరం మరియు సమానం; ఎదురెదురు కోణాలు సమానం; ఆసన్న కోణాలు సంపూరకాలు; కర్ణాలు ఒకదానినొకటి సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి
దీర్ఘచతురస్రం	అన్ని కోణాలు 90° ఉన్న సమాంతర చతుర్భుజం; కర్ణాలు సమానం, ఒకదానినొకటి సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి
రాంబస్	అన్ని భుజాలు సమానమైన సమాంతర చతుర్భుజం; కర్ణాలు ఒకదానినొకటి లంబకోణంలో సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి; కర్ణాలు కోణాలను సమద్విఖండన చేస్తాయి
చతురస్రం	దీర్ఘచతురస్రం మరియు రాంబస్ రెండూ; కర్ణాలు సమానం, లంబంగా ఉంటాయి, ఒకదానినొకటి సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి
ట్రెపీజియం	ఒక జత భుజాలు సమాంతరం; సమాంతరం కాని భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖ వాటికి సమాంతరం, వాటి మొత్తంలో సగం ఉంటుంది
గాలిపటం (Kite)	రెండు జతల ఆసన్న భుజాలు సమానం; కర్ణాలు లంబకోణంలో కలుస్తాయి

ప్రతి రాంబస్ ఒక సమాంతర చతుర్భుజమే, కానీ ప్రతి సమాంతర చతుర్భుజం రాంబస్ కాదు. వృత్తంలో అంతర్లిఖితమైన సమాంతర చతుర్భుజం తప్పనిసరిగా దీర్ఘచతురస్రం అవుతుంది.

సాధించిన ఉదాహరణలు.

ఒక సమాంతర చతుర్భుజంలో ఒక కోణం 70° అయితే, దాని ఆసన్న కోణం 110°. దాని కోణాలు (2x + 10)°, (3x − 10)° ఆసన్నంగా ఉంటే, 5x = 180, x = 36, మొదటి కోణం 82°.
కర్ణాలు 16, 12 ఉన్న రాంబస్‌లో అర్ధకర్ణాలు 8, 6; కాబట్టి భుజం = √(64 + 36) = 10.
భుజం a ఉన్న చతురస్ర కర్ణం a√2. భుజాలు 6, 8 ఉన్న దీర్ఘచతురస్ర కర్ణం 10.
సమాంతర భుజాలు 8, 14 ఉన్న ట్రెపీజియంలో మధ్యరేఖ = (8 + 14)/2 = 11.

బహుభుజులు

రాశి	సూత్రం
అంతర కోణాల మొత్తం	(n − 2) × 180°
బాహ్య కోణాల మొత్తం	360°
సమబహుభుజిలో ఒక్కో అంతర కోణం	(n − 2) × 180° / n
సమబహుభుజిలో ఒక్కో బాహ్య కోణం	360° / n
కర్ణాల సంఖ్య	n(n − 3) / 2

షడ్భుజి అంతర కోణాల మొత్తం 720°. సమ అష్టభుజిలో ఒక్కో అంతర కోణం 135°. బాహ్య కోణం 36° ఉన్న సమబహుభుజికి n = 10 భుజాలు.
పంచభుజికి 5 కర్ణాలు; అష్టభుజికి 8 × 5 / 2 = 20.
ఒక శీర్షం వద్ద అంతర కోణం, బాహ్య కోణం కలిపితే 180°.

వృత్తాలు: జ్యాలు మరియు కోణాలు

ప్రాథమిక పదాలు: వ్యాసార్ధం, జ్య, వ్యాసం (అతి పొడవైన జ్య, 2r కు సమానం), చాపం, ఖండం మరియు సెక్టార్.

జ్యా ధర్మాలు.

కేంద్రం నుంచి జ్యాకు గీసిన లంబం ఆ జ్యాను సమద్విఖండన చేస్తుంది. జ్య 24, వ్యాసార్ధం 13 అయితే, కేంద్రం నుంచి దూరం √(169 − 144) = 5.
సమాన జ్యాలు కేంద్రం నుంచి సమాన దూరంలో ఉంటాయి, కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి.
వ్యాసార్ధానికి సమానమైన జ్య కేంద్రం వద్ద 60°, అధిక చాపంపై ఒక బిందువు వద్ద 30° కోణాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

కోణ ధర్మాలు.

కేంద్రం వద్ద కోణం, వృత్తంలోని మిగిలిన భాగంలో ఏ బిందువు వద్దనైనా ఏర్పడే కోణానికి రెండు రెట్లు. కేంద్రం వద్ద 80° అయితే పరిధి వద్ద 40°.
ఒకే ఖండంలోని కోణాలు సమానం.
అర్ధవృత్తంలోని కోణం 90°.

చక్రీయ చతుర్భుజం (నాలుగు శీర్షాలు ఒక వృత్తంపై ఉంటాయి).

ఎదురెదురు కోణాలు సంపూరకాలు. ∠A = 75° అయితే ∠C = 105°.
బాహ్య కోణం, దాని అంతర ఎదుటి కోణానికి సమానం. బాహ్య కోణం 100° అయితే, అంతర ఎదుటి కోణం 100°.

స్పర్శరేఖలు

స్పర్శరేఖ వృత్తాన్ని సరిగ్గా ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది. వృత్తం లోపలి బిందువు నుంచి స్పర్శరేఖలు ఉండవు, వృత్తంపై బిందువు నుంచి ఒకటి, బాహ్య బిందువు నుంచి రెండు ఉంటాయి.

స్పర్శ బిందువు గుండా పోయే వ్యాసార్ధానికి స్పర్శరేఖ లంబంగా ఉంటుంది. బాహ్య బిందువు P నుంచి కేంద్రం 13 దూరంలో, వ్యాసార్ధం 5 అయితే, స్పర్శరేఖ పొడవు √(169 − 25) = 12.
ఒక బాహ్య బిందువు నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానం. PA, PB స్పర్శరేఖలు, ∠AOB = 110° అయితే ∠APB = 180° − 110° = 70°; ఎందుకంటే OAPB రెండు లంబకోణాలు గల చతుర్భుజం.
ఏకాంతర ఖండ సిద్ధాంతం. స్పర్శ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ, జ్య మధ్య కోణం, ఏకాంతర ఖండంలోని కోణానికి సమానం. స్పర్శరేఖ–జ్య కోణం 50° అయితే ఏకాంతర ఖండంలో 50°.
వృత్తాన్ని చుట్టి ఉన్న చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు భుజాల మొత్తాలు సమానం: AB + CD = BC + DA. AB = 7, CD = 9, BC = 8 అయితే DA = 8.

బాహ్య బిందువుతో పొడవులు.

సందర్భం	నియమం	ఉదాహరణ
రెండు జ్యాలు P వద్ద ఖండించుకుంటే	PA × PB = PC × PD	4 × 6 = 3 × x అయితే x = 8
ఛేదనరేఖ PAB, స్పర్శరేఖ PT	PT² = PA × PB	PT = 6, PA = 4 అయితే PB = 9, జ్య AB = 5

రెండు వృత్తాలకు ఉమ్మడి స్పర్శరేఖలు (వ్యాసార్ధాలు r₁, r₂; కేంద్రాల మధ్య దూరం d):

ప్రత్యక్ష (బాహ్య) స్పర్శరేఖ పొడవు = √(d² − (r₁ − r₂)²). d = 13, వ్యాసార్ధాలు 8, 3 అయితే పొడవు = √(169 − 25) = 12.
తిర్యక్ (అంతర) స్పర్శరేఖ పొడవు = √(d² − (r₁ + r₂)²). d = 17, వ్యాసార్ధాలు 5, 3 అయితే పొడవు = √(289 − 64) = 15.

రెండు వృత్తాల స్థానం	ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సంఖ్య
వేరువేరుగా (ఒకదానికొకటి బయట)	4
బాహ్యంగా తాకుతూ	3
రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించుకుంటూ	2
అంతరంగా తాకుతూ	1
ఒకటి మరొకదాని లోపల, తాకకుండా	0

బిందుపథాలు

బిందుపథం అంటే ఇచ్చిన నియమానికి లోబడి కదిలే బిందువు పయనించే మార్గం.

నియమం	బిందుపథం
స్థిర బిందువు నుంచి స్థిర దూరంలో	ఆ బిందువును కేంద్రంగా గల వృత్తం
రెండు స్థిర బిందువుల నుంచి సమాన దూరంలో	ఆ బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ
ఖండించుకునే రెండు రేఖల నుంచి సమాన దూరంలో	ఆ రేఖల కోణ సమద్విఖండన రేఖల జత
స్థిర రేఖ నుంచి స్థిర దూరంలో	ఇచ్చిన రేఖకు ఇరువైపులా ఒక్కొక్కటి చొప్పున రెండు సమాంతర రేఖలు
రెండు సమాంతర రేఖల నుంచి సమాన దూరంలో	వాటి మధ్యలో ఉండే సమాంతర రేఖ

చతుర్భుజాలకు సంబంధించిన వైశాల్య అంశాలు

ఒకే భూమిపై, ఒకే సమాంతరాల మధ్య ఉన్న సమాంతర చతుర్భుజాల వైశాల్యాలు సమానం. సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం = భూమి × ఎత్తు.
సమాంతర చతుర్భుజ కర్ణాలు దానిని సమాన వైశాల్యం గల నాలుగు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయి. ప్రతి కర్ణం దానిని రెండు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది.
రాంబస్ వైశాల్యం ½ × d₁ × d₂. గాలిపటం వైశాల్యం కూడా ½ × d₁ × d₂.
ట్రెపీజియం వైశాల్యం = ½ × (సమాంతర భుజాల మొత్తం) × ఎత్తు.

వృత్త సమస్యలను సాధించే దశలు

1. కేంద్రాన్ని గుర్తించి, స్పర్శ బిందువులకు లేదా జ్య చివరలకు కలపండి. ఏర్పడే వ్యాసార్ధాలు సమానం.
2. లంబకోణాల కోసం చూడండి: వ్యాసార్ధం స్పర్శరేఖను 90° వద్ద కలుస్తుంది, వ్యాసం పరిధి వద్ద 90° కోణం చేస్తుంది, కేంద్రం నుంచి జ్యాకు లంబం ఆ జ్యాను 90° వద్ద కలుస్తుంది.
3. రెండు వ్యాసార్ధాలతో ఏర్పడే త్రిభుజాలను ఉపయోగించండి. అవి సమద్విబాహు త్రిభుజాలు, కాబట్టి భూకోణాలు సమానం.
4. చక్రీయ చతుర్భుజానికి, ఎదురెదురు కోణాలను 180° నియమంతో, బాహ్య కోణాలను అంతర ఎదుటి కోణ నియమంతో సంబంధపెట్టండి.
5. బాహ్య బిందువు విషయంలో, ఇచ్చిన అంశాలను బట్టి స్పర్శరేఖ పొడవు నియమం, స్పర్శరేఖ–ఛేదనరేఖ నియమం, ఖండించుకునే జ్యాల నియమాల్లో ఒకదాన్ని ఎంచుకోండి.

ఉదాహరణ. P నుంచి రెండు స్పర్శరేఖలు PA, PB గీయబడ్డాయి, వ్యాసార్ధం 5. PO = 13 అయితే ప్రతి స్పర్శరేఖ 12; చతుర్భుజం OAPB వైశాల్యం 2 × (½ × 5 × 12) = 60.

పరీక్షలో పొరపాట్లు

దీర్ఘచతురస్ర కర్ణాలు లంబంగా ఉంటాయని అనడం. అవి సమానం, ఒకదానినొకటి సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి, కానీ చతురస్రం అయితే తప్ప లంబకోణంలో కాదు.
రాంబస్ కర్ణాలు సమానం అనడం. అవి లంబంగా ఉంటాయి; సమానం కావడం చతురస్రానికి మాత్రమే.
కేంద్రం వద్ద కోణం, పరిధి వద్ద కోణానికి సమానం అనుకోవడం (రెండు రెట్లు అని మరచిపోవడం).
చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు కోణాలు సమానమని భావించడం. అవి కలిపితే 180°.
PT² = PA × PB లో PA ని మొత్తం ఛేదనరేఖగా తీసుకోవడం. PA బాహ్య భాగం, PB మొత్తం ఛేదనరేఖ.
ప్రత్యక్ష, తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సూత్రాలను కలిపేయడం (మైనస్ – ప్లస్).
స్పర్శరేఖ వృత్తాన్ని రెండు బిందువుల వద్ద తాకగలదని నమ్మడం.
రెండు స్థిర బిందువుల నుంచి సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువుల బిందుపథాన్ని వృత్తం అని చెప్పడం. అది ఒక రేఖ.

ఒక్క వాక్య సూత్రాలు

1. చతుర్భుజ కోణాల మొత్తం 360°.
2. n భుజాల బహుభుజి అంతర కోణాల మొత్తం (n − 2) × 180°.
3. సమ n-భుజిలో ప్రతి బాహ్య కోణం 360°/n.
4. రాంబస్ కర్ణాలు ఒకదానినొకటి లంబకోణంలో సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి.
5. దీర్ఘచతురస్ర కర్ణాలు సమానం.
6. అర్ధవృత్తంలోని కోణం 90°.
7. కేంద్రం వద్ద కోణం, పరిధి వద్ద కోణానికి రెండు రెట్లు.
8. చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు కోణాల మొత్తం 180°.
9. స్పర్శ బిందువు వద్ద వ్యాసార్ధానికి స్పర్శరేఖ లంబంగా ఉంటుంది.
10. బాహ్య బిందువు నుంచి గీసిన స్పర్శరేఖలు సమానం.
11. ఖండించుకునే జ్యాలు: PA × PB = PC × PD.
12. రెండు స్థిర బిందువుల నుంచి సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువుల బిందుపథం వాటి లంబ సమద్విఖండన రేఖ.

సాధన ప్రశ్నలు

చతుర్భుజ అంతర కోణాల మొత్తం
1. 270°
2. 360°
3. 540°
4. 180°
సమాధానం
B. 360°
The sum of the interior angles of a quadrilateral is
1. 270°
2. 360°
3. 540°
4. 180°
ఒక సమాంతర చతుర్భుజంలో ఒక కోణం 70°. దాని ఆసన్న కోణం
1. 20°
2. 70°
3. 290°
4. 110°
సమాధానం
D. 110°
One angle of a parallelogram is 70°. An adjacent angle is
1. 20°
2. 70°
3. 290°
4. 110°
ఒక రాంబస్ (సమ చతుర్భుజం) కర్ణాలు 16 cm, 12 cm. దాని భుజం పొడవు
1. 14 cm
2. 28 cm
3. 10 cm
4. 8 cm
సమాధానం
C. 10 cm
The diagonals of a rhombus are 16 cm and 12 cm. The side of the rhombus is
1. 14 cm
2. 28 cm
3. 10 cm
4. 8 cm
దీర్ఘచతురస్రం కర్ణాలు
1. సమానం మరియు ఒకదానికొకటి సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి
2. ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉంటాయి
3. సమానం మరియు లంబంగా ఉంటాయి
4. అసమానం కానీ ఒకదానికొకటి సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి
సమాధానం
A. సమానం మరియు ఒకదానికొకటి సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి
The diagonals of a rectangle are
1. equal and bisect each other
2. perpendicular to each other
3. equal and perpendicular
4. unequal but bisect each other
షడ్భుజి (hexagon) అంతర కోణాల మొత్తం
1. 1080°
2. 540°
3. 720°
4. 900°
సమాధానం
C. 720°
The sum of the interior angles of a hexagon is
1. 1080°
2. 540°
3. 720°
4. 900°
క్రమ అష్టభుజి (regular octagon) ప్రతి అంతర కోణం
1. 120°
2. 135°
3. 108°
4. 150°
సమాధానం
B. 135°
Each interior angle of a regular octagon is
1. 120°
2. 135°
3. 108°
4. 150°
ఒక క్రమ బహుభుజి ప్రతి బాహ్య కోణం 36°. దాని భుజాల సంఖ్య
1. 9
2. 12
3. 8
4. 10
సమాధానం
D. 10
Each exterior angle of a regular polygon is 36°. The number of sides is
1. 9
2. 12
3. 8
4. 10
అష్టభుజికి ఉండే కర్ణాల సంఖ్య
1. 20
2. 24
3. 16
4. 28
సమాధానం
A. 20
The number of diagonals of an octagon is
1. 20
2. 24
3. 16
4. 28
ఒక ట్రెపీజియం సమాంతర భుజాలు 8 cm, 14 cm. సమాంతరం కాని భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖ పొడవు
1. 6 cm
2. 22 cm
3. 11 cm
4. 12 cm
సమాధానం
C. 11 cm
The parallel sides of a trapezium are 8 cm and 14 cm. The line joining the midpoints of the non-parallel sides is
1. 6 cm
2. 22 cm
3. 11 cm
4. 12 cm
ఏ చతుర్భుజ కర్ణాలు ఎల్లప్పుడూ పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయి, కానీ సమానంగా ఉండనవసరం లేదు?
1. దీర్ఘచతురస్రం
2. సమాంతర చతుర్భుజం
3. ట్రెపీజియం
4. రాంబస్
సమాధానం
D. రాంబస్
Which quadrilateral has diagonals that are always perpendicular but not necessarily equal?
1. Rectangle
2. Parallelogram
3. Trapezium
4. Rhombus
వృత్త కేంద్రం వద్ద ఒక చాపం చేసే కోణం 80°. అదే చాపం పరిధి (circumference) పై చేసే కోణం
1. 160°
2. 40°
3. 80°
4. 20°
సమాధానం
B. 40°
The angle at the centre of a circle subtended by an arc is 80°. The angle at the circumference on the same arc is
1. 160°
2. 40°
3. 80°
4. 20°
అర్ధవృత్తంలోని కోణం
1. 60°
2. 90°
3. 45°
4. 180°
సమాధానం
B. 90°
The angle in a semicircle is
1. 60°
2. 90°
3. 45°
4. 180°
చక్రీయ చతుర్భుజం (cyclic quadrilateral) ABCD లో ∠A = 75°. అప్పుడు ∠C విలువ
1. 285°
2. 75°
3. 105°
4. 115°
సమాధానం
C. 105°
In a cyclic quadrilateral ABCD, ∠A = 75°. Then ∠C is
1. 285°
2. 75°
3. 105°
4. 115°
వ్యాసార్థం 13 cm గల వృత్తంలో 24 cm పొడవైన జ్య (chord) ఉంది. కేంద్రం నుండి ఆ జ్య దూరం
1. 12 cm
2. 7 cm
3. 10 cm
4. 5 cm
సమాధానం
D. 5 cm
A chord of length 24 cm lies in a circle of radius 13 cm. The distance of the chord from the centre is
1. 12 cm
2. 7 cm
3. 10 cm
4. 5 cm
వ్యాసార్థం 5 cm గల వృత్త కేంద్రం నుండి బిందువు P 13 cm దూరంలో ఉంది. P నుండి స్పర్శరేఖ పొడవు
1. 12 cm
2. √194 cm
3. 18 cm
4. 8 cm
సమాధానం
A. 12 cm
A point P is 13 cm from the centre of a circle of radius 5 cm. The length of the tangent from P is
1. 12 cm
2. √194 cm
3. 18 cm
4. 8 cm
కేంద్రం O గల వృత్తానికి P నుండి PA, PB స్పర్శరేఖలు గీశారు. ∠AOB = 110° అయితే ∠APB విలువ
1. 110°
2. 70°
3. 90°
4. 55°
సమాధానం
B. 70°
Tangents PA and PB are drawn from P to a circle with centre O. If ∠AOB = 110°, then ∠APB is
1. 110°
2. 70°
3. 90°
4. 55°
బిందువు P నుండి వృత్తానికి 6 cm పొడవైన స్పర్శరేఖ PT, ఛేదనరేఖ (secant) PAB (A, P కి దగ్గరగా) గీశారు. PA = 4 cm అయితే జ్య AB విలువ
1. 5 cm
2. 9 cm
3. 4 cm
4. 2 cm
సమాధానం
A. 5 cm
From a point P, a tangent PT of length 6 cm and a secant PAB (A nearer to P) are drawn to a circle. If PA = 4 cm, the chord AB is
1. 5 cm
2. 9 cm
3. 4 cm
4. 2 cm
ఒక వృత్తంలో రెండు జ్యలు AB, CD లు P వద్ద ఖండించుకున్నాయి. PA = 4, PB = 6, PC = 3 అయితే PD విలువ
1. 8
2. 2
3. 4.5
4. 12
సమాధానం
A. 8
Two chords AB and CD of a circle intersect at P. If PA = 4, PB = 6 and PC = 3, then PD is
1. 8
2. 2
3. 4.5
4. 12
వ్యాసార్థాలు 8 cm, 3 cm గల రెండు వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం 13 cm. ఋజు (direct) ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ పొడవు
1. √194 cm
2. 15 cm
3. 10 cm
4. 12 cm
సమాధానం
D. 12 cm
The distance between the centres of two circles of radii 8 cm and 3 cm is 13 cm. The length of a direct common tangent is
1. √194 cm
2. 15 cm
3. 10 cm
4. 12 cm
వ్యాసార్థాలు 5 cm, 3 cm గల రెండు వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం 17 cm. తిర్యక్ (transverse) ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ పొడవు
1. 12 cm
2. 16 cm
3. 15 cm
4. √285 cm
సమాధానం
C. 15 cm
The distance between the centres of two circles of radii 5 cm and 3 cm is 17 cm. The length of a transverse common tangent is
1. 12 cm
2. 16 cm
3. 15 cm
4. √285 cm
రెండు బిందువుల వద్ద ఖండించుకునే రెండు వృత్తాలకు ఉండే ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సంఖ్య
1. 2
2. 1
3. 3
4. 4
సమాధానం
A. 2
The number of common tangents to two circles that intersect at two points is
1. 2
2. 1
3. 3
4. 4
రెండు స్థిర బిందువుల నుండి సమాన దూరంలో ఉండే బిందువు బిందుపథం (locus)
1. కోణ సమద్విఖండన రేఖ
2. వాటిని కలిపే రేఖకు సమాంతర రేఖ
3. వృత్తం
4. వాటిని కలిపే రేఖ యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ
సమాధానం
D. వాటిని కలిపే రేఖ యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ
The locus of a point equidistant from two fixed points is
1. the angle bisector
2. a line parallel to the line joining them
3. a circle
4. the perpendicular bisector of the line joining them
ఒక స్థిర బిందువు నుండి స్థిర దూరంలో ఉండే బిందువు బిందుపథం
1. సమాంతర రేఖల జత
2. సరళరేఖ
3. వృత్తం
4. దీర్ఘవృత్తం (ellipse)
సమాధానం
C. వృత్తం
The locus of a point at a fixed distance from a fixed point is
1. a pair of parallel lines
2. a straight line
3. a circle
4. an ellipse
ఖండించుకునే రెండు రేఖల నుండి సమాన దూరంలో ఉండే బిందువుల బిందుపథం
1. వృత్తం
2. కోణ సమద్విఖండన రేఖల జత
3. లంబ సమద్విఖండన రేఖ
4. ఒకే సమాంతర రేఖ
సమాధానం
B. కోణ సమద్విఖండన రేఖల జత
The locus of points equidistant from two intersecting lines is
1. a circle
2. the pair of angle bisectors
3. the perpendicular bisector
4. a single parallel line
ఇచ్చిన సరళరేఖ నుండి స్థిర దూరంలో ఉండే బిందువుల బిందుపథం
1. ఒక సమాంతర రేఖ
2. ఒక లంబ రేఖ
3. రెండు సమాంతర రేఖలు
4. వృత్తం
సమాధానం
C. రెండు సమాంతర రేఖలు
The locus of points at a fixed distance from a given straight line is
1. one parallel line
2. a perpendicular line
3. two parallel lines
4. a circle
స్పర్శ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖకు, జ్యకు మధ్య కోణం 50°. ఏకాంతర ఖండంలోని కోణం (angle in the alternate segment)
1. 130°
2. 25°
3. 100°
4. 50°
సమాధానం
D. 50°
The angle between a tangent and a chord at the point of contact is 50°. The angle in the alternate segment is
1. 130°
2. 25°
3. 100°
4. 50°
సమాంతర చతుర్భుజం ABCD లో ∠A = (2x + 10)°, ఆసన్న కోణం ∠B = (3x − 10)°. అప్పుడు ∠A విలువ
1. 36°
2. 82°
3. 98°
4. 72°
సమాధానం
B. 82°
In a parallelogram ABCD, ∠A = (2x + 10)° and the adjacent ∠B = (3x − 10)°. Then ∠A is
1. 36°
2. 82°
3. 98°
4. 72°
వృత్తాన్ని చుట్టి ఉన్న చతుర్భుజం ABCD లో AB = 7, CD = 9, BC = 8 అయితే DA విలువ
1. 8
2. 6
3. 7
4. 10
సమాధానం
A. 8
A quadrilateral ABCD surrounds a circle. If AB = 7, CD = 9 and BC = 8, then DA is
1. 8
2. 6
3. 7
4. 10
చక్రీయ చతుర్భుజ బాహ్య కోణం 100°. అంతర అభిముఖ కోణం
1. 80°
2. 50°
3. 180°
4. 100°
సమాధానం
D. 100°
The exterior angle of a cyclic quadrilateral is 100°. The interior opposite angle is
1. 80°
2. 50°
3. 180°
4. 100°
వృత్త వ్యాసార్థానికి సమానమైన జ్య, దీర్ఘ చాపం (major arc) పై ఒక బిందువు వద్ద చేసే కోణం
1. 90°
2. 60°
3. 30°
4. 120°
సమాధానం
C. 30°
A chord equal to the radius of a circle subtends what angle at a point on the major arc?
1. 90°
2. 60°
3. 30°
4. 120°
వృత్తం వెలుపలి బిందువు నుండి ఆ వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య
1. 1
2. 2
3. 0
4. 4
సమాధానం
B. 2
The number of tangents that can be drawn to a circle from a point outside it is
1. 1
2. 2
3. 0
4. 4
వృత్తంలో అంతర్లిఖితం చేయగల సమాంతర చతుర్భుజం తప్పనిసరిగా
1. గాలిపటం ఆకార చతుర్భుజం (kite)
2. దీర్ఘచతురస్రం
3. రాంబస్
4. ట్రెపీజియం
సమాధానం
B. దీర్ఘచతురస్రం
A parallelogram that can be inscribed in a circle must be a
1. kite
2. rectangle
3. rhombus
4. trapezium
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. ప్రతి రాంబస్ ఒక సమాంతర చతుర్భుజం. 2. ప్రతి సమాంతర చతుర్భుజం ఒక రాంబస్.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. Every rhombus is a parallelogram. 2. Every parallelogram is a rhombus.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. దీర్ఘచతురస్ర కర్ణాలు ఒకదానికొకటి లంబకోణాల వద్ద సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి. 2. రాంబస్ కర్ణాలు సమానం.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
D. 1 లేదా 2 కాదు
Which of the statements is/are correct? 1. The diagonals of a rectangle bisect each other at right angles. 2. The diagonals of a rhombus are equal.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. చక్రీయ చతుర్భుజంలో అభిముఖ కోణాలు సంపూరకాలు. 2. అర్ధవృత్తంలోని కోణం లంబకోణం.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Which of the statements is/are correct? 1. Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary. 2. The angle in a semicircle is a right angle.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ దానిని రెండు బిందువుల వద్ద తాకవచ్చు. 2. స్పర్శ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటుంది.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. A tangent to a circle can touch it at two points. 2. A tangent is perpendicular to the radius at the point of contact.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. వృత్తం వెలుపలి బిందువు నుండి గీసిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానం. 2. ఛేదనరేఖ వృత్తాన్ని ఒకే బిందువు వద్ద మాత్రమే తాకుతుంది.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. Tangents drawn from an external point to a circle are equal in length. 2. A secant touches a circle at one point only.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. ఏ కుంభాకార (convex) బహుభుజి బాహ్య కోణాల మొత్తమైనా 360°. 2. n భుజాల బహుభుజి అంతర కోణాల మొత్తం (n − 2) × 180°.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Which of the statements is/are correct? 1. The sum of the exterior angles of any convex polygon is 360°. 2. The sum of the interior angles of an n-sided polygon is (n − 2) × 180°.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. వృత్తంలోని సమాన జ్యలు కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉంటాయి. 2. కేంద్రం నుండి జ్యపైకి గీసిన లంబం ఆ జ్యను సమద్విఖండన చేయదు.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. Equal chords of a circle are equidistant from the centre. 2. The perpendicular from the centre to a chord does not bisect the chord.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. గాలిపటం ఆకార చతుర్భుజ (kite) కర్ణాలు లంబకోణాల వద్ద ఖండించుకుంటాయి. 2. సమాంతర చతుర్భుజ కర్ణాలు ఎల్లప్పుడూ సమానం.
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. The diagonals of a kite meet at right angles. 2. The diagonals of a parallelogram are always equal.
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
బిందుపథ నియమాన్ని బిందుపథంతో జతపరచండి: (a) ఒక బిందువు నుండి స్థిర దూరం, (b) రెండు బిందువుల నుండి సమాన దూరం, (c) ఖండించుకునే రెండు రేఖల నుండి సమాన దూరం. సరైన జత
1. a-వృత్తం, b-కోణ సమద్విఖండన రేఖ, c-లంబ సమద్విఖండన రేఖ
2. a-లంబ సమద్విఖండన రేఖ, b-వృత్తం, c-కోణ సమద్విఖండన రేఖలు
3. a-సమాంతర రేఖలు, b-వృత్తం, c-లంబ సమద్విఖండన రేఖ
4. a-వృత్తం, b-లంబ సమద్విఖండన రేఖ, c-కోణ సమద్విఖండన రేఖలు
సమాధానం
D. a-వృత్తం, b-లంబ సమద్విఖండన రేఖ, c-కోణ సమద్విఖండన రేఖలు
Match the locus condition with the locus: (a) fixed distance from a point, (b) equidistant from two points, (c) equidistant from two intersecting lines. The correct matching is
1. a-circle, b-angle bisector, c-perpendicular bisector
2. a-perpendicular bisector, b-circle, c-angle bisectors
3. a-parallel lines, b-circle, c-perpendicular bisector
4. a-circle, b-perpendicular bisector, c-angle bisectors
ఉమ్మడి స్పర్శరేఖల సంఖ్యను జతపరచండి: (a) బాహ్యంగా స్పృశించే వృత్తాలు, (b) అంతరంగా స్పృశించే వృత్తాలు, (c) వేరువేరుగా ఉన్న వృత్తాలు. క్రమంలో సరైన విలువలు
1. 1, 3, 4
2. 3, 1, 4
3. 2, 1, 3
4. 4, 3, 1
సమాధానం
B. 3, 1, 4
Match the number of common tangents: (a) circles touching externally, (b) circles touching internally, (c) separate circles. The correct values in order are
1. 1, 3, 4
2. 3, 1, 4
3. 2, 1, 3
4. 4, 3, 1
వృత్తంలో అతి పొడవైన జ్య
1. చాప మధ్య బిందువు గుండా పోయే ఏదైనా జ్య
2. స్పర్శరేఖ
3. వ్యాసం
4. వ్యాసార్థం
సమాధానం
C. వ్యాసం
The longest chord of a circle is
1. any chord through the arc midpoint
2. a tangent
3. the diameter
4. the radius
భుజాలు 6 cm, 8 cm గల దీర్ఘచతురస్ర కర్ణం పొడవు
1. 12 cm
2. 14 cm
3. √28 cm
4. 10 cm
సమాధానం
D. 10 cm
A rectangle has sides 6 cm and 8 cm. The length of its diagonal is
1. 12 cm
2. 14 cm
3. √28 cm
4. 10 cm
భుజం 7 cm గల చతురస్ర కర్ణం
1. 7 cm
2. 7√2 cm
3. 49√2 cm
4. 14 cm
సమాధానం
B. 7√2 cm
The diagonal of a square of side 7 cm is
1. 7 cm
2. 7√2 cm
3. 49√2 cm
4. 14 cm

Page 1 of 1

Finished reading?

Test yourself in 10 minutes

A free 10-question mini-mock on your exam's real pattern, with negative marking and an instant score. अपनी तैयारी 10 मिनट में जाँचें।

Take a free mini-mock →Topic-wise practice