క్షేత్రగణితం: 2D మరియు 3D
గుర్తుంచుకోవలసినవి
- క్షేత్రగణితం పొడవులు, వైశాల్యాలు, ఘనపరిమాణాలను కొలుస్తుంది. వైశాల్యం చదరపు ప్రమాణాల్లో, ఘనపరిమాణం ఘన ప్రమాణాల్లో ఉంటుంది; 1 m³ = 1000 లీటర్లు. వేరే సూచన లేకపోతే π = 22/7 తీసుకోండి.
- త్రిభుజం, దీర్ఘచతురస్రం, సమాంతర చతుర్భుజం, రాంబస్, ట్రెపీజియం, వృత్తం, సెక్టార్ లకు 2D సూత్రాలు; ఘనం, దీర్ఘఘనం, స్థూపం, శంఖువు, గోళం, అర్ధగోళం లకు 3D సూత్రాలు నేర్చుకోండి.
- ఘనాన్ని కరిగించి మళ్లీ పోతపోసినప్పుడు ఘనపరిమాణం మారదు. కొత్త ముక్కల సంఖ్యను లెక్కించడానికి ఘనపరిమాణాల సమానత్వాన్ని ఉపయోగించండి.
సమతల ఆకృతులు: వైశాల్యం మరియు చుట్టుకొలత
| ఆకృతి | వైశాల్యం | చుట్టుకొలత |
|---|---|---|
| దీర్ఘచతురస్రం (l, b) | l × b | 2(l + b) |
| చతురస్రం (a) | a² = d²/2 (d = కర్ణం) | 4a |
| త్రిభుజం | ½ × భూమి × ఎత్తు | భుజాల మొత్తం |
| సమబాహు త్రిభుజం (a) | (√3/4) a² | 3a |
| హెరాన్ సూత్రం (భుజాలు a, b, c; s = చుట్టుకొలతలో సగం) | √[s(s − a)(s − b)(s − c)] | a + b + c |
| సమాంతర చతుర్భుజం | భూమి × ఎత్తు | 2(ఆసన్న భుజాల మొత్తం) |
| రాంబస్ | ½ × d₁ × d₂ | 4 × భుజం |
| ట్రెపీజియం | ½ × (సమాంతర భుజాల మొత్తం) × ఎత్తు | భుజాల మొత్తం |
సాధించిన ఉదాహరణలు.
- 12 × 5 దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం 60. వైశాల్యం 144 ఉన్న చతురస్ర భుజం 12, చుట్టుకొలత 48.
- భూమి 10, ఎత్తు 7 ఉన్న త్రిభుజ వైశాల్యం 35.
- భుజాలు 13, 14, 15: s = 21, వైశాల్యం = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84.
- భుజం 8 ఉన్న సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం (√3/4) × 64 = 16√3.
- కర్ణాలు 10, 24 ఉన్న రాంబస్ వైశాల్యం 120. సమాంతర భుజాలు 9, 15, ఎత్తు 8 ఉన్న ట్రెపీజియం వైశాల్యం 96.
- భూమి 12, ఎత్తు 7 ఉన్న సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం 84.
- చుట్టుకొలత 30, పొడవు 9 ఉన్న దీర్ఘచతురస్రానికి వెడల్పు 6, వైశాల్యం 54. కర్ణం 12 ఉన్న చతురస్ర వైశాల్యం 72.
- 20 × 15 పార్కు బయట చుట్టూ 2 m దారి ఉంటే: బయటి దీర్ఘచతురస్రం 24 × 19 = 456, కాబట్టి దారి వైశాల్యం = 456 − 300 = 156.
వృత్తం, సెక్టార్ మరియు వలయం
| రాశి | సూత్రం (వ్యాసార్ధం r, కేంద్ర కోణం θ) |
|---|---|
| చుట్టుకొలత (పరిధి) | 2πr |
| వైశాల్యం | πr² |
| చాప పొడవు | (θ/360°) × 2πr |
| సెక్టార్ వైశాల్యం | (θ/360°) × πr² |
| వలయ వైశాల్యం (బయటి R, లోపలి r) | π(R² − r²) |
| అర్ధవృత్త చుట్టుకొలత | πr + 2r |
సాధించిన ఉదాహరణలు.
- r = 7: వైశాల్యం = 22/7 × 49 = 154. r = 14: చుట్టుకొలత = 2 × 22/7 × 14 = 88.
- కోణం 60°, r = 21 ఉన్న సెక్టార్: వైశాల్యం = 1/6 × 22/7 × 441 = 231. చాప పొడవు = 1/6 × 2 × 22/7 × 21 = 22.
- R = 14, r = 7 ఉన్న వలయం: వైశాల్యం = 22/7 × (196 − 49) = 462.
- పొడవు 44 ఉన్న తీగను వృత్తంగా వంచితే 2πr = 44, కాబట్టి r = 7, వైశాల్యం 154.
- వ్యాసార్ధం 7 ఉన్న అర్ధవృత్త చుట్టుకొలత 22 + 14 = 36.
స్కేలింగ్. వృత్త వ్యాసార్ధం 10% పెరిగితే, వైశాల్యం (1.1)² = 1.21 రెట్లు అవుతుంది, అంటే 21% పెరుగుదల.
ఘన ఆకృతులు: ఉపరితల వైశాల్యం మరియు ఘనపరిమాణం
| ఘనాకృతి | ఘనపరిమాణం | వక్రతల వైశాల్యం (CSA) | సర్వతల వైశాల్యం (TSA) |
|---|---|---|---|
| ఘనం (a) | a³ | 4a² (నాలుగు గోడలు) | 6a² |
| దీర్ఘఘనం (l, b, h) | lbh | 2h(l + b) | 2(lb + bh + hl) |
| స్థూపం (r, h) | πr²h | 2πrh | 2πr(r + h) |
| శంఖువు (r, h, ఏటవాలు ఎత్తు l) | ⅓πr²h | πrl | πr(r + l) |
| గోళం (r) | (4/3)πr³ | 4πr² | 4πr² |
| అర్ధగోళం (r) | (2/3)πr³ | 2πr² | 3πr² |
| ప్రిజం | భూ వైశాల్యం × ఎత్తు | భూమి చుట్టుకొలత × ఎత్తు | CSA + 2 × భూ వైశాల్యం |
ఇతర సంబంధాలు:
- శంఖువు: l² = r² + h². ఘన కర్ణం = a√3. దీర్ఘఘన కర్ణం = √(l² + b² + h²).
- శంఖువు ఛిన్నకం (Frustum) (వ్యాసార్ధాలు R, r; ఎత్తు h): ఘనపరిమాణం = (πh/3)(R² + Rr + r²).
సాధించిన ఉదాహరణలు.
- ఘనం a = 5: ఘనపరిమాణం 125, TSA 150, కర్ణం 5√3.
- దీర్ఘఘనం 8 × 6 × 5: ఘనపరిమాణం 240, TSA 2(48 + 30 + 40) = 236. 4 × 3 × 12 దీర్ఘఘన కర్ణం √(16 + 9 + 144) = 13.
- స్థూపం r = 7, h = 10: ఘనపరిమాణం = 22/7 × 49 × 10 = 1540, CSA = 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440.
- శంఖువు r = 7, h = 24: ఏటవాలు ఎత్తు = √(49 + 576) = 25, ఘనపరిమాణం = ⅓ × 22/7 × 49 × 24 = 1232, CSA = 22/7 × 7 × 25 = 550.
- గోళం r = 7: ఉపరితల వైశాల్యం = 4 × 22/7 × 49 = 616. గోళం r = 21: ఘనపరిమాణం = 4/3 × 22/7 × 9261 = 38808.
- అర్ధగోళం r = 7: CSA = 308, TSA = 462.
- భూమి 6, ఎత్తు 4, పొడవు 10 ఉన్న త్రిభుజాకార ప్రిజం: ఘనపరిమాణం = 12 × 10 = 120.
- 5 m × 4 m × 3 m ట్యాంకు 60 m³ = 60,000 లీటర్లు నిల్వ చేస్తుంది.
ఆకార మార్పు మరియు నిష్పత్తులు
కరిగించి మళ్లీ పోతపోయడం. ముందు ఘనపరిమాణం = తర్వాత ఘనపరిమాణం. వ్యాసార్ధం 6 ఉన్న గోళాన్ని వ్యాసార్ధం 2 ఉన్న చిన్న గోళాలుగా పోతపోస్తే (6/2)³ = 27 గోళాలు వస్తాయి. లోహపు దిమ్మ నుంచి లాగిన తీగ ఘనపరిమాణం πr²h.
స్కేలింగ్ నియమాలు.
- ప్రతి రేఖీయ కొలతను k తో గుణిస్తే, వైశాల్యం k² రెట్లు, ఘనపరిమాణం k³ రెట్లు అవుతుంది. ఘన అంచును రెట్టింపు చేస్తే ఉపరితల వైశాల్యం 4 రెట్లు, ఘనపరిమాణం 8 రెట్లు.
- సమాన ఎత్తు ఉండి వ్యాసార్ధాల నిష్పత్తి 2 : 3 ఉన్న స్థూపాల ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి 4 : 9.
- ఒకే భూమి, ఒకే ఎత్తు ఉన్న శంఖువు, స్థూపాల ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి 1 : 3.
ప్రమాణాలు. 1 m = 100 cm, కాబట్టి 1 m² = 10,000 cm², 1 m³ = 10⁶ cm³. 1 లీటరు = 1000 cm³, 1 m³ = 1000 లీటర్లు.
అటవీ తరహా సమస్యలకు, దుంగను స్థూపంగా, కట్టెల కుప్పను దీర్ఘఘనంగా తీసుకోండి. ఘనపరిమాణానికి అడ్డుకోత వైశాల్యం × పొడవు ఉపయోగించండి.
అటవీ తరహా సమస్యలకు ఆచరణాత్మక క్షేత్రగణితం
- దుంగ లేదా స్తంభం. దుంగ ఒక స్థూపం. వ్యాసార్ధం 0.35 m, పొడవు 10 m ఉన్న దుంగ ఘనపరిమాణం (22/7) × 0.35 × 0.35 × 10 = 3.85 m³. వ్యాసార్ధానికి, పొడవుకు ఎల్లప్పుడూ ఒకే ప్రమాణం వాడండి.
- కలప కుప్ప. దీర్ఘచతురస్రాకార కట్టెల కుప్ప ఒక దీర్ఘఘనం. దాని ఘనపరిమాణం పొడవు × వెడల్పు × ఎత్తు. 6 m × 2 m × 1.5 m కుప్పలో 18 m³ ఉంటుంది.
- నీటి ట్యాంకు లేదా కందకం. కందకం దీర్ఘఘనం, గుండ్రని బావి స్థూపం. వ్యాసార్ధం r, లోతు h ఉన్న బావి తవ్వితే πr²h మట్టి తొలగుతుంది; దాన్ని దీర్ఘచతురస్రాకార పొలంపై పరిస్తే పొలం ఎత్తు (ఘనపరిమాణం) / (పొలం వైశాల్యం) మేర ఎత్తు పెరుగుతుంది.
- చెట్టు మొదలు శంఖువు. గుడారాకార కుప్పలకు శంఖువు సూత్రం వాడతారు. వ్యాసార్ధం 7 m, ఎత్తు 3 m ఉన్న శంఖువు ఆకార ధాన్యం కుప్ప ఘనపరిమాణం ⅓ × 22/7 × 49 × 3 = 154 m³.
- కంచె వేయడం మరియు మొక్కలు నాటడం. చుట్టుకొలత అవసరమైన కంచె పొడవును ఇస్తుంది. వైశాల్యాన్ని ఒక్కో మొక్కకు కావలసిన వైశాల్యంతో భాగిస్తే మొక్కల సంఖ్య వస్తుంది. 50 m × 30 m దీర్ఘచతురస్ర స్థలంలో ప్రతి 5 m²కు ఒక మొక్క చొప్పున 1500 / 5 = 300 మొక్కలు.
- ఘనాకృతుల కలయిక. స్థూపం పైన అర్ధగోళం ఉన్న ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం πr²h + (2/3)πr³, ఉపరితల వైశాల్యం 2πrh + 2πr² + πr² (స్థూపం వక్రతలం, అర్ధగోళం మరియు భూమి).
మార్పిడులు మరియు సాధారణ పొరపాట్లు
| రాశి | మార్పిడి |
|---|---|
| 1 హెక్టారు | 10,000 m² |
| 1 km² | 100 హెక్టార్లు |
| 1 m² | 10,000 cm² |
| 1 లీటరు | 1000 cm³ |
| 1 m³ | 1000 లీటర్లు |
సూత్రంలో విలువలు ఉంచే ముందు అన్ని పొడవులు ఒకే ప్రమాణంలో ఉన్నాయో లేదో ఎల్లప్పుడూ చూడండి. మూసివున్న స్థూపం సర్వతల వైశాల్యం వక్రతలం మరియు రెండు వృత్తాకార చివరలు కలిపి 2πr(r + h).
పరీక్షలో పొరపాట్లు
- వ్యాసం ఇచ్చినప్పుడు వ్యాసార్ధం వాడటం, లేదా దానికి విరుద్ధంగా చేయడం.
- శంఖువు CSA లో ఏటవాలు ఎత్తు l బదులు ఎత్తు h వాడటం.
- శంఖువు ఘనపరిమాణంలో ⅓ ను, గోళం ఘనపరిమాణంలో 4/3 ను మరచిపోవడం.
- CSA ను TSA తో కలపడం. TSA లో వృత్తాకార చివరలు (అర్ధగోళానికి, చదునైన పైభాగం) కూడా ఉంటాయి.
- సమాంతర చతుర్భుజం లేదా ట్రెపీజియం వైశాల్యంలో లంబ ఎత్తు బదులు ఏటవాలు భుజాన్ని వాడటం.
- వ్యాసార్ధం శాతం ప్రకారం మారినప్పుడు వర్గం తీసుకోవడం మరచిపోవడం (వైశాల్యం r² ప్రకారం మారుతుంది).
- తుది సమాధానానికి ముందు ప్రమాణాలను (cm నుంచి m, లేదా m³ నుంచి లీటర్లు) మార్చడం మరచిపోవడం.
- ఘనపరిమాణానికి k² వాడటం. ఘనపరిమాణం k³ ప్రకారం మారుతుంది; వైశాల్యం మాత్రమే k² ప్రకారం మారుతుంది.
ఒక్క వాక్య సూత్రాలు
- 1. త్రిభుజ వైశాల్యం = ½ × భూమి × ఎత్తు.
- 2. హెరాన్ సూత్రం: వైశాల్యం = √[s(s − a)(s − b)(s − c)].
- 3. సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం = (√3/4) a².
- 4. రాంబస్ వైశాల్యం = ½ × d₁ × d₂.
- 5. ట్రెపీజియం వైశాల్యం = ½ × (a + b) × h.
- 6. వృత్త వైశాల్యం = πr²; చుట్టుకొలత = 2πr.
- 7. స్థూప ఘనపరిమాణం = πr²h; CSA = 2πrh.
- 8. శంఖువు ఘనపరిమాణం = ⅓πr²h; ఏటవాలు ఎత్తు l = √(r² + h²).
- 9. గోళ ఘనపరిమాణం = (4/3)πr³; ఉపరితల వైశాల్యం = 4πr².
- 10. అర్ధగోళ TSA = 3πr².
- 11. ఘన ఘనపరిమాణం = a³; TSA = 6a².
- 12. 1 m³ = 1000 లీటర్లు.
సాధన ప్రశ్నలు
భూమి 10 cm, ఎత్తు 7 cm గల త్రిభుజ వైశాల్యం
- 24.5 cm²
- 17 cm²
- 35 cm²
- 70 cm²
సమాధానం
C. 35 cm²
The area of a triangle with base 10 cm and height 7 cm is
- 24.5 cm²
- 17 cm²
- 35 cm²
- 70 cm²
వైశాల్యం 144 cm² గల చతురస్ర చుట్టుకొలత
- 36 cm
- 12 cm
- 144 cm
- 48 cm
సమాధానం
D. 48 cm
The perimeter of a square whose area is 144 cm² is
- 36 cm
- 12 cm
- 144 cm
- 48 cm
భుజాలు 13 cm, 14 cm, 15 cm గల త్రిభుజ వైశాల్యం
- 91 cm²
- 42 cm²
- 105 cm²
- 84 cm²
సమాధానం
D. 84 cm²
The area of a triangle with sides 13 cm, 14 cm and 15 cm is
- 91 cm²
- 42 cm²
- 105 cm²
- 84 cm²
భుజం 8 cm గల సమబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం
- 8√3 cm²
- 16√3 cm²
- 64√3 cm²
- 32√3 cm²
సమాధానం
B. 16√3 cm²
The area of an equilateral triangle of side 8 cm is
- 8√3 cm²
- 16√3 cm²
- 64√3 cm²
- 32√3 cm²
వ్యాసార్థం 7 cm గల వృత్త వైశాల్యం (π = 22/7)
- 154 cm²
- 308 cm²
- 44 cm²
- 49 cm²
సమాధానం
A. 154 cm²
The area of a circle of radius 7 cm (π = 22/7) is
- 154 cm²
- 308 cm²
- 44 cm²
- 49 cm²
వ్యాసార్థం 14 cm గల వృత్త చుట్టుకొలత (π = 22/7)
- 616 cm
- 44 cm
- 88 cm
- 154 cm
సమాధానం
C. 88 cm
The circumference of a circle of radius 14 cm (π = 22/7) is
- 616 cm
- 44 cm
- 88 cm
- 154 cm
కర్ణాలు 10 cm, 24 cm గల రాంబస్ వైశాల్యం
- 120 cm²
- 34 cm²
- 130 cm²
- 240 cm²
సమాధానం
A. 120 cm²
The area of a rhombus with diagonals 10 cm and 24 cm is
- 120 cm²
- 34 cm²
- 130 cm²
- 240 cm²
సమాంతర భుజాలు 9 cm, 15 cm మరియు ఎత్తు 8 cm గల ట్రెపీజియం వైశాల్యం
- 72 cm²
- 96 cm²
- 192 cm²
- 120 cm²
సమాధానం
B. 96 cm²
The area of a trapezium with parallel sides 9 cm and 15 cm and height 8 cm is
- 72 cm²
- 96 cm²
- 192 cm²
- 120 cm²
వ్యాసార్థం 21 cm గల వృత్తంలో 60° కోణం గల సెక్టార్ (వృత్త ఖండం) వైశాల్యం (π = 22/7)
- 1386 cm²
- 22 cm²
- 462 cm²
- 231 cm²
సమాధానం
D. 231 cm²
The area of a sector of angle 60° in a circle of radius 21 cm (π = 22/7) is
- 1386 cm²
- 22 cm²
- 462 cm²
- 231 cm²
వ్యాసార్థం 21 cm గల వృత్తంలో 60° కోణం గల చాపం పొడవు (π = 22/7)
- 11 cm
- 44 cm
- 22 cm
- 132 cm
సమాధానం
C. 22 cm
The length of an arc of angle 60° in a circle of radius 21 cm (π = 22/7) is
- 11 cm
- 44 cm
- 22 cm
- 132 cm
బాహ్య వ్యాసార్థం 14 cm, అంతర వ్యాసార్థం 7 cm గల వలయం (ring) వైశాల్యం (π = 22/7)
- 462 cm²
- 154 cm²
- 308 cm²
- 616 cm²
సమాధానం
A. 462 cm²
The area of a ring with outer radius 14 cm and inner radius 7 cm (π = 22/7) is
- 462 cm²
- 154 cm²
- 308 cm²
- 616 cm²
భుజం 5 cm గల ఘనం (cube) ఘనపరిమాణం
- 150 cm³
- 125 cm³
- 75 cm³
- 25 cm³
సమాధానం
B. 125 cm³
The volume of a cube of edge 5 cm is
- 150 cm³
- 125 cm³
- 75 cm³
- 25 cm³
భుజం 5 cm గల ఘనం మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం
- 125 cm²
- 100 cm²
- 150 cm²
- 30 cm²
సమాధానం
C. 150 cm²
The total surface area of a cube of edge 5 cm is
- 125 cm²
- 100 cm²
- 150 cm²
- 30 cm²
4 cm × 3 cm × 12 cm గల దీర్ఘఘనం (cuboid) కర్ణం
- 19 cm
- 12.5 cm
- 5 cm
- 13 cm
సమాధానం
D. 13 cm
The diagonal of a cuboid 4 cm × 3 cm × 12 cm is
- 19 cm
- 12.5 cm
- 5 cm
- 13 cm
వ్యాసార్థం 7 cm, ఎత్తు 10 cm గల స్థూపం (cylinder) ఘనపరిమాణం (π = 22/7)
- 154 cm³
- 1540 cm³
- 4620 cm³
- 440 cm³
సమాధానం
B. 1540 cm³
The volume of a cylinder of radius 7 cm and height 10 cm (π = 22/7) is
- 154 cm³
- 1540 cm³
- 4620 cm³
- 440 cm³
వ్యాసార్థం 7 cm, ఎత్తు 10 cm గల స్థూపం వక్రతల వైశాల్యం (π = 22/7)
- 440 cm²
- 1540 cm²
- 308 cm²
- 880 cm²
సమాధానం
A. 440 cm²
The curved surface area of a cylinder of radius 7 cm and height 10 cm (π = 22/7) is
- 440 cm²
- 1540 cm²
- 308 cm²
- 880 cm²
ఒక శంఖువు (cone) వ్యాసార్థం 7 cm, ఎత్తు 24 cm. దాని తిర్యక్ ఎత్తు (slant height)
- 23 cm
- 17 cm
- 31 cm
- 25 cm
సమాధానం
D. 25 cm
A cone has radius 7 cm and height 24 cm. Its slant height is
- 23 cm
- 17 cm
- 31 cm
- 25 cm
వ్యాసార్థం 7 cm, ఎత్తు 24 cm గల శంఖువు ఘనపరిమాణం (π = 22/7)
- 616 cm³
- 3696 cm³
- 1232 cm³
- 550 cm³
సమాధానం
C. 1232 cm³
The volume of a cone of radius 7 cm and height 24 cm (π = 22/7) is
- 616 cm³
- 3696 cm³
- 1232 cm³
- 550 cm³
వ్యాసార్థం 7 cm, తిర్యక్ ఎత్తు 25 cm గల శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం (π = 22/7)
- 1100 cm²
- 1232 cm²
- 550 cm²
- 154 cm²
సమాధానం
C. 550 cm²
The curved surface area of a cone of radius 7 cm and slant height 25 cm (π = 22/7) is
- 1100 cm²
- 1232 cm²
- 550 cm²
- 154 cm²
వ్యాసార్థం 7 cm గల గోళం ఉపరితల వైశాల్యం (π = 22/7)
- 1437 cm²
- 462 cm²
- 154 cm²
- 616 cm²
సమాధానం
D. 616 cm²
The surface area of a sphere of radius 7 cm (π = 22/7) is
- 1437 cm²
- 462 cm²
- 154 cm²
- 616 cm²
వ్యాసార్థం 21 cm గల గోళం ఘనపరిమాణం (π = 22/7)
- 12936 cm³
- 38808 cm³
- 5544 cm³
- 1848 cm³
సమాధానం
B. 38808 cm³
The volume of a sphere of radius 21 cm (π = 22/7) is
- 12936 cm³
- 38808 cm³
- 5544 cm³
- 1848 cm³
వ్యాసార్థం 7 cm గల ఘన అర్ధగోళం మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం (π = 22/7)
- 462 cm²
- 616 cm²
- 308 cm²
- 154 cm²
సమాధానం
A. 462 cm²
The total surface area of a solid hemisphere of radius 7 cm (π = 22/7) is
- 462 cm²
- 616 cm²
- 308 cm²
- 154 cm²
వ్యాసార్థం 6 cm గల లోహపు గోళాన్ని కరిగించి, వ్యాసార్థం 2 cm గల చిన్న గోళాలుగా పోతపోశారు. చిన్న గోళాల సంఖ్య
- 9
- 3
- 27
- 36
సమాధానం
C. 27
A metal sphere of radius 6 cm is melted and recast into small spheres of radius 2 cm. The number of small spheres is
- 9
- 3
- 27
- 36
ఒక శంఖువు, ఒక స్థూపం ఒకే భూమి, ఒకే ఎత్తు కలిగి ఉన్నాయి. శంఖువు ఘనపరిమాణానికి, స్థూప ఘనపరిమాణానికి నిష్పత్తి
- 1 : 2
- 1 : 3
- 2 : 3
- 3 : 1
సమాధానం
B. 1 : 3
A cone and a cylinder have the same base and height. The ratio of the volume of the cone to that of the cylinder is
- 1 : 2
- 1 : 3
- 2 : 3
- 3 : 1
ఘనం భుజాన్ని రెట్టింపు చేస్తే దాని ఘనపరిమాణం అవుతుంది
- 8 రెట్లు
- 2 రెట్లు
- 6 రెట్లు
- 4 రెట్లు
సమాధానం
A. 8 రెట్లు
If the edge of a cube is doubled, its volume becomes
- 8 times
- 2 times
- 6 times
- 4 times
వృత్త వ్యాసార్థాన్ని 10% పెంచారు. వైశాల్యం పెరిగే శాతం
- 10%
- 20%
- 11%
- 21%
సమాధానం
D. 21%
The radius of a circle is increased by 10%. The area increases by
- 10%
- 20%
- 11%
- 21%
5 m × 4 m × 3 m గల దీర్ఘఘనాకార ట్యాంక్ నిండినప్పుడు ఎన్ని లీటర్ల నీటిని పట్టగలదు?
- 60
- 600
- 6,000
- 60,000
సమాధానం
D. 60,000
A rectangular tank is 5 m × 4 m × 3 m. How many litres of water can it hold when full?
- 60
- 600
- 6,000
- 60,000
44 cm పొడవైన తీగను వృత్తంగా వంచారు (π = 22/7). అది చుట్టిన వైశాల్యం
- 49 cm²
- 154 cm²
- 616 cm²
- 308 cm²
సమాధానం
B. 154 cm²
A wire 44 cm long is bent into a circle (π = 22/7). The area enclosed is
- 49 cm²
- 154 cm²
- 616 cm²
- 308 cm²
ఒక చతురస్ర కర్ణం 12 cm. దాని వైశాల్యం
- 36 cm²
- 48 cm²
- 72 cm²
- 144 cm²
సమాధానం
C. 72 cm²
A square has a diagonal of 12 cm. Its area is
- 36 cm²
- 48 cm²
- 72 cm²
- 144 cm²
20 m × 15 m పార్కు బయట చుట్టూ 2 m వెడల్పు గల దారి ఉంది. ఆ దారి వైశాల్యం
- 156 m²
- 136 m²
- 140 m²
- 176 m²
సమాధానం
A. 156 m²
A 20 m × 15 m park has a 2 m wide path all round it outside. The area of the path is
- 156 m²
- 136 m²
- 140 m²
- 176 m²
ఒక లంబ త్రిభుజాకార ప్రిజం (right triangular prism) లో త్రిభుజాకార భూమి 6 cm, ఎత్తు 4 cm; ప్రిజం పొడవు 10 cm. దాని ఘనపరిమాణం
- 60 cm³
- 24 cm³
- 120 cm³
- 240 cm³
సమాధానం
C. 120 cm³
A right triangular prism has a triangular base with base 6 cm and height 4 cm, and length 10 cm. Its volume is
- 60 cm³
- 24 cm³
- 120 cm³
- 240 cm³
ఒక దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత 30 cm, పొడవు 9 cm. దాని వైశాల్యం
- 54 cm²
- 81 cm²
- 135 cm²
- 27 cm²
సమాధానం
A. 54 cm²
A rectangle has perimeter 30 cm and length 9 cm. Its area is
- 54 cm²
- 81 cm²
- 135 cm²
- 27 cm²
వ్యాసార్థం 7 cm గల అర్ధవృత్త చుట్టుకొలత (π = 22/7)
- 44 cm
- 36 cm
- 29 cm
- 22 cm
సమాధానం
B. 36 cm
The perimeter of a semicircle of radius 7 cm (π = 22/7) is
- 44 cm
- 36 cm
- 29 cm
- 22 cm
సమాన ఎత్తు గల స్థూపాల వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి 2 : 3. వాటి ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి
- 2 : 3
- 3 : 2
- 8 : 27
- 4 : 9
సమాధానం
D. 4 : 9
Cylinders of equal height have radii in the ratio 2 : 3. Their volumes are in the ratio
- 2 : 3
- 3 : 2
- 8 : 27
- 4 : 9
వ్యాసార్థాలు R, r మరియు ఎత్తు h గల శంఖు ఛిన్నకం (frustum of a cone) ఘనపరిమాణం
- (πh/3)(R + r)²
- πh(R + r)
- (πh/3)(R² + Rr + r²)
- (πh/3)(R² − r²)
సమాధానం
C. (πh/3)(R² + Rr + r²)
The volume of the frustum of a cone with radii R and r and height h is
- (πh/3)(R + r)²
- πh(R + r)
- (πh/3)(R² + Rr + r²)
- (πh/3)(R² − r²)
1 ఘనపు మీటరు దీనికి సమానం
- 1000 లీటర్లు
- 10,000 లీటర్లు
- 10 లీటర్లు
- 100 లీటర్లు
సమాధానం
A. 1000 లీటర్లు
1 cubic metre is equal to
- 1000 litres
- 10,000 litres
- 10 litres
- 100 litres
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. శంఖువు ఘనపరిమాణం, అదే భూమి, అదే ఎత్తు గల స్థూప ఘనపరిమాణంలో మూడో వంతు. 2. స్థూపం వక్రతల వైశాల్యం πr²h.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. The volume of a cone is one-third of that of a cylinder with the same base and height. 2. The curved surface area of a cylinder is πr²h.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. గోళం ఘనపరిమాణం (4/3)πr³. 2. గోళం ఉపరితల వైశాల్యం 4πr².
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Which of the statements is/are correct? 1. The volume of a sphere is (4/3)πr³. 2. The surface area of a sphere is 4πr².
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. వృత్త వైశాల్యం 2πr. 2. ట్రెపీజియం వైశాల్యం ½ × (సమాంతర భుజాల మొత్తం) × ఎత్తు.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. The area of a circle is 2πr. 2. The area of a trapezium is ½ × (sum of parallel sides) × height.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. ఘనం మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం 4a². 2. ఘనం ఘనపరిమాణం 6a³.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
D. 1 లేదా 2 కాదు
Which of the statements is/are correct? 1. The total surface area of a cube is 4a². 2. The volume of a cube is 6a³.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. శంఖువు తిర్యక్ ఎత్తు l = √(r² + h²). 2. శంఖువు వక్రతల వైశాల్యం πrh.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. The slant height of a cone is l = √(r² + h²). 2. The curved surface area of a cone is πrh.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. ఒక ఘనపదార్థంలోని ప్రతి రేఖీయ కొలతను రెట్టింపు చేస్తే ఉపరితల వైశాల్యం 4 రెట్లు అవుతుంది. 2. అదే సందర్భంలో ఘనపరిమాణం 8 రెట్లు అవుతుంది.
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Which of the statements is/are correct? 1. If every linear dimension of a solid is doubled, the surface area becomes 4 times. 2. In the same case, the volume becomes 8 times.
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
కింది ప్రవచనాలలో ఏది/ఏవి సరైనవి? 1. అర్ధగోళం వక్రతల వైశాల్యం 2πr². 2. అర్ధగోళం మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం 2πr².
- 1 మాత్రమే
- 2 మాత్రమే
- 1 మరియు 2 రెండూ
- 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Which of the statements is/are correct? 1. The curved surface area of a hemisphere is 2πr². 2. The total surface area of a hemisphere is 2πr².
- 1 only
- 2 only
- Both 1 and 2
- Neither 1 nor 2
ఘనపదార్థాన్ని దాని ఘనపరిమాణంతో జతపరచండి: (a) స్థూపం, (b) శంఖువు, (c) గోళం. క్రమంలో సరైన సూత్రాలు
- πr²h, (4/3)πr³, ⅓πr²h
- πr²h, ⅓πr²h, (4/3)πr³
- ⅓πr²h, πr²h, 4πr²
- 2πrh, πrl, 4πr²
సమాధానం
B. πr²h, ⅓πr²h, (4/3)πr³
Match the solid with its volume: (a) cylinder, (b) cone, (c) sphere. The correct formulas in order are
- πr²h, (4/3)πr³, ⅓πr²h
- πr²h, ⅓πr²h, (4/3)πr³
- ⅓πr²h, πr²h, 4πr²
- 2πrh, πrl, 4πr²
ఒక సమాంతర చతుర్భుజ భూమి 12 cm, ఎత్తు 7 cm. దాని వైశాల్యం
- 19 cm²
- 42 cm²
- 168 cm²
- 84 cm²
సమాధానం
D. 84 cm²
A parallelogram has base 12 cm and height 7 cm. Its area is
- 19 cm²
- 42 cm²
- 168 cm²
- 84 cm²