గణిత బోధనా పద్ధతులు · Chapter 1

గణితశాస్త్ర అర్థం మరియు చరిత్ర: గొప్ప కృషిదారులు

గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

గణితం అంటే సంఖ్య, పరిమాణం, ఆకారం మరియు నమూనాల శాస్త్రం. ఇది నిర్వచనాలు మరియు సూత్రాల (axioms) నుండి తార్కిక వివేచనతో నిర్మించబడింది, మరియు ఖచ్చితమైన ఆలోచనలో మనస్సుకు శిక్షణ ఇస్తుంది.
భారతీయ కృషిదారులు: ఆర్యభటుడు (Aryabhata) (ఆర్యభటీయం; స్థాన విలువ, సైన్ పట్టిక, పై విలువ), భాస్కరాచార్యుడు (లీలావతి, బీజగణితం, సిద్ధాంత శిరోమణి) మరియు రామానుజన్ (సంఖ్యా సిద్ధాంతం, అనంత శ్రేణులు, విభాజనాలు).
ప్రపంచ కృషిదారులు: యూక్లిడ్ (ఎలిమెంట్స్; సూత్రబద్ధ జ్యామితి), పైథాగరస్ (లంబకోణ త్రిభుజ సిద్ధాంతం) మరియు కాంటర్ (సమితి సిద్ధాంతం; అనంతాల పరిమాణాలు).

గణితం యొక్క అర్థం మరియు స్వభావం

"మ్యాథమెటిక్స్" అనే పదం "అభ్యసనం" లేదా "జ్ఞానం" అని అర్థం వచ్చే గ్రీకు పదం నుండి వచ్చింది. గణితాన్ని తరచుగా శాస్త్రాల భాష మరియు శాస్త్రాల రాణి అంటారు.

ముఖ్య లక్షణాలు:

ఖచ్చితత్వం: సమాధానాలు నిర్దిష్టంగా ఉంటాయి; ఒక ప్రవచనం నిరూపించబడింది లేదా నిరూపించబడలేదు.
తార్కిక మరియు నైరూప్యం: ఇది తర్కం ద్వారా సరళ ఆలోచనల నుండి సంక్లిష్ట ఆలోచనలకు సాగుతుంది.
నమూనా ఆధారితం: ఇది సంఖ్యలు, ఆకారాలు, మార్పు మరియు అవకాశాలలోని సంబంధాలను అధ్యయనం చేస్తుంది.
సంచితం: ప్రతి అంశం మునుపటి అంశాల మీద నిలుస్తుంది, కాబట్టి ప్రారంభ తరగతులలోని లోపం తర్వాతి అభ్యసనాన్ని దెబ్బతీస్తుంది.
ఉపయోగకరమైనది మరియు సృజనాత్మకమైనది: ఇది దైనందిన జీవితం, వాణిజ్యం, విజ్ఞానశాస్త్రం మరియు సాంకేతికతలో వాడబడుతుంది, అలాగే అందం మరియు ఆటను కూడా కలిగి ఉంది.

గణిత బోధన లక్ష్యాలు మరియు విలువలు

విలువ	అర్థం
ప్రయోజనాత్మక (ఆచరణాత్మక)	షాపింగ్, కొలత, బ్యాంకింగ్, సమయం మరియు దైనందిన జీవితానికి నైపుణ్యాలు
క్రమశిక్షణాత్మక	వివేచన, ఏకాగ్రత, ఖచ్చితత్వం మరియు తార్కిక ఆలోచనకు శిక్షణ
సాంస్కృతిక	మానవ నాగరికత గణిత ఆలోచనలను ఎలా అభివృద్ధి చేసిందో చూపిస్తుంది
సామాజిక	వాణిజ్యం, ప్రణాళిక, సాంఖ్యకశాస్త్రం మరియు సామాజిక జీవితానికి అవసరం
సౌందర్యాత్మక	నమూనాలు, సౌష్ఠవం మరియు చక్కని నిరూపణలలో అందం
నైతిక	పరిశీలించే అలవాటు ద్వారా నిజాయితీ మరియు ఖచ్చితత్వం పెరుగుతాయి

జాతీయ పాఠ్యప్రణాళిక చట్రం (National Curriculum Framework) ప్రకారం, గణిత అభ్యసనం పిల్లల కేంద్రంగా ఉండి పిల్లల జీవితంతో ముడిపడి ఉండాలి; సమస్యా సాధన, వివేచన మరియు సంభాషణ ప్రధాన లక్ష్యాలు. ఉపాధ్యాయుడు చరిత్రను ఒక సాధనంగా వాడాలి: గణిత శాస్త్రజ్ఞుల కథలు విషయాన్ని మానవీయంగా, ప్రేరణాత్మకంగా చేస్తాయి.

ఆలోచనల సంక్షిప్త చరిత్ర

సంఖ్యలు మరియు లెక్కింపు: ప్రాచీన మానవులు వేళ్లు, గులకరాళ్లు, టాలీ గుర్తులతో లెక్కించారు.
భారతీయ స్థానవిలువ విధానం: సున్నా గుర్తు గల దశాంశ విధానం భారతదేశంలో అభివృద్ధి చెందింది. ఇది అరబ్ ప్రపంచానికి, తర్వాత ఐరోపాకు వ్యాపించింది; అందుకే 0 నుండి 9 అంకెలను హిందూ-అరబిక్ అంకెలు అంటారు.
తొలి భారతీయ జ్యామితి: శుల్బ సూత్రాలు (బౌధాయనుడు, ఆపస్తంబుడు, కాత్యాయనుడు) యజ్ఞవేదికల నిర్మాణానికి నియమాలు ఇచ్చాయి, మరియు ఇప్పుడు పైథాగరస్ సిద్ధాంతం అని పిలిచే నియమాన్ని పేర్కొన్నాయి.
గ్రీకు గణితం: గ్రీకులు జ్యామితిని నిరూపణ ఆధారిత శాస్త్రంగా చేశారు. థేల్స్, పైథాగరస్ మరియు యూక్లిడ్ ప్రముఖ పేర్లు.
శాస్త్రీయ భారతీయ కాలం: ఆర్యభటుడు, బ్రహ్మగుప్తుడు మరియు భాస్కరాచార్యుడు అంకగణితం, బీజగణితం మరియు ఖగోళశాస్త్రాన్ని అభివృద్ధి చేశారు.
ఆధునిక కాలం: నిరూపక జ్యామితి, కలనగణితం, సమితి సిద్ధాంతం మరియు కంప్యూటింగ్ ఐరోపాలో మరియు ప్రపంచమంతా వృద్ధి చెందాయి. భారతదేశానికి చెందిన రామానుజన్ సంఖ్యా సిద్ధాంతంలో లోతైన ఫలితాలను జోడించారు.

ఆర్యభటుడు (Aryabhata)

శాస్త్రీయ కాలానికి చెందిన భారతీయ గణిత మరియు ఖగోళ శాస్త్రవేత్త, క్రీ.శ. సుమారు 476 లో జన్మించారు. ఆయన కుసుమపురం (ప్రస్తుత పాట్నా సమీపంలో) తో ముడిపడి ఉన్నారు.
ఆయన రచన ఆర్యభటీయం (క్రీ.శ. సుమారు 499) పద్య రూపంలో ఉంది మరియు నాలుగు భాగాలు కలిగి ఉంది: గీతికాపాదం, గణితపాదం (గణితం), కాలక్రియాపాదం (కాలం మరియు దాని గణన) మరియు గోలపాదం (గోళం మరియు ఖగోళశాస్త్రం).
కృషి:
స్పష్టమైన స్థాన విలువ పద్ధతిని మరియు వర్గమూలాలు, ఘనమూలాలు కనుగొనే విధానాన్ని ఇచ్చారు.
పై విలువ 3.1416 (62832/20000) అని సన్నిహిత విలువను ఇచ్చి, అది "సన్నిహితమైనది" అని చెప్పారు.
సైన్ పట్టిక (జ్యా అని పిలిచారు) మరియు వర్సైన్ ఆలోచనను ఇచ్చారు.
మొదటి n సహజ సంఖ్యలు, వాటి వర్గాలు మరియు ఘనాల మొత్తం వంటి శ్రేణుల మొత్తానికి సూత్రాలు ఇచ్చారు.
త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని భూమి మరియు ఎత్తు లబ్ధంలో సగంగా ఇచ్చారు.
రేఖీయ అనిర్ణీత సమీకరణాలను అధ్యయనం చేశారు ("కుట్టక", పల్వరైజర్ పద్ధతి).
ఖగోళశాస్త్రంలో, భూమి తన అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంది మరియు ఈ భ్రమణం వల్లనే రాత్రి, పగలు ఏర్పడతాయి అని చెప్పారు. గ్రహణాలు రాక్షసుల వల్ల కాక భూమి మరియు చంద్రుని నీడల వల్ల కలుగుతాయని వివరించారు.
భారతదేశపు మొదటి ఉపగ్రహానికి, 1975 లో ప్రయోగించినది, ఆయన గౌరవార్థం ఆర్యభట అని పేరు పెట్టారు.

భాస్కరాచార్యుడు (భాస్కర II)

భారతీయ గణిత మరియు ఖగోళ శాస్త్రవేత్త, క్రీ.శ. 1114 లో కర్ణాటక ప్రాంతంలోని ఒక ప్రదేశంలో జన్మించారు. ఆయన ఉజ్జయిని ఖగోళ కేంద్రంలో పనిచేశారు.
ప్రధాన రచన: సిద్ధాంత శిరోమణి (క్రీ.శ. సుమారు 1150) నాలుగు భాగాలుగా:

1. లీలావతి: అంకగణితం మరియు క్షేత్రగణితం.

2. బీజగణితం: బీజగణితం.

3. గ్రహగణితం: గ్రహాల గణితం.

4. గోలాధ్యాయం: గోళం మరియు ఖగోళశాస్త్రం.

కృషి:
ప్రక్రియలలో సున్నా మరియు అనంతాన్ని వివరించారు. ఒక సంఖ్యను సున్నాతో భాగిస్తే "ఖహారం" (అనంత రాశి) వస్తుందని, దానికి సంఖ్యలు కలిపినా తీసివేసినా అది మారదని చెప్పారు.
వర్గ మరియు అనిర్ణీత సమీకరణాలకు సాధనలు ఇచ్చారు, పెల్ రకం సమీకరణాలకు చక్రవాళ (చక్రీయ) పద్ధతితో సహా.
గ్రహం యొక్క తాత్కాలిక చలనం వంటి కలనగణితానికి దారితీసే తొలి ఆలోచనలపై పనిచేశారు.
క్రమచయాలు, సంయోగాలు మరియు కరణీల కోసం నియమాలను వివరించారు.
లీలావతి అనే పేరు ఆయన కుమార్తెతో ముడిపడి ఉందని సంప్రదాయం చెబుతుంది. ఇది కథ మాత్రమే, నిరూపితమైన వాస్తవం కాదు.

రామానుజన్ (శ్రీనివాస రామానుజన్)

22 డిసెంబర్ 1887 న తమిళనాడులోని ఈరోడ్లో జన్మించారు. కుంభకోణంలో పెరిగారు. 1920 ఏప్రిల్ 26 న 32 ఏళ్ల వయసులో మరణించారు.
ఉన్నత గణితంలో ఆయనకు అధికారిక శిక్షణ తక్కువ, కానీ తన స్వంత కృషితో గొప్ప ఆవిష్కరణలు చేశారు. తన ఫలితాలను నోట్‌బుక్కులలో రాశారు.
కేంబ్రిడ్జ్ ట్రినిటీ కాలేజీకి చెందిన జి. హెచ్. హార్డీకి ఆయన లేఖ రాశారు, హార్డీ ఆయనను ఇంగ్లండ్‌కు ఆహ్వానించారు. ఇద్దరూ కలిసి సంఖ్యా సిద్ధాంతంపై పనిచేశారు.
1918 లో ఆయన రాయల్ సొసైటీ ఫెలో అయ్యారు మరియు ట్రినిటీ కాలేజీ ఫెలోగా కూడా ఎన్నికయ్యారు.
కృషి:
పూర్ణాంకాల విభాజనం మరియు హార్డీ-రామానుజన్ అసింప్టోటిక్ సూత్రం.
ఆధునిక వేగవంతమైన గణనకు ఆధారమైన పై కోసం అనంత శ్రేణులు.
అవిచ్ఛిన్న భిన్నాలు, మాంత్రిక చతురస్రాలు, అత్యంత సంయుక్త సంఖ్యలు, మాక్ థీటా ఫంక్షన్లు.
రామానుజన్ సంఖ్య 1729, రెండు ఘనాల మొత్తంగా రెండు విధాలుగా రాయగల అతి చిన్న సంఖ్య: 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³. దీనిని టాక్సీక్యాబ్ సంఖ్య అని కూడా అంటారు (హార్డీ చెప్పిన టాక్సీ కథ).
భారతదేశంలో జాతీయ గణిత దినోత్సవం ఆయన జన్మదినమైన 22 డిసెంబర్ న జరుపుకుంటారు. ఇది 2012 లో, ఆయన 125వ జయంతి సంవత్సరంలో ప్రకటించబడింది.
"The Man Who Knew Infinity" అనే చిత్రం ఆయన జీవితం ఆధారంగా తీయబడింది.

యూక్లిడ్

అలెగ్జాండ్రియాకు చెందిన గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్త, క్రీ.పూ. సుమారు 300. ఆయనను జ్యామితి పితామహుడు అంటారు.
ఆయన రచన ఎలిమెంట్స్ లో 13 పుస్తకాలు (అధ్యాయాలు) ఉన్నాయి. ఇది కొన్ని నిర్వచనాలు, సూత్రాలు (సామాన్య భావనలు) మరియు స్వీకృతాలతో ప్రారంభమై, నిరూపణల ద్వారా జ్యామితిని నిర్మిస్తుంది.
ఐదు స్వీకృతాలు (మొదటి సమూహం):

1. ఏ బిందువు నుండి మరే బిందువుకైనా ఒక సరళరేఖ గీయవచ్చు.

2. ఒక అంతవంతమైన రేఖను అనంతంగా పొడిగించవచ్చు.

3. ఏ కేంద్రం, ఏ వ్యాసార్థంతోనైనా వృత్తం గీయవచ్చు.

4. అన్ని లంబకోణాలు ఒకదానికొకటి సమానం.

5. ఒక రేఖ రెండు రేఖలను ఖండించినప్పుడు, ఒకవైపు అంతర కోణాల మొత్తం రెండు లంబకోణాల కంటే తక్కువ అయితే, ఆ రెండు రేఖలను పొడిగిస్తే ఆ వైపే కలుస్తాయి (సమాంతర స్వీకృతం).

సూత్రాలు (సామాన్య భావనలు) లో ఇవి ఉన్నాయి: ఒకే వస్తువుకు సమానమైనవి ఒకదానికొకటి సమానం; సమానాలకు సమానాలు కలిపితే మొత్తాలు సమానం; మొత్తం భాగం కంటే పెద్దది.
యూక్లిడ్ భాగహార లెమ్మా: ధన పూర్ణాంకాలు a మరియు b లకు a = bq + r, 0 ≤ r < b అయ్యేలా ఏకైక q మరియు r ఉంటాయి. యూక్లిడ్ భాగహార అల్గారిథం గసాభాను కనుగొంటుంది. ఉదాహరణ: HCF(18, 12): 18 = 12 × 1 + 6; 12 = 6 × 2 + 0, కాబట్టి గసాభా = 6.
అనంతంగా ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయని ఆయన నిరూపించారు.
ఐదవ స్వీకృతం తర్వాత నాన్-యూక్లిడియన్ జ్యామితులకు దారితీసింది.

పైథాగరస్

గ్రీకు తత్త్వవేత్త మరియు గణిత శాస్త్రవేత్త, క్రీ.పూ. సుమారు 570 నుండి 495, సామోస్ ద్వీపంలో జన్మించారు. తర్వాత దక్షిణ ఇటలీలో పాఠశాల స్థాపించారు.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం: లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం వర్గం మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానం: c² = a² + b². (3, 4, 5) మరియు (5, 12, 13) వంటి సమితులు పైథాగరస్ త్రికాలు.
ఆయన అనుచరులు (పైథాగరియన్లు) "అంతా సంఖ్యే" అని నమ్మారు, మరియు సంఖ్యలు, సంగీతం, జ్యామితిని అధ్యయనం చేశారు. √2 ను పూర్ణ సంఖ్యల నిష్పత్తిగా రాయలేమని (అకరణీయం కాని సంఖ్య) కూడా వారు కనుగొన్నారు.
ఈ నియమం భారతదేశంలో శుల్బ సూత్రాల ద్వారా ముందే తెలుసు. ఇది గ్రీకు నిరూపణ విలువను తగ్గించదు.

జార్జ్ కాంటర్ (Georg Cantor)

జర్మన్ గణిత శాస్త్రవేత్త, రష్యాలోని సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్‌లో (1845) జన్మించి, 1918 లో మరణించారు. హాలే విశ్వవిద్యాలయంలో పనిచేశారు.
ఆయన సమితి సిద్ధాంత స్థాపకుడు.
కృషి:
సమితిని చక్కగా నిర్వచించిన సమూహంగా నిర్వచించారు, మరియు సమితుల పరిమాణాలను పోల్చడానికి ఏక-ఏక సంబంధాన్ని అభివృద్ధి చేశారు.
కొన్ని అనంత సమితులు ఇతరుల కంటే పెద్దవని చూపారు: సహజ సంఖ్యల సమితి గణనీయం, కానీ వాస్తవ సంఖ్యల సమితి అగణనీయం (వికర్ణ వాదన).
ప్రధాన సంఖ్యలు (కార్డినల్ సంఖ్యలు) మరియు సహజ సంఖ్యల పరిమాణానికి ℵ₀ (ఆలెఫ్-నల్) గుర్తును ప్రవేశపెట్టారు.
కాంటర్ సమితి అనేది మధ్య మూడవ భాగాలను పదేపదే తొలగించి నిర్మించిన ప్రసిద్ధ ఉదాహరణ.
ఆయన ఆలోచనలు మొదట తీవ్ర వ్యతిరేకతను ఎదుర్కొన్నాయి, కానీ తర్వాత ఆధునిక గణితానికి ఆధారమయ్యాయి.

పోలిక పట్టిక

గణిత శాస్త్రవేత్త	ప్రదేశం / కాలం	ప్రసిద్ధ రచన లేదా ఆలోచన
ఆర్యభటుడు	భారతదేశం, సుమారు క్రీ.శ. 5వ శతాబ్దం	ఆర్యభటీయం; పై = 3.1416; భూమి భ్రమణం
భాస్కరాచార్యుడు	భారతదేశం, క్రీ.శ. 12వ శతాబ్దం	సిద్ధాంత శిరోమణి; లీలావతి; బీజగణితం
రామానుజన్	భారతదేశం, 19 నుండి 20వ శతాబ్దం	1729; విభాజనాలు; పై కోసం అనంత శ్రేణులు
యూక్లిడ్	అలెగ్జాండ్రియా, సుమారు క్రీ.పూ. 300	ఎలిమెంట్స్; స్వీకృతాలు; భాగహార లెమ్మా
పైథాగరస్	గ్రీస్, క్రీ.పూ. 6వ శతాబ్దం	లంబకోణ త్రిభుజ సిద్ధాంతం
కాంటర్	జర్మనీ, 19వ శతాబ్దం	సమితి సిద్ధాంతం; గణనీయ మరియు అగణనీయ సమితులు

పరీక్షలో పొరపాట్లు

ఆర్యభటుడు ఆర్యభటీయం రాశారు; భాస్కరాచార్యుడు లీలావతి మరియు బీజగణితం రాశారు. వీటిని తారుమారు చేయవద్దు.
రామానుజన్ ఈరోడ్‌లో జన్మించారు కానీ కుంభకోణంలో నివసించారు; ఆయన సంఖ్య 1729 రెండు ఘనాల మొత్తం, రెండు వర్గాల మొత్తం కాదు.
జాతీయ గణిత దినోత్సవం 22 డిసెంబర్ (రామానుజన్), 5 సెప్టెంబర్ (ఉపాధ్యాయ దినోత్సవం) కాదు.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం లంబకోణ త్రిభుజాలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది.
యూక్లిడ్ ఐదవ స్వీకృతం సమాంతర స్వీకృతం, "అన్ని లంబకోణాలు సమానం" కాదు (అది నాలుగవది).
యూక్లిడ్ భాగహార అల్గారిథం గసాభాను కనుగొంటుంది, క.సా.గు ను నేరుగా కాదు.
కాంటర్ సమితి సిద్ధాంతంతో ముడిపడి ఉన్నారు, జ్యామితి లేదా బీజగణితంతో కాదు.
ఆర్యభటుని పై 3.1416, 22/7 కాదు (22/7 పాఠశాలలో వాడే సన్నిహిత విలువ).

ఒక్క వాక్య సారాంశాలు

1. గణితాన్ని శాస్త్రాల భాష మరియు శాస్త్రాల రాణి అంటారు.
2. 0 నుండి 9 అంకెలను హిందూ-అరబిక్ అంకెలు అంటారు.
3. ఆర్యభటుడు నాలుగు భాగాలున్న ఆర్యభటీయం రాశారు.
4. భారతదేశపు మొదటి ఉపగ్రహానికి ఆర్యభటుని పేరు పెట్టారు.
5. ఆర్యభటుడు పై ని 62832/20000 = 3.1416 గా ఇచ్చారు.
6. సిద్ధాంత శిరోమణిలో లీలావతి మరియు బీజగణితంతో సహా నాలుగు భాగాలు ఉన్నాయి.
7. భాస్కరాచార్యుడు చక్రవాళ పద్ధతితో ముడిపడి ఉన్నారు.
8. రామానుజన్ 22 డిసెంబర్ 1887 న ఈరోడ్‌లో జన్మించారు.
9. 1729 హార్డీ-రామానుజన్ సంఖ్య: 1³ + 12³ = 9³ + 10³.
10. యూక్లిడ్ ఎలిమెంట్స్ లో 13 పుస్తకాలు ఉన్నాయి.
11. యూక్లిడ్‌ను జ్యామితి పితామహుడు అంటారు.
12. జార్జ్ కాంటర్ సమితి సిద్ధాంతాన్ని స్థాపించారు.

సాధన ప్రశ్నలు

ఆర్యభట్ట యొక్క ప్రసిద్ధ గ్రంథం
1. లీలావతి
2. సిద్ధాంత శిరోమణి
3. ఆర్యభటీయం
4. బీజగణితం
సమాధానం
C. ఆర్యభటీయం
The famous work of Aryabhata is
1. Lilavati
2. Siddhanta Shiromani
3. Aryabhatiya
4. Bijaganita
భారతదేశ మొదటి ఉపగ్రహానికి ఎవరి పేరు పెట్టారు?
1. రామానుజన్
2. బ్రహ్మగుప్తుడు
3. భాస్కరాచార్యుడు
4. ఆర్యభట్ట
సమాధానం
D. ఆర్యభట్ట
India's first satellite was named after
1. Ramanujan
2. Brahmagupta
3. Bhaskaracharya
4. Aryabhata
ఆర్యభట్ట పై (pi) యొక్క సుమారు విలువగా ఇచ్చినది
1. 3.14159265
2. 3.1416
3. 3.16
4. ఖచ్చితంగా 22/7
సమాధానం
B. 3.1416
Aryabhata gave the approximate value of pi as
1. 3.14159265
2. 3.1416
3. 3.16
4. 22/7 exactly
భూమి గురించిన ఏ భావన ఆర్యభట్టకు ఆపాదించబడింది?
1. భూమి తన అక్షంపై తానే తిరుగుతుంది
2. సూర్యుడు ప్రతిరోజూ భూమి చుట్టూ తిరుగుతాడు
3. భూమి కదలదు
4. భూమి చదునైనది
సమాధానం
A. భూమి తన అక్షంపై తానే తిరుగుతుంది
Which idea about the earth is credited to Aryabhata?
1. The earth rotates on its own axis
2. The sun goes round the earth daily
3. The earth does not move
4. The earth is flat
భాస్కరాచార్యుని ప్రధాన గ్రంథం
1. ఆర్యభటీయం
2. సిద్ధాంత శిరోమణి
3. ఎలిమెంట్స్ (Elements)
4. సూర్య సిద్ధాంతం
సమాధానం
B. సిద్ధాంత శిరోమణి
Bhaskaracharya's major work is
1. Aryabhatiya
2. Siddhanta Shiromani
3. Elements
4. Surya Siddhanta
సిద్ధాంత శిరోమణిలో భాగమైన లీలావతి ప్రధానంగా దేని గురించి చెబుతుంది?
1. అంకగణితం, క్షేత్రమితి
2. గోళం
3. బీజగణితం
4. గ్రహాల చలనం
సమాధానం
A. అంకగణితం, క్షేత్రమితి
Lilavati, a part of Siddhanta Shiromani, deals mainly with
1. arithmetic and mensuration
2. the sphere
3. algebra
4. motion of planets
బీజగణితం (Bijaganita) దేని గురించి చెబుతుంది?
1. అంకగణితం
2. త్రికోణమితి పట్టికలు
3. సమితి సిద్ధాంతం
4. బీజగణితం
సమాధానం
D. బీజగణితం
Bijaganita deals with
1. arithmetic
2. trigonometry tables
3. set theory
4. algebra
అనిర్ధారిత సమీకరణాలను సాధించే చక్రవాళ (చక్రీయ) పద్ధతి ఎవరితో ముడిపడి ఉంది?
1. పైథాగరస్
2. యూక్లిడ్
3. భాస్కరాచార్యుడు
4. కాంటర్
సమాధానం
C. భాస్కరాచార్యుడు
The Chakravala (cyclic) method for solving indeterminate equations is associated with
1. Pythagoras
2. Euclid
3. Bhaskaracharya
4. Cantor
శ్రీనివాస రామానుజన్ ఎక్కడ జన్మించారు?
1. తిరుపతి
2. చెన్నై
3. ఈరోడ్
4. కుంభకోణం
సమాధానం
C. ఈరోడ్
Srinivasa Ramanujan was born at
1. Tirupati
2. Chennai
3. Erode
4. Kumbakonam
భారతదేశంలో జాతీయ గణిత దినోత్సవం ఏ తేదీన జరుపుకుంటారు?
1. 11 అక్టోబర్
2. 22 డిసెంబర్
3. 14 నవంబర్
4. 5 సెప్టెంబర్
సమాధానం
B. 22 డిసెంబర్
National Mathematics Day in India is observed on
1. 11 October
2. 22 December
3. 14 November
4. 5 September
రామానుజన్ కేంబ్రిడ్జ్‌లో ఏ గణిత శాస్త్రవేత్తతో కలిసి పనిచేశారు?
1. జార్జ్ కాంటర్
2. బెర్ట్రాండ్ రసెల్
3. ఐజాక్ న్యూటన్
4. జి. హెచ్. హార్డీ
సమాధానం
D. జి. హెచ్. హార్డీ
Ramanujan worked with which Cambridge mathematician?
1. Georg Cantor
2. Bertrand Russell
3. Isaac Newton
4. G. H. Hardy
1729 ఏ విషయంలో అతి చిన్న సంఖ్యగా ప్రసిద్ధి చెందింది?
1. రెండు వేర్వేరు విధాలుగా రెండు ఘనాల మొత్తం అవుతుంది
2. పరిపూర్ణ వర్గం
3. ప్రధాన సంఖ్య
4. రెండు విధాలుగా రెండు వర్గాల మొత్తం అవుతుంది
సమాధానం
A. రెండు వేర్వేరు విధాలుగా రెండు ఘనాల మొత్తం అవుతుంది
1729 is famous as the smallest number that
1. is the sum of two cubes in two different ways
2. is a perfect square
3. is a prime number
4. is the sum of two squares in two ways
జ్యామితిపై యూక్లిడ్ ప్రసిద్ధ గ్రంథం
1. ప్రిన్సిపియా
2. అల్మజెస్ట్
3. ఎలిమెంట్స్ (Elements)
4. అరిత్మెటికా
సమాధానం
C. ఎలిమెంట్స్ (Elements)
Euclid's famous book on geometry is
1. Principia
2. Almagest
3. Elements
4. Arithmetica
యూక్లిడ్‌ను ఏమని పిలుస్తారు?
1. జ్యామితి పితామహుడు
2. కలన గణిత పితామహుడు
3. బీజగణిత పితామహుడు
4. సమితి సిద్ధాంత పితామహుడు
సమాధానం
A. జ్యామితి పితామహుడు
Euclid is known as the
1. Father of Geometry
2. Father of Calculus
3. Father of Algebra
4. Father of Set Theory
యూక్లిడ్ ఎలిమెంట్స్ ఎన్ని పుస్తకాలుగా విభజించబడింది?
1. 10
2. 23
3. 5
4. 13
సమాధానం
D. 13
The Elements of Euclid is divided into how many books?
1. 10
2. 23
3. 5
4. 13
యూక్లిడ్ ఐదవ ప్రతిపాదనను ఇంకా ఏమని పిలుస్తారు?
1. రేఖా ప్రతిపాదన
2. సమాంతర రేఖల ప్రతిపాదన
3. లంబకోణ ప్రతిపాదన
4. వృత్త ప్రతిపాదన
సమాధానం
B. సమాంతర రేఖల ప్రతిపాదన
Euclid's fifth postulate is also known as the
1. line postulate
2. parallel postulate
3. right angle postulate
4. circle postulate
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ఎవరికి వర్తిస్తుంది?
1. లంబకోణ త్రిభుజాలకు
2. అన్ని త్రిభుజాలకు
3. సమబాహు త్రిభుజాలకు మాత్రమే
4. అధిక కోణ త్రిభుజాలకు
సమాధానం
A. లంబకోణ త్రిభుజాలకు
The Pythagoras theorem holds for
1. right-angled triangles
2. all triangles
3. equilateral triangles only
4. obtuse triangles
పైథాగరస్ జన్మించిన సమోస్ ద్వీపం ఏ దేశంలో ఉంది?
1. ఇటలీ
2. ఈజిప్టు
3. భారతదేశం
4. గ్రీసు
సమాధానం
D. గ్రీసు
Pythagoras was born on the island of Samos, which is in
1. Italy
2. Egypt
3. India
4. Greece
జార్జ్ కాంటర్ దేనికి స్థాపకుడిగా పరిగణించబడతారు?
1. త్రికోణమితి
2. నిరూపక జ్యామితి
3. సమితి సిద్ధాంతం
4. సంభావ్యతా సిద్ధాంతం
సమాధానం
C. సమితి సిద్ధాంతం
Georg Cantor is regarded as the founder of
1. trigonometry
2. coordinate geometry
3. set theory
4. probability theory
జ్యామితీయ యజ్ఞవేదికల నిర్మాణ నియమాలను ఇచ్చిన ప్రాచీన భారతీయ గ్రంథాలు
1. ఎలిమెంట్స్ (Elements)
2. శుల్బ సూత్రాలు
3. ఆర్యభటీయం
4. సిద్ధాంత శిరోమణి
సమాధానం
B. శుల్బ సూత్రాలు
The ancient Indian texts that gave rules for geometric altar construction are the
1. Elements
2. Sulba Sutras
3. Aryabhatiya
4. Siddhanta Shiromani
ప్రపంచమంతటా వాడే 0 నుండి 9 వరకు అంకెలను ఏమంటారు?
1. గ్రీకు అంకెలు
2. రోమన్ అంకెలు
3. బాబిలోనియన్ అంకెలు
4. హిందూ-అరబిక్ అంకెలు
సమాధానం
D. హిందూ-అరబిక్ అంకెలు
The digits 0 to 9 used worldwide are called
1. Greek numerals
2. Roman numerals
3. Babylonian numerals
4. Hindu-Arabic numerals
కర్ణం 13, ఒక లంబ భుజం 5 గల లంబకోణ త్రిభుజంలో మూడవ భుజం
1. 8
2. 10
3. 12
4. 144
సమాధానం
C. 12
The missing side of a right triangle with hypotenuse 13 and one leg 5 is
1. 8
2. 10
3. 12
4. 144
ఈ క్రింది వాటిలో పైథాగరియన్ త్రికం ఏది?
1. 7, 24, 25
2. 7, 24, 26
3. 6, 8, 12
4. 5, 11, 13
సమాధానం
A. 7, 24, 25
Which of the following is a Pythagorean triple?
1. 7, 24, 25
2. 7, 24, 26
3. 6, 8, 12
4. 5, 11, 13
యూక్లిడ్ భాగహార పద్ధతి ప్రకారం HCF(18, 12)
1. 3
2. 2
3. 12
4. 6
సమాధానం
D. 6
By Euclid's division algorithm, HCF(18, 12) is
1. 3
2. 2
3. 12
4. 6
యూక్లిడ్ భాగహార పద్ధతి ప్రకారం 100, 75 ల HCF
1. 15
2. 25
3. 50
4. 5
సమాధానం
B. 25
By Euclid's division algorithm, the HCF of 100 and 75 is
1. 15
2. 25
3. 50
4. 5
యూక్లిడ్ భాగహార లెమ్మా ఉపయోగించి, 17 = 5q + r, 0 ≤ r < 5. q, r విలువలు
1. 2 మరియు 7
2. 3 మరియు 2
3. 4 మరియు 3
4. 3 మరియు 5
సమాధానం
B. 3 మరియు 2
Using Euclid's division lemma, 17 = 5q + r with 0 ≤ r < 5. The values of q and r are
1. 2 and 7
2. 3 and 2
3. 4 and 3
4. 3 and 5
ఆర్యభట్ట పై విలువ 62832/20000 ను దశాంశంలో సరళీకరిస్తే వచ్చేది
1. 3.1623
2. 3.1428
3. 3.1416
4. 3.1400
సమాధానం
C. 3.1416
Aryabhata's value of pi, 62832/20000, when simplified decimally equals
1. 3.1623
2. 3.1428
3. 3.1416
4. 3.1400
రామానుజన్ సంఖ్య 1729ను 1 మరియు ఏ సంఖ్యల ఘనాల మొత్తంగా రాయవచ్చు?
1. 12
2. 10
3. 11
4. 9
సమాధానం
A. 12
Ramanujan's number 1729 can be written as the sum of the cubes of 1 and
1. 12
2. 10
3. 11
4. 9
1729 అనేది 9 మరియు ఏ సంఖ్యల ఘనాల మొత్తం కూడా?
1. 10
2. 8
3. 12
4. 11
సమాధానం
A. 10
1729 is also the sum of the cubes of 9 and
1. 10
2. 8
3. 12
4. 11
యూక్లిడ్ మొదటి ప్రతిపాదనల సమితిలో ఎన్ని ప్రతిపాదనలు ఉన్నాయి?
1. 3
2. 5
3. 7
4. 13
సమాధానం
B. 5
Euclid's first set of postulates has how many postulates?
1. 3
2. 5
3. 7
4. 13
10 మీ. పొడవైన నిచ్చెన గోడను 8 మీ. ఎత్తు వద్ద తాకుతుంది. గోడ నుండి నిచ్చెన పాదం దూరం
1. 18 మీ.
2. 2 మీ.
3. 6 మీ.
4. 4 మీ.
సమాధానం
C. 6 మీ.
A ladder 10 m long reaches a wall at a height of 8 m. The distance of its foot from the wall is
1. 18 m
2. 2 m
3. 6 m
4. 4 m
1³ + 12³ విలువ
1. 1331
2. 1728
3. 1730
4. 1729
సమాధానం
D. 1729
The value of 1³ + 12³ is
1. 1331
2. 1728
3. 1730
4. 1729
సమితి సిద్ధాంతంలో 3 మూలకాలు గల సమితికి ఎన్ని ఉపసమితులు ఉంటాయి?
1. 8
2. 6
3. 9
4. 3
సమాధానం
A. 8
A set with 3 elements, as studied in set theory, has how many subsets?
1. 8
2. 6
3. 9
4. 3
గణిత బోధన యొక్క క్రమశిక్షణ విలువ అంటే అది
1. షాపింగ్ నైపుణ్యాలు ఇస్తుంది
2. తార్కికత, ఏకాగ్రత, కచ్చితత్వాలను శిక్షణ ఇస్తుంది
3. నాగరికత చరిత్రను చూపుతుంది
4. నమూనాల నుండి ఆనందాన్ని ఇస్తుంది
సమాధానం
B. తార్కికత, ఏకాగ్రత, కచ్చితత్వాలను శిక్షణ ఇస్తుంది
The disciplinary value of teaching mathematics means that it
1. gives skills for shopping
2. trains reasoning, concentration and accuracy
3. shows the history of civilisation
4. gives pleasure from patterns
గణితం యొక్క ప్రయోజన విలువ అంటే దేనిలో దాని వినియోగం?
1. నిరూపణల స్వచ్ఛమైన సౌందర్యం
2. తార్కిక ఆలోచనకు శిక్షణ
3. గత సంస్కృతిని తెలుసుకోవడం
4. కొలతలు, బ్యాంకింగ్ వంటి దైనందిన జీవితం
సమాధానం
D. కొలతలు, బ్యాంకింగ్ వంటి దైనందిన జీవితం
The utilitarian value of mathematics refers to its use in
1. pure beauty of proofs
2. training logical thinking
3. knowing past culture
4. daily life such as measurement and banking
గణిత బోధన యొక్క సాంస్కృతిక విలువ ఏమిటంటే అది
1. విద్యార్థులను షాపింగ్‌లో వేగంగా చేస్తుంది
2. కేవలం వేగాన్ని పెంచుతుంది
3. తార్కికత అవసరాన్ని తొలగిస్తుంది
4. మానవ నాగరికత గణిత భావనలను ఎలా అభివృద్ధి చేసిందో చూపుతుంది
సమాధానం
D. మానవ నాగరికత గణిత భావనలను ఎలా అభివృద్ధి చేసిందో చూపుతుంది
The cultural value of teaching mathematics is that it
1. makes students faster at shopping
2. only builds speed
3. removes need for reasoning
4. shows how human civilisation developed mathematical ideas
ఈ క్రింది వాక్యాలను పరిశీలించండి. 1. ఆర్యభట్ట ఆర్యభటీయం రచించాడు. 2. ఆర్యభట్ట లీలావతి రచించాడు. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider the statements. 1. Aryabhata wrote the Aryabhatiya. 2. Aryabhata wrote Lilavati. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ఈ క్రింది వాక్యాలను పరిశీలించండి. 1. యూక్లిడ్ ఎలిమెంట్స్ నిర్వచనాలు, స్వీకృతాలు (axioms), ప్రతిపాదనలపై ఆధారపడి ఉంది. 2. HCF కనుగొనడానికి యూక్లిడ్ భాగహార పద్ధతిని ఉపయోగిస్తారు. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 1 మరియు 2 రెండూ
3. 2 మాత్రమే
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 1 మరియు 2 రెండూ
Consider the statements. 1. Euclid's Elements is based on definitions, axioms and postulates. 2. Euclid's division algorithm is used to find the HCF. Which is/are correct?
1. 1 only
2. Both 1 and 2
3. 2 only
4. Neither 1 nor 2
ఈ క్రింది వాక్యాలను పరిశీలించండి. 1. పైథాగరస్ సిద్ధాంతం అన్ని త్రిభుజాలకు నిజం. 2. పైథాగరస్ సిద్ధాంతం లంబకోణ త్రిభుజాలకు నిజం. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 1 మరియు 2 రెండూ
3. 2 మాత్రమే
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 2 మాత్రమే
Consider the statements. 1. The Pythagoras theorem is true for all triangles. 2. The Pythagoras theorem is true for right-angled triangles. Which is/are correct?
1. 1 only
2. Both 1 and 2
3. 2 only
4. Neither 1 nor 2
ఈ క్రింది వాక్యాలను పరిశీలించండి. 1. కాంటర్ నిరూపక జ్యామితిని కనుగొన్నాడు. 2. కాంటర్ సిద్ధాంతంలో సహజ సంఖ్యల సమితి గణనీయమైనది (countable). ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 1 మరియు 2 రెండూ
3. 1 లేదా 2 కాదు
4. 2 మాత్రమే
సమాధానం
D. 2 మాత్రమే
Consider the statements. 1. Cantor invented coordinate geometry. 2. The set of natural numbers is countable, in Cantor's theory. Which is/are correct?
1. 1 only
2. Both 1 and 2
3. Neither 1 nor 2
4. 2 only
ఈ క్రింది వాక్యాలను పరిశీలించండి. 1. యూక్లిడ్ నాల్గవ ప్రతిపాదన సమాంతర రేఖల ప్రతిపాదన. 2. ఆర్యభట్ట పై విలువ ఖచ్చితంగా 22/7. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 లేదా 2 కాదు
2. 1 మాత్రమే
3. 2 మాత్రమే
4. 1 మరియు 2 రెండూ
సమాధానం
A. 1 లేదా 2 కాదు
Consider the statements. 1. Euclid's fourth postulate is the parallel postulate. 2. Aryabhata's value of pi is exactly 22/7. Which is/are correct?
1. Neither 1 nor 2
2. 1 only
3. 2 only
4. Both 1 and 2
ఈ క్రింది వాక్యాలను పరిశీలించండి. 1. గ్రహణాలు భూమి, చంద్రుల నీడల ప్రభావాలని ఆర్యభట్ట వివరించాడు. 2. రామానుజన్ కేంబ్రిడ్జ్‌లో హార్డీతో కలిసి పనిచేశారు. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 1 మరియు 2 రెండూ
3. 2 మాత్రమే
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 1 మరియు 2 రెండూ
Consider the statements. 1. Aryabhata explained eclipses as effects of shadows of the earth and moon. 2. Ramanujan worked with Hardy at Cambridge. Which is/are correct?
1. 1 only
2. Both 1 and 2
3. 2 only
4. Neither 1 nor 2
గణిత శాస్త్రవేత్తను అతని రచనతో జతపరచండి. P. ఆర్యభట్ట Q. భాస్కరాచార్యుడు R. యూక్లిడ్ 1. ఎలిమెంట్స్ (Elements) 2. ఆర్యభటీయం 3. లీలావతి
1. P-3, Q-2, R-1
2. P-2, Q-1, R-3
3. P-2, Q-3, R-1
4. P-1, Q-3, R-2
సమాధానం
C. P-2, Q-3, R-1
Match the mathematician with the work. P. Aryabhata Q. Bhaskaracharya R. Euclid 1. Elements 2. Aryabhatiya 3. Lilavati
1. P-3, Q-2, R-1
2. P-2, Q-1, R-3
3. P-2, Q-3, R-1
4. P-1, Q-3, R-2
గణిత శాస్త్రవేత్తను అతని కృషితో జతపరచండి. P. రామానుజన్ Q. కాంటర్ R. పైథాగరస్ 1. సమితి సిద్ధాంతం 2. 1729 సంఖ్య కథ 3. లంబకోణ త్రిభుజ సిద్ధాంతం
1. P-2, Q-3, R-1
2. P-1, Q-2, R-3
3. P-2, Q-1, R-3
4. P-3, Q-1, R-2
సమాధానం
C. P-2, Q-1, R-3
Match the mathematician with the contribution. P. Ramanujan Q. Cantor R. Pythagoras 1. Set theory 2. The number 1729 story 3. Right-triangle theorem
1. P-2, Q-3, R-1
2. P-1, Q-2, R-3
3. P-2, Q-1, R-3
4. P-3, Q-1, R-2
సిద్ధాంత శిరోమణి భాగాన్ని దాని విషయంతో జతపరచండి. P. లీలావతి Q. బీజగణితం R. గ్రహగణితం 1. బీజగణితం 2. అంకగణితం 3. గ్రహాల గణితం
1. P-3, Q-1, R-2
2. P-1, Q-2, R-3
3. P-2, Q-3, R-1
4. P-2, Q-1, R-3
సమాధానం
D. P-2, Q-1, R-3
Match the part of Siddhanta Shiromani with its subject. P. Lilavati Q. Bijaganita R. Grahaganita 1. Algebra 2. Arithmetic 3. Mathematics of the planets
1. P-3, Q-1, R-2
2. P-1, Q-2, R-3
3. P-2, Q-3, R-1
4. P-2, Q-1, R-3

Page 1 of 1

Finished reading?

Test yourself in 10 minutes

A free 10-question mini-mock on your exam's real pattern, with negative marking and an instant score. अपनी तैयारी 10 मिनट में जाँचें।

Take a free mini-mock →Topic-wise practice