AP పోలీస్, సచివాలయం, గ్రూప్-4 కోసం రీజనింగ్, అంకగణిత షార్ట్‌కట్లు

పరీక్షలో సన్నద్ధతకు అత్యంత త్వరగా ఫలితం ఇచ్చే భాగం రీజనింగ్, అంకగణితం. ప్రశ్నల రకాలు మళ్లీ మళ్లీ వస్తాయి, పద్ధతులను నెలల్లో కాదు రోజుల్లో నేర్చుకోవచ్చు. AP పోలీస్ కానిస్టేబుల్, SI, గ్రామ, వార్డు సచివాలయ పోస్టులు, APPSC గ్రూప్-4 స్థాయి నియామక పరీక్షల్లో మానసిక సామర్థ్యం, ప్రాథమిక అంకగణితం సాధారణంగా పేపర్‌లో ఒక భాగంగా ఉంటాయి; ఆ భాగం బరువు ఒక నోటిఫికేషన్ నుంచి మరొకదానికి మారుతుంది, కాబట్టి మీ పోస్టుకు సిలబస్, పరీక్ష విధానం కోసం తాజా అధికారిక నోటిఫికేషన్ చూడండి. మారనిది నైపుణ్యం: ప్రశ్నను కచ్చితంగా చదవడం, అతి చిన్న సరైన పద్ధతిని ఎంచుకోవడం, సమయ ఒత్తిడిలో లెక్కల పొరపాట్లను నివారించడం.

ఈ వ్యాసం పదహారు అంశాలను కవర్ చేస్తుంది: సంఖ్యా శ్రేణులు, అక్షర శ్రేణులు, కోడింగ్-డీకోడింగ్, రక్త సంబంధాలు, దిశా జ్ఞానం, ర్యాంకింగ్, సిలాజిజం, గడియారాలు, క్యాలెండర్లు, శాతాలు, లాభనష్టాలు, సాధారణ మరియు చక్రవడ్డీ, నిష్పత్తి, పని-కాలం, వేగం-దూరం, సగటులు. ప్రతి అంశంలో ఆలోచన, షార్ట్‌కట్, పరిష్కరించిన ఉదాహరణలు ఉంటాయి. ప్రతి ఉదాహరణలోని ప్రతి సంఖ్యను ఒక చిన్న కంప్యూటర్ స్క్రిప్ట్‌తో లెక్కించి తనిఖీ చేశాను, చివర ఉన్న ప్రతి బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్న జవాబునూ అదే విధంగా సరిచూశాను, కాబట్టి లెక్కలపై నమ్మకం ఉంచవచ్చు. జవాబు కప్పేసి మొదట మీరే చేసి చూడండి.

అసలు ప్రత్యర్థి సమయం. మీ షార్ట్‌కట్లను పరీక్షలో సరైన క్రమంలో వాడటానికి ఈ వ్యాసాన్ని AP మాక్‌ల కోసం నెగటివ్ మార్కింగ్, సమయ నిర్వహణ తో కలిపి చదవండి.

1. సంఖ్యా శ్రేణులు

సంఖ్యా శ్రేణిలో తర్వాతి పదాన్ని అడుగుతారు. నియమాన్ని ఈ క్రమంలో వెతకండి: స్థిర భేదం, స్థిర నిష్పత్తి, భేదాలే ఒక క్రమంలో ఉండటం, సర్దుబాటుతో వర్గాలు లేదా ఘనాలు, ఆపై ఒకటి విడిచి ఒకటి లేదా జంట శ్రేణులు.

స్థిర నిష్పత్తి. 3, 6, 12, 24, 48 లో ప్రతి పదం ముందుదానికి రెట్టింపు, కాబట్టి తర్వాతి పదం 96.

సర్దుబాటుతో వర్గాలు. 2, 5, 10, 17, 26, 37 లో n = 1, 2, 3 ... కు ప్రతి పదం n వర్గం + 1. తర్వాతి పదం 7 వర్గం + 1 = 50.

పెరిగే భేదాలు. 5, 6, 8, 11, 15, 20 లో భేదాలు 1, 2, 3, 4, 5, కాబట్టి తర్వాతి భేదం 6, తర్వాతి పదం 26.

లబ్ధ క్రమం. 2, 6, 12, 20, 30 లో ప్రతి పదం n × (n + 1). తర్వాతి పదాలు 42, 56.

రెట్టింపు చేసి సర్దుబాటు. 3, 5, 9, 17, 33 లో ప్రతి పదం ముందుదానికి రెట్టింపు మైనస్ 1, కాబట్టి తర్వాతిది 65. ఇదే శ్రేణి k = 1, 2, 3 కు 2 యొక్క k ఘాతం + 1 కూడా, కాబట్టి ఏ కోణంలో చూసినా 65 వస్తుంది. రెండు నియమాలు సరిపోతే, అవి సాధారణంగా మారువేషంలో ఉన్న ఒకే నియమం.

ఘనాలు. 1, 8, 27, 64, 125 ఘనాల శ్రేణి. 7, 26, 63, 124, 215 అనేది n = 2, 3, 4 కు n ఘనం − 1.

రెట్టింపు + 1. 1, 3, 7, 15, 31 లో ప్రతి పదం ముందుదానికి రెండింతలు + 1, అంటే 2 యొక్క k ఘాతం − 1.

ప్రధాన సంఖ్యలు, ఫిబొనాచ్చి. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 వరుస ప్రధాన సంఖ్యలు. 1, 1, 2, 3, 5, 8 లో ప్రతి పదం ముందు రెండింటి మొత్తం.

పద్ధతి. మొదట భేదాలు రాయండి. అవి స్థిరంగా ఉంటే పని అయిపోయింది. పెరుగుతుంటే రెండవ భేదాలు రాయండి. పక్క పదాల నిష్పత్తి స్థిరమైతే అది గుణశ్రేణి. ఏదీ సరిపోకపోతే వర్గాలు, ఘనాలు ప్రయత్నించి, ఆపై శ్రేణిని బేసి, సరి స్థానాలుగా విడగొట్టండి.

2. అక్షర శ్రేణులు

అక్షరాలను స్థానాలుగా మార్చండి: A = 1, B = 2 ... Z = 26. తర్వాత శ్రేణిని సంఖ్యలుగా పరిగణించి తిరిగి అక్షరాలకు మార్చండి.

స్థిర అడుగు. A, C, E, G తర్వాత I వస్తుంది, అడుగు 2. E, J, O, T తర్వాత Y వస్తుంది, అడుగు 5 (స్థానాలు 5, 10, 15, 20, 25).

ప్రతిబింబ జతలు. AZ, BY, CX, DW తర్వాత EV వస్తుంది. ఒక అక్షరం, దాని ప్రతిబింబ అక్షరం స్థానాల మొత్తం ఎప్పుడూ 27: A, Z కు 1, 26; R, I కు 18, 9.

పెరిగే అడుగులు. A, C, F, J, O, U లో అడుగులు 2, 3, 4, 5, 6, కాబట్టి పెరిగే భేద సంఖ్యా శ్రేణి తర్కమే.

చిట్కా. E, J, O, T, Y స్థానాలు (5, 10, 15, 20, 25) గుర్తుపెట్టుకోండి. ఈ లంగర్లతో ముందుకూ వెనక్కూ త్వరగా లెక్కించవచ్చు.

3. కోడింగ్, డీకోడింగ్

అక్షర మార్పు. ప్రతి అక్షరం నిర్ణీత సంఖ్యలో కదులుతుంది. POLICE ను +1 తో మారిస్తే QPMJDF. TIGER ను +2 తో మారిస్తే VKIGT, కాబట్టి అదే మార్పుతో LION అవుతుంది NKQP. అలాగే CAT +1 తో DBU అవుతుంది, కాబట్టి DOG అవుతుంది EPH. గుర్తు: కోడ్‌లో అక్షరాల సంఖ్య అదే, ప్రతి జతలో తేడా ఒకటే.

వ్యతిరేక అక్షర (వర్ణమాల వెనుక వైపు) కోడింగ్. ప్రతి అక్షరం రెండో చివర నుంచి అదే స్థానంలో ఉన్న అక్షరంతో మారుతుంది, జత మొత్తం 27. ROAD అవుతుంది ILZW (R కు I, O కు L, A కు Z, D కు W).

స్థాన సంఖ్య కోడింగ్. BAG ను 2, 1, 7 అని రాస్తారు. స్థానాల మొత్తం మరొక శైలి: CAT స్థానాలు 3, 1, 20, మొత్తం 24, కాబట్టి DOG (4 + 15 + 7) మొత్తం 26.

పద్ధతి. పదాన్నీ కోడ్‌నూ అక్షరం అక్షరంగా పోల్చండి. ప్రతి స్థానంలో సంఖ్యా తేడా రాయండి. ప్రతిచోటా తేడా ఒకటే అయితే కొత్త పదానికి వర్తింపజేయండి. మారుతూ ఉంటే ఆ మార్పును వర్తింపజేయండి. డీకోడ్ చేసిన పదాన్ని అన్ని అక్షరాలతో సరిచూడండి.

4. రక్త సంబంధాలు

రెండు కంటే ఎక్కువ ప్రకటనలున్న ప్రతి ప్రశ్నకూ కుటుంబ వృక్షం గీయండి. పురుషులను చతురస్రంతో, స్త్రీలను వృత్తంతో చూపి, ఒక అడుగు ఒక అడుగుగా కదలండి.

ఉదాహరణ 1. ఒక స్త్రీని చూపిస్తూ రవి, "ఆమె తల్లి నా తల్లికి ఉన్న ఒకే ఒక కూతురు" అంటాడు. రవి తల్లికి ఒకే కూతురు ఉంది, రవి పురుషుడు కాబట్టి ఆ కూతురు రవి సోదరి. ఆ స్త్రీ తల్లి రవి సోదరి, కాబట్టి ఆ స్త్రీ రవికి మేనకోడలు (అక్క లేదా చెల్లెలి కూతురు).

ఉదాహరణ 2. A, B కి సోదరుడు. C, A తల్లి. D, C తండ్రి. E, D కొడుకు. C, A, B ఇద్దరికీ తల్లి. D, C తండ్రి కాబట్టి D తల్లివైపు తాత. E, D కొడుకు కాబట్టి E, C సోదరుడు, అందువల్ల B కి మేనమామ.

ఉదాహరణ 3: కోడెడ్ సంబంధాలు. "A + B" అంటే A, B తల్లి; "A − B" అంటే A, B సోదరుడు; "A × B" అంటే A, B తండ్రి అనుకుందాం. "P × Q − R" అంటే ఏమిటి? P, Q తండ్రి, Q, R సోదరుడు, కాబట్టి P, R తండ్రి.

పద్ధతి. ప్రతి ప్రకటనను ఒక తరం అడుగుగా (తల్లిదండ్రులు, పిల్లలు, తోబుట్టువు, జీవిత భాగస్వామి) మార్చి, గీసి, సంబంధాన్ని చదవండి. అతి సాధారణ పొరపాటు: ప్రశ్నలో చెప్పని లింగాన్ని ఊహించడం; లింగం తెలియకపోతే సమాధానం సాధారణంగా "నిర్ణయించలేము".

5. దిశా జ్ఞానం

ప్రారంభ బిందువును మూలంగా తీసుకోండి. ఉత్తరం పైకి, తూర్పు కుడివైపు గీయండి. ఉత్తరానికి ముఖంగా ఉన్నప్పుడు కుడి మలుపు తూర్పును చూపుతుంది; తూర్పు వైపు ఉన్నప్పుడు కుడి మలుపు దక్షిణం, ఇలా.

ఉదాహరణ 1. ఒక వ్యక్తి 5 కి.మీ. ఉత్తరం నడిచి, కుడివైపు తిరిగి 3 కి.మీ. నడిచి, మళ్లీ కుడివైపు తిరిగి 5 కి.మీ. నడుస్తాడు. మొదటి కుడి మలుపు తర్వాత తూర్పు వైపు 3 కి.మీ.; రెండవ మలుపు తర్వాత దక్షిణం వైపు 5 కి.మీ., ఇది ఉత్తరం వైపు నడకను రద్దు చేస్తుంది. అతడు ప్రారంభ స్థానానికి 3 కి.మీ. తూర్పున ఉంటాడు.

ఉదాహరణ 2. ఒక వ్యక్తి 10 కి.మీ. ఉత్తరం నడిచి, ఎడమవైపు తిరిగి 6 కి.మీ., మళ్లీ ఎడమకు తిరిగి 2 కి.మీ., మళ్లీ ఎడమకు తిరిగి 6 కి.మీ. నడుస్తాడు. మలుపుల వల్ల పడమరకు 6 కి.మీ., దక్షిణానికి 2 కి.మీ., తూర్పుకు 6 కి.మీ. వెళ్తాడు. తూర్పు-పడమర కదలికలు రద్దవుతాయి, ఉత్తర-దక్షిణ కదలిక 10 − 2, కాబట్టి అతడు ప్రారంభ స్థానానికి 8 కి.మీ. ఉత్తరాన ఉంటాడు.

ఉదాహరణ 3: అతి తక్కువ దూరం. ఒక వ్యక్తి 12 కి.మీ. తూర్పుకు, ఆపై 5 కి.మీ. ఉత్తరానికి నడుస్తాడు. సరళరేఖ దూరం 5-12-13 త్రికం వల్ల 13 కి.మీ. 4 కి.మీ. ఉత్తరం, 3 కి.మీ. తూర్పు నడిచిన వ్యక్తి ప్రారంభం నుంచి 5 కి.మీ. దూరంలో ఉంటాడు (3-4-5 త్రికం).

నీడ ప్రశ్నలు. సూర్యోదయం సమయంలో సూర్యుడు తూర్పున ఉంటాడు కాబట్టి నీడ పడమరకు పడుతుంది. ఉదయం ఒక వ్యక్తి నీడ అతని ఎడమ వైపు పడితే, పడమర అతని ఎడమ వైపు ఉంది, కాబట్టి అతడు ఉత్తరానికి ముఖంగా ఉన్నాడు.

చిట్కా. పైథాగరస్ త్రికాలు 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 లను వాటి గుణిజాలతో గుర్తుంచుకోండి. వర్గమూలం లెక్కలు అక్కర్లేదు.

6. ర్యాంకింగ్, క్రమం

రెండో చివర నుంచి ర్యాంకు. రెండో చివర నుంచి స్థానం = మొత్తం − స్థానం + 1. 40 మంది ఉన్న తరగతిలో పై నుంచి 12వ ర్యాంకు వచ్చిన విద్యార్థి కింది నుంచి 40 − 12 + 1 = 29వ వాడు. 31 మంది ఉన్న వరుసలో ఎడమ నుంచి 7వ వ్యక్తి కుడి నుంచి 25వ వాడు.

రెండు ర్యాంకుల నుంచి మొత్తం. ఒక వ్యక్తి పై నుంచి 9వ, కింది నుంచి 32వ అయితే, మొత్తం 9 + 32 − 1 = 40.

రెండు స్థానాల మధ్య. A పై నుంచి 8వ, B పై నుంచి 25వ అయితే, మధ్యలో ఉన్నవారి సంఖ్య 25 − 8 − 1 = 16.

స్థానాల మార్పిడి. A ఎడమ నుంచి 12వ, B కుడి నుంచి 15వ. ఇద్దరూ స్థానాలు మార్చుకున్న తర్వాత A ఎడమ నుంచి 20వ అవుతాడు. A ఇప్పుడు B ఉన్న చోట ఉన్నాడు, కాబట్టి B అసలు స్థానం ఎడమ నుంచి 20వ, కుడి నుంచి 15వ. మొత్తం 20 + 15 − 1 = 34.

నియమం. వ్యతిరేక చివరల నుంచి రెండు లెక్కల్లో ఒకే వ్యక్తి ఉంటే 1 తీసివేయండి. రెండు స్థానాల మధ్య ఉన్నవారి సంఖ్య కోసం స్థానాలను తీసివేసి, ఆపై 1 తీసివేయండి, ఎందుకంటే రెండు చివరల వ్యక్తులను లెక్కించరు.

7. సిలాజిజం

సిలాజిజంలో సమూహాల గురించిన ప్రకటనలు ఇచ్చి, ఏ నిర్ధారణలు అనుసరిస్తాయో అడుగుతారు. ప్రకటనలు నిజజీవితంలో అసంబద్ధంగా ఉన్నా వాటిని నిజంగా పరిగణించండి. వెన్ చిత్రాలు గీయండి, లేదా ఈ నియమాలు వాడండి.

కింది ప్రతి నమూనాను మూడు సమూహాల సాధ్యమైన అన్ని అమరికలను పరిశీలించి పరీక్షించాను, కాబట్టి తీర్పులు కచ్చితమైనవి.

• అన్ని A లు B లే, అన్ని B లు C లే: అన్ని A లు C లే అనేది అనుసరిస్తుంది.
• అన్ని A లు B లే, కొన్ని B లు C లే: కొన్ని A లు C లే అనేది అనుసరించదు. B లో C అయిన భాగంలో A లు ఉండకపోవచ్చు.
• అన్ని A లు B లే, ఏ B కూడా C కాదు: ఏ A కూడా C కాదు అనేది అనుసరిస్తుంది.
• కొన్ని A లు B లే, అన్ని B లు C లే: కొన్ని A లు C లే అనేది అనుసరిస్తుంది.
• అన్ని A లు B లే, అన్ని C లు B లే: అన్ని A లు C లే అనేది అనుసరించదు. A, C రెండూ B లో ఉన్నాయి, కానీ అవి కలవకపోవచ్చు.
• అన్ని A లు B లే, ఏ B కూడా C కాదు: కొన్ని C లు A లు కావు అనేది దానంతట అనుసరించదు, ఎందుకంటే అసలు C లే ఉండకపోవచ్చు.

పద్ధతి. ప్రకటనలను తృప్తిపరిచే అతి చిన్న చిత్రం గీయండి, తర్వాత నిర్ధారణ విఫలమయ్యేలా దాన్ని మళ్లీ గీయడానికి ప్రయత్నించండి. అలా గీయగలిగితే నిర్ధారణ అనుసరించదు. "కొన్ని" తో ఉన్న నిర్ధారణలకు కనీసం ఒక హామీ ఉన్న అతివ్యాప్తి కావాలి; "అన్ని" లేదా "ఏదీ కాదు" తో ఉన్నవాటికి హామీ ఉన్న లోపలి ఉండటం లేదా వేరుగా ఉండటం కావాలి.

8. గడియారాలు

కోణ సూత్రం. H గంటలు M నిమిషాల వద్ద ముల్లుల మధ్య కోణం |30H − 5.5M| డిగ్రీలు. అది 180 మించితే 360 నుంచి తీసివేయండి. గంటల ముల్లు గంటకు 30 డిగ్రీలు (నిమిషానికి 0.5), నిమిషాల ముల్లు నిమిషానికి 6 డిగ్రీలు కదులుతాయి, కాబట్టి నిమిషాల ముల్లు నిమిషానికి 5.5 డిగ్రీలు ముందుకు వెళ్తుంది.

• 3:40 వద్ద: |90 − 220| = 130 డిగ్రీలు.
• 4:20 వద్ద: |120 − 110| = 10 డిగ్రీలు.
• 6:00 వద్ద: 180 డిగ్రీలు.
• 9:15 వద్ద: |270 − 82.5| = 187.5, ఇది 180 కన్నా ఎక్కువ, కాబట్టి కోణం 360 − 187.5 = 172.5 డిగ్రీలు.

ముల్లులు ఒకదానిపై ఒకటి పడినప్పుడు. 12 గంటల్లో ముల్లులు 11 సార్లు, ఒక రోజులో 22 సార్లు కలుస్తాయి. 12 తర్వాత మొదటిసారి 720/11 = 65 5/11 నిమిషాల వద్ద కలుస్తాయి. 4 తర్వాత 4 గంటలు దాటి 240/11 = 21 9/11 నిమిషాల వద్ద కలుస్తాయి.

చిట్కా. నిమిషాల ముల్లు నిర్ణీత కోణం ముందుండే సమయం కోసం, 5.5M ను అవసరమైన కోణం + గంటల ముల్లు ప్రారంభ స్థానానికి సమానం చేసి M కోసం సాధించండి.

9. క్యాలెండర్లు

లీపు సంవత్సరాలు. 4 తో భాగించబడే సంవత్సరం లీపు సంవత్సరం, శతాబ్ది సంవత్సరాలకు 400 తో భాగించబడాలి. కాబట్టి 1900, 2100 లీపు సంవత్సరాలు కావు, 2000, 2024 లీపు సంవత్సరాలు.

బేసి రోజులు. సాధారణ సంవత్సరంలో 1 బేసి రోజు (365 = 52 వారాలు + 1). లీపు సంవత్సరంలో 2. ఒక శతాబ్దంలో 5 బేసి రోజులు (100 ఏళ్లలో 24 లీపు సంవత్సరాలు: 124 రోజులు = 17 వారాలు + 5). రెండు శతాబ్దాలకు 3, మూడు శతాబ్దాలకు 1, నాలుగు శతాబ్దాలకు 0.

రోజు కనుగొనే పద్ధతి. పూర్తయిన శతాబ్దాల బేసి రోజులు, ప్రస్తుత శతాబ్దంలో పూర్తయిన సంవత్సరాల బేసి రోజులు, గడిచిన నెలల రోజుల బేసి రోజులు కలపండి. మొత్తాన్ని 7 తో భాగించి శేషం చూడండి, 0 ఆదివారం, 1 సోమవారం, ... 6 శనివారం.

పరిష్కరించిన ఉదాహరణ: 26 జనవరి 1950. పూర్తయిన 1600 ఏళ్లు: 0 బేసి రోజులు. ఆ తర్వాతి 300 ఏళ్లు: 1 బేసి రోజు. 1901 నుంచి 1949 వరకు 49 ఏళ్లు: 12 లీపు సంవత్సరాలు, 37 సాధారణ సంవత్సరాలు, అంటే 24 + 37 = 61 బేసి రోజులు, 7 తో భాగిస్తే 5. 1950లో గడిచిన రోజులు 26, అంటే 5 బేసి రోజులు. మొత్తం 0 + 1 + 5 + 5 = 11, 11 ను 7 తో భాగిస్తే శేషం 4, అది గురువారం. క్యాలెండర్‌తో సరిచూస్తే 26 జనవరి 1950 గురువారమే.

మరికొన్ని సరిచూపులు. 15 ఆగస్టు 1947 శుక్రవారం. 1 జనవరి 2000 శనివారం. ఆంధ్రప్రదేశ్ పునర్వ్యవస్థీకరణ చట్టం నియమిత దినమైన 2 జూన్ 2014 సోమవారం.

10. శాతాలు

శాతం అంటే "వందకు". అత్యంత సమయం ఆదా చేసే మార్పిడులు: 1/2 = 50%, 1/4 = 25%, 1/8 = 12.5%, 1/5 = 20%.

ప్రాథమికం. 450 లో 20% = 90.

వరుస మార్పులు. 20% పెరిగి ఆపై 20% తగ్గిన ధర అసలుకు తిరిగి రాదు. 100 తో మొదలుపెడితే అది 120, ఆపై 96 అవుతుంది, నికర తగ్గుదల 4%. 20%, 10% రెండు వరుస తగ్గింపులు ఇస్తాయి 100 × 0.8 × 0.9 = 72, కాబట్టి నికర తగ్గింపు 28%, 30% కాదు.

వృద్ధి. 40,000 జనాభా 10% ఆపై 20% పెరిగితే 40,000 × 1.1 × 1.2 = 52,800 అవుతుంది.

పోలిక. A జీతం B జీతం కంటే 25% ఎక్కువ అయితే, B జీతం A కంటే 25/125 = 20% తక్కువ. B జీతం A కంటే 20% తక్కువ అయితే, A జీతం B కంటే 20/80 = 25% ఎక్కువ. శాతం ఎప్పుడూ ప్రశ్నలో చెప్పిన ఆధారం మీద లెక్కించాలి.

మార్కులు. 600 మార్కులకు 40% ఉత్తీర్ణత మార్కు 240. 216 వచ్చిన అభ్యర్థి 24 మార్కులతో విఫలమవుతాడు.

షార్ట్‌కట్. y లో x% త్వరగా కనుగొనడానికి సులువైతే x లో y% లెక్కించండి: 50 లో 8% అంటే 8 లో 50% తో సమానం.

11. లాభనష్టాలు

సూత్రాలు. లాభ% = లాభం / కొన్న ధర × 100, నష్ట% = నష్టం / కొన్న ధర × 100. రెండింటికీ కొన్న ధరే ఆధారం.

ఉదాహరణ 1. కొన్న ధర 800, అమ్మిన ధర 920: లాభం 120, కాబట్టి లాభ% = 120/800 × 100 = 15%.

ఉదాహరణ 2: ముద్రిత ధర, తగ్గింపు. 1,200 ముద్రిత ధర ఉన్న వస్తువును 15% తగ్గింపుతో అమ్మితే అమ్మిన ధర 1,200 × 0.85 = 1,020. కొన్న ధర 850 అయితే లాభం 170, అంటే 850 లో 20%.

ఉదాహరణ 3: కొన్న ధర కనుగొనడం. ఒక వస్తువును 12% నష్టంతో 440 కు అమ్మారు. అమ్మిన ధర కొన్న ధరలో 88%, కాబట్టి కొన్న ధర = 440 / 0.88 = 500.

ఉదాహరణ 4: సమాన ధర ఉచ్చు. రెండు వస్తువులను ఒక్కొక్కటి 1,200 కు అమ్మారు, ఒకటి 20% లాభంతో, ఒకటి 20% నష్టంతో. మొదటి దాని కొన్న ధర: 1,200 / 1.2 = 1,000. రెండవదాని కొన్న ధర: 1,200 / 0.8 = 1,500. మొత్తం కొన్న ధర 2,500, మొత్తం అమ్మకం 2,400, నష్టం 100, కాబట్టి నష్టం 4%. అమ్మిన ధరలు సమానంగా ఉండి, ఒకదానిపై అదే శాతం లాభం, మరొకదానిపై అదే శాతం నష్టం వస్తే ఎల్లప్పుడూ నష్టమే ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 5: పెంచి, తగ్గించడం. 40% పెంచి 25% తగ్గింపు ఇస్తే: 100 × 1.4 × 0.75 = 105, నికర లాభం 5%.

ఉదాహరణ 6: వస్తువుల మార్పిడి. 20 వస్తువుల కొన్న ధర 16 వస్తువుల అమ్మిన ధరకు సమానమైతే, లాభం (20/16 − 1) × 100 = 25%.

షార్ట్‌కట్. శాతాలు ఇచ్చిన ప్రతి లాభనష్ట సమస్యను కొన్న ధర 100 గా మార్చి చేయండి.

12. సాధారణ, చక్రవడ్డీ

సాధారణ వడ్డీ. SI = P × R × T / 100. 8% వద్ద 3 ఏళ్లకు 6,000 పై SI = 6,000 × 8 × 3 / 100 = 1,440.

రెట్టింపు. 8% సాధారణ వడ్డీ వద్ద, వడ్డీ అసలుకు సమానమైనప్పుడు మొత్తం రెట్టింపు అవుతుంది: 100/8 = 12.5 ఏళ్లు.

చక్రవడ్డీ. మొత్తం = P × (1 + R/100) యొక్క T ఘాతం. 10% వద్ద 2 ఏళ్లకు 10,000 పై మొత్తం 12,100, చక్రవడ్డీ 2,100. 3 ఏళ్లకు చక్రవడ్డీ 3,310.

2 ఏళ్లకు CI, SI మధ్య తేడా. తేడా P × (R/100) వర్గం. 8% వద్ద 5,000 కు అది 5,000 × 0.0064 = 32. దీన్ని నేరుగా సరిచూడవచ్చు: CI 832, SI 800.

అర్ధ సంవత్సర చక్రవడ్డీ. రేటును సగం, కాలాలను రెట్టింపు చేయండి. 10% వద్ద ఒక సంవత్సరం అర్ధ సంవత్సర చక్రవడ్డీతో 10,000 అవుతుంది 10,000 × 1.05 × 1.05 = 11,025, వార్షిక చక్రవడ్డీతో 11,000.

మరో సరిచూపు. 5% వద్ద 2 ఏళ్లు వార్షిక చక్రవడ్డీతో 8,000 అవుతుంది 8,000 × 1.05 × 1.05 = 8,820.

చిట్కా. 2 ఏళ్లకు CI అంటే SI + మొదటి సంవత్సరం వడ్డీపై వడ్డీ. 3 ఏళ్లకు 10% వద్ద గుణకాలు 1.1, 1.21, 1.331 గుర్తుంచుకోండి.

13. నిష్పత్తి, అనుపాతం

నిష్పత్తిలో విభజన. 3,600 ను 4 : 5 : 3 నిష్పత్తిలో పంచండి. మొత్తం భాగాలు 12, ఒక భాగం 300, వాటాలు 1,200, 1,500, 900.

వయసులు. ఇద్దరి వయసులు 5 : 7 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి, మొత్తం 48; భాగాల మొత్తం 12, ఒక భాగం 4, వయసులు 20, 28. 5 ఏళ్ల తర్వాత వయసులు 25, 33, నిష్పత్తి 25 : 33.

మిశ్రమాలు. పాలు, నీళ్ల 20 లీటర్ల మిశ్రమం 3 : 2 నిష్పత్తిలో ఉంది, అంటే 12 లీటర్ల పాలు, 8 లీటర్ల నీళ్లు.

నిష్పత్తులు కలపడం. A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5 అయితే, రెండింటిలో B ని సమానం చేయండి. మొదటిదాన్ని 4 తో, రెండవదాన్ని 3 తో గుణిస్తే A : B : C = 8 : 12 : 15.

నాలుగవ అనుపాతం. 6 : 9 :: 10 : x లో x = 9 × 10 / 6 = 15.

చిట్కా. మొత్తం ఇచ్చినప్పుడల్లా మొదట నిష్పత్తి భాగాలను కూడి, ఒక భాగం విలువ కనుగొనండి.

14. పని, కాలం

ప్రాథమిక ఆలోచన. A ఒక పనిని a రోజుల్లో పూర్తి చేస్తే, A వేగం రోజుకు పనిలో 1/a. కలిసి పనిచేసే వారి వేగాలను కూడండి.

ఇద్దరు పనివారు. A కి 12 రోజులు, B కి 15 రోజులు పడతాయి. కలిసి 12 × 15 / (12 + 15) = 180/27 = 20/3 రోజుల్లో, అంటే 6 2/3 రోజుల్లో పూర్తి చేస్తారు.

ముగ్గురు పనివారు. A కి 10 రోజులు, B కి 15, C కి 30. వేగాల మొత్తం 1/10 + 1/15 + 1/30 = 6/30 = 1/5, కాబట్టి పనికి 5 రోజులు.

వ్యతిరేక పని. ఒక పైపు ట్యాంకును 20 నిమిషాల్లో నింపుతుంది, ఒక అవుట్‌లెట్ 30 నిమిషాల్లో ఖాళీ చేస్తుంది. నికర వేగం 1/20 − 1/30 = 1/60, కాబట్టి ట్యాంకు 60 నిమిషాల్లో నిండుతుంది.

ఒక పనివాడి సమయం కనుగొనడం. A, B కలిసి 8 రోజులు తీసుకుంటారు. A ఒంటరిగా 12 రోజులు తీసుకుంటాడు. B వేగం 1/8 − 1/12 = 1/24, కాబట్టి B ఒంటరిగా 24 రోజులు తీసుకుంటాడు.

పాక్షిక పని. 12 రోజుల పనిలో A 4 రోజులు ఒంటరిగా పనిచేసి వెళ్లిపోతాడు. మిగిలిన పని 1 − 4/12 = 2/3. B ఒంటరిగా మొత్తం పనికి 18 రోజులు తీసుకుంటాడు, కాబట్టి మిగిలిన 2/3 ని 12 రోజుల్లో పూర్తి చేస్తాడు.

మనుషుల-రోజులు. 12 మంది 15 రోజులు తీసుకుంటారు, అంటే 180 మనిషి-రోజులు. 9 మందితో పనికి 180/9 = 20 రోజులు.

వేతనాల పంపిణీ. ఇద్దరు పనివారు చేసిన పని నిష్పత్తి 3 : 2 లో 4,500 పంచుకుంటే, వాటాలు 2,700, 1,800.

చిట్కా. మొత్తం పనిని రోజుల క.సా.గు. గా తీసుకోండి. 12, 15 రోజులకు 60 యూనిట్లు తీసుకోండి. A రోజుకు 5, B 4, కలిసి 9, కాబట్టి పనికి 60/9 రోజులు.

15. వేగం, దూరం, కాలం

ప్రమాణాల మార్పిడి. కి.మీ./గం. ను మీ./సె. కు మార్చడానికి 5/18 తో గుణించండి. కాబట్టి 54 కి.మీ./గం. = 15 మీ./సె., 90 కి.మీ./గం. = 25 మీ./సె. వ్యతిరేక దిశకు 18/5 తో గుణించండి.

రైళ్లు, స్తంభాలు. 150 మీ. పొడవైన రైలు ఒక స్తంభాన్ని 10 సెకన్లలో దాటుతుంది, కాబట్టి దాని వేగం 15 మీ./సె. 250 మీ. పొడవైన ప్లాట్‌ఫామ్‌ను దాటడానికి 150 + 250 = 400 మీ. ప్రయాణించాలి, దానికి 400/15 = 26 2/3 సెకన్లు.

రెండు రైళ్లు. 100 మీ., 110 మీ. పొడవున్న రెండు రైళ్లు 72 కి.మీ./గం., 54 కి.మీ./గం. వేగంతో వెళ్తున్నాయి.

• వ్యతిరేక దిశల్లో: సాపేక్ష వేగం 72 + 54 = 126 కి.మీ./గం., అంటే 35 మీ./సె. దాటవలసిన దూరం 210 మీ., కాబట్టి కాలం 210/35 = 6 సెకన్లు.
• ఒకే దిశలో: సాపేక్ష వేగం 72 − 54 = 18 కి.మీ./గం., అంటే 5 మీ./సె. కాలం 210/5 = 42 సెకన్లు.

సగటు వేగం. ఒకే దూరాన్ని 60 కి.మీ./గం., 40 కి.మీ./గం. వేగాలతో ప్రయాణిస్తే సగటు వేగం హార్మోనిక్ మధ్యమం: 2 × 60 × 40 / (60 + 40) = 48 కి.మీ./గం., 50 కాదు.

పడవలు, ప్రవాహాలు. నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం 12 కి.మీ./గం., ప్రవాహం 3 కి.మీ./గం. దిగువకు వేగం 15 కి.మీ./గం., ఎగువకు 9 కి.మీ./గం. 30 కి.మీ. ప్రయాణానికి దిగువకు 2 గంటలు, ఎగువకు 3 1/3 గంటలు. దిగువ, ఎగువ వేగాలు 15, 9 అయితే, నిశ్చల నీటిలో పడవ వేగం (15 + 9)/2 = 12, ప్రవాహ వేగం (15 − 9)/2 = 3.

కలుసుకోవడం. ఇద్దరు 300 కి.మీ. దూరంలో బయలుదేరి ఒకరివైపు ఒకరు 40, 60 కి.మీ./గం. వేగంతో వెళ్తారు. వారు 300/100 = 3 గంటల తర్వాత కలుస్తారు.

అందుకోవడం. 20 కి.మీ. ముందు ఉన్న కారు 40 కి.మీ./గం. వేగంతో వెళ్తోంది, వెనక వచ్చే కారు 60 కి.మీ./గం. వేగంతో వెళ్తోంది. అంతరం గంటకు 20 కి.మీ. తగ్గుతుంది, కాబట్టి రెండవ కారు 1 గంటలో అందుకుంటుంది.

చిట్కా. రైళ్ల విషయంలో రెండు వస్తువులు ఒకదాన్నొకటి దాటేటప్పుడు ఎప్పుడూ పొడవులను కూడండి, వ్యక్తిగత వేగాలు కాకుండా సాపేక్ష వేగాన్ని వాడండి.

16. సగటులు

ప్రాథమికం. సగటు = మొత్తం / సంఖ్య. కాబట్టి మొత్తం = సగటు × సంఖ్య.

ఒక అంశాన్ని తొలగించడం. ఐదు సంఖ్యల సగటు 24, కాబట్టి మొత్తం 120. ఒకటి తొలగిస్తే మిగిలిన నాలుగింటి సగటు 22, కాబట్టి వాటి మొత్తం 88. తొలగించిన సంఖ్య 120 − 88 = 32.

ఉపాధ్యాయుడిని చేర్చడం. 30 మంది విద్యార్థుల సగటు వయసు 14 ఏళ్లు, కాబట్టి వయసుల మొత్తం 420. ఉపాధ్యాయుడితో కలిపి 31 మంది సగటు 15, కాబట్టి మొత్తం 465. ఉపాధ్యాయుడి వయసు 465 − 420 = 45 ఏళ్లు.

భారిత సగటు. 30 మంది విద్యార్థుల తరగతి సగటు 40 మార్కులు, మరొక 20 మంది తరగతి సగటు 55. కలిపిన సగటు (1,200 + 1,100)/50 = 46.

శ్రేణులు. మొదటి n సహజ సంఖ్యల మొత్తం n(n + 1)/2. 100 కు అది 5,050. 1 నుంచి 50 సగటు 25.5.

ఇన్నింగ్స్. ఒక బ్యాటర్ 11 ఇన్నింగ్స్ తర్వాత సగటు 30. 12వ ఇన్నింగ్స్‌లో 63 చేస్తే కొత్త సగటు (330 + 63)/12 = 32.75.

వరుస సంఖ్యలు. 11 నుంచి 19 వరకు ఐదు వరుస బేసి సంఖ్యల సగటు మధ్యది, 15.

17. లెక్కల షార్ట్‌కట్లు

• 5 తో అంతమయ్యే వర్గాలు. ముందున్న అంకెను దాని తర్వాతి సంఖ్యతో గుణించి 25 రాయండి. 65 కు: 6 × 7 = 42, కాబట్టి 4,225.
• 100 సమీపంలో. 97 × 94: లోటులు 3, 6. అడ్డంగా తీసివేయండి: 97 − 6 = 91. లోటులను గుణించండి: 3 × 6 = 18. సమాధానం 9,118.
• 50 సమీపంలో. 48 వర్గం = (50 − 2) వర్గం = 2,500 − 200 + 4 = 2,304.
• 100 పైన 5 తో అంతమయ్యే వర్గాలు. 105 వర్గం 11,025.
• 11 తో గుణింపు. 63 × 11 కు 6, (6 + 3), 3 రాయండి, 693 వస్తుంది. 87 × 11 కు 8, (8 + 7) = 15, 7 క్యారీతో 957.
• 5 తో గుణింపు. సగం చేసి 10 తో గుణించండి: 48 × 5 = 240.
• 25 తో గుణింపు. 4 తో భాగించి 100 తో గుణించండి: 36 × 25 = 900.
• భిన్నాల నుంచి శాతాలు. 1/8 = 12.5%, 1/6 = 16.67%, 1/7 = 14.29%, 1/9 = 11.11%.

18. పద్నాలుగు రోజుల ప్రణాళిక

మొదటి ఏడు రోజులు రోజుకు రెండు అంశాలు చదివి, ప్రతిదానికీ మూడు పరిష్కరించిన ఉదాహరణలను జ్ఞాపకం నుంచి రాయండి. ఎనిమిది నుంచి పది రోజులు, స్టాప్‌వాచ్‌తో అంశాలపై ఇరవై ప్రశ్నల మిశ్రమ సెట్లు చేయండి. పదకొండు నుంచి పదమూడు రోజులు, సమయపాలనతో పూర్తి పేపర్ రాసి, ప్రతి తప్పు జవాబును సరైన పద్ధతితో పక్కన రాయండి. పద్నాలుగో రోజు షార్ట్‌కట్ జాబితాలను మాత్రమే పునశ్చరణ చేయండి. ఒక నిమిషం తర్వాత ప్రశ్నను వదిలేసి తర్వాత తిరిగి రండి; సులువైన ప్రశ్నల్లో వేగమే మార్కులు తెస్తుంది.

పరీక్షకు ముఖ్య వాస్తవాలు

• శ్రేణులు: భేదం, నిష్పత్తి, వర్గాలు, ఘనాలు, ఆపై రెండవ భేదాలు పరిశీలించండి.
• అక్షర స్థానాలు: A = 1 నుంచి Z = 26; ప్రతిబింబ అక్షరాల మొత్తం 27; లంగర్లు E, J, O, T, Y = 5, 10, 15, 20, 25.
• గడియార కోణం = |30H − 5.5M|; ముల్లులు రోజుకు 22 సార్లు కలుస్తాయి; 1 శతాబ్దం = 5 బేసి రోజులు.
• సమాన అమ్మకపు ధరల్లో ఒకే శాతం లాభం, నష్టం వస్తే ఎల్లప్పుడూ నష్టం.
• వరుస మార్పుల్లో నికర మార్పు మొత్తం కాదు.
• 2 ఏళ్లకు CI − SI = P × (R/100) వర్గం.
• ఇద్దరు పనివారు: ab/(a + b) రోజులు. సమాన దూరాలకు సగటు వేగం: 2xy/(x + y).
• కి.మీ./గం. నుంచి మీ./సె.: 5/18 తో గుణించండి.

10 ప్రాక్టీస్ ప్రశ్నలు

1. తర్వాత ఏది వస్తుంది: 2, 6, 12, 20, 30, ? a) 36 b) 40 c) 42 d) 56 జవాబు: c. ప్రతి పదం n × (n + 1), కాబట్టి తర్వాతిది 6 × 7 = 42.

2. CAT ను DBU అని కోడ్ చేస్తే, DOG కోడ్: a) EPH b) ENF c) CNF d) EOH జవాబు: a. ప్రతి అక్షరం ఒక అడుగు ముందుకు కదిలింది.

3. ఒక వ్యక్తి 12 కి.మీ. తూర్పుకు, తర్వాత 5 కి.మీ. ఉత్తరానికి నడుస్తాడు. ప్రారంభం నుంచి అతని దూరం ఎంత? a) 7 కి.మీ. b) 13 కి.మీ. c) 15 కి.మీ. d) 17 కి.మీ. జవాబు: b. 5-12-13 త్రికం.

4. 40 మంది ఉన్న తరగతిలో ఒక విద్యార్థి పై నుంచి 12వ వాడు. కింది నుంచి అతని ర్యాంకు ఎంత? a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 జవాబు: c. 40 − 12 + 1 = 29.

5. అన్ని A లు B లే, ఏ B కూడా C కాదు. ఏ నిర్ధారణ అనుసరిస్తుంది? a) అన్ని A లు C లే b) ఏ A కూడా C కాదు c) కొన్ని A లు C లే d) కొన్ని C లు A లే జవాబు: b. A, B లో లోపల ఉంది, B కి C తో అతివ్యాప్తి లేదు.

6. 3:40 వద్ద గడియారపు ముల్లుల మధ్య కోణం ఎంత? a) 120 డిగ్రీలు b) 130 డిగ్రీలు c) 140 డిగ్రీలు d) 150 డిగ్రీలు జవాబు: b. |30 × 3 − 5.5 × 40| = |90 − 220| = 130.

7. ఒక ధర 20% పెరిగి తర్వాత 20% తగ్గింది. నికర మార్పు: a) మార్పు లేదు b) 2% తగ్గుదల c) 4% తగ్గుదల d) 4% పెరుగుదల జవాబు: c. 100 అవుతుంది 120, తర్వాత 96.

8. 10,000 పై 10% చొప్పున 2 ఏళ్లకు చక్రవడ్డీ: a) 2,000 b) 2,100 c) 2,200 d) 2,310 జవాబు: b. మొత్తం 12,100.

9. A ఒక పనిని 12 రోజుల్లో, B 15 రోజుల్లో చేయగలరు. కలిసి తీసుకునే సమయం: a) 6 2/3 రోజులు b) 7 రోజులు c) 13 1/2 రోజులు d) 27 రోజులు జవాబు: a. 12 × 15/27 = 20/3.

10. ఒక కారు ఒకే దూరాన్ని 60 కి.మీ./గం., 40 కి.మీ./గం. వేగాలతో వెళ్తుంది. సగటు వేగం: a) 45 కి.మీ./గం. b) 48 కి.మీ./గం. c) 50 కి.మీ./గం. d) 52 కి.మీ./గం. జవాబు: b. 2 × 60 × 40/100 = 48.

తరచుగా అడిగే ప్రశ్నలు

ఏ అంశాలను ముందు చేయాలి? శాతాలు, నిష్పత్తి, సగటులు, శ్రేణులతో మొదలుపెట్టండి, ఎందుకంటే వాటి పద్ధతులు లాభనష్టాలు, వడ్డీ, పని-కాలానికి ఉపయోగపడతాయి.

రీజనింగ్, అంకగణితం నుంచి ఎన్ని ప్రశ్నలు వస్తాయి? అది పోస్టు, నోటిఫికేషన్‌ను బట్టి ఉంటుంది. ప్రస్తుత విధానం, మార్కుల కోసం అధికారిక నోటిఫికేషన్ చూడండి.

ఎక్కాలు, వర్గాలు నేర్చుకోవాలా? అవును. 30 వరకు వర్గాలు, 10 వరకు ఘనాలు, 20 వరకు ఎక్కాలు ఏ ఒక్క షార్ట్‌కట్ కన్నా ఎక్కువ సమయం ఆదా చేస్తాయి.

ఒకే శాతం లాభం, నష్టం ఎందుకు నష్టాన్ని ఇస్తాయి? అమ్మిన ధర సమానంగా ఉన్నప్పుడు నష్టం శాతం పెద్ద కొన్న ధరపై వర్తిస్తుంది కాబట్టి.

తెలివితక్కువ పొరపాట్లను ఎలా నివారించాలి? ప్రతి సంఖ్య పక్కన ప్రమాణం రాయండి, గుర్తు పెట్టే ముందు ప్రశ్న చివరి వాక్యాన్ని మళ్లీ చదవండి, ముందే జవాబును అంచనా వేసి అసంబద్ధ ఎంపికను తిరస్కరించండి.

ఊహించి గుర్తు పెట్టడం సరైనదేనా? ఎంపికలను తొలగించిన తర్వాత మాత్రమే. మీ నోటిఫికేషన్‌లోని మార్కింగ్ పథకం చదవండి, విధానం కోసం సమయ నిర్వహణ గైడ్ చూడండి.

గ్రూప్-4, పోలీస్ పేపర్లకు ఇవే పద్ధతులు పనిచేస్తాయా? పద్ధతులు ఒకటే; కఠినత, ప్రశ్నల సంఖ్య పోస్టు, సంవత్సరాన్ని బట్టి మారుతాయి. తాజా నోటిఫికేషన్ చూడండి.

సంబంధిత వ్యాసాలు

• AP పోలీస్ కానిస్టేబుల్: పరీక్ష, ఎంపిక మార్గదర్శిని
• AP పోలీస్ SI మార్గదర్శిని
• AP సచివాలయం సెక్రటరీ మార్గదర్శిని
• APPSC గ్రూప్-4 మార్గదర్శిని
• నెగటివ్ మార్కింగ్, సమయ నిర్వహణ, మాక్ వ్యూహం
• ఈ వ్యాసం ఆంగ్ల వెర్షన్

pareeksha.in లో ప్రాక్టీస్ చేయండి

షార్ట్‌కట్లు ఆటోమేటిక్ అయినప్పుడే ఉపయోగపడతాయి. వాటిని pareeksha.in లో సమయపాలనతో కూడిన సెట్లు, మాక్ పేపర్లలో సాధన చేయండి; ప్లాట్‌ఫామ్‌లో 10 Lakh+ MCQs, 100+ Exams, 5,000+ Full-Length Mocks ఉన్నాయి. మాక్ టెస్ట్ తెరిచి రీజనింగ్, అంకగణిత విభాగాలతో మొదలుపెట్టండి. మీ పోస్టుకు విధానం, సిలబస్‌ను తాజా అధికారిక నోటిఫికేషన్‌లో నిర్ధారించుకోండి.

మూలాలు మరియు ధృవీకరణ

ఈ పునశ్చరణ కోసం తెరిచిన పేజీలు: ఏవీ లేవు. ఈ వ్యాసం ప్రామాణిక రీజనింగ్, అంకగణిత పద్ధతులపై ఆధారపడింది; ఏ వెబ్‌సైట్‌నూ మూలంగా వాడలేదు.

సంఖ్యలను ఎలా తనిఖీ చేశాం: ఈ వ్యాసంలోని ప్రతి పరిష్కరించిన ఉదాహరణ, ప్రతి ప్రాక్టీస్ జవాబు ఒక పైథాన్ స్క్రిప్ట్‌తో మళ్లీ లెక్కించబడ్డాయి. ఆ స్క్రిప్ట్ ఖచ్చితమైన భిన్నాలు, నడకలు, క్యాలెండర్లకు నేరుగా అనుకరణ, సిలాజిజం తీర్పులకు మూడు సమూహాల అన్ని అమరికల సమగ్ర పరిశీలన వాడుతుంది. వచనం రాయడానికి ముందే స్క్రిప్ట్ అన్ని తనిఖీలను దాటింది; క్యాలెండర్ రోజులను (26 జనవరి 1950, 15 ఆగస్టు 1947, 1 జనవరి 2000, 2 జూన్ 2014) పైథాన్ తేదీ లైబ్రరీతో సరిచూశాం.

ధృవీకరించనివి: ప్రతి AP పోస్టుకు రీజనింగ్, అంకగణిత ప్రశ్నల ఖచ్చితమైన సంఖ్య, వాటి మార్కులు, సిలబస్. ఇవి ప్రతి నోటిఫికేషన్‌తో మారతాయి, కాబట్టి వచనం తాజా అధికారిక నోటిఫికేషన్ చూడమని మాత్రమే చెబుతుంది.