Technique 14 of 21
Fractions to decimals and recurring decimals
भिन्न से दशमलव और आवर्ती दशमलव
Know 1/2 to 1/20 as decimals, spot the cyclic patterns of 1/7, 1/13, 1/19, and convert recurring decimals to fractions.
When to use it · कब उपयोग करें
Percentage, ratio and simplification questions where a fraction like 3/7 or 5/13 appears, and "0.333…" or "0.4̄5̄" conversions.
प्रतिशत, अनुपात और सरलीकरण के ऐसे प्रश्न जिनमें 3/7 या 5/13 जैसी भिन्न आती है, और "0.333…" या "0.4̄5̄" के रूपांतरण।
The method · विधि
The 142857 family (sevenths) · 142857 परिवार (सातवें)
1/7 = 0.142857 repeating. Every other seventh uses the same six digits in the same cycle, starting at a different point: 2/7 = 0.285714, 3/7 = 0.428571, 4/7 = 0.571428, 5/7 = 0.714285, 6/7 = 0.857142. Learn 1/7 and the order of the cycle.
1/7 = 0.142857 आवर्ती। बाकी हर सातवाँ इन्हीं छह अंकों को उसी चक्र में अलग बिंदु से शुरू करके लेता है: 2/7 = 0.285714, 3/7 = 0.428571, 4/7 = 0.571428, 5/7 = 0.714285, 6/7 = 0.857142। 1/7 और चक्र का क्रम याद रखें।
Recurring decimal to fraction · आवर्ती दशमलव से भिन्न
Pure repeating, 0.ab̄ with block length k: block ÷ (10^k − 1). 0.3̄ = 3/9 = 1/3; 0.4̄5̄ = 45/99 = 5/11; 0.1̄4̄2̄8̄5̄7̄ = 142857/999999 = 1/7. With a non-repeating part: (whole digits − non-repeating digits) ÷ (9s then 0s). 0.16̄ = (16 − 1)/90 = 1/6.
शुद्ध आवर्ती में खंड-लंबाई k हो तो: खंड ÷ (10^k − 1)। 0.3̄ = 3/9 = 1/3; 0.4̄5̄ = 45/99 = 5/11; 0.1̄4̄2̄8̄5̄7̄ = 142857/999999 = 1/7। अनावर्ती भाग हो तो: (सभी अंक − अनावर्ती अंक) ÷ (9 फिर 0)। 0.16̄ = (16 − 1)/90 = 1/6।
1/19 by doubling (Ekādhikena) · 1/19 दुगना करके (एकाधिकेन)
Start from the right with 1. Each new digit to the left is twice the previous digit plus any carry; write the units, carry the tens. The 18 digits, read left to right, are 052631578947368421.
दाएँ से 1 से शुरू करें। बाईं ओर हर नया अंक पिछले अंक का दुगना और हासिल है; इकाई लिखें, दहाई हासिल दें। बाएँ से दाएँ पढ़ने पर 18 अंक हैं 052631578947368421।
Worked examples · हल किए उदाहरण
- 1/7 = 0.142857 and the cycle order is 1 4 2 8 5 7
- 3/7 starts the cycle at 4: 0.428571
- 0.4̄5̄ = 45/99
- Cancel by 9 → 5/11
- 0.16̄: (16 − 1)/90 = 15/90
- = 1/6
- 1/13 = 0.076923 repeating
- 2/13 = 0.153846, 3/13 = 0.230769 (same two cycles)
Why it works · यह क्यों काम करता है
x = 0.ab̄ (block of k digits) gives 10^k·x − x = block, so x = block/(10^k − 1). 1/7 repeats after six digits because 10^6 ≡ 1 (mod 7), the same reason 1/19 has an 18-digit period.
x = 0.ab̄ (k अंकों का खंड) से 10^k·x − x = खंड, अतः x = खंड/(10^k − 1)। 1/7 छह अंकों के बाद दोहराती है क्योंकि 10^6 ≡ 1 (mod 7); 1/19 में 18 अंकों का आवर्त इसी कारण है।
A bar over only part of the digits means a non-repeating prefix. 0.16̄ is 0.1666…, not 0.1616….
अंकों के केवल कुछ भाग के ऊपर रेखा हो तो आगे अनावर्ती भाग होता है। 0.16̄ का अर्थ 0.1666… है, 0.1616… नहीं।
Learn only 1/7, 1/11, 1/13 and perhaps 1/19 as cycles. For other fractions, divide.
चक्र के रूप में केवल 1/7, 1/11, 1/13 और शायद 1/19 याद करें। अन्य भिन्नों के लिए भाग करें।
Practise this technique Practice questions are part of the Pro Pass; a few samples are free.
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