Technique 12 of 21
Cubes and cube roots
घन और घनमूल
Cube any 2-digit number in one line, and find the cube root of a perfect cube up to 6 digits in seconds.
When to use it · कब उपयोग करें
Questions with perfect cubes: ∛226981, ∛12167, 23³, or cube-based simplifications in SSC Tier-I.
पूर्ण घन वाले प्रश्न: ∛226981, ∛12167, 23³, या SSC टियर-I में घन-आधारित सरलीकरण।
The method · विधि
Memorise cubes 1 to 10 · 1 से 10 तक के घन याद करें
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000. Their last digits map one-to-one back to the root: 1→1, 8→2, 7→3, 4→4, 5→5, 6→6, 3→7, 2→8, 9→9, 0→0.
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000। इनके अंतिम अंक मूल से एक-एक संबंध रखते हैं: 1→1, 8→2, 7→3, 4→4, 5→5, 6→6, 3→7, 2→8, 9→9, 0→0।
Cube root of a perfect cube · पूर्ण घन का घनमूल
Cut off the last three digits. The last digit of the cube gives the units digit of the root. The remaining left part lies between two cubes; the smaller cube's root is the tens digit. ∛226981: ends in 1 → units 1; 226 lies between 216 (6³) and 343 → tens 6 → 61.
अंतिम तीन अंक काट दें। घन का अंतिम अंक मूल का इकाई अंक देता है। बचा बायाँ भाग दो घनों के बीच आता है; छोटे घन का मूल दहाई अंक है। ∛226981: 1 पर समाप्त → इकाई 1; 226, 216 (6³) और 343 के बीच → दहाई 6 → 61।
Cube of a two-digit number (ratio method) · दो अंकों का घन (अनुपात विधि)
For 23³ with a = 2, b = 3: first row a³, a²b, ab², b³ = 8, 12, 18, 27 (a geometric chain with ratio b/a). Second row: twice the middle two, 24 and 36, placed under the middle terms. Add the columns: 8 | 12 + 24 | 18 + 36 | 27 → 8 | 36 | 54 | 27, carry from right: 12167.
a = 2, b = 3 के साथ 23³ के लिए: पहली पंक्ति a³, a²b, ab², b³ = 8, 12, 18, 27 (अनुपात b/a वाली श्रेणी)। दूसरी पंक्ति: बीच के दोनों का दुगना, 24 और 36, बीच के पदों के नीचे। स्तंभ जोड़ें: 8 | 12 + 24 | 18 + 36 | 27 → 8 | 36 | 54 | 27, दाएँ से हासिल देकर: 12167।
Worked examples · हल किए उदाहरण
- Row 1: 8, 12, 18, 27; row 2: 24, 36
- Columns: 8 | 36 | 54 | 27
- Carries: 7; 54 + 2 = 56 → 6 c5; 36 + 5 = 41 → 1 c4; 8 + 4 = 12
- = 12167
- Row 1: 1, 4, 16, 64; row 2: 8, 32
- Columns: 1 | 12 | 48 | 64
- Carries: 4 c6; 48 + 6 = 54 → 4 c5; 12 + 5 = 17 → 7 c1; 1 + 1 = 2
- = 2744
- (10 + 2)³ = 1000 + 3 × 100 × 2 + 3 × 10 × 4 + 8
- 1000 + 600 + 120 + 8
- = 1728
- 65² = 4225
- 4225 × 65 = 4225 × 60 + 4225 × 5 = 253500 + 21125
- = 274625
- 61² = 3721
- 3721 × 61 = 223260 + 3721
- = 226981
Why it works · यह क्यों काम करता है
(10a + b)³ = 1000a³ + 100·3a²b + 10·3ab² + b³. The ratio method writes the 3a²b as a²b + 2a²b, which keeps every term in a simple geometric chain a³ : a²b : ab² : b³.
(10a + b)³ = 1000a³ + 100·3a²b + 10·3ab² + b³। अनुपात विधि 3a²b को a²b + 2a²b लिखती है, जिससे सब पद a³ : a²b : ab² : b³ की सरल श्रेणी में रहते हैं।
The root method only works when the number is already known to be a perfect cube. Check by last digit first: a perfect cube can end in any digit, but its digit sum mod 9 must be 0, 1 or 8.
मूल विधि तभी चलती है जब संख्या पहले से पूर्ण घन मानी जाए। पहले अंतिम अंक और अंक-योग देखें: पूर्ण घन का अंक-योग (mod 9) 0, 1 या 8 ही होता है।
Cube roots beyond 6 digits and non-perfect cubes need estimation; use options elimination in MCQs.
6 अंकों से बड़े और अपूर्ण घनों के लिए अनुमान लगाना पड़ता है; MCQ में विकल्प हटाने की विधि अपनाएँ।
Practise this technique Practice questions are part of the Pro Pass; a few samples are free.
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