Technique 18 of 21
Square roots of perfect squares
पूर्ण वर्गों के वर्गमूल
Find √ of a perfect square up to 6 digits by reading its last digit and its first pair.
When to use it · कब उपयोग करें
Simplification questions with √1764, √5329, √9604 and similar perfect squares.
√1764, √5329, √9604 जैसे पूर्ण वर्गों वाले सरलीकरण प्रश्न।
The method · विधि
Last digit gives two candidates · अंतिम अंक से दो विकल्प
Last digit of the square → possible last digits of the root: 1 → 1 or 9; 4 → 2 or 8; 9 → 3 or 7; 6 → 4 or 6; 5 → 5; 0 → 0.
वर्ग का अंतिम अंक → मूल के संभावित अंतिम अंक: 1 → 1 या 9; 4 → 2 या 8; 9 → 3 या 7; 6 → 4 या 6; 5 → 5; 0 → 0।
First pair gives the tens digit · पहली जोड़ी से दहाई अंक
Take the digits left of the last two, as a number P. The tens digit is the largest n with n² ≤ P. For 2209: P = 22, 4² = 16 ≤ 22 < 25 → tens digit 4.
अंतिम दो अंकों के बाईं ओर की संख्या को P मानें। दहाई अंक वह सबसे बड़ा n है जिसके लिए n² ≤ P हो। 2209 के लिए: P = 22, 4² = 16 ≤ 22 < 25 → दहाई अंक 4।
Choose between the two candidates · दोनों में से चुनें
Compare P with n × (n + 1). If P is larger, take the bigger last-digit candidate; if smaller, take the smaller. 2209: 22 > 4 × 5 = 20 → pick 7 → 47.
P की तुलना n × (n + 1) से करें। P बड़ा हो तो बड़ा अंतिम अंक चुनें; छोटा हो तो छोटा। 2209: 22 > 4 × 5 = 20 → 7 चुनें → 47।
Worked examples · हल किए उदाहरण
- √2209: P = 22, tens 4
- Ends in 9 → 3 or 7; 22 > 20 → 7
- = 47
- √1764: P = 17, tens 4
- Ends in 4 → 2 or 8; 17 < 20 → 2
- = 42
- √5329: P = 53, tens 7
- Ends in 9 → 3 or 7; 53 < 7 × 8 = 56 → 3
- = 73
- √9604: P = 96, tens 9
- Ends in 4 → 2 or 8; 96 > 9 × 10 = 90 → 8
- = 98
- √15625: ends in 25 → root ends in 5
- Left part 156: 12² = 144 ≤ 156 < 169 → 12
- = 125
Why it works · यह क्यों काम करता है
Last digit comes from the unit digit of squares. The tens digit comes from (10n + u)² ≈ 100n², so n² ≤ P. The comparison with n(n + 1) works because (10n + 5)² = 100·n(n + 1) + 25 is the dividing line between u below 5 and u above 5.
अंतिम अंक वर्गों के इकाई अंक से आता है। दहाई अंक (10n + u)² ≈ 100n² से आता है, इसलिए n² ≤ P। n(n + 1) से तुलना इसलिए चलती है कि (10n + 5)² = 100·n(n + 1) + 25 वह सीमा-रेखा है जो u < 5 और u > 5 को अलग करती है।
This method is only for perfect squares. First check the last digit (a square cannot end in 2, 3, 7 or 8) and the digit root (0, 1, 4, 7).
यह विधि केवल पूर्ण वर्गों के लिए है। पहले अंतिम अंक (वर्ग 2, 3, 7 या 8 पर समाप्त नहीं होता) और अंक-मूल (0, 1, 4, 7) जाँचें।
For non-perfect squares keep the common values: √2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732, √5 ≈ 2.236, √6 ≈ 2.449, √7 ≈ 2.646.
अपूर्ण वर्गों के लिए सामान्य मान याद रखें: √2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732, √5 ≈ 2.236, √6 ≈ 2.449, √7 ≈ 2.646।
Practise this technique Practice questions are part of the Pro Pass; a few samples are free.
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