Technique 19 of 21
Simultaneous equations in one line
दो चर वाले समीकरण एक पंक्ति में
Solve two equations in two unknowns using crosswise multiplication, add-and-subtract, or proportion.
When to use it · कब उपयोग करें
Two linear equations: age, speed and mixture problems, or direct equation questions.
दो रैखिक समीकरण: आयु, गति और मिश्रण प्रश्न, या सीधे समीकरण प्रश्न।
The method · विधि
Crosswise formula · तिरछा सूत्र
For a₁x + b₁y = c₁ and a₂x + b₂y = c₂, with D = a₁b₂ − a₂b₁: x = (c₁b₂ − c₂b₁)/D and y = (a₁c₂ − a₂c₁)/D. Cross, multiply, subtract. 3x + 2y = 19 and 5x + 4y = 33: D = 3·4 − 5·2 = 2; x = (19·4 − 33·2)/2 = 5; y = (3·33 − 5·19)/2 = 2.
a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के लिए, D = a₁b₂ − a₂b₁ लेकर: x = (c₁b₂ − c₂b₁)/D और y = (a₁c₂ − a₂c₁)/D। तिरछा गुणा करें, घटाएँ। 3x + 2y = 19 और 5x + 4y = 33: D = 3·4 − 5·2 = 2; x = (19·4 − 33·2)/2 = 5; y = (3·33 − 5·19)/2 = 2।
Add and subtract when coefficients are swapped · गुणांक अदल-बदल हों तो जोड़ और घटाव
45x − 23y = 113 and 23x − 45y = 91. Add: 68x − 68y = 204, so x − y = 3. Subtract: 22x + 22y = 22, so x + y = 1. Hence x = 2, y = −1.
45x − 23y = 113 और 23x − 45y = 91। जोड़ें: 68x − 68y = 204, अतः x − y = 3। घटाएँ: 22x + 22y = 22, अतः x + y = 1। इसलिए x = 2, y = −1।
Proportion: one variable is zero · अनुपात: एक चर शून्य
If the coefficients of y are in the same ratio as the constants, then x = 0. 2x + 3y = 12 and 5x + 2y = 8: the y-coefficients 3 : 2 and the constants 12 : 8 are both 3 : 2, so x = 0 and y = 4.
यदि y के गुणांकों का अनुपात स्थिरांकों के अनुपात के बराबर हो, तो x = 0। 2x + 3y = 12 और 5x + 2y = 8: y के गुणांक 3 : 2 और स्थिरांक 12 : 8 दोनों 3 : 2 हैं, अतः x = 0 और y = 4।
Worked examples · हल किए उदाहरण
- x = (c₁b₂ − c₂b₁)/D = (76 − 66)/2
- x = 5; then y = 2
- Check: 3·5 + 2·2 = 19 ✓
- y = (a₁c₂ − a₂c₁)/D = (99 − 95)/2
- y = 2
- x − y = 3 and x + y = 1
- Add: 2x = 4, so x = 2; then y = −1
Why it works · यह क्यों काम करता है
These are Cramer's rule written in words: D is the determinant, the numerators are the determinants with a column replaced by the constants. The "ratio" case is when the numerator for x becomes zero.
ये कैमर नियम को शब्दों में लिखा रूप हैं: D सारणिक है, अंश वे सारणिक हैं जिनमें एक स्तंभ स्थिरांकों से बदल दिया गया है। "अनुपात" की स्थिति में x का अंश शून्य हो जाता है।
Sign errors are the main risk: copy each coefficient with its sign (−23y has b = −23). If D = 0 the lines are parallel or coincide; there is no unique solution.
मुख्य जोखिम चिह्न की ग़लती है: हर गुणांक चिह्न सहित लिखें (−23y में b = −23)। यदि D = 0 हो तो रेखाएँ समांतर हैं या संपाती; अद्वितीय हल नहीं होता।
For small coefficients (x + y = 10, x − y = 2) ordinary elimination is faster.
छोटे गुणांकों (x + y = 10, x − y = 2) के लिए सामान्य विलोपन तेज़ है।
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