Technique 9 of 21
Squares of numbers ending in 5
5 पर समाप्त होने वाली संख्याओं के वर्ग
Square any number ending in 5 in two seconds, and extend the idea to products like 43 × 47.
When to use it · कब उपयोग करें
Any square of a number ending in 5 (15², 65², 115², 7.5²), and any product where the tens parts are equal and the unit digits add up to 10.
5 पर समाप्त होने वाली संख्या का कोई भी वर्ग (15², 65², 115², 7.5²), तथा ऐसा कोई गुणनफल जिसमें दहाई वाले भाग समान हों और इकाई अंकों का योग 10 हो।
The method · विधि
Split off the 5 · 5 को अलग करें
Take the digits before the final 5. Call that number n.
अंतिम 5 से पहले के अंक लें। उस संख्या को n कहें।
Multiply n by one more than n · n को (n + 1) से गुणा करें
Compute n × (n + 1). This is the left part of the answer.
n × (n + 1) निकालें। यही उत्तर का बायाँ भाग है।
Attach 25 · 25 जोड़ें
Write 25 after it. For 35²: n = 3, 3 × 4 = 12, so the answer is 1225.
उसके बाद 25 लिखें। 35² के लिए: n = 3, 3 × 4 = 12, इसलिए उत्तर 1225।
The extension: equal tens, units sum to 10 · विस्तार: दहाई समान, इकाई का योग 10
For 43 × 47 the tens part is 4 in both and 3 + 7 = 10. Left part: 4 × (4 + 1) = 20. Right part: 3 × 7 = 21 (always write two digits). Answer 2021.
43 × 47 में दोनों में दहाई भाग 4 है और 3 + 7 = 10। बायाँ भाग: 4 × (4 + 1) = 20। दायाँ भाग: 3 × 7 = 21 (हमेशा दो अंक लिखें)। उत्तर 2021।
Worked examples · हल किए उदाहरण
- n = 3
- 3 × 4 = 12
- Attach 25 → 1225
- n = 8
- 8 × 9 = 72
- Attach 25 → 7225
- n = 14
- 14 × 15 = 210
- Attach 25 → 21025
- n = 20
- 20 × 21 = 420
- Attach 25 → 42025
- Tens 4, units 3 + 7 = 10
- 4 × 5 = 20
- 3 × 7 = 21
- Answer 2021
- Tens 8, units 4 + 6 = 10
- 8 × 9 = 72
- 4 × 6 = 24
- Answer 7224
- Tens 9, units 1 + 9 = 10
- 9 × 10 = 90
- 1 × 9 = 09 (two digits)
- Answer 9009
- Prefix 11, units 7 + 3 = 10
- 11 × 12 = 132
- 7 × 3 = 21
- Answer 13221
- Treat as 75² then place the decimal
- 7 × 8 = 56, attach 25 → 5625
- Two decimal places in all → 56.25
Why it works · यह क्यों काम करता है
(10n + 5)² = 100n² + 100n + 25 = 100·n(n + 1) + 25. For the extension, (10n + a)(10n + b) with a + b = 10 equals 100·n(n + 1) + ab, because the cross terms add up to 10n(a + b) = 100n.
(10n + 5)² = 100n² + 100n + 25 = 100·n(n + 1) + 25। विस्तार में, a + b = 10 होने पर (10n + a)(10n + b) = 100·n(n + 1) + ab, क्योंकि बीच के पदों का योग 10n(a + b) = 100n होता है।
The extension works only when the tens parts are identical and the unit digits add to exactly 10. 43 × 48 does not qualify. Also always write the right part with two digits (09, not 9).
विस्तार तभी चलता है जब दहाई वाले भाग बिल्कुल समान हों और इकाई अंकों का योग ठीक 10 हो। 43 × 48 पर यह लागू नहीं होता। दायाँ भाग हमेशा दो अंकों में लिखें (9 नहीं, 09)।
It is already about as fast as a calculator for 2- and 3-digit numbers. For 5-digit numbers ending in 5 it is still fine, but the n × (n + 1) step needs care.
2 और 3 अंकों की संख्याओं के लिए यह कैलकुलेटर जितना तेज़ है। 5 अंकों की संख्याओं के लिए भी चलता है, पर n × (n + 1) में सावधानी चाहिए।
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