Technique 10 of 21
Squares near a base (Yāvadūnam)
आधार के पास वर्ग (यावदूनम्)
Square 96, 103, 994 or 47 using only the distance from 100, 1000 or 50.
When to use it · कब उपयोग करें
The number is within about 15 of 10, 100, 1000, or of a working base like 50 or 200.
संख्या 10, 100, 1000, या 50 या 200 जैसे कार्य-आधार के लगभग 15 के भीतर हो।
The method · विधि
Find the distance d from the base · आधार से दूरी d निकालें
96 is 4 below 100, so d = 4. 103 is 3 above, so d = 3.
96, 100 से 4 कम है, अतः d = 4। 103, 100 से 3 अधिक है, अतः d = 3।
Left part: the number adjusted by d · बायाँ भाग: d से समायोजित संख्या
Below the base subtract d: 96 − 4 = 92. Above the base add d: 103 + 3 = 106.
आधार से नीचे हो तो d घटाएँ: 96 − 4 = 92। ऊपर हो तो d जोड़ें: 103 + 3 = 106।
Right part: d squared (padded) · दायाँ भाग: d का वर्ग (पूरा करके)
d² = 16, written with two digits for base 100: 9216. For 103: 09 → 10609. Carry if d² overflows: 112² → 124 | 144 → 12544.
d² = 16, आधार 100 के लिए दो अंकों में: 9216। 103 के लिए: 09 → 10609। d² अधिक हो तो हासिल दें: 112² → 124 | 144 → 12544।
Working base 50 · कार्य-आधार 50
47² : d = 3 below 50. (47 − 3) × 50 + 3² = 44 × 50 + 9 = 2209.
47² : 50 से d = 3 नीचे। (47 − 3) × 50 + 3² = 44 × 50 + 9 = 2209।
Worked examples · हल किए उदाहरण
- d = 4
- 96 − 4 = 92; 4² = 16
- = 9216
- d = 3
- 103 + 3 = 106; 3² = 09
- = 10609
- Base 1000, d = 6
- 994 − 6 = 988; 6² = 036
- = 988036
- d = 12
- 112 + 12 = 124; 12² = 144
- 12400 + 144 = 12544
- Base 50, d = 3
- (47 − 3) × 50 = 2200
- + 9 = 2209
- Base 50, d = 3 above
- (53 + 3) × 50 = 2800
- + 9 = 2809
- (70 − 2)² = 4900 − 2 × 70 × 2 + 4
- 4900 − 280 + 4 = 4624
Why it works · यह क्यों काम करता है
(B − d)² = B² − 2Bd + d² = B(B − 2d) + d² = B·(N − d) + d², with N = B − d. For numbers above the base the same identity holds with +d.
(B − d)² = B² − 2Bd + d² = B(B − 2d) + d² = B·(N − d) + d², जहाँ N = B − d। आधार से ऊपर की संख्याओं के लिए यही सर्वसमिका +d के साथ चलती है।
Left part goes with the base multiplier, right part is d² padded. For base 50 the right part is simply added, not placed beside.
बायाँ भाग आधार के गुणक के साथ जाता है, दायाँ भाग पूरा किया गया d² है। आधार 50 में दायाँ भाग केवल जोड़ा जाता है, बगल में नहीं रखा जाता।
For numbers far from any base use Duplex (next topic) or (a ± b)².
किसी आधार से दूर की संख्याओं के लिए द्वंद्व (अगला विषय) या (a ± b)² उपयोग करें।
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