Technique 16 of 21
Divisibility tests, 2 to 19
विभाज्यता परीक्षण, 2 से 19
Decide in seconds whether a number is divisible by 2 to 13, including 7, 11 and 13, with no division.
When to use it · कब उपयोग करें
HCF/LCM, factor and "which of these divides" questions, and eliminating MCQ options.
ल.स./म.स., गुणनखंड और "इनमें से कौन विभाजित करता है" प्रश्न, तथा MCQ विकल्प हटाने में।
The method · विधि
The easy ones · आसान नियम
2, 5, 10: last digit. 4: last two digits. 8: last three digits. 3 and 9: digit sum. 6: divisible by 2 and 3. 12: by 3 and 4.
2, 5, 10: अंतिम अंक। 4: अंतिम दो अंक। 8: अंतिम तीन अंक। 3 और 9: अंक-योग। 6: 2 और 3 दोनों से। 12: 3 और 4 दोनों से।
11: alternate sum · 11: एकांतर योग
Add digits in odd places, add digits in even places; if the difference is 0 or a multiple of 11 the number is divisible. 918082: (9 + 8 + 8) − (1 + 0 + 2) = 22 → yes.
विषम स्थानों के अंक जोड़ें, सम स्थानों के अंक जोड़ें; अंतर 0 या 11 का गुणज हो तो संख्या विभाज्य है। 918082: (9 + 8 + 8) − (1 + 0 + 2) = 22 → हाँ।
7, 11, 13 together: the 1001 trick · 7, 11, 13 साथ में: 1001 की तरकीब
Since 7 × 11 × 13 = 1001, split the number into groups of three digits from the right, and subtract alternate groups. If the result is divisible by 7, 11 or 13, so is the number. 91728: 728 − 91 = 637 = 7 × 7 × 13 → divisible by 7 and 13 but not by 11.
7 × 11 × 13 = 1001 होने के कारण संख्या को दाएँ से तीन-तीन अंकों के समूहों में बाँटें और एकांतर समूह घटाएँ। परिणाम 7, 11 या 13 से विभाज्य हो तो संख्या भी होगी। 91728: 728 − 91 = 637 = 7 × 7 × 13 → 7 और 13 से विभाज्य, 11 से नहीं।
7, 13, 17, 19 by osculation · ऑस्क्युलेशन से 7, 13, 17, 19
Multiply the divisor by something to make it end in 9; the digits before the 9, plus one, is the osculator (7 → 49 → 5; 13 → 39 → 4; 17 → 119 → 12; 19 → 2). Cut off the last digit, multiply it by the osculator, add to the rest, and repeat. 1337 with 7: 133 + 7 × 5 = 168; 16 + 8 × 5 = 56 → divisible.
भाजक को किसी संख्या से गुणा करके 9 पर समाप्त कराएँ; 9 से पहले के अंकों में एक जोड़ने पर ऑस्क्युलेटर मिलता है (7 → 49 → 5; 13 → 39 → 4; 17 → 119 → 12; 19 → 2)। अंतिम अंक काटें, उसे ऑस्क्युलेटर से गुणा करके शेष में जोड़ें, और दोहराएँ। 1337 के लिए 7: 133 + 7 × 5 = 168; 16 + 8 × 5 = 56 → विभाज्य।
Worked examples · हल किए उदाहरण
- Groups: 91 | 728; 728 − 91 = 637
- 637 = 7 × 91 → divisible by 7
- Also 637 = 13 × 49 → divisible by 13
- (9 + 8 + 8) − (1 + 0 + 2) = 22
- 22 is a multiple of 11 → divisible
- 133 + 7 × 5 = 168
- 16 + 8 × 5 = 56 = 7 × 8
- Divisible
- Last three digits 576
- 576 ÷ 8 = 72 → divisible by 8
Why it works · यह क्यों काम करता है
10 ≡ 1 (mod 9) and 10 ≡ 1 (mod 3), so a number leaves the same remainder as its digit sum. 10 ≡ −1 (mod 11) gives the alternating sum. 1000 ≡ −1 (mod 1001) gives the three-digit-group rule. The osculator is the multiplier that turns 10 into ±1 mod the divisor.
10 ≡ 1 (mod 9) और 10 ≡ 1 (mod 3), अतः संख्या का शेष उसके अंक-योग के शेष के समान होता है। 10 ≡ −1 (mod 11) से एकांतर योग मिलता है। 1000 ≡ −1 (mod 1001) से तीन-अंकों के समूह वाला नियम मिलता है। ऑस्क्युलेटर वह गुणक है जो 10 को भाजक के सापेक्ष ±1 बना देता है।
A number divisible by 2 and 6 is not necessarily divisible by 12; the factors must be coprime (use 3 and 4). Also, 6 needs both 2 and 3, not either.
2 और 6 से विभाज्य संख्या का 12 से विभाज्य होना आवश्यक नहीं; गुणनखंड सहअभाज्य होने चाहिए (3 और 4 लें)। साथ ही, 6 के लिए 2 और 3 दोनों चाहिए, कोई एक नहीं।
Osculation needs several rounds; for 7 the 1001 trick is usually quicker on 5- and 6-digit numbers.
ऑस्क्युलेशन में कई चरण लगते हैं; 5 और 6 अंकों की संख्याओं के लिए 7 की जाँच में 1001 वाली तरकीब प्रायः तेज़ है।
Practise this technique Practice questions are part of the Pro Pass; a few samples are free.
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