SGT మరియు TET పేపర్ 1A కోసం గణితం (III-VIII తరగతులు) · Chapter 6

జ్యామితి I: ప్రాథమిక భావనలు, రేఖలు, కోణాలు మరియు త్రిభుజాలు

గుర్తుంచుకోవాల్సినవి

త్రిభుజ కోణాల మొత్తం 180°; బాహ్య కోణం దాని అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం; ఏ రెండు భుజాల మొత్తమైనా మూడో భుజం కంటే ఎక్కువ.
ఒక తిర్యక్ రేఖ రెండు సమాంతర రేఖలను ఖండించినప్పుడు, సదృశ కోణాలు, ఏకాంతర అంతర కోణాలు సమానం; సహ అంతర కోణాల మొత్తం 180°.
త్రిభుజాలు SSS, SAS, ASA, AAS లేదా RHS ప్రకారం సర్వసమానం (AAA లేదా SSA ప్రకారం ఎప్పుడూ కాదు); నాలుగు కేంద్రాలు (కేంద్రిక, అంతఃకేంద్రం, పరికేంద్రం, లంబకేంద్రం) మధ్యగత రేఖలు, కోణ సమద్విఖండనలు, లంబ సమద్విఖండన రేఖలు, ఎత్తుల నుంచి వస్తాయి.

ప్రాథమిక భావనలు

బిందువు స్థానాన్ని సూచిస్తుంది, దానికి పరిమాణం ఉండదు. రేఖ రెండు వైపులా అనంతంగా విస్తరిస్తుంది. కిరణంకు ఒక ఆరంభ బిందువు ఉంటుంది, ఒక దిశలో అనంతంగా సాగుతుంది. రేఖాఖండంకు రెండు అంత్య బిందువులు, నిర్ణీత పొడవు ఉంటాయి.
రెండు భిన్న బిందువుల గుండా సరిగ్గా ఒక రేఖ పోతుంది. ఒక బిందువు గుండా అనంతమైన రేఖలు పోతాయి.
ఒకే రేఖపై ఉన్న బిందువులు సరేఖీయాలు. ఒకే తలంలో ఉండి ఎప్పుడూ కలవని రేఖలు సమాంతరాలు. 90° వద్ద కలిసే రేఖలు లంబాలు.
తలం అనేది అనంతంగా విస్తరించే చదునైన ఉపరితలం.
ఒక రేఖాఖండం యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖ అనేది దాన్ని 90° వద్ద రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించే రేఖ. దానిపై ఉన్న ప్రతి బిందువు ఖండం రెండు చివరల నుంచి సమాన దూరంలో ఉంటుంది.
ఉమ్మడి ఆరంభ బిందువు (శీర్షం) ఉన్న రెండు కిరణాల వల్ల కోణం ఏర్పడుతుంది. దీన్ని కోణమానినితో డిగ్రీలలో కొలుస్తారు.

కోణాల రకాలు

కోణం	కొలత
అల్ప కోణం	90° కంటే తక్కువ
లంబ కోణం	సరిగ్గా 90°
అధిక కోణం	90° కంటే ఎక్కువ, 180° కంటే తక్కువ
సరళ కోణం	సరిగ్గా 180°
పరావర్తిత కోణం	180° కంటే ఎక్కువ, 360° కంటే తక్కువ
సంపూర్ణ కోణం	360°

కోణ జతలు

పూరక కోణాలు: మొత్తం 90° ఉండే రెండు కోణాలు. 65° పూరక కోణం 25°.
సంపూరక కోణాలు: మొత్తం 180° ఉండే రెండు కోణాలు. 110° సంపూరక కోణం 70°.
ఆసన్న కోణాలు: ఒకే శీర్షం, ఒకే ఉమ్మడి భుజం ఉండి, ఆ భుజానికి ఇరువైపులా ఉంటాయి. ఇవి ఎల్లప్పుడూ సంపూరకాలు కావు.
రేఖీయ కోణ జత: ఉమ్మడి కాని భుజాలు ఒక సరళరేఖను ఏర్పరిచే ఆసన్న కోణాలు. వీటి మొత్తం 180°. రేఖీయ జతలోని రెండు కోణాలు 4x, 5x అయితే, 9x = 180°, x = 20°.
శీర్షాభిముఖ కోణాలు: రెండు రేఖలు ఖండించుకున్నప్పుడు ఏర్పడతాయి. ఇవి సమానం. ఒకటి 55° అయితే, దాని ఎదురుగా ఉన్నది 55°, మిగిలిన రెండింటిలో ప్రతిదీ 125°.

త్వరిత సమీకరణాలు

తన సంపూరక కోణానికి సమానమైన కోణం 90°.
తన సంపూరక కోణం కంటే 20° ఎక్కువ ఉన్న కోణం: x = 180 − x + 20, కాబట్టి x = 100°.
తన పూరక కోణంలో సగం ఉన్న కోణం: x = (90 − x)/2, కాబట్టి x = 30°.
పూరకాలైన x, 2x కోణాలు: 3x = 90°, కాబట్టి x = 30°.

సమాంతర రేఖలు మరియు తిర్యక్ రేఖ

రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ రేఖలను వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండించే రేఖను తిర్యక్ రేఖ అంటారు. అది రెండు సమాంతర రేఖలను ఖండించినప్పుడు ఎనిమిది కోణాలు ఏర్పడతాయి.

జత	స్థానం	సంబంధం (రేఖలు సమాంతరమైతే)
సదృశ కోణాలు	తిర్యక్ రేఖకు ఒకే వైపు, ప్రతి ఖండన వద్ద ఒకే స్థానంలో	సమానం
ఏకాంతర అంతర కోణాలు	రేఖల మధ్య, తిర్యక్ రేఖకు ఎదురెదురు వైపులా	సమానం
ఏకాంతర బాహ్య కోణాలు	రేఖల బయట, ఎదురెదురు వైపులా	సమానం
సహ అంతర కోణాలు (వరుస అంతర కోణాలు)	రేఖల మధ్య, ఒకే వైపు	సంపూరకాలు (మొత్తం 180°)

విపర్యయం కూడా వాడతారు: ఒక జత సదృశ లేదా ఏకాంతర కోణాలు సమానమైనా, లేదా సహ అంతర కోణాల మొత్తం 180° అయినా, ఆ రేఖలు సమాంతరం.

సాధించిన ఉదాహరణలు

ఏకాంతర అంతర కోణం 70° అయితే, రెండవది కూడా 70°.
సహ అంతర కోణం 65° అయితే, రెండవది 115°.
సదృశ కోణాలు (2x + 10)°, (x + 50)° అయి, రేఖలు సమాంతరమైతే, 2x + 10 = x + 50, కాబట్టి x = 40.
సహ అంతర కోణాలు (3x + 10)°, (2x + 20)° అయితే, 5x + 30 = 180, కాబట్టి x = 30.

త్రిభుజాలు

త్రిభుజానికి మూడు భుజాలు, మూడు కోణాలు, మూడు శీర్షాలు ఉంటాయి.

భుజాల ఆధారంగా: విషమబాహు (అన్ని భుజాలు భిన్నం), సమద్విబాహు (రెండు భుజాలు సమానం), సమబాహు (అన్ని భుజాలు సమానం).

కోణాల ఆధారంగా: అల్పకోణ (అన్ని కోణాలు 90° కంటే తక్కువ), లంబకోణ (ఒక కోణం 90°), అధికకోణ (ఒక కోణం 90° కంటే ఎక్కువ).

ధర్మాలు

కోణాల మొత్తం ధర్మం: మూడు కోణాల మొత్తం 180°. రెండు కోణాలు 50°, 60° అయితే, మూడోది 70°.
బాహ్య కోణ ధర్మం: బాహ్య కోణం దాని అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం. అవి 40°, 55° అయితే, బాహ్య కోణం 95°. బాహ్య కోణం 120°, ఒక అంతరాభిముఖ కోణం 50° అయితే, రెండవది 70°.
త్రిభుజ అసమానత: ఏ రెండు భుజాల మొత్తమైనా మూడో భుజం కంటే ఎక్కువ. భుజాలు 5, 6, 10 త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి; 3, 4, 8 ఏర్పరచవు, ఎందుకంటే 3 + 4, 8 కంటే తక్కువ.
త్రిభుజంలో రెండు లంబ కోణాలు లేదా రెండు అధిక కోణాలు ఉండవు.
సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉన్న కోణాలు సమానం. సమాన భుజాల మధ్య కోణం 100° అయితే, ప్రతి భూకోణం 40°. అది 40° అయితే, ప్రతి భూకోణం 70°.
సమబాహు త్రిభుజంలో ప్రతి కోణం 60°.
పెద్ద కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న భుజం పొడవైనది.
కోణాల నిష్పత్తి 1 : 2 : 3 అయితే, అవి 30°, 60°, 90°; కాబట్టి త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజం.
మధ్య బిందు సిద్ధాంతం: రెండు భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖ మూడో భుజానికి సమాంతరం, దానిలో సగం పొడవు ఉంటుంది.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం: లంబకోణ త్రిభుజంలో (కర్ణం)² = (భూమి)² + (ఎత్తు)². త్రికాలు: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), మరియు వాటి గుణిజాలు (6, 8, 10). 10 మీ నిచ్చెన గోడపై 8 మీ ఎత్తు చేరితే, దాని అడుగు గోడ నుంచి 6 మీ దూరంలో ఉంటుంది. విపర్యయం కూడా సత్యం: a² + b² = c² అయితే, త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజం.

త్రిభుజ వైశాల్యం: ½ × భూమి × ఎత్తు. భుజం a ఉన్న సమబాహు త్రిభుజానికి వైశాల్యం = (√3/4) a². చుట్టుకొలత భుజాల మొత్తం.

సర్వసమానత్వం మరియు సరూపకత

మూడు జతల భుజాలు, కోణాలు సరిపోలితే రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానం.

నియమం	అర్థం
SSS	మూడు భుజాలు సమానం
SAS	రెండు భుజాలు, వాటి మధ్య కోణం సమానం
ASA	రెండు కోణాలు, వాటి మధ్య భుజం సమానం
AAS	రెండు కోణాలు, వాటి మధ్య లేని ఒక భుజం సమానం
RHS	లంబ కోణం, కర్ణం, ఒక భుజం సమానం (లంబకోణ త్రిభుజాలకు మాత్రమే)

AAA సరూపకతను మాత్రమే రుజువు చేస్తుంది (ఆకారం ఒకటే, పరిమాణం వేరు); SSA సర్వసమానత్వాన్ని రుజువు చేయదు. సరూప త్రిభుజాల కోణాలు సమానం, భుజాలు ఒకే నిష్పత్తిలో ఉంటాయి.

త్రిభుజంలోని ప్రత్యేక బిందువులు

బిందువు	ఏర్పడేది	గమనికలు
కేంద్రిక (Centroid)	మధ్యగత రేఖలు (శీర్షం నుంచి ఎదుటి భుజం మధ్య బిందువుకు)	ప్రతి మధ్యగత రేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది
అంతఃకేంద్రం (Incentre)	కోణ సమద్విఖండనలు	అంతర్లిఖిత వృత్త కేంద్రం
పరికేంద్రం (Circumcentre)	భుజాల లంబ సమద్విఖండన రేఖలు	అన్ని శీర్షాల గుండా పోయే వృత్త కేంద్రం
లంబకేంద్రం (Orthocentre)	ఎత్తులు (శీర్షం నుంచి ఎదుటి భుజానికి లంబం)	లంబకోణ త్రిభుజంలో: లంబ కోణ శీర్షం వద్ద

కేంద్రిక ఎల్లప్పుడూ త్రిభుజం లోపలే ఉంటుంది. త్రిభుజానికి మూడు మధ్యగత రేఖలు, మూడు ఎత్తులు ఉంటాయి.

తరగతి గది కోణం: కోణ సమద్విఖండన, లంబ సమద్విఖండన, లంబ కోణాన్ని చూపడానికి కాగితం మడతలు వాడండి (కాగితాన్ని రెండుసార్లు మడిస్తే 90° వస్తుంది). కాగితపు త్రిభుజం మూడు మూలలను కత్తిరించి పక్కపక్కన పెడితే సరళరేఖ ఏర్పడుతుంది; ఇది 180° కోణాల మొత్తాన్ని చూపుతుంది.

పరీక్షలో పొరపాట్లు

ఆసన్న కోణాలు సంపూరకాలు కానవసరం లేదు; రేఖీయ జత మాత్రమే.
సహ అంతర కోణాల మొత్తం 180°; అవి సమానం కావు.
AAA సర్వసమానత్వ నియమం కాదు, SSA కూడా కాదు.
లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క లంబకేంద్రం లంబ కోణ శీర్షం వద్ద ఉంటుంది, లోపల కాదు.
కేంద్రిక మధ్యగత రేఖను శీర్షం నుంచి 2 : 1గా విభజిస్తుంది, 1 : 2 కాదు, 1 : 1 కాదు.
లంబ సమద్విఖండనలు పరికేంద్రాన్ని ఇస్తాయి; కోణ సమద్విఖండనలు అంతఃకేంద్రాన్ని ఇస్తాయి.
భుజాలు 3, 4, 8 త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచవు; చిన్న రెండింటి మొత్తం పెద్దదాని కంటే ఎక్కువ ఉండాలి.
అధిక కోణం 90°, 180° మధ్య ఉంటుంది; పరావర్తిత కోణం 180° కంటే ఎక్కువ.

ఒక్కమాటలో

65° పూరక కోణం 25°.
110° సంపూరక కోణం 70°.
త్రిభుజ కోణాల మొత్తం: 180°.
బాహ్య కోణం దాని రెండు అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం.
6, 8 భుజాలున్న లంబకోణ త్రిభుజ కర్ణం 10.
భుజాలు 8, 15, 17 లంబకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.
RHS అంటే లంబ కోణం, కర్ణం, భుజం.
కేంద్రిక ప్రతి మధ్యగత రేఖను 2 : 1గా విభజిస్తుంది.
పరికేంద్రం: లంబ సమద్విఖండనలు కలిసే చోటు.
అంతఃకేంద్రం: కోణ సమద్విఖండనలు కలిసే చోటు.
సమద్విబాహు లంబకోణ త్రిభుజం: అల్ప కోణాలు ఒక్కొక్కటి 45°.
శీర్షాభిముఖ కోణాలు సమానం.

సాధన ప్రశ్నలు

65° కు పూరక కోణం ఎంత?
1. 115°
2. 35°
3. 90°
4. 25°
సమాధానం
D. 25°
What is the complement of 65°?
1. 115°
2. 35°
3. 90°
4. 25°
110° కు సంపూరక కోణం ఎంత?
1. 20°
2. 250°
3. 70°
4. 80°
సమాధానం
C. 70°
What is the supplement of 110°?
1. 20°
2. 250°
3. 70°
4. 80°
ఒక త్రిభుజంలో రెండు కోణాలు 50° మరియు 60°. మూడవ కోణం ఎంత?
1. 130°
2. 70°
3. 60°
4. 80°
సమాధానం
B. 70°
Two angles of a triangle are 50° and 60°. What is the third angle?
1. 130°
2. 70°
3. 60°
4. 80°
రేఖీయ ద్వయంలోని రెండు కోణాలు 3x మరియు 2x. పెద్ద కోణం ఎంత?
1. 72°
2. 120°
3. 90°
4. 108°
సమాధానం
D. 108°
Two angles of a linear pair are 3x and 2x. What is the larger angle?
1. 72°
2. 120°
3. 90°
4. 108°
రెండు సరళరేఖలు ఖండించుకున్నప్పుడు ఏర్పడిన ఒక కోణం 55°. దానికి శీర్షాభిముఖ కోణం ఎంత?
1. 125°
2. 55°
3. 35°
4. 45°
సమాధానం
B. 55°
Two straight lines cross each other, and one angle formed is 55°. What is the angle vertically opposite to it?
1. 125°
2. 55°
3. 35°
4. 45°
ఒక తిర్యగ్రేఖ రెండు సమాంతర రేఖలను ఖండించింది; ఒక అంతర కోణం 65°. రెండవ అంతర కోణం (co-interior) ఎంత?
1. 65°
2. 25°
3. 115°
4. 105°
సమాధానం
C. 115°
A transversal cuts two parallel lines and one co-interior angle is 65°. What is the other co-interior angle?
1. 65°
2. 25°
3. 115°
4. 105°
ఒక త్రిభుజ కోణాల నిష్పత్తి 1 : 2 : 3. ఆ త్రిభుజం
1. లంబకోణ త్రిభుజం
2. అధిక కోణ త్రిభుజం
3. అల్ప కోణ త్రిభుజం
4. సమబాహు త్రిభుజం
సమాధానం
A. లంబకోణ త్రిభుజం
The angles of a triangle are in the ratio 1 : 2 : 3. The triangle is
1. right-angled
2. obtuse-angled
3. acute-angled
4. equilateral
ఒక త్రిభుజంలో రెండు అంతరాభిముఖ కోణాలు 40° మరియు 55°. బాహ్య కోణం ఎంత?
1. 105°
2. 95°
3. 85°
4. 135°
సమాధానం
B. 95°
The two interior opposite angles of a triangle are 40° and 55°. What is the exterior angle?
1. 105°
2. 95°
3. 85°
4. 135°
ఏ పొడవుల సమితి త్రిభుజ భుజాలు కాగలదు?
1. 5 సెం.మీ., 6 సెం.మీ., 10 సెం.మీ.
2. 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 8 సెం.మీ.
3. 2 సెం.మీ., 3 సెం.మీ., 5 సెం.మీ.
4. 4 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 9 సెం.మీ.
సమాధానం
A. 5 సెం.మీ., 6 సెం.మీ., 10 సెం.మీ.
Which set of lengths can form the sides of a triangle?
1. 5 cm, 6 cm, 10 cm
2. 3 cm, 4 cm, 8 cm
3. 2 cm, 3 cm, 5 cm
4. 4 cm, 4 cm, 9 cm
ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాల మధ్య కోణం 40°. ప్రతి భూమి కోణం ఎంత?
1. 60°
2. 80°
3. 40°
4. 70°
సమాధానం
D. 70°
In an isosceles triangle, the angle between the two equal sides is 40°. What is each base angle?
1. 60°
2. 80°
3. 40°
4. 70°
ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో రెండు భుజాలు 6 సెం.మీ. మరియు 8 సెం.మీ. కర్ణం ఎంత?
1. 9 సెం.మీ.
2. 12 సెం.మీ.
3. 10 సెం.మీ.
4. 14 సెం.మీ.
సమాధానం
C. 10 సెం.మీ.
The two legs of a right triangle are 6 cm and 8 cm. What is the hypotenuse?
1. 9 cm
2. 12 cm
3. 10 cm
4. 14 cm
ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం 13 సెం.మీ., ఒక భుజం 5 సెం.మీ. రెండవ భుజం ఎంత?
1. 11 సెం.మీ.
2. 12 సెం.మీ.
3. 8 సెం.మీ.
4. 10 సెం.మీ.
సమాధానం
B. 12 సెం.మీ.
The hypotenuse of a right triangle is 13 cm and one leg is 5 cm. What is the other leg?
1. 11 cm
2. 12 cm
3. 8 cm
4. 10 cm
త్రిభుజాల సర్వసమానత్వ నియమం కానిది ఏది?
1. AAA
2. SAS
3. SSS
4. RHS
సమాధానం
A. AAA
Which of the following is NOT a criterion for congruence of triangles?
1. AAA
2. SAS
3. SSS
4. RHS
త్రిభుజాల సర్వసమానత్వంలో RHS అనే సంక్షిప్త రూపం దేన్ని సూచిస్తుంది?
1. లంబకోణం, ఎత్తు, మొత్తం (Right angle, Height, Sum)
2. వ్యాసార్ధం, కర్ణం, భుజం (Radius, Hypotenuse, Side)
3. లంబకోణం, కర్ణం, భుజం (Right angle, Hypotenuse, Side)
4. నిష్పత్తి, ఎత్తు, భుజం (Ratio, Height, Side)
సమాధానం
C. లంబకోణం, కర్ణం, భుజం (Right angle, Hypotenuse, Side)
The abbreviation RHS in congruence of triangles stands for
1. Right angle, Height, Sum
2. Radius, Hypotenuse, Side
3. Right angle, Hypotenuse, Side
4. Ratio, Height, Side
త్రిభుజ మధ్యగత రేఖలు కలిసే బిందువు ప్రతి మధ్యగత రేఖను ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది?
1. శీర్షం నుండి 1 : 2
2. 1 : 1
3. శీర్షం నుండి 3 : 1
4. శీర్షం నుండి 2 : 1
సమాధానం
D. శీర్షం నుండి 2 : 1
The medians of a triangle meet at a point that divides each median in the ratio
1. 1 : 2 from the vertex
2. 1 : 1
3. 3 : 1 from the vertex
4. 2 : 1 from the vertex
లంబకోణ త్రిభుజం యొక్క లంబ కేంద్రం (orthocentre) ఎక్కడ ఉంటుంది?
1. త్రిభుజం బయట
2. లంబకోణ శీర్షం వద్ద
3. లోపల, గురుత్వ కేంద్రం వద్ద
4. కర్ణం మధ్య బిందువు వద్ద
సమాధానం
B. లంబకోణ శీర్షం వద్ద
Where does the orthocentre of a right-angled triangle lie?
1. Outside the triangle
2. At the vertex of the right angle
3. Inside, at the centroid
4. At the mid-point of the hypotenuse
త్రిభుజం యొక్క పరివృత్త కేంద్రం (circumcentre) ఏ రేఖలు కలిసే బిందువు?
1. భుజాల లంబ సమద్విఖండన రేఖలు
2. కోణ సమద్విఖండన రేఖలు
3. లంబ రేఖలు (ఎత్తులు)
4. మధ్యగత రేఖలు
సమాధానం
A. భుజాల లంబ సమద్విఖండన రేఖలు
The circumcentre of a triangle is the point where which lines meet?
1. Perpendicular bisectors of the sides
2. Angle bisectors
3. Altitudes
4. Medians
త్రిభుజం యొక్క అంతర కేంద్రం (incentre) దేని ఖండన బిందువు?
1. లంబ సమద్విఖండన రేఖలు
2. లంబ రేఖలు (ఎత్తులు)
3. కోణ సమద్విఖండన రేఖలు
4. మధ్యగత రేఖలు
సమాధానం
C. కోణ సమద్విఖండన రేఖలు
The incentre of a triangle is the point of intersection of its
1. perpendicular bisectors
2. altitudes
3. angle bisectors
4. medians
సమబాహు త్రిభుజంలో ప్రతి కోణం ఎంత?
1. 30°
2. 90°
3. 45°
4. 60°
సమాధానం
D. 60°
What is each angle of an equilateral triangle?
1. 30°
2. 90°
3. 45°
4. 60°
రెండు విభిన్న బిందువుల గుండా ఎన్ని సరళరేఖలు పోతాయి?
1. అనంతంగా
2. సరిగ్గా ఒకటి
3. రెండు
4. ఏదీ లేదు
సమాధానం
B. సరిగ్గా ఒకటి
How many straight lines pass through two distinct points?
1. Infinitely many
2. Exactly one
3. Two
4. None
200° కోణాన్ని ఏమంటారు?
1. అధిక కోణం
2. సరళ కోణం
3. పూర్ణ కోణం
4. పరావర్తన కోణం (reflex)
సమాధానం
D. పరావర్తన కోణం (reflex)
An angle of 200° is called a
1. obtuse angle
2. straight angle
3. complete angle
4. reflex angle
90° మరియు 180° ల మధ్య ఉండే కోణాన్ని ఏమంటారు?
1. అధిక కోణం
2. పరావర్తన కోణం
3. లంబకోణం
4. అల్ప కోణం
సమాధానం
A. అధిక కోణం
An angle that measures between 90° and 180° is called
1. obtuse
2. reflex
3. right
4. acute
x మరియు 2x కోణాలు పూరక కోణాలు. x ఎంత?
1. 90°
2. 45°
3. 30°
4. 60°
సమాధానం
C. 30°
Two angles x and 2x are complementary. What is x?
1. 90°
2. 45°
3. 30°
4. 60°
ఒక కోణం దాని సంపూరక కోణం కంటే 20° ఎక్కువ. ఆ కోణం ఎంత?
1. 110°
2. 120°
3. 80°
4. 100°
సమాధానం
D. 100°
An angle is 20° more than its supplement. What is the angle?
1. 110°
2. 120°
3. 80°
4. 100°
ఒక కోణం దాని పూరక కోణంలో సగం. ఆ కోణం ఎంత?
1. 30°
2. 45°
3. 22.5°
4. 60°
సమాధానం
A. 30°
An angle is half of its complement. What is the angle?
1. 30°
2. 45°
3. 22.5°
4. 60°
ఒక త్రిభుజ కోణాలు x, x + 10° మరియు x + 20°. అతి చిన్న కోణం ఎంత?
1. 60°
2. 70°
3. 50°
4. 40°
సమాధానం
C. 50°
The angles of a triangle are x, x + 10° and x + 20°. What is the smallest angle?
1. 60°
2. 70°
3. 50°
4. 40°
భూమి 12 సెం.మీ., ఎత్తు 5 సెం.మీ. ఉన్న త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత?
1. 60 సెం.మీ.²
2. 30 సెం.మీ.²
3. 17 సెం.మీ.²
4. 36 సెం.మీ.²
సమాధానం
B. 30 సెం.మీ.²
What is the area of a triangle with base 12 cm and height 5 cm?
1. 60 cm²
2. 30 cm²
3. 17 cm²
4. 36 cm²
త్రిభుజ శీర్షాన్ని ఎదుటి భుజం మధ్య బిందువుతో కలిపే రేఖాఖండాన్ని ఏమంటారు?
1. కోణ సమద్విఖండన రేఖ
2. లంబ రేఖ (ఎత్తు)
3. మధ్యగత రేఖ
4. లంబ సమద్విఖండన రేఖ
సమాధానం
C. మధ్యగత రేఖ
A line segment that joins a vertex of a triangle to the mid-point of the opposite side is called a
1. angle bisector
2. altitude
3. median
4. perpendicular bisector
ఈ క్రింది ప్రవచనాలను పరిగణించండి. 1. శీర్షాభిముఖ కోణాలు సమానం. 2. ఆసన్న కోణాలు ఎల్లప్పుడూ సంపూరక కోణాలు. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
A. 1 మాత్రమే
Consider these statements. 1. Vertically opposite angles are equal. 2. Adjacent angles are always supplementary. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ఈ క్రింది ప్రవచనాలను పరిగణించండి. 1. త్రిభుజంలో ఏ రెండు భుజాల మొత్తమైనా మూడవ భుజం కంటే ఎక్కువ. 2. త్రిభుజ బాహ్య కోణం రెండు అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
C. 1 మరియు 2 రెండూ
Consider these statements. 1. The sum of any two sides of a triangle is greater than the third side. 2. An exterior angle of a triangle equals the sum of the two interior opposite angles. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ఈ క్రింది ప్రవచనాలను పరిగణించండి. 1. త్రిభుజానికి రెండు లంబకోణాలు ఉండవచ్చు. 2. త్రిభుజానికి రెండు అధిక కోణాలు ఉండవచ్చు. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
D. 1 లేదా 2 కాదు
Consider these statements. 1. A triangle can have two right angles. 2. A triangle can have two obtuse angles. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
ఈ క్రింది ప్రవచనాలను పరిగణించండి. 1. తిర్యగ్రేఖ ఖండించిన ఏ రెండు రేఖలకైనా అనురూప కోణాలు సమానం. 2. రేఖలు సమాంతరంగా ఉన్నప్పుడు అంతర కోణాల మొత్తం 180°. ఏది/ఏవి సరైనవి?
1. 1 మాత్రమే
2. 2 మాత్రమే
3. 1 మరియు 2 రెండూ
4. 1 లేదా 2 కాదు
సమాధానం
B. 2 మాత్రమే
Consider these statements. 1. Corresponding angles are equal for any two lines cut by a transversal. 2. Co-interior angles add up to 180° when the lines are parallel. Which is/are correct?
1. 1 only
2. 2 only
3. Both 1 and 2
4. Neither 1 nor 2
జతపరచండి: (1) గురుత్వ కేంద్రం (2) లంబ కేంద్రం (3) పరివృత్త కేంద్రం (4) అంతర కేంద్రం; వీటితో (a) లంబ రేఖలు (ఎత్తులు) కలిసే బిందువు (b) మధ్యగత రేఖలు కలిసే బిందువు (c) లంబ సమద్విఖండన రేఖలు కలిసే బిందువు (d) కోణ సమద్విఖండన రేఖలు కలిసే బిందువు. సరైన జతను ఎంచుకోండి.
1. 1-b, 2-a, 3-c, 4-d
2. 1-d, 2-a, 3-b, 4-c
3. 1-a, 2-b, 3-c, 4-d
4. 1-b, 2-c, 3-a, 4-d
సమాధానం
A. 1-b, 2-a, 3-c, 4-d
Match: (1) Centroid (2) Orthocentre (3) Circumcentre (4) Incentre with (a) altitudes meet (b) medians meet (c) perpendicular bisectors meet (d) angle bisectors meet. Choose the correct matching.
1. 1-b, 2-a, 3-c, 4-d
2. 1-d, 2-a, 3-b, 4-c
3. 1-a, 2-b, 3-c, 4-d
4. 1-b, 2-c, 3-a, 4-d
ఏ సంఖ్యల సమితి లంబకోణ త్రిభుజ భుజాలను ఇస్తుంది?
1. 7, 24, 26
2. 8, 15, 17
3. 9, 12, 16
4. 6, 8, 11
సమాధానం
B. 8, 15, 17
Which set of numbers gives the sides of a right-angled triangle?
1. 7, 24, 26
2. 8, 15, 17
3. 9, 12, 16
4. 6, 8, 11
10 మీ. నిచ్చెన నిలువు గోడపై నేల నుండి 8 మీ. ఎత్తున ఉన్న బిందువును తాకుతోంది. నిచ్చెన అడుగు భాగం గోడ నుండి ఎంత దూరంలో ఉంది?
1. 5 మీ.
2. 4 మీ.
3. 7 మీ.
4. 6 మీ.
సమాధానం
D. 6 మీ.
A 10 m ladder reaches a point 8 m above the ground on a vertical wall. How far is its foot from the wall?
1. 5 m
2. 4 m
3. 7 m
4. 6 m
సమద్విబాహు లంబకోణ త్రిభుజంలో ప్రతి అల్పకోణం
1. 45°
2. 30°
3. 60°
4. 90°
సమాధానం
A. 45°
Each acute angle of an isosceles right-angled triangle is
1. 45°
2. 30°
3. 60°
4. 90°
త్రిభుజం ABC లో AB = AC మరియు కోణం A = 100°. కోణం B ఎంత?
1. 50°
2. 40°
3. 30°
4. 80°
సమాధానం
B. 40°
In triangle ABC, AB = AC and angle A = 100°. What is angle B?
1. 50°
2. 40°
3. 30°
4. 80°
ఒక త్రిభుజ బాహ్య కోణం 120°, ఒక అంతరాభిముఖ కోణం 50°. రెండవ అంతరాభిముఖ కోణం ఎంత?
1. 80°
2. 130°
3. 60°
4. 70°
సమాధానం
D. 70°
An exterior angle of a triangle is 120° and one interior opposite angle is 50°. What is the other interior opposite angle?
1. 80°
2. 130°
3. 60°
4. 70°
ఒక త్రిభుజ భుజాలు 5 సెం.మీ., 5 సెం.మీ. మరియు 8 సెం.మీ. అది
1. విషమబాహు త్రిభుజం
2. లంబకోణ త్రిభుజం
3. సమద్విబాహు త్రిభుజం
4. సమబాహు త్రిభుజం
సమాధానం
C. సమద్విబాహు త్రిభుజం
A triangle has sides 5 cm, 5 cm and 8 cm. It is
1. scalene
2. right-angled
3. isosceles
4. equilateral
ఒక తిర్యగ్రేఖ రెండు సమాంతర రేఖలను ఖండించింది. అనురూప కోణాలు (2x + 10)° మరియు (x + 50)°. x ఎంత?
1. 50
2. 40
3. 30
4. 60
సమాధానం
B. 40
A transversal cuts two parallel lines. Corresponding angles are (2x + 10)° and (x + 50)°. What is x?
1. 50
2. 40
3. 30
4. 60
రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య అంతర కోణాలు (3x + 10)° మరియు (2x + 20)°. x ఎంత?
1. 35
2. 40
3. 30
4. 20
సమాధానం
C. 30
Co-interior angles between two parallel lines are (3x + 10)° and (2x + 20)°. What is x?
1. 35
2. 40
3. 30
4. 20
సరళరేఖ AB పై బిందువు O వద్ద కిరణం OC నిలిచి ఉంది. కోణం AOC = 4x మరియు కోణం COB = 5x అయితే x ఎంత?
1. 36°
2. 30°
3. 18°
4. 20°
సమాధానం
D. 20°
A ray OC stands on a straight line AB at O. If angle AOC = 4x and angle COB = 5x, what is x?
1. 36°
2. 30°
3. 18°
4. 20°
ఒక పిల్లవాడు కాగితాన్ని రెండుసార్లు మడుస్తాడు, రెండవ మడత మొదటి మడత వెంబడి ఉంటుంది. ఏర్పడిన మూల
1. లంబకోణం
2. సరళ కోణం
3. అల్ప కోణం
4. పరావర్తన కోణం
సమాధానం
A. లంబకోణం
A child folds a sheet of paper twice so that the second fold lies along the first. The corner formed is a
1. right angle
2. straight angle
3. acute angle
4. reflex angle
ఒక రేఖాఖండం యొక్క లంబ సమద్విఖండన రేఖపై ఉన్న ప్రతి బిందువు
1. రేఖాఖండంపైనే ఉంటుంది
2. రేఖాఖండం రెండు చివరల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది
3. దాని మధ్య బిందువు నుండి స్థిర దూరంలో ఉంటుంది
4. ఎడమ చివరకు దగ్గరగా ఉంటుంది
సమాధానం
B. రేఖాఖండం రెండు చివరల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది
Every point on the perpendicular bisector of a line segment is
1. on the segment itself
2. equidistant from the two ends of the segment
3. at a fixed distance from its mid-point
4. closer to the left end
ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో భుజాలు 9 సెం.మీ. మరియు 12 సెం.మీ. కర్ణంపైకి గీసిన లంబం (ఎత్తు) పొడవు ఎంత?
1. 7.2 సెం.మీ.
2. 6 సెం.మీ.
3. 7.5 సెం.మీ.
4. 9 సెం.మీ.
సమాధానం
A. 7.2 సెం.మీ.
The legs of a right triangle are 9 cm and 12 cm. What is the length of the altitude drawn to the hypotenuse?
1. 7.2 cm
2. 6 cm
3. 7.5 cm
4. 9 cm

Page 1 of 1

Finished reading?

Test yourself in 10 minutes

A free 10-question mini-mock on your exam's real pattern, with negative marking and an instant score. अपनी तैयारी 10 मिनट में जाँचें।

Take a free mini-mock →Topic-wise practice