Technique 4 of 21
Cross multiplication (Urdhva-Tiryak)
क्रॉस गुणा (ऊर्ध्व-तिर्यक्)
The all-purpose method: multiply any two numbers in one line, 2-digit by 2-digit up to 3-digit by 3-digit.
When to use it · कब उपयोग करें
Any product where no base is close by, such as 47 × 36 or 123 × 231. It is also the reason Duplex squaring and polynomial multiplication work.
ऐसा कोई गुणा जिसके पास कोई आधार न हो, जैसे 47 × 36 या 123 × 231। यही द्वंद्व-वर्ग और बहुपद गुणा का भी आधार है।
The method · विधि
Two digits: three columns · दो अंक: तीन स्तंभ
For ab × cd: right column = b × d (vertical). Middle column = a × d + b × c (crosswise). Left column = a × c (vertical). Carry from right to left. 23 × 14: 3 × 4 = 12 → write 2, carry 1. 2 × 4 + 3 × 1 = 11, plus carry = 12 → write 2, carry 1. 2 × 1 = 2, plus carry = 3. Answer 322.
ab × cd के लिए: दायाँ स्तंभ = b × d (ऊर्ध्वाधर)। बीच का स्तंभ = a × d + b × c (तिरछा)। बायाँ स्तंभ = a × c (ऊर्ध्वाधर)। हासिल दाएँ से बाएँ दें। 23 × 14: 3 × 4 = 12 → 2 लिखें, 1 हासिल। 2 × 4 + 3 × 1 = 11, हासिल जोड़कर 12 → 2 लिखें, 1 हासिल। 2 × 1 = 2, हासिल जोड़कर 3। उत्तर 322।
Three digits: five columns · तीन अंक: पाँच स्तंभ
For abc × def the five columns, right to left, are: c·f; b·f + c·e; a·f + b·e + c·d; a·e + b·d; a·d. Carry the tens digit of each column into the next one on the left.
abc × def के पाँच स्तंभ, दाएँ से बाएँ: c·f; b·f + c·e; a·f + b·e + c·d; a·e + b·d; a·d। हर स्तंभ का दहाई अंक अगले बाएँ स्तंभ में हासिल दें।
Unequal lengths · असमान लंबाई
Pad the shorter number with leading zeros: 245 × 36 is treated as 245 × 036.
छोटी संख्या के आगे शून्य लगाकर बराबर करें: 245 × 36 को 245 × 036 मानें।
Worked examples · हल किए उदाहरण
- Columns: 12 | 11 | 2
- Carry: 2, (11 + 1) = 12 → 2 c1, 2 + 1 = 3
- = 322
- b·d = 7 × 6 = 42 → 2, carry 4
- Cross = 4 × 6 + 7 × 3 = 45, + 4 = 49 → 9, carry 4
- 4 × 3 = 12, + 4 = 16
- = 1692
- 9 × 6 = 54 → 4, carry 5
- 8 × 6 + 9 × 7 = 111, + 5 = 116 → 6, carry 11
- 8 × 7 = 56, + 11 = 67
- = 6764
- Columns: 3 | 11 | 13 | 7 | 2
- Right to left with carries: 3; 11 → 1 c1; 13 + 1 = 14 → 4 c1; 7 + 1 = 8; 2
- = 28413
- Treat as 245 × 036
- Columns: 30 | 39 | 24 | 6 | 0
- Carries: 0 c3; 39 + 3 = 42 → 2 c4; 24 + 4 = 28 → 8 c2; 6 + 2 = 8; 0
- = 8820
Why it works · यह क्यों काम करता है
Writing 10a + b and 10c + d, the product is 100·ac + 10·(ad + bc) + bd. The three columns are exactly the three coefficients. The same grouping by place value gives the five columns for 3 digits.
10a + b और 10c + d लिखने पर गुणनफल 100·ac + 10·(ad + bc) + bd होता है। तीन स्तंभ ठीक ये तीन गुणांक हैं। स्थानीय मान से यही समूहन 3 अंकों के लिए पाँच स्तंभ देता है।
Do not forget to add the carry before splitting a column into write-digit and new carry. Write down carries in small digits above the next column until the habit is automatic.
किसी स्तंभ को लिखे जाने वाले अंक और नए हासिल में बाँटने से पहले पुराना हासिल जोड़ना न भूलें। जब तक आदत न बन जाए, अगले स्तंभ के ऊपर हासिल छोटे अंक में लिख लें।
Beyond 3 digits the number of columns and carries makes it error-prone; for large products use the base method, or estimate and eliminate options.
3 अंकों से आगे स्तंभ और हासिल अधिक होने से ग़लती की संभावना बढ़ती है; बड़े गुणनफलों में आधार विधि अपनाएँ, या अनुमान लगाकर विकल्प हटाएँ।
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